定积分的概念 说课稿 教案 教学设计

定积分的概念

【教学目标】

1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．

2．理解定积分的几何意义．

3．掌握定积分的基本性质．

【教法指导】

本节学习重点：掌握定积分的基本性质．

本节学习难点：理解定积分的几何意义．

【教学过程】

☆复习引入☆

任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？

解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.

☆探索新知☆

探究点一定积分的概念

思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．

答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?

(2)定积分就是和的极限lim

n→∞∑n

i＝1

(ξi)·Δx，而ʃb a f(x)d x只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b 的定积分”．

(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．

例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x3d x的值．

解令f(x)＝x3.

(1)分割

在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －

i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则

ʃ10x 3

d x ≈S n ＝∑n

i ＝1f (i n

)·Δx ＝∑n i ＝1 (i n )3·1n

＝1

n 4∑n i ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n )2. (3)取极限

ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14

. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．

(2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．

跟踪训练1 用定义计算ʃ2

1(1＋x )d x .

2＋i －1n ，从而得∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1(2＋i －1n )·1n ＝∑n i ＝1⎝ ⎛⎭

⎪⎫2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n ＋1n

2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n n －12＝2＋n －12n

. (3)取极限：S ＝lim n →∞

⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52

. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52

. 探究点二 定积分的几何意义

思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃb a f (x )d x 表示什么？

答 当函数f (x )≥0时，定积分ʃb

a f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝

b (a

思考2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃb a f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？

答 如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)． 由于b －a n >0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n

≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃb a f (x )d x ＝－S .

当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃb a f (x )d x 表示介于x 轴、

函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃb

a f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3. 例2 利用几何意义计算下列定积分：

(1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .

(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：

ʃ3

－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方

的面积减去在x 轴下方的面积，

∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23

＝16. 反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．

跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：

(1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x .

解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0.

(2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.