梁的刚度校核
梁的刚度计算
§10-6
RA
A
l 2
简 单 超 静 定 梁
RB
B
ql 2 mA 0, RBl 2 0. ql m 0 , R , RB 0.5ql. B A 2
q
C
l 2
静 定 问 题
由平衡方程可以解出全部未知数
RA
A
l 2
RC
C
ycq ycRC 0
A
C
B
多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
yB 0 RB
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
B
l 2
例 已知梁的EI，梁的长度，求 各处的约束反力。
解：1) 受力分析，列平衡方程 判定超静定次数
q
A
RC
Y 0, RA RB RC ql 0 M A 0, RBl 0.5RCl 0.5ql2 0
I
=
A D
图1
B F1
图2
64
( D 4 d 4 ) 188 10 8 m 4
M
A L B
图3
+ +
F1 L2 F2 La 4 0 . 423 10 (弧度) B a 16EI 3EI C B F1L2 a F2 a 3 F2 a 2 L 6 y 5 . 19 10 m F 2 F2 C 2 16EI 3EI 3EI
3ql R A RB 16
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
RA
A
l 2
RC
C
东财在线建筑力学》第三套作业(第六~八单元)
C、强度条件要求杆内最大工作应力必须超过材料的许用应力
D、强度条件要求拉压杆件最大变形不超过正常工作的最大变形
答案:A
【2】在利用积分法计算梁位移时，待定的积分常数主要反映了（ ）。
A、剪力对梁变形的影响
B、对近似微分方程误差的修正
C、支承情况对梁变形的影响
D、梁截面形心轴向位移对梁变形的影响
【1】在纯剪切应力状态中，说法正确是（ ）。
A、主应力均为正值
B、最大主应力等于最大剪应力，最小主应力等于负的最大正应力
C、最大剪应力为零
D、最小主应力为零值
答案:B
【2】
图示 为 结 构 在 荷 载 作 用 下 的MP 图 ， 各 杆 EI=常 数 ，支 座 B 截 面 处 的 转 角 为：
A、16/(EI)( 顺 时 针 )
【7】等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大（ ）处一定最大。
A、挠度
B、转角
C、剪力
D、弯矩
答案:D
【8】
单元体的应力状态如图所示，由x轴至σ1方向的夹角为
A、13.5°
B、-76.5°
C、76.5°
D、13.5°
答案:D
【9】在单元体上，可以认为（ ）。
A、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力相等
答案:C
【3】
三种应力状态分别如图(a)、(b)、(c)所示，则三者间的关系为
A、完全等价
B、完全不等价
C、图(b)、图(c)等价
D、图(a)、图(c)等价
答案:D
【4】
已知应力圆如图所示，图(a)、(b)、(c)、(d)分别表示单元体的应力状态和A截面的应力，则与应力圆所对应的单元体为
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
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ql3/6，D＝－ql4/24。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
结构位移和刚度—梁的刚度计算(建筑力学)
二、用积分法求梁的变形
1.挠曲线近似微分方程
y( x)
M (x) EI
2.用积分法求变形 EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法—梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
四、梁的刚度计算 ymax [ f ]
梁的刚度计算
主要内容
梁的刚度条件和设计准则 梁的刚度计算 梁的刚度计算工程实例
梁的刚度计算
➢ 如果梁的弯曲变形过大，即使强度满足要求，也不能正常工作。例如：房 屋的楼面板或者梁长时间受较大荷载作用，导致变形过大，会造成抹灰面 出现裂缝，工业厂房的吊车梁变形过大，会影响吊车梁的正常使用等。设 计梁时，除了进行强度计算外，还应考虑进行刚度计算，需要把梁的最大 挠度和最大转角限制在一定的允许范围内。
l
l
课后作业：《建筑力学练习册》 练习二十五
3.6 4 4
3.6kN m
2、按正应力强度设计。查强度准则
3.6kNm
max
M max Wz
M max 0.1d 3
[ ]
得：
d3
M max
3
3.6 106 mm 153.3mm
0.1[ ] 0.110
取d=160mm
梁的刚度计算
3、按梁的刚度准则校核。
查变形表得
ymax
Fl 3 48EI
为:
ymax [ f ]
l
l
式中 ymax 为最大相对挠度，[ f ] 为许用相对挠度，其值可
l
l
根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。土建工程中的许
