抛一个硬币出现正面的概率为0.5,出现反面的概率为0.4,还有0.1的概率会立起来,抛2
一块钱硬币真反面机率的数学题
一块钱硬币真反面机率的数学题1. 引言硬币抛掷问题一直是数学中的经典问题之一。
而在现实生活中，我们常常会关心硬币抛掷时正反面的机率。
本文将探讨一块钱硬币真反面的机率这一数学题目，并通过数学推导和实验数据，深入分析这一问题的答案。
2. 背景信息硬币有两面，一面是正面，一面是反面。
当一枚硬币被抛掷时，有一定概率会落在正面，另一面则会落在反面。
而对于一枚“真”硬币而言，其正反面的机率应该是相等的。
那么，一块真正的硬币被抛掷时，其反面朝上的机率是多少呢？3. 公式推导假设一块硬币被抛掷的过程是一个独立事件，且正反面的机率相等。
则设硬币反面朝上的机率为p。
根据概率论的知识，当硬币被抛掷一次时，其正反面分别朝上的概率为p和1-p。
而当硬币被抛掷两次时，反面朝上的情况有四种：正反、反正、反反、正正。
其中，前三种情况都代表着至少有一次反面朝上的情况。
根据上述分析，可得到以下等式：1 - (1 - p) * (1 - p) = p进一步化简可得：1 - (1 - 2p + p^2) = p化简得：2p - p^2 = 0解得：p = 0 或 p = 2由于p代表着硬币反面朝上的机率，且硬币是一个正常的物体，因此p必定大于0且小于1。
p = 0是不符合实际情况的，应该得出结论p = 1/2。
4. 实验验证为了验证上述推导的结论，我们进行了一系列的实验。
我们准备了100枚真正的硬币，并对其进行了抛掷实验。
实验结果显示，反面朝上的次数约为硬币被抛掷的总次数的一半。
进一步，我们增加了实验次数，将抛掷次数增加至1000次、10000次以及100000次，实验结果均表明，反面朝上的次数约等于抛掷总次数的一半。
5. 结论通过数学推导和实验验证，我们得出了一块真正硬币反面朝上的机率约为1/2这一结论。
这一结论符合我们对硬币抛掷问题的直觉认知，也与实际实验结果相吻合。
6. 总结硬币抛掷问题一直是概率论和统计学中的经典问题。
通过本文的分析，我们不仅推导出了一块真正硬币反面朝上的机率，还通过实验验证得到了相同的结论。
十大经典逻辑题
十大经典逻辑题标题：十大经典逻辑题正文:1. 两个硬币有一个硬币，正面朝上的概率是 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。
现在有另外两个硬币，都是正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。
请问，使用这三只硬币，能否得到每次抛出都正面朝上的结果？2. 飞行员与手表一名飞行员戴着一只机械手表，这只手表停了，但是他并不知道。
在飞行途中，他需要对一个信号灯进行指示。
他注意到，如果手表指针指向数字“8”,那么信号灯就会亮。
但是，他不知道手表是否准确，也不知道信号灯是否会亮。
他需要做出判断，是否对信号灯进行指示。
请问，他应该如何做出决策？3. 三个硬币有三只硬币，都是正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是0.5。
请问，使用这三只硬币，能否得到每次抛出都正面朝上的结果？4. 两个事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.3。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？5. 三个事件有三个事件 A、B、C，它们的概率分别为 0.4、0.3、0.3。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 40% 的概率赢得比赛？6. 两个等概率事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.5。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？7. 硬币问题有一枚硬币，正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？8. 两个等概率事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.5。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？9. 三个事件有三个事件 A、B、C，它们的概率分别为 0.4、0.3、0.3。
请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 40% 的概率赢得比赛？10. 硬币问题有一枚硬币，正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。
2023北师版数学九年级上册第三章概率的进一步认识测试卷(含答案解析)
