刚度校核
建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核
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8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
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小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
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2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
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图 8.2
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图 8.3
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第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为
《刚度校核》课件
刚度校核技术的发展趋势
智能化
利用人工智能和机器学习技术， 实现刚度校核过程的自动化和智
能化，提高校核效率和精度。
精细化
随着计算能力的提升，刚度校核将 更加精细化，能够考虑更多的影响 因素和细节，提高校核结果的准确 性。
多学科交叉
将刚度校核与其他学科领域进行交 叉融合，如结构动力学、材料科学 等，拓展刚度校核的应用范围和深 度。
刚度过大
总结词
刚度过大是指结构在承受外部载荷时，其刚度表现过于强烈，导致结构内部产生 过大的应力或应变。
详细描述
刚度过大可能会使结构在承受载荷时产生过大的应力或应变，从而加速材料的疲 劳和损伤。此外，刚度过大的结构在受到冲击或振动时，可能会产生过大的响应 ，影响结构的舒适性和安全性。
刚度问题对结构性能的影响
劳和损伤。
03
刚度校核的步骤和注意事项
建立模型
模型简化
根据实际结构，对模型进行适当简化，保留主 要受力部分。
参数设定
确定模型中各材料的弹性模量、泊松比等参数 。
约束与载荷施加
根据实际情况，对模型施加合理的约束和外部载荷。
选择合适的校核方法
根据结构特点和校核目的，选择适合 的刚度校核方法，如有限元法、解析 法等。
总结词
刚度问题对结构性能的影响主要体现在结构的稳定性、安全性、舒适性和耐久性等方面 。
详细描述
刚度问题会影响结构的稳定性，使结构在受到外部载荷时容易发生变形或振动；同时， 刚度问题也会影响结构的安全性，使结构在受到意外载荷时容易发生破坏；此外，刚度 问题还会影响结构的舒适性和耐久性，使结构在使用过程中产生不适感或过早地出现疲
详细描述
桥梁结构的刚度校核需要考虑桥梁的跨度、材料、施工方法、环境条件等因素，以确保桥梁在使用过 程中能够承受各种外力作用，保持稳定和安全。在进行刚度校核时，需要依据相关标准和规范，对桥 梁的各个部位进行详细的计算和评估。
梁的强度校核
σ max
(
)
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
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2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
[σ ]
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而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需 的Wz=183.5×10-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应 力[σ]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 现加以检验： 62.4 × 103 N ⋅ m = = 175 ×106 Pa = 175 MPa 2 × 178 × 10 −6 m 3
其值小于许用切应力[τ]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
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应力强度条件。
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3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截 面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座 的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计 算公式为 Fb 3l 2 − 4b 2 wC = 48EI
§5-5梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时， 为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件(stiffness condition)：
轴的扭转刚度校核
图12－4
3、钢丝软轴（挠性轴）
它不受任何空间的限制，可以将扭转或旋 转运动灵活地传到任何所需的位置，常用于医 疗设备、操纵机构、仪表等机械中。