用相对挠度值 [ f ] 常限制在
梁的变形与刚度计算
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θA θAq θAm
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θB θBq θBm
3 ml ql 24 EI 6 EI
(
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
8.3.5 梁的刚度计算
8.3.5 梁的刚度计算梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许用挠度[ f ]和许用转角[θ]，可以表述为：≤y f []max≤θθ[]max式中y max 和θmax 为梁的最大挠度和最大转角。
在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行校核；而在土木工程中，常常只校核挠度，并且以许用挠度与跨长的比值lf []作为校核的标准，即： ≤l lf y []max （8.17） 土木工程中的梁，强度一般起控制作用，通常是由强度条件选择梁的截面，再校核刚度。
例8.9 简支梁受力如图8.11所示，采用22a 号工字钢，其弹性模量=E 200GPa ，=l f 400[]1，试校核梁的刚度。
解：由附录查表可得=I 3400cm z 4，=EIy ql 3845max 4。
于是 =<=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯l f l EI ql y 600400[]1138438420010MPa 340010mm 554N/mm 6000mm 344max 333所以梁的刚度满足要求。
下面介绍提高梁弯曲刚度的一些措施。
在不改变荷载的条件下，梁的变形与抗弯刚度EI 成反比，与跨长的n 次幂（n 可取1、2、3或4）成正比。
所以，提高弯曲刚度的一些措施有：（1）增大EI 。
这方面可以考虑采用惯性矩较大的工字形、槽形、箱形等截面形状。
须指出的是，高强钢与普通钢的弹性模量相差无几，所以采用高强钢对提高刚度的作用并不明显。
（2）调整跨长或改变结构。
减小跨长对变形的影响较为明显，如龙门吊车大梁就采用了两端外伸的结构形式。
此外，增加约束形成超静定梁，也能显著减小梁的变形，同时还可以提高弯曲强度。
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东财在线建筑力学》第三套作业(第六
错误
答案:错误
【18】当梁发生平面弯曲变形时，梁的轴线仍然在纵向对称平面内。（）
正确
错误
答案:正确
【19】梁的高度越大，则梁的抗弯能力也越大。（）
正确
错误
答案:正确
【20】抗弯截面模量越大，则梁的抗弯曲能为越小。（）
正确
错误
答案:错误
【1】关于拉压杆的强度条件，下列说法正确的是（）。
A、为了保证拉压杆不致因强度不足而破坏
A、正方形
B、工字形
C、T形
D、矩形
E、圆形
答案:BCD
【12】为了提高梁的抗弯刚度，工程上常采用的截面形式有（）。
A、正方形
B、工字形
C、T形
D、矩形
E、圆形
答案:BCD
【13】梁的正应力在横截面上是沿梁高呈线性分布且（）。
A、中性轴上正应力为最大值
B、均匀分布
C、离中性轴最远的上下边缘正应力最大
A、13.5°
B、-76.5°
C、76.5°
D、13.5°
答案:D
【9】在单元体上，可以认为（）。
A、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力相等
B、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力不等
C、每个面上的应力是非均匀分布的，一对平行面上的应力相等
D、每个面上的应力是非均匀分布的，一对平行面上的应力不等
B、提高杆件材料的强度能提高杆件的承载力
C、提高杆件材料的强度能提高杆件的刚度
D、提高杆件材料的刚度能提高压杆的稳定性
E、提高杆件材料的刚度能提高杆件的承载力
答案:BD
【13】两截面不同，材料相同的拉杆，受到相同的轴力作用时则其（）。
大梁的简单校核计算
大梁的简单校核计算大梁是建筑结构中常见的承重构件，用于支撑和传递楼板和屋面的荷载至柱子或墙体上。
在设计和施工大梁时，需要进行校核计算，以确保其安全可靠。
下面是一个对大梁进行简单校核计算的步骤和方法。
首先，需要确定大梁的截面形状和尺寸。
常见的大梁形状包括矩形、T形、I形等，尺寸一般由设计要求决定。
根据大梁的截面形状和尺寸，可以计算得到其截面面积和截面惯性矩。
接下来，需要确定大梁所承受的荷载。
荷载包括常规荷载和临时荷载，常规荷载来自楼板、屋面和人员活动等，临时荷载来自施工期间的施工载荷。
根据设计规范和实际情况，可以确定大梁所承受的设计荷载。
然后，需要进行弯曲和剪切校验。
对于弯曲校验，需要根据大梁的截面形状和荷载，计算得到大梁所受的弯曲应力，然后与材料的弯曲极限强度进行比较，确保大梁在弯曲方面的安全性。
对于剪切校验，需要根据大梁的截面形状和荷载，计算得到大梁所受的剪切应力，然后与材料的剪切强度进行比较，确保大梁在剪切方面的安全性。