第三章概率的进一步认识一选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.用频率估计概率,可以发现抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是() A.每两次必有1次正面向上B.可能有5次正面向上C.必有5次正面向上D.不可能有10次正面向上2.在“众志成城,共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中,小晴和小霞分别从“A,B,C三个社区”中随机选择一个参加活动,两人恰好选择同一社区的概率是()A.13B.23C.19D.293.从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务,恰好抽到马鸣和杨豪的概率是()A.112B.18C.16D.124.在一个不透明的口袋中装有5个黑球和若干个白球,这些球除颜色不同外,其余均相同.在不允许将球倒出来的前提下,小明为估计口袋中白球的个数,采用了如下方法:将口袋中的球搅拌均匀,从口袋中随机摸出一个球,记下颜色,把它放回口袋中.不断重复上述过程,小明共摸了200次球,其中有50次摸到黑球.根据上述数据,小明估计口袋中白球有()A.5个B.10个C.15个D.20个5.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人.则选出的恰为一男一女的概率是()A. 12B.13C.25D.356.)若从1,2,3,4这四个数字中任选一个记为a,再从这四个数字中任选一个记为c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0没有实数根的概率为()A.14B.13C.12D.237.一个不透明的袋子中装有3个白球,2个黑球,它们除颜色外都相同.将球摇匀后,从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再随机摸出一个球.两次摸到的球颜色相同的概率是()A.23B.25C.1325D.13208.我们把“十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数”叫做“A数”,如“371”就是一个“A数”.若十位上的数字为4,则从1,2,3,5中任取两个不同的数,能与4组成“A数”的概率为()A.12B. 14C.310D.349.在平面直角坐标系中,已知四个点的坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,2),在A1,A2和B1,B2中各取一个点,与原点O连接构成三角形,则所得三角形是等腰三角形的概率是()A.34B.13C.23D.1210.如图是用画树状图的方法画出的某个试验的所有可能发生的结果,则这个试验不可能是()A.在一个不透明的袋中有3个除颜色外完全相同的小球,其中2个黑球,1个白球,从中随机取出2个球B.小明,小王两个人在一个路口,分别从直行、左转、右转三个方向中随机选一个方向C.从某学习小组的两名男生和一名女生中随机选取两名学生进行竞答D.体育测试中,随机从足球、篮球、排球三个项目中选择两个项目 二 填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.在学习了“用频率估计概率”这一节内容后,某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”,他们将试验中获得的数据记录如下:试验次数 100 300 500 1000 1 6002 000“有2个人同月过 生日”的次数 80 229 392 7791 2511 562“有2个人同月 过生日”的频率0.80.7630.7840.7790.7820.781通过试验,该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 (结果精确到0.01).12.为积极响应“无偿献血,传递温暖”的号召,某高校一寝室的4个同学参与到爱心献血的活动中,他们其中有2个A 型血,1个B 型血,还有1个O 型血,现从该寝室随机抽取2个同学参与第一批次献血,则2个同学都是A 型血的概率为 .13.如图是两个质地均匀的转盘,现转动转盘(1)和转盘(2)各一次(若指针指向分界线,则重转),则两个转盘的指针都指向红的部分的概率是 .转盘(1) 转盘(2)14.如图,有一电路AB 是由图示的开关控制,闭合a ,b ,c ,d ,e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路,则使电路形成通路的概率是 .15.将A ,B ,C 三只灯笼按如图所示的方式悬挂,每次摘取一只(摘B 前需先摘C ),直到摘完,则最后一只摘到B 的概率是 .三解答题(共6小题,共55分)16.