图12－5
二、按照承受载荷不同分类
转轴：既承受扭矩又承 受弯矩（常见） 转动 根据承受载荷不同分类 受弯矩 心轴：只承受扭矩不承 固定 无弯矩 传动轴：只承受扭矩而
轴有不同的分类方法，也有不同类型的轴。 常用的分类方法有两类： 1）根据轴线的形状 不同分类；2）根据承受载荷不同分类。
光轴 根据需要可制成空心轴 直轴 阶梯轴 按轴线形状分类 旋转运动变为直线运动 曲轴：通过连杆可以把 可以穿过 钢丝软轴：具有挠性， 曲路传递运动或动力
三、轴的设计内容及应考虑的主要问题 与其它零件一样，轴的设计包括两个方面的 内容： 1 ）轴的结构设计：即根据轴上零件的安装、定 位及轴的制造工艺等方面的要求，合理确定轴的 结构形状和尺寸。 2）轴的工作能力设计：即从强度、刚度和振 动稳定性等方面来保证轴具有足够的工作能力和 可靠性。对于不同机械的轴的工作能力的要求是 不同的，必须针对不同的要求进行。但是强度要 求是任何轴都必须满足的基本要求。
合金钢：对于要求强度较高、尺寸较小或有其 它特殊要求的轴，可以采用合金钢材料。耐磨 性要求较高的可以采用 20Cr、20CrMnTi 等低 碳合金钢；要求较高的轴可以使用40Cr（或用 3 5 SiMn、40MnB 代 替 ） 、 4 0 CrNi( 或 用 38SiMnMo代替)等进行热处理。 合金钢比碳素钢机械强度高，热处理性 能好。但对应力集中敏感性高，价格也较高。 设计时应特别注意从结构上避免和降低应力集 中，提高表面质量等。
所以，轴的设计程序是：先根据扭转强度 （或扭转刚度）条件，初步确定轴的最小直径； 然后，根据轴上零件的相互关系和定位要求， 以及轴的加工、装配工艺性等，合理地拟订轴 的结构形状和尺寸；在此基础上，再对较为重 要的轴进行强度校核。只有在需要时，才进行 轴的刚度或振动稳定性校核。 因而，轴的设计区别于其它零件设计过程 的显著特点是：必须先进行结构设计，然后才 能进行工作能力的核算。
心轴的设计与校核
心轴的设计与校核心轴是一种广泛应用于各类机械装置中的重要部件。
它通常用于传递转动力和承受轴向负载。
心轴的设计与校核是确保机械装置安全运行的关键环节。
本文将介绍心轴的设计与校核的基本步骤和注意事项。
首先，心轴的设计需要根据装置的使用条件和工作要求进行。
对于重载工况的应用装置，心轴需要采用高强度和高硬度的材料，如合金钢或不锈钢。
而对于一些低速和轻载工况的装置，可以选用普通碳素钢材料。
此外，还要注意心轴的尺寸设计。
尺寸设计需要考虑装置的承载能力、振动和转速等因素。
通常，心轴的直径和长度与所传递的功率和转矩成正比。
其次，校核是确保设计的可靠性和安全性的重要步骤。
校核的目的是检查心轴是否符合所要求的承载能力和寿命要求。
校核一般包括两个方面的内容：强度校核和刚度校核。
强度校核是指检查心轴是否足够强度，能够承受来自外界的载荷。
在进行强度校核时，需要计算心轴的应力和变形。
应力可以通过使用梁的理论计算得到，变形则可以采用静力学公式来计算。
这些计算需要考虑心轴材料的力学特性和所受到的载荷情况。
校核的目标是确保心轴在工作过程中不会发生过大的应力和变形。
刚度校核是指检查心轴的刚度是否足够，能够满足装置的要求。
心轴的刚度主要包括轴向刚度和弯曲刚度两个方面。
在进行刚度校核时，需要计算心轴的刚度系数和自然频率。
这些计算通常采用有限元分析方法进行。
校核的目标是确保心轴在工作过程中具有足够的刚度，能够承受来自外界的振动和变形。
最后，还需要进行可靠性评估和寿命预测。
可靠性评估是指根据心轴的使用条件和工作要求，对其进行可靠性分析和评估。
可以采用可靠性模型来进行评估，如故障模式与影响分析（FMEA）和可靠性块图（RBD）等方法。
寿命预测是指通过对心轴的应力和变形进行疲劳分析，预测其使用寿命。
这需要根据心轴材料的疲劳性能和装置的工况来进行分析。
综上所述，心轴的设计与校核是确保机械装置安全运行的关键环节。
在设计心轴时，需要考虑材料选择和尺寸设计。
主轴刚度校核
主轴刚度校核通常只作刚度验算1.弯曲变形验算（1）端部桡度y≤[y]≤0.0002ll—跨距，前后车轴间的轴向距离（2）前支承处倾角θb≤[θ]≤0.001rad(3)小齿轮处倾角θ≤[θ]≤0.001rad2.扭转变形验算改变角φ≤1°支承简化与受力分析tmax=955⨯104⨯n⨯η=(n∙mm)njn--电机功率；η--机械效率取（0.75～0.85）；nj--主轴计算转速fc'=2⨯tmax=(n)，其中d=0.5⨯dmax=dff'=0.35⨯fc'=(n)fp'=0.5⨯fc'=(n)由f=a+0.4⨯dmaxf'作用在主轴端部的作用力afz=p=2⨯tmax=(n),其中df—齿轮分度圆直径df分解成水平面受力图：fp；fz1=fz×cosθ；m=ff×d/2分解成垂直面受到力图：fc；fz2=fz×sinθ（注意各力和力矩的方向，和公式示图相反加负号）ⅰ刚性车轴、弹性主轴（指导书p34）由传动力fz引起的变形：主轴端部桡度：y=-p⋅a⋅b.c(l+a)=（1-1）6e⋅i⋅lp⋅a⋅b(b-a)=（2-1）大齿轮处倾角：θ1=3e⋅i⋅lp⋅a⋅b⋅(2a+b)=（3-1）前车轴处倾角：θ2=-6e⋅i⋅l由切削力fp(fc)引起的变形：p⋅c2(l+c)=（1-2）主轴端部桡度：y=3e⋅ip⋅c(l2-3a2)=（2-2）6e⋅i⋅lp⋅c⋅l=（3-2）前车轴处倾角：θ2=3e⋅i小齿轮处倾角：θ1=-由切削力矩m引起的变形：m⋅c(2l+3c)=（1-3）6e⋅i⋅lm(l2-2a2)=（2-3）小齿轮处倾角：θ1=-6e⋅i⋅lm⋅l=（3-3）前支承处倾角：θ2=3e⋅i主轴端部桡度：y=PR320横截面惯性矩i=π⋅d464⨯(1-d0d)4=d—主轴平均值直径；do—主轴内孔直径材料弹性模量：e=2.1×105（mpa）ⅱ刚性主轴、弹性车轴由传动力fz引起的变形：主轴端部桡度：y=p(l+c)⨯(l-b)pbc-=（1-4）cb⨯l2ca⨯l2p(l-b)p⨯b-=（2-4）22cb⨯lca⨯l小齿轮和前车轴处倾角：θ1=θ2=由切削力fp(fc)引起的变形：主轴端部桡度：y=pcpc(1+)2+⨯()2=（1-5）cblcal p(l+c)p⨯c+=.