最后，需要进行挠度校验。
大梁的挠度是指其在荷载作用下产生的弯曲变形。
需要根据大梁的杆件刚度和荷载计算得到大梁的挠度，然后与设计要求进行比较，确保大梁的挠度在允许范围内。
此外，还需要对连接部位进行校核计算。
大梁与柱子或墙体之间的连接处需要确保连接刚度和承载能力。
计算连接部位的强度和稳定性，以确保连接处的安全性。
在进行大梁的简单校核计算时，需要参考相关的设计规范和标准。
常用的设计规范包括《建筑结构荷载规范》、《建筑抗震设计规范》等。
根据不同的设计要求和实际情况，还可以考虑使用计算软件进行校核和分析。
总之，大梁的简单校核计算是设计和施工中必不可少的一步，通过对大梁的截面形状、荷载以及弯曲、剪切和挠度等进行计算和分析，可以确保大梁的安全可靠性，同时保证建筑结构的整体稳定性和承载能力。
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II、 II、 提高梁的刚度的措施
梁的位移（挠度和转角） 梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有 关外，还取决于以下三个因素： 关外，还取决于以下三个因素： 成正比； 材料 —— 梁的位移与材料的弹性模量 E成正比； 成正比 截面 ——梁的位移与截面的惯性矩 I 成正比； 梁的位移与截面的惯性矩 成正比； 跨长 ——梁的位移与跨长 梁的位移与跨长 次幂成正比 成正比。 的 n 次幂成正比。
为了减小梁的位移， 为了减小梁的位移，可采取下列措施 增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的抗弯刚度 工程中常采用工字形, 工程中常采用工字形 箱形截面
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
提高梁刚度的措施 1）选择合理的截面形状
调整跨长和改变结构 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这 是提高梁的刚度的一个很又效的措施。 是提高梁的刚度的一个很又效的措施。
(a) q
桥式起重机的钢梁通常采 用两端外伸的结构（图 用两端外伸的结构（ 6 -6 a），就是为了缩短 ），就是为了缩短 ）， 跨长而减小梁的最大挠度 值。 图 6 -6
(b) q A B A B
q
同时，由于梁的外伸部分的自重作用， 同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使两的 AB 跨产 生向上的挠度（图6 -6 b），从而使AB跨向下的挠度能够 生向上的挠度（ ），从而使 跨向下的挠度能够 ），从而使 被抵消一部分，而有所减小。 被抵消一部分，而有所减小。
(a) q
增加梁的支座也可以减小梁 的挠度。 的挠度。
(b) q A B A B
q
图 6 -6
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
改善结构形式， 改善结构形式，减少弯矩数值
改 变 支 座 形 式
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
2）改善结构形式，减少弯矩数值 改善结构形式，改 变 载 Nhomakorabea荷 类 型
wC2 = 62.5% wC1
f 1 [ ]= l 400
120KN 30KN C 40KN 12KN B
A
fC
0.4 0.4 0.7 2.4 m 0.3 0.6
例题 6 -7 图
解:可将梁跨中点C处的挠度 fC作为梁的最大挠度 fmax 。 可将梁跨中点 处的挠度
f max ≈ f C =
4 i =1
∑
Pi bi [ 3l 2 4bi2 ] = 4.67 mm 48 EI
40KN 12KN C B
120KN 30KN
A
fC
0.4 0.4 0.7 2.4 m 0.3 0.6
梁的许可挠度为
3 f 1 [ f ] = [ ]×l = m × 2.4 = 6×10 m = 6m l 400
f max = 4.67mm < [ f ]
因此， 所选用的槽钢能够满足刚度条件的要求。 因此， 所选用的槽钢能够满足刚度条件的要求。
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
采用超静定结构
§7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
采用超静定结构
§6-4
梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施 I、 梁的刚度校核 、
对于梁的挠度, 其许可值通常用许可的挠度与梁跨长的比值 对于梁的挠度
f [ ] 作为标准。 梁的刚度条件可表示为 作为标准。 l
fm f ax ≤[ ] l l
（6 -5） ）
θ θm ≤ [ ] ax
的简支梁, 例题 6-7 试按刚度条件校核第五章例题 5-10 的简支梁 已知 号槽钢, 按强度条件所选择的梁为两根 20a 号槽钢 每根槽钢的惯性矩 I=1780cm , 钢的弹性模量为 E=210GPa 。 此梁的许可挠度与梁 跨长的比值为