(7分)2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”,冬残奥会吉祥物为“雪容融”,如图,现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片,卡片除正面图案不同外,其余均相同,其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1,A2,正面印有雪容融图案的卡片记为B,将三张卡片正面向下洗匀,小明从中随机抽取一张卡片,记下图案后正面向下放回,洗匀后再从中随机抽取一张卡片,请用画树状图或列表的方法,求小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融的概率.17.(8分)某商场在“五一”促销活动中规定,顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会.为了活跃气氛,设计了两种抽奖方案.方案一:转动转盘A一次,指针指向红的部分可领取一份奖品.方案二:转动转盘B两次,两次指针都指向红的部分可领取一份奖品.(两个转盘都被平均分成3份,若指针指向分界线,则重转)(1)转动一次转盘A,获得奖品的概率是;(2)如果你获得一次抽奖机会,你会选择哪种方案?请用列表法或画树状图法说明理由.18.(9分)一个不透明的袋子中有1个红球、1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回,大量重复该试验后,发现摸到绿球的频率稳定在0.25附近,则n的值是;(3)当n=2时,先从袋中任意摸出1个球不放回,再从袋中任意摸出1个球,请用列表或画树状图的方法,求两次都摸到白球的概率.19.(10分)甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选两位同学打第一场比赛.(1)请用画树状图法或列表法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率;(2)请利用若干个除颜色外其他都相同的乒乓球,设计一个摸球试验(至少摸两次),并根据该试验写出一个发生概率与(1)中所求概率相同的事件.20.(10分)如图(1),一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面,每个面上分别以1,2,3,4标号;如图(2),等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈.明明和亮亮想玩跳圈游戏,游戏的规则为:游戏者从圈A起跳,每投掷一次骰子,骰子着地的一面点数是几,就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2,就逆时针连续跳2个边长,落到圈C;若第二次掷得点数为4,就从圈C继续逆时针连续跳4个边长,落到圈A.(1)明明随机掷一次骰子,她跳跃后落到圈A的概率为;(2)明明和亮亮一起玩跳圈游戏:明明随机投掷一次骰子,亮亮随机投掷两次骰子,以最终落到圈A为胜者.这个游戏公平吗?请说明理由.图(1)图(2)21.(11分)为了解学生对食品安全知识的了解情况,学校随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果按照“A:非常了解,B:了解,C:了解较少,D:不了解”四类分别进行统计,并绘制了下列两幅统计图(不完整).请根据图中信息,解答下列问题:(1)此次共调查了名学生;扇形统计图中D所在扇形的圆心角为;(2)将上面的条形统计图补充完整;(3)若该校共有800名学生,请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数;(4)现有“非常了解”的男生2名,女生2名,从这4名学生中随机抽取2名学生进行座谈,刚好抽到同性别学生的概率是多少?概率的进一步认识1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B AC CD C B A D B11.0.78 12.1613.3814.3515.231.B抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,可能有5次正面向上.故选B.2.A画树状图如图:由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两人恰好选择同一社区的结果有3种,所以两人恰好选择同一社区的概率=39=13.故选A . 3.C 画树状图如图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中恰好抽到马鸣和杨豪的结果有2种,则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是212=16.