（2-5）22cb⨯lca⨯l小齿轮和前车轴处倾角：θ1=θ2=由切削力矩m引起的变形：主轴端部桡度：y=m(l+c)m⨯c+=（1-6）cb⨯l2ca⨯l2 mm+=（2-6）22cb⨯lca⨯l小齿轮和前车轴处倾角：θ1=θ2=轴承刚度：ca=ra/∆0=;cb=rb/∆0=ra---后端的车轴反力；rb---前端车轴反力；δ0---轴承径向加速度量f3182100系列双列向心短圆柱滚子轴承：∆0=0.062⨯r0.815=(μm)d0.8950.077q0.9圆锥滚子轴承：∆0=⨯0.8=(μm)cosαl0滚动体上的载荷：q=5fr=（n）izcosαfr--轴承的径向载荷；d--轴承的孔径；α--轴承的接触角；z--每列于中翻转体数；i--翻转体列数；l0—滚子长度因此水平方向：y=y11+y12+y13+y14+y15+y16=θ1=θ21+θ22+θ23+θ24+θ25+θ26=θ2=θ31+θ32+θ33+θ24+θ25+θ26=y=y11+y12+y14+y15=θ1=θ21+θ22+θ24+θ25=θ2=θ31+θ32+θ24+θ25=综上所述y=y221+y2=(---)2=(---)2=(---)φ=tmax⨯lg⨯i⨯180抗炎抖横截面惯性矩i=132π(d4-d4环流模量g=8.1⨯104（mpa）l—主轴端部到大齿轮处的受扭长度d—主轴平均直径；do—主轴内孔直径。
转轴扭转强度、刚度校核
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
梁的刚度校核计算
σ max
(
)
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
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2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
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(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 ql 2 = = 0.125ql 2 8 5ql 4 ql 4 = = 0.0130 384 EI EI
2 = 104 000 mm 3
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* S z ,max 的值也可按下式得出： 当然，
* z , max
S
(100 − 11) mm 11 = 73 mm × 11 mm × 100 − mm + (100 − 11) mm × 7 mm × 2 2 = 104000 mm 3
(
)
(
)
( ) ( (40 ×10 N )(0.9 m)× (3 × 2.4 m (12 ×10 N )(0.6 m)× (3 × 2.4 m
3 2 3 2
2
2
) − 4 × 0.9 m ) + − 4 × 0.6 m )]
2 2 2 2
1671× 103 N ⋅ m 2 = = 4.66 ×10 −3 m 48 210 ×109 Pa 2 ×1 780 × 10 −8 m 4
其值小于许用切应力[τ]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
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刚度校核
l.轴的弯曲刚度校核计算
2.轴的扭转刚度校校计算
l.轴的弯曲刚度校核计算
常见的轴大多可视为简文梁。
若是光轴，可直接用材料力学中的公式计算其挠度或偏转角；若是阶梯轴，如果对计算精容要求不高，则可用当量直径法作近似计算。
把阶梯轴看成是当量直径为dv的光轴，然后再按材料力学中的公式计算。
当量直径为
式中：l i——阶梯轴第i段的长度，mm；
d i——阶梯轴第i段的直径，mm；
L——阶梯轴的计算长度；m。
；
Z——阶梯轴计算长度内的轴段数。
当载荷作用干两支承之间时，L=l（l为支承跨距）；当载荷作用于悬臂端时，L=l+K（K为轴的悬臂长度）。
轴的弯曲刚度条件为：
挠度
偏转角
式中：[y]——轴的允许挠度，mm，见表15-5；
[θ]——轴的允许偏转角，rad,见表15-5。
表15-5 轴的允许挠度及允许偏转角
2．轴的扭转刚度校校计算
轴的扭转变形用每米长的扭转角p来表示。
圆轴扭转角P的计算公式为：
光轴
阶梯轴
式中：T——轴所受的扭矩，N·mm；
G——轴的材料的剪切弹性模量，MPa,对于钢材，G=8.1*104MPa；
I p——轴截面的极惯性矩，mm4,对于圆轴，I p= d4/32
L——阶梯轴受扭矩作用的长度，mm；
T i、l i、I pi——分别代表阶梯轴第i段上所受的扭矩、长度和极惯性矩，单位同前；
z——阶梯轴受扭矩作用的轴段数。
轴的扭转刚度条件为
ϕ≤[ϕ] ( °)/m
式中[ϕ] 为轴每米长的允许扭转角，与轴的使用场合有关。
对于一般传动轴，可取[ϕ]=0.5-1( °)/m；对于精密传动轴，可取[ϕ]=0.25-0.5( °)/m；对于精度要求不高的轴，[ϕ]可大于1( °)/m。
表15-4 抗弯，抗扭截面系数计算公式
注：近似计算时，单，双键槽一般可忽略，花键轴截面可视为直径等于平均直径的圆截面。