《信号与系统》奥本海姆第九章

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x t d t
2
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2、在求时域响应时，运用傅里叶反变换对频 率进行的无穷积分求解困难。 1 j t x(t ) X jω e dω 2 3、傅里叶变换一般只能分析稳定的LTI系统。 引入复数自变量，在复频率域、复z域中分析信 号和系统，以扩大信号变换的范围。拉普拉斯变 换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的推广。
t
1 2



t
S ( j )e j t d
e 乘以
拉普拉 斯反变换
1 x(t ) 2
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S ( j )e e d
t
jt
2 j j
1
j
X ( s )e s t ds
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一、双边与单边LT
符合狄里赫利条件
能量型信号
1 x (t ) 2



X jω e j t d ω
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等效为
1 x(t ) e u(t ) X (s) , sa
at L
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Res a
-a
0
Re
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第9章 拉普拉斯变换(LT)
LAPLACE TRANSFORM
Wang Zhengyong
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由FT定义:
S ( j ) s (t )e


jt
dt [ x(t )e


t
]e
jt
dt
令 则
S ( j )
s j


x ( t ) e st dt X ( s)
x(t)的拉普 拉斯变换
由IFT定义:
s (t ) x ( t ) e
收敛域计算方法（Methods to find ROC）：
x(t) X s x t e dt,

LT

s t
收敛域
Re[ s] R 的取值范围
x (t )
lim x(t )e
t
t
t
0 1
2
…
…
t
lim x (t ) e t 0
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应用

求解微分方程。将微分方程变为代数方程。 分析电路。 判断系统的性质。 对部分不稳定的系统可用拉普拉斯变换分析 在控制领域，常可用来分析系统的性能。
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3. 不同的信号可能会有完全相同 的拉氏变换表达式，只是它们的 收敛域不同。 4. 只有拉氏变换表达式连同相应
说明：
连续时间傅里叶变换是拉氏变换在 0 或是在 j 轴上的特例。
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例1: x (t ) e at u (t ) ,讨论LT与FT关系．
拉普拉斯正变换：
X s


x t e s t d t


0
x t e
s t
dt

wk.baidu.com
0
x t e s t d t
单边LT 双边LT t x ( t ) e 的傅里叶变换。 说明: x(t ) 的拉氏变换就是 Im [s] 拉普拉斯反变换： S 平面
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参考资料
张菊秀, 拉普拉斯变换在过程控制系统分析中的应 用，武汉理工大学学报(信息与管理工程 版),2006.6 胡亚才,基于导热传递函数的球壳体动态导热特性 研究,2006.3,浙江大学学报(工学版) 石会萍, 拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用, 江汉大学学报(自然科学版) .2004.4 黄 平, 运用拉普拉斯变换求解电路的基本 方法,桂林市教育学院学报.2000 年12 月 陈元亨, 信息信号与系统, 成都：四川大学出版社， 2003 郑君里，应启珩，杨为理, 信号与系统(第 二版)，北京：高等教育出版社，2000 5 2013/5/20
意义
x(t ) 在复频域上可展开为变振幅复简谐波 e
的连续和；
st
X (s) 是单位复频率带宽内变振幅复简谐波的合成
复振幅，具有密度性质； 该展开式可适用于周期信号、能量型信号、 非周期功率型信号。
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x (t )
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2 j
1
j
j
X ( s )e s t ds
0
Re[s]
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Im
S 平面
-a ROC
Re
的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。 5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有。
X ( j) X (s)
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s j
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Laplace Transform推导
不符合狄里赫利条件 非周期功率型信号
x (t )
…
e t
…
t
0
衰减因子 两函数相乘
0
t
s(t ) x(t )e t 收敛，满足狄里赫利条件
则
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1 s(t ) 2



S ( j )e
j t
d
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FT: LT: 由于
1 e u(t ) X ( j) , a0 j a
at FT
X ( s ) e u (t )e dt e
0

at
st

( s a )t
dt
X(s)实质是e-(+a)tu(t)傅里叶变换, 所以 Im
S 平面
1 X ( s ) X ( j ) , a 0 ( a) j

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9.1 Laplace Transform (LT)
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三、拉普拉斯变换收敛域 (Region Region of Convergence for LT)
收敛域：使X(s)存在的 的区域称为收敛域。 记 为： ROC(region of convergence): =Re[s]R 实际上就是拉氏变换存在的条件。
jω
| X ( s ) | |
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9.0
Introduction
以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于 它给出的结果有着清楚的物理意义。但也有不足 之处: 1、傅里叶变换一般只能处理符合狄利赫里条件 的 信号。而有些不满足绝对可积条件的信号， 其分析受到限制；

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基本内容
拉普拉斯变换定义，常用信号的拉普拉斯 变换； 收敛域性质；零极点图； 拉普拉斯变换的性质； 拉普拉斯反变换 用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统 系统函数的方框图表示
当
a 0 时，x ( t )的傅里叶变换存在
1 X ( j ) a j
x (t )
1
t
0
显然，在 a 0 时，使拉氏变换收敛的区域 Re[ s] a, 包括了 j（即虚轴）。 比较 X (s) 和 X ( j)有： X (s)
s j
X ( j )
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由以上例子，可以看出:
1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非 任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任 何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 拉氏变换积分收敛的那些复数 S 的集合，称为拉 氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence）， 拉氏变换的 ROC 是非常重要的概念。


x (t ) e
st
dt |
收敛轴 收敛区 收敛坐标 σ0
或 | x ( t ) e t | dt
O
σ
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x(t)et
t
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二、LT 与 FT关系
X (s)


x ( t ) e st d t
( s j )
Im [s]
S 平面
令 0 ， s
j
x(t)的 FT
X ( j ) x (t )e j t dt


0
Re[s]
即有 X ( s ) |s j X ( j )