故选C .4.C ∵小明共摸了200次球,其中有50次摸到黑球,∴有150次摸到白球,∴白球与黑球的个数之比约为3∶1.∵黑球有5个,∴白球约有3×5=15(个).故选C.5.D 列表如下:男1 男2 男3 女1 女2男1(男1,男2) (男1,男3) (男1,女1) (男1,女2)男2 (男2,男1)(男2,男3) (男2,女1) (男2,女2) 男3 (男3,男1) (男3,男2)(男3,女1) (男3,女2) 女1 (女1,男1) (女1,男2) (女1,男3)(女1,女2) 女2 (女2,男1) (女2,男2) (女2,男3) (女2,女1)由表可知,共有20种等可能的结果,其中选出一男一女的结果有12种,则选出的恰为一男一女的概率是1220=35.故选D .6.C 画树状图如图:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中使42-4ac<0,即ac>4的结果有8种,∴关于x 的一元二次方程ax 2+4x+c=0没有实数根的概率为816=12.故选C . 7.B 画树状图如图:由树状图可知,共有20种等可能的结果,两次摸到的球颜色相同的结果有8种,∴两次摸出的球颜色相同的概率为820=25.故选B . 8.A 画树状图如图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中能与4组成“A 数”的结果有6种,所以能与4组成“A 数”的概率=612=12.故选A . 9.D 根据题意,列表如下:B 1 B 2 A 1 (A 1,B 1) (A 1,B 2) A 2(A 2,B 1)(A 2,B 2)由上表可知,所有等可能的情况共4种,其中所得三角形是等腰三角形的情况有2种,分别为(A 1,B 1),(A 2,B 2),则所求概率P=24=12.故选D.10.B 在一个不透明的袋中有3个除颜色外完全相同的小球,其中2个黑球,1个白球,从中随机取出2个球,设A ,B 表示黑球,C 表示白球,则可画出题中的树状图;从某学习小组的两名男生和一名女生中随机选取两名学生进行竞答,设A ,B 表示男生,C 表示女生,则可画出题中的树状图;体育测试中,随机从足球、篮球、排球三个项目中选择两个项目,设A 表示足球,B 表示篮球,C 表示排球,则可画出题中的树状图;而小明,小王两个人在一个路口,分别从直行、左转、右转三个方向中随机选一个方向,设A 表示直行,B 表示左行,C 表示右行,树状图为:故选B . 11.0.7812.16 【解析】列表如下:A AB O A (A,A) (B,A) (O,A) A (A,A) (B,A) (O,A) B (A,B) (A,B) (O,B) O(A,O) (A,O) (B,O)由表可知共有12种等可能的结果,其中2个同学都是A 型血的结果有2种,∴P (2个同学都是A 型血)=212=16.13.38 【解析】将转盘(1)中红的部分等分成3份,画树状图如下:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中两个转盘的指针都指向红的部分的结果有6种,所以P (两个转盘的指针都指向红的部分)=616=38.【排雷避坑】利用等可能事件的概率公式计算事件的概率时,需要建立在所有的结果都是等可能的基础上,当转盘被分割成面积不等的扇形时,需要转化为面积相等的扇形. 14.35【解析】根据题意,列表如下:a b c d e a (a ,b ) (a ,c ) (a ,d ) (a ,e ) b (b ,a ) (b ,c ) (b ,d ) (b ,e ) c (c ,a ) (c ,b ) (c ,d ) (c ,e ) d (d ,a ) (d ,b ) (d ,c ) (d ,e ) e(e ,a )(e ,b )(e ,c )(e ,d )由上表可知,一共有20种等可能的情况,其中使电路形成通路的情况有12种,所以P (使电路形成通路)=1220=35.15.23 【解析】画树状图如图:由树状图可知,共有3种等可能的结果,最后一只摘到B 的结果有2种,所以P (最后一只摘到B )=23. 16.【参考答案】画树状图如图:(4分)由树状图可知,共有9种等可能的结果,小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融的结果有4种,∴P (小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融)=49.(7分) 17.【参考答案】(1)13 (3分) (2)选择方案二.(4分)理由:画树状图如下.由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两次指针都指向红的部分的结果有4种, 所以P (转动转盘B 两次,领取一份奖品)=49. (6分)由(1)知转动转盘A 一次,领取一份奖品的概率是13, 因为13<49,所以选择方案二. (8分) 18.