状态反馈控制与观测器设计
现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
本科实验报告课程名称：现代控制理论实验项目：状态反馈和状态观测器的设计实验地点：中区机房专业班级：自动化学号：学生姓名：指导教师：年月日现代控制理论基础一、实验目的（1）熟悉和掌握极点配置的原理。
（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。
（3）通过实验验证理论的正确性。
（4）分析仿真结果和理论计算的结果。
二、实验要求（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。
（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。
（3）在计算机上进行分布仿真。
（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。
三、实验内容（一）、状态反馈状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。
1.全部极点配置给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。
假设系统的状态空间表达式为（1）其中 n m C r n B n n A ⨯⨯⨯::;:;: 引入状态反馈，使进入该系统的信号为Kx r u -=（2）式中r 为系统的外部参考输入，K 为n n ⨯矩阵. 可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为（3）可以证明，若给定系统是完全能控的，则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望的闭环特征方程为=)(*s f (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=n n n a s a s +++-Λ11这是状态反馈阵K 可根据下式求得K=[])(100*1A f U c -Λ（4）式中[]bA Ab b U n c 1-=Λ，)(*A f是将系统期望的闭环特征方程式中的s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。
例1已知系统的状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=•111101101112 采用状态反馈，将系统的极点配置到-1，-2，-3，求状态反馈阵K..其实，在MATLAB的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker(),该函数的调用格式为K=acker(A,b,p)式中，p为给定的极点，K为状态反馈阵。
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
实验六状态反馈与状态观测器
状态反馈与状态观测器——38030229高乙超一．实验目的：1.1掌握用状态反馈进行极点配置的方法。
1.2了解带有状态观测器的状态反馈系统。
二．实验原理：2.1状态反馈：对于一个可控的线性时不变系统E状态方程：ẋ=Ax+buy=cx可以通过状态反馈：u=r−kx任意配置极点，得到带有状态反馈的可控系统E’:ẋ=(A−bk)x+bry=cx系统的传递函数为:G(s)=c(sI−A+bk)−1b对于E’闭环矩阵A-bk的特征值可以由k阵配置到复平面的任意位置。
其充要条件是原系统可控。
2.2状态观测器：状态反馈可以实现任意配置极点，但是需要的到系统的状态。
事实上，系统的状态往往是不能测量的，因此希望用计算机构成一个与实际系统[A,b,c]具有同样动态方程的模拟系统，用模拟系统的状态x̂作为系统状态向量x的估计值。
观测器的目的就是为了提供一个估计值x̂使得在t→∞时，x̂→x。
事实上，对于一个可观的系统[A,c]有对偶原理和特征值可分配原理我们可以对于一个可控系统[A T,c T]通过H T阵使得A T−c T H T特征值任意配置。
如果系统完全客观，我们就总能找到一个H阵使得观测器的跟踪误差以期望的速度趋于零。
跟踪误差：x̃=ẋ−x̂=A(x−x̂)−Hc(x−x̂)=(A−Hc)x̃如果系统是可控同时可观的那么由分离原理我们可以按照极点配置需要的反馈阵k，按照观测器的动态要求选择H，而互不影响。
三．实验过程及实验分析：3.1验证过程：被控对象模拟电路及系统结构如下图所示，被控对象传递函数为：G(s)=100S2+3.945s+103.57系统响应曲线如下：未加状态观测器: 系统仿真(L)，模拟输出(R)加状态观测器: 系统仿真(L)，模拟输出(R)3.2对如下图控制系统设计状态反馈阵K，使动态性能指标满足超调量σ%≤5%，峰值时间tp≤5.0s。
设计反馈器电路图如下：系统响应曲线如下：四．实验总结：理论上，对于一个可观可控的系统我们可以通过状态反馈和状态观测器满足我们对于系统性能的需求，实际上状态观测器提供的估计状态是存在一定误差的，为满足实时和准确性的需要，合理的设计H阵是有必要的。
