第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题

理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析

第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v

曲面的切平面和法线方程

曲面的切平面与法线方程 设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且 ，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 . 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为

. 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程 令狐采学 设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且 ，过点任意引一条位于曲面Σ 上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点； 不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为 。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为

. 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为 . 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和

三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为 当时，得∑在点X0处的法向量为 则∑在点X0处的法向量为 . 四、典型例题 例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程 设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.?.'一'.∣处可微， W t) = 且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其 ?=Λ(∕) y=y?) 方程为A邛,且对应于点不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 ? g(x吨)+卩(血吨)+叭(?F(?) 及朮LF 。该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个 平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。记为G。 基本方法： 1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数 不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D 法线方程为 ? _ y~y ti_ X(Jf O)=X^) = 2、设点''■' ' l?' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该 曲面在点Al?, "-" - -■处的切平面方程为 -f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MD

X = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V) 给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处 可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ ?与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？ 注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线. Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o); Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V). 它们在点X o处的切向量分别为 ξ=C?冲"?(?, ?(?,?)) E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%)) 过X o的法线方程为 注：方法2实际上是方法 1 中取..'l--λ.'<-的情形 3、若曲面∑由参数方程

平面机构的运动分析答案

1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。 4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。 5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有 6 个速度瞬心，其中 3 个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μ ν 表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为： (m/s)/mm 。 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为 (m/s2)/mm。 9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij P直接标注在图上)。 P 24）

12 三、 在图a 所示的四杆机构中， l AB =60mm,l CD =90mm ，l AD =l BC =120mm ，ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： 1）当φ＝165°时，点C 的速度v C ； 2）当φ＝165°时，构件3的BC 线上速度最小的一点E 的位置及速度的大小； 3）当v C ＝0时，φ角之值（有两个解）； 解：1）以选定的比例尺μl 作机构运动简图（图b ）。 2）求v C ，定出瞬心P 13的位置（图b ） a ) （P 13） P P 23→∞

3曲面的切平面与法线

曲面的切平面与法线

设有光滑曲面0 ),,(:=Σz y x F 通过其上定点),,(000z y x M 任意引一条光滑曲线],[),(),(),(:βα∈===Γt t z z t y y t x x )(),(),(000t z t y t x ′′′对应点M , 0t t =则Γ在M 的切向量为：)} (),(),({000t z t y t x T ′′′= 切线方程 ()()() 00 0000t z z z t y y y t x x x ′?= ′?=′?Γ T M 设且不全为0，

证明:由于∑上过点M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 此平面称为∑在该点的切平面.下面证明： )(),(),(:t z z t y y t x x ===Γ在∑上.故 ))(),(),((=t z t y t x F 两边在0t t =处求导,得 ()()()()()()0 ,,,,,,000000000000=′+′+′t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x 令： )},(),(),({000t z t y t x T ′′′= ()()()} ,,,,,,,,{000000000z y x F z y x F z y x F n z y x = 有：n T ⊥

曲面∑在点M 的法向量()()()} ,,,,,,,,{000000000z y x F z y x F z y x F n z y x = ()()()()()()0 ,,,,,,000000000000=?+?+?z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 过M 点且垂直于切平面的称为曲面∑在点M 的法线.法线方程： ()()() 0000 00000000,,,,,,z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x ?= ?=?切平面方程：

第二章第三曲面的切平面和法线计算例题

第二章 曲面的表示与曲面论 第三节 曲面的 切平面和法线、 光滑曲面 1、 平面曲线的切线与法线 设平面曲线的方程为 0),(=y x F , ),(0 y x P 是其上一定点。在该点的切线斜率为 ) ,() ,()(00000y x F y x F x y y x ''- ='. 从而曲线过点),(000y x P 的 切线方程为 ) () ,() ,(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-, 即0 (,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为 (,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ''---=，(2)

例1、 求笛卡尔叶形线09)(23 3 =-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线. 解 xy y x y x F 9)(2),(3 3 -+=, y x F x 962 -=',x y F y 962 -='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y x F F , 得到 切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示. 图(1)

2、 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0 , )(),(),(0 t z z t y y t x x ===, 动点 L z z y y x x P z y x P ∈?+?+?+=),,(),,(0 . 动割线P P 0 的方程为 t z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-0 00, 当0→?t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0 的极限位 置l : 0 ()()() x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0 P 的切线. 其方向向量为 0 {(),(),()}x t y t z t τ'''=r 。

清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析

6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB

刚体的平面运动动力学课后答案

刚体的平面运动 刚体的平面运动 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。 一、 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。 平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、 刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。 （1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =? （2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==?ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f ===?ω α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示 速度： r v ?=ω （7－1） 加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2） 其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为： θ ω =， （7－3） θω α == （7－4） 2、 刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(), (321t f t f y t f x A A ===? （7－5） 其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 图7－1 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。