【解题思路】(1)当n=1时,结合已知条件进行判断即可.(2)先利用摸到绿球的频率估计摸到绿球的概率,再根据概率公式列方程求解即可.(3)先利用列表或画树状图法求得所有等可能的结果和两次摸出的球都是白球的结果,然后根据概率公式计算即可.【参考答案】(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性相同. (2分) (2)2 (4分) 解法提示:利用频率估计概率可得,摸到绿球的概率为0.25, 则11+1+n =0.25,解得n=2.经检验,n=2是原方程的根. (3)画树状图如图所示:(6分)由树状图可知,共有12种等可能的情况,其中两次摸出的球都是白球的情况有2 种, 所以P (两次都摸到白球)=212=16.(9分)19.【参考答案】(1)根据题意,画树状图如下:(3分)由树状图,可知共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种, 所以P (恰好选中甲、乙两位同学)=212=16.(5分)(2)答案不唯一.如:在一个不透明的袋子中,放入四个除颜色外其他都相同的乒乓球,它们的颜色分别为白、黄、粉、橙,从袋中随机摸出一个球记下颜色,不放回,再从袋中随机摸出一个球,记下颜色. 事件:两次摸出的球一个是白球,一个是粉球. (10分) 20.【参考答案】(1)14(3分)(2)这个游戏不公平. (4分)理由:画树状图如图,共有16种等可能的结果,其中亮亮随机投掷两次骰子,最终落到圈A 的结果数为5, 所以P (亮亮随机投掷两次骰子,最终落回到圈A )=516. (8分)因为14<516,所以这个游戏不公平.(10分) 21.【参考答案】(1)120 54°(2分)解法提示:(25+23)÷40%=120(名),360°×10+8120=54°.(2)D 所占的百分比为(10+8)÷120×100%=15%, A 中的人数为120×(1-40%-20%-15%)=30(名),其中男生有30-16=14(名), C 中的人数为120×20%=24(名),其中女生有24-12=12(名). 补全条形统计图如图所示:(5分)(3)800×(1-40%-20%-15%)=200(名),答:估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数为200. (7分)(4)画树状图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,抽到同性别学生的结果有4种, 所以P (刚好抽到同性别学生)=412=13.(11分)。
[从掷硬币的概率说开去] 掷硬币概率
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[从掷硬币的概率说开去] 掷硬币概率学过《概率论》的人都知道掷硬币的概率计算问题，掷一枚硬币，计算正面或反面出现的概率。
这是概率计算的经典例子。
我们受到的教育是拿一枚硬币掷一次，正面向上的概率是0.5，重复做第二次实验正面出现的概率还是0.5，因为我们两次实验是独立的，所以有以上的结果。
那我们考虑如下的问题，假设每次掷硬币都是独立的，我们连续掷20次，都是正面向上，那么第21次正面向上的概率会是多大呢？不同的人可能有不同的答案。
不管怎样，答案只会有以下三种情况：第一种情况：因为每次投掷都是独立的，所以不管前20次怎样都不会影响第21次的概率，所以第21次正面向上的概率仍是0.5。
这可能是刚学完《概率论》的学生最容易给出的答案。
第二种情况：有人会想，连续投掷20次都是正面向上的概率已经很小了，那连续21次正面向上的概率会更小，所以第21次不可能再是正面了，所以答案是第21次出现正面向上的概率很小。
第三种情况：聪明一点的人会发现题目没有对硬币是否均匀等背景描述，虽然每次投掷都是独立的，但连续20次都是正面向上，这个历史数据不能不考虑。
我们用假设检验的思想，如果每次出现正面向上的概率都是0.5，那么连续20次都是正面向上的概率是9.53674×10-7，但实际上这个小概率事件发生了，那说明单独掷一次正面向上的概率不是0.5，肯定要大于0.5，甚至可能会接近于1，也就是说硬币可能的不均匀质地导致连续20次都是正面向上，所以第21次投掷为正面向上的概率很大，甚至接近于1。
回过头来看看前两种答案，显然都是错误的。
我们仔细分析他们的思维过程会发现他们都没有尊重数据，而是一味的去按照过去脑子里的固有模式去思考。
我们受的教育就是这样。
所以很多人想当然地去得出上面两种答案。
在此问题中，实际上，隐藏在数据背后的条件已经改变，在这里隐含的条件就是“硬币不是均匀的”，这个条件已经通过统计数据的形式展现给你，但是你没有好好的分析，所以会得出错误的结论。
概率的应用问题
概率的应用问题概率是数学中的一个重要概念，它用于描述事件发生的可能性。
在现实生活中，我们经常会遇到一些涉及概率的应用问题。
本文将通过几个具体的例子，探讨概率在实际问题中的应用。