状态反馈和状态观测器-82页文档资料
闭环传递函数矩阵为： G H (s)C [s I(A BH ) 1 ]B C
结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。
即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，
即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。
结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解 出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一 定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。
0 1 0
0
其中： A0 0 1, B0, C1 0 0
1 5 6
1
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。
[解]： （1）先判断该系统的能控性
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8
0 0 1 ra[Q n c] k ra[B n A k B A 2B ]ra 0 nk1 6 3
1 6 3 1
注意：矩阵 ABK的特征值就是所期望的闭环极点。对 不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。
1、极点配置算法
1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
2020/6/3
7
(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：f()d eI t(A [B)K ]
1、首先将原系统 (A,B,C)化为第二能控标准型 (A,B,C)
2、求出在第二能控标准型的状态 x 下的状态反馈矩阵 K 3、求出在原系统的状态 x下的状态反馈矩阵 KKPc21
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11
证明： KKPc21 原系统： x (A B)x K Bv
式 1 ） （
第二能控标准型：x (AB K)xB v
[例2] 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响
状态观测与反馈控制器的设计与仿真
毕业设计（论文）任务书班级学生姓名学号发题日期：年月日完成日期：月日题目状态观测与反馈控制器的设计与仿真1、本论文的目的与意义（1）学习并掌握现代控制理论中状态观测与状态反馈的基本原理,学习控制器的设计方法,在此基础上设计计算机程序,以实现状态观测和反馈控制器设计的自动化,并对典型控制系统的运行进行仿真。
（2）进一步深入理解状态反馈、状态观测器的工作原理和设计方法，熟练程序设计和控制系统的仿真，进一步巩固所学，提高综合应用的能力。
2、学生应完成的任务（1）收集有关现代控制理论、反馈控制器设计和MATLAB控制系统仿真方面的资料，完成英文翻译。
（2）学习掌握状态反馈、状态观测器的工作原理及其控制器的设计方法。
（3）熟悉MATLAB程序设计及Simulink仿真。
（4）设计MATLAB程序及GUI界面，给定被控对象的数学模型，实现控制器分析与设计的自动化，自动生成反馈控制器模型。
（5）设计MATLAB程序及GUI界面，把所设计控制器代入控制系统，进行系统运行的计算机仿真。
程序的调试。
（6）完成具有规定格式的设计说明书（不少于15000字）一份。
3、论文各部分内容及时间分配：（共 15 周）第一部分查阅、搜集相关资料，参考学习，并完成外文翻译。
( 2周) 第二部分学习掌握基本知识、方法和原理，并完成论文总体内容设计。
( 3周) 第三部分设计并调试计算机程序，实现典型数字控制器分析与设计的自动化。
( 3周) 第四部分设计并调试仿真程序，实现典型控制系统运行的仿真。
( 3周) 第五部分设计说明书、整理等工作 ( 2周) 评阅及答辩 ( 2周)备注指导教师：年月日审批人：年月日摘要现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种自动控制理论。
状态反馈是体现现代控制理论特色的一种控制方式。
然而，在实际系统中，或者因为不易直接测量，或者因为测量设备在经济性和使用性上的限制，进行状态反馈往往很困难。
解决上述问题的基本途径就是进行状态重构，即设计状态观测器，利用重构状态取代真实状态进行状态反馈。
状态反馈观测 设计
状态反馈观测设计状态反馈观测是一种控制系统中常用的技术，可以用于估计系统的状态并根据估计值进行控制调节。
在状态反馈观测设计中，我们需要确定观测器的结构和参数，以及观测误差的影响。
首先，观测器的结构是状态反馈观测设计的核心问题之一。
观测器的结构是指观测器的状态和输出方程的形式。
常用的观测器结构有全阶观测器、降阶观测器和高阶观测器等。
全阶观测器是指观测器的状态和系统的状态维数相同，适用于系统状态完全可观测的情况。
降阶观测器是指观测器的状态维数小于系统的状态维数，适用于系统状态不完全可观测的情况。
高阶观测器是指观测器的状态维数大于系统的状态维数，适用于系统状态超定观测的情况。
其次，观测器的参数是观测器设计的另一个重要问题。
观测器的参数包括观测器的增益矩阵和误差权重矩阵等。
观测器的增益矩阵可以通过线性矩阵不等式（LMI）或者频域设计方法来确定。
误差权重矩阵用于权衡观测器输出误差和观测器状态的变化量。
观测器的参数选择不当可能会导致观测器的不稳定性或性能不佳，因此需要通过优化方法或者经验法则来确定。
最后，观测误差对系统性能的影响也需要考虑在内。
观测误差是指观测器输出与系统状态的真实值之间的差异。
观测误差的存在会导致控制器对系统状态的估计值产生偏差，从而影响系统的性能。
观测误差的大小与观测器的参数选择、系统的可观测性和外部干扰等因素有关。
为了减小观测误差对系统性能的影响，可以采取一些措施，如增加观测器的增益、提高系统的可观测性、降低外部干扰的影响等。
总结起来，状态反馈观测设计是一项复杂而重要的任务，需要考虑观测器的结构和参数选择以及观测误差对系统性能的影响。
通过合理选择观测器的结构和参数，可以实现对系统状态的准确估计，并根据估计值进行控制调节，从而提高控制系统的性能和稳定性。
状态反馈与状态观测器
状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为
f o (s) detsI A s a1 s
n
n 1
a n1 s a n
n2
（5-16）
Go ( s) C ( sI A) B
1
b1 s
n 1 n
（5-8） 式（5-8）可简记为 H ( A BHC, B, C ) ，其对应的 传递函数矩阵为
W H (s) C (sI ( A BHC )) B
1
（5-9）
在被控系统D=0时，比较两种基本反馈控制律 （只要取 F HC 的状态反馈即可达到与线性非动 态输出反馈H相同的控制效果。
b2 s
bn 1 s bn
s a1 s
n 1
a n 1 s a n
（5-17） 可通过如下变换（设 Tc 为能控标准型变换矩阵）
x Tc x
（5-18）
__
将 o ( A, B, C ) 化为能控标准型 o ( A , B , C ) ，即
Ax Bu x y Cx
p (s) (s 1 )(s 2 ) (s 1 j )(s 1 j ) s 2s 2
2
2
a2 ，
2
阵 F f1
(3)求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩
f2
方法一
规范算法
被控系统 o ( A, B, C )的特征多项式为
a1 AB 1
根据式（5-29），原状态x下的状态反馈增益阵F应为
5. 3 反馈控制对能控性与能观测性的影响
定理5-1 状态反馈不改变被控系统 o ( A, B, C ) 的能控性，但不一定能保持系统的能观性。
第5章状态反馈控制器及状态观测器.pdf
定理：多变量线性系统（定常的或时变的） ∑0 = {A, B,C} ，
在任何形如u(t) = v(t) − K (t)x(t的) 状态反馈下，状态反馈闭环系
统 ∑K = {A − BK, B,C} 完全能控的充要条件是被控对象完全能控。
2.状态反馈系统的能观性 虽然状态反馈保持了动态方程的能控性，但往往会破坏动态
第5章 状态反馈和状态观测器
1
目前为止，我们已经： 建立了系统的状态空间模型 提出了基于状态空间模型的系统的运动分析 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性
“认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
2
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入；
x& = Ax + Bu = Ax + B(v − Hy )
= Ax + Bv − BHCx = (A − BHC)x + Bv
y = Cx
对应的传递函数矩阵为：
∴ 输出反馈中的 HC 与状态反馈中的 K 相当；
但 H可供选择的自由度远比 K 小（因m小于n）； ∴ 输出反馈一般只能相当于部分状态反馈。
10
5.1 状态反馈与输出反馈
5.1.2 输出反馈
1、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参 考输入相加，其和作为受控系统的控制输入。
2、基本结构 （控制输入不直接作用到输出，即D=0）
用输出 信号
输出反馈控制律为: u = v − Hy
输出反馈系统
输出反馈矩阵r×m
11
输出反馈系统的状态空间表达式为：
方程的能观性。 定理：输出反馈闭环系统能控的充要条件是被控系统能控；输 出反馈闭环系统能观的充要条件是被控系统能观。
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n 1 * * f ( ) n an a a 1 1 0
5)
写出对于能控标准型下的状态反馈增益阵
K a0 a0
a1 a1 an1 an 1
6）求定状态的反馈增益阵 7）状态反馈下的控制律为