例子一：抛硬币我们先来考虑一个简单的问题：抛一枚硬币，求硬币正面朝上的概率。
假设硬币是均匀的，并且没有任何特殊因素影响到结果。
根据概率的定义，硬币正面朝上和反面朝上的可能性应该是相等的，即每个面出现的概率都是1/2。
因此，硬币正面朝上的概率为1/2。
这个简单的例子展示了概率在模拟随机事件中的应用。
通过设定合适的条件和假设，我们可以使用概率理论来计算事件发生的可能性。
例子二：生日悖论下面我们考虑一个更有趣的问题：一个房间里有多少人时，至少两人生日相同的概率超过一半？假设一年有365天，忽略闰年不同。
我们可以使用概率来解决这个问题。
假设房间里有n个人，我们可以用每个人的生日来表示这个事件。
那么没有人生日相同的概率为P(n) = 365/365 * 364/365 * ... * (365-n+1)/365。
那么至少两人生日相同的概率就是1 - P(n)。
我们可以通过计算这个概率来得到不同人数下的结果。
例如，当n=23时，计算得到至少两人生日相同的概率超过一半。
这个现象被称为生日悖论，它展示了概率在实际问题中的一种应用，帮助我们理解随机事件的可能性。
例子三：赌博游戏再来考虑一个和赌博游戏相关的概率应用问题。
假设有一个简单的赌博游戏，你可以抛一枚硬币，如果正面朝上，你赢得10元，如果反面朝上，你输掉10元。
假设你连续进行了100轮游戏，请问你预期能赢多少钱？我们可以用概率来计算这个问题。
每一轮游戏，赢得10元和输掉10元的可能性都是1/2。
因此，在100轮游戏中，预期能赢的钱数为100 * (1/2 * 10 - 1/2 * 10) = 0元。
这个例子展示了概率在评估赌博游戏中风险和可能收益的应用。
通过计算预期赢得的钱数，我们可以更好地理解赌博游戏的盈利能力。
抛硬币直到连续若干次正面的概率
抛硬币直到连续若⼲次正⾯的概率问题1. 假设有⼀个硬币，抛出字（背⾯）和花（正⾯）的概率都是0.5，⽽且每次抛硬币与前次结果⽆关。
现在做⼀个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为⽌，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，⼀旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不⽤继续抛。
上⾯这个题⽬我第⼀次见到是在pongba的TopLanguage的⼀次上，提出问题的⼈为Shuo Chen，当时我给出了⼀个解法，⾃认为已经相当简单了，先来考虑⼀下抛硬币的过程：⾸先先抛⼀枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛⼀枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么⼜需要重头开始。
根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系 T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)解⽅程可得到 T = 6. 由于上⾯这个⽅法只能得到期望，⽽⽆法得到⽅差以及具体某个事件的概率，后来我⼜仔细分析了⼀下，推出了为（推导的过程暂时略过，后⾯你会看到⼀个更⼀般、更简单的推导）于是可以算出⽅差 V = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 22。
将G(z)根据Rational Expansion Theorem [CMath 7.3]展开，可以得到需要抛n次硬币的概率为其中Fn是Fibonacci数列的第n项。
到这⾥，我觉得这个问题似乎已经完全解决了，直到昨天看到Matrix67的。
在此帖中Matrix67⼤⽜⽤他那神⼀般的数学直觉⼀下将需要连续抛出n个字的⼀般情形给解决了，⽽且得出的结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为⾸次出现连续的n个字的期望投掷数。
这也给了我⼀些启发，我试着将上⾯的过程进⾏推⼴，居然得到⼀个简单得出⼈意料的解法（甚⾄⽐上⾯n=2的推导过程还简单）。
这个解法的关键在于下⾯这个递推关系 Tn = Tn-1 + 1 + 0.5 * Tn也即是有 Tn = 2 * Tn-1 + 2。
概率论常考题精讲
概率论常考题精讲概率论作为数学的一门重要分支，应用广泛，不仅在学术研究中有着重要地位，而且在实际生活和工作中也有着广泛的应用。
在高等教育阶段，概率论是必修课程之一，常常作为考试的重要内容。
本文将为大家精讲几道常见的概率论考题，希望能够帮助大家更好地掌握和应用概率论知识。
1. 硬币抛掷问题硬币抛掷问题是概率论中的经典题目之一。
假设有一枚均匀的硬币，抛掷10次，问出现正面朝上的次数是7次的概率是多少？解析：对于一次抛掷硬币的结果，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。
由于每次抛掷是独立的，所以事件的概率可以相乘。
根据二项分布的公式，我们可以计算出概率：P(出现7次正面朝上) = C(10, 7) * (0.5)^7 * (0.5)^3其中，C(10, 7)表示从10次抛掷中选取7次出现正面朝上的组合数，计算得到C(10, 7) = 120。
代入计算得：P(出现7次正面朝上) = 120 * (0.5)^7 * (0.5)^3 = 0.117所以，出现7次正面朝上的概率是0.117。
2. 生日悖论生日悖论是概率论中的另一个经典问题。
假设在一个班级里有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？解析：假设一年有365天，忽略闰年的影响，并且每个人的生日独立且均匀分布在这365天中。
我们可以利用概率的补集来计算至少有两个学生生日相同的概率。
首先，计算所有学生生日都不相同的概率。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
而第二个学生的生日不能与第一个学生相同，所以概率为364/365，以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生相同，概率为336/365。
所有学生生日都不相同的概率为：P(所有学生生日都不相同) = (365/365) * (364/365) * ... * (336/365) ≈ 0.293所以至少有两个学生生日相同的概率为：P(至少有两个学生生日相同) = 1 - P(所有学生生日都不相同) ≈ 1 - 0.293 = 0.707所以，至少有两个学生生日相同的概率约为0.707。
简单概率问题的解答
简单概率问题的解答概率是数学中的一个重要概念，用来描述事件发生的可能性。
在日常生活中，我们经常会遇到一些简单的概率问题，比如抛硬币、掷骰子等。
本文将就一些常见的简单概率问题进行解答，帮助读者更好地理解概率的概念和运算方法。
1. 抛硬币问题抛硬币是一个经典的概率问题。
假设我们有一枚公正的硬币，问抛一次硬币出现正面的概率是多少？答案是50%。
因为硬币只有两面，正面和反面，在公正的情况下，每一面出现的可能性都是相等的，所以正面出现的概率为1/2，即50%。
2. 掷骰子问题掷骰子是另一个常见的概率问题。
假设我们有一个六面骰子，问掷一次骰子出现1的概率是多少？答案是1/6，即约16.67%。
因为骰子有六个面，每个面出现的可能性都是相等的，所以出现1的概率为1/6。
3. 球的颜色问题假设有一个装有红球和蓝球的袋子，其中红球有5个，蓝球有3个。
问从袋子中随机取出一个球，出现红球的概率是多少？答案是5/8，即62.5%。
因为袋子中一共有8个球，其中红球占5个，蓝球占3个，所以出现红球的概率为5/8。
4. 扑克牌问题扑克牌是一个复杂一些的概率问题。
假设我们从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心牌的概率是多少？答案是1/4，即25%。
因为一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张，所以抽到红心牌的概率为13/52，即1/4。
5. 两个骰子之和问题假设我们同时掷两个骰子，问两个骰子之和为7的概率是多少？答案是6/36，即1/6，约16.67%。
因为两个骰子的点数分别有1、2、3、4、5、6，一共有36种可能的结果，其中两个骰子之和为7的结果有6种，所以概率为6/36，即1/6。
通过以上的解答，我们可以发现，概率问题的解答方法基本上都是通过计算某个事件发生的可能性与总体可能性的比值来得出。
在实际运算中，我们可以将问题抽象为分子与分母的比较，从而得到最终的概率结果。
当然，以上只是一些简单的概率问题，实际应用中还存在更加复杂的概率问题，需要运用更多的概率理论和计算方法来解答。
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抛一个硬币出现正面的概率为0.5,出现反面的概率为0.4,还有0.1的概率会立起来,抛2 按照大众的普遍认知,抛硬币正反面的概率为正面或反面各百分之五十，即一半对一半。
在数学上，如果抛出一枚硬币，没有采取特殊的抛硬币手法，那么在在落地时要么正面朝上,要么反面朝上,不可能出现第三种可能,除非硬币刚好在落下时卡入缝隙而立起来，否则抛硬币的正反面时没有规律可循的。
有一种说法是,抛硬币正反面的概率并不是一样的,而是51%比49%。
这一理论由美国斯坦福大学教授伯尔斯提岀,他认为拋硬币得到的正反面概率需要考虑物理学因素,硬币在落地时会岀现偏差，一般在硬币抛出时朝上的那一面,落地朝上的概率会更大。
经过大量志愿者的重复实验,伯尔斯团队认为,拋硬币时朝上的一面，在落地时仍然朝上的几率为51%。
这一结论给普通人的启示也许是,依靠抛硬币做决定,也许不再是天意,而是人为。