K KT
u Kx r
11
6.2.2 单输入系统的极点配置方法
例： 试设计如图所示系统中的状态反馈增益阵K，使闭环系统 的特征值为 1,2 7.07 j 7.07, 3 100
3
6.1.1 状态反馈
多输入多输出状态反馈系统的一般形式如下图所示。
Ax Bu x y Cx Du
u r Kx
Ax B(r Kx) ( A BK ) x Br x y Cx D(r Kx) (C DK ) x Dr
设状态反馈阵为
K k1 k 2 k n
则状态反馈系统的传递函数为
G( s) c n 1 s n 1 c1 s c 0 s n (a n 1 k n ) s n 1 (a1 k 2 ) s (a 0 k1 )
结论： 引入状态反馈改变了系统的极点，但没有改变系统的零点。
6
6.1.4 状态反馈对传递函数的影响
若某能控系统
Ax bu x y cx
经线性变换为下述第一能控标准型：
1 0 0 1 A 0 0 a 0 a1 a n 2 c c0 c1 c n 1 0 , 1 a n 1 0 0 b 0 1
T1 0 0 1SC
SC b
Ab An 1b
1
T1 TA T 1 n 1 T1 A
10
6.2.2 单输入系统的极点配置方法
3）求出被控对象的特征多项式
f () det[I A] n an1n1 a1 a0
状态反馈和状态观测器设计是各种现代控制设计方法的基础
1
第6章 状态反馈控制与状态观测器设计
本章主要内容： 6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 6.3 状态反馈设计方法 状态观测器设计方法
2
6.1 状态反馈与输出反馈
状态反馈——就是将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数， 反馈到输入端,与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。
定理
线性连续或离散系统能镇定的充分必要条件： 系统的不能控极点都是稳定极点。
9Leabharlann 6.2.2 单输入系统的极点配置方法
按指定极点配置设计状态反馈增益阵的一般方法： 对于线性（连续或离散）单输入系统 A, b, c ，按指定极点配 置设计状态反馈增益矩阵的基本方法，是选择状态反馈增益 矩阵使系统的特征多项式 det[ λ I ( A bK )] 等于期望的特征多 项式 f * ( ) ，即 det[ λ I ( A bK)] f * ( ) 按指定极点配置设计状态反馈增益阵的一般步骤为： (1)判断系统能控性 (2)求能控标准型的变换矩阵T
在任何形如 u (t ) r (t ) K (t ) x(t ) 的状态反馈下，状态反馈闭环系 统 K A BK, B, C 完全能控的充要条件是被控对象完全能控。 2.状态反馈系统的能观性 虽然状态反馈保持了动态方程的能控性，但往往会破坏动态 方程的能观性。 定理：输出反馈闭环系统能控的充要条件是被控系统能控； 输出反馈闭环系统能观的充要条件是被控系统能观。 参见P146 例6.1、例6.2
u r Hy
如果没有直接传输D，则 ( A BHC) x Br x y Cx
且输出反馈的闭环传递函数阵为
GH (s) C(sI A BHC) 1 B
5
6.1.3 状态反馈系统的能控性与能观性
1.状态反馈系统的能控性 定理：多变量线性系统（定常的或时变的） 0 A, B, C ，
系统的传递函数为
G( s)
c n 1 s n 1 c1 s c 0 s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
7
6.1.4
状态反馈对传递函数的影响
u r Kx
( A b K )x b r x y cx
引入状态反馈
则闭环系统的动态方程为
第6章 状态反馈控制与状态观测器设计
问题：1、反馈控制的作用？ 2、古典控制理论中的反馈控制方式？ 3、现代控制理论中的反馈控制方式？ 由于采用了状态方程描述系统，所以可以采用状态变量进行 反馈。 由于状态空间描述了系统内部信息的传递关系，比微分方程、 传递函数等外部描述更深入地揭示了系统的动态特性，所以， 采用状态反馈比采用输出反馈具有更好的控制特性。 采用状态反馈不但可以实现闭环系统的特征值任意配置，而 且也是实现系统解耦和构成线性最优调节器等的主要手段。
8
6.2
状态反馈设计方法
6.2.1 极点配置问题
极点配置定理 线性（连续或离散）多变量系统能任意配 置极点的充分必要条件是,该系统状态完全能控。 能镇定的或能稳定的系统 如果不能控的极点全部是稳定极点，则可以采用状态反 馈使能控部分的极点配置到期望值，从而使整个闭环系统稳 定，因此，称这样的系统为能镇定的或能稳定的系统。
如果系统没有直接传输，则状态空间模型和闭环传递函数阵：
( A BK ) x Br x y Cx
GK (s) C(sI A BK) B
4
1
6.1.2 输出反馈
输出反馈是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端,与 参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号，如下图所示。