第八章刚体的平面运动习题解答资料

习 题 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 图8-28 t t r y t r x O O C O C ω?ωω===sin cos 8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。 图8-29 3/32gh v A = 3/22 gh v A = 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =? 8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。 图8-30 瞬心法 θ θθθ ωcos sin cot sin 2R v R v AI v A = = = 基点法 θsin v v CA = θθ θθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA = == 8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的 齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。 图8-31 AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 22 1-= ω OB B O v v v += 2 2 12v v r v v O += +=ω 8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。 图8-32

刚体的平面运动1答案

刚体的平面运动作业1参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿 轮的角速度。 答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。

3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。 答案： 逆时针 顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。 答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程 设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环） Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血） # o ，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线 r。设其方程为 X ■戎\ * y = XO mW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。由于曲线『在工 上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如 。该方程表示 了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处 的一个法向量。记为厂： 基本方法: 1、设点?-1'■?"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏 导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为 忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ ￡（兀-x,）-o 法线方程为 尺％，厂￡3■厂￡（兀） 2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。，y。）处存在连续偏导数, 则该曲面在点上处的切平面方程为

过X的法线方程为 -工外片)-工知片)】 注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形. 3、若曲面刀由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为 三、答疑解惑 问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量? 注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线 『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)； 『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v). 它们在点X。处的切向量分别为 \=a：糾冲,y：(埠咻￡(知耳)) E ■(兀(如岭竄和4心知比))

第3章 平面机构的运动分析答案

一、填空题： 1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有6个速度瞬心，其中3个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μν表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为：(m/s)/mm 。 ？ 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为(m/s2)/mm。9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 P直接标注在图上)。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij

> " 12 三、 在图a 所示的四杆机构中，l AB =60mm,l CD =90mm ， l AD =l BC =120mm ， ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： : a ) 24） （P 13） P P 23→∞

刚体平面运动习题

刚体平面运动习题 第八章刚体平面运动的练习 1.真或假(勾选正确和交叉错误) 8-1。刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。()8-2。平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。()8-3。平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。()()()8-6。瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。()8-7。刚体的平移也是一种平面运动。()2。填空(在横线上写出正确答案) 8-8。在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。8-9。平面图上任意两点的速度在上投影中相等。 8-10。瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。 3.简短回答问题 8-11。确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d) 8-12。如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c) 8-13。下图中O1A和AC的速度分布是否正确？ 8-14。当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度 加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？

蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13 图8-14 8-15。为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题 8-16。椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。 8-17。半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。 yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO 图8-17 8-18。曲柄和连杆机构，称为OA = 40cm厘米，连杆AB = 1m米，曲柄OA绕O轴以N？180转/分钟均匀旋转，如图所示。当曲柄臂与水平线成45度角时，试着找出连杆臂的角速度和中点的速度。 8-19。众所周知，曲柄OA=r，连杆BC=2r，曲柄OA处于均匀角速度ω？4顺时针旋转/秒，如图所示。试着找出图中瞬时点B的速度和连杆BC的角速度。 AMnOBArOB302rCω问题8-18 图8-19 8-20。如图所示，筛选机通过曲柄OA驱动筛BC摆动。众所周知，

8.5.2 曲面的切平面与法线

8.5.2曲面的切平面与法线 过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线 有无数多条，每一条曲线点M处都有一条 切线，在下面的讨论中将会发现，在一定 的条件下，这些切线位于同一平面，我们 称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。 设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0， y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在 点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不 全为零，另设曲线Γ是过点M且在曲面Σ 上的任意一条曲线，它的方程为 t=t0是点M0所对应的参数 ， 不全为零。 由于曲线Γ在曲面Σ上，于是曲线Γ上 任意一 点的坐标满足曲面Σ的 方程，即有恒等式 图8-22 又由于函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，函 数 在t=t0处可导，所以复合函 数在t=t0 处可导，且全导数为

恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有 上式说明向量 与向量 垂直。向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处 的切线与向量垂直，由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲 面Σ上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在 以向量为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面Σ在点M处的切平面方程为 过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为 如果曲面Σ的方程为z=f(x，y),则只需设 那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且 , 此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为

法线方程为 例1：求曲面在点M (3，1，1)处的切平面方程和法线方程。 解： 例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。 解： 例3：在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平 面平行，并求该点的切平面及法线方程。 解：

理论力学-刚体的平面运动

第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 （ ） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 （ ） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。 （ ） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 （ ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ） 二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动， 已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。 ①u B sin θ； ②u B cos θ； ③u B /sin θ； ④u B /cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定 不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度ω0逆时针转动，则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相 对角速度ω1r 应为 。 ①ω1r =（r 2/ r 1）ω0（逆钟向）； ②ω1r =（r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（逆钟向）； ④ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（顺钟向）。

3．一正方形平面图形在其自身平面内运动， 若其顶点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图 （b）所示，则图（a）的运动是的， 图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以ω1、ε1与ω2、ε2分别表示O1A杆与O2B杆的角速 度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时， 有。 ①ω1=ω2，ε1=ε2； ②ω1≠ω2，ε1=ε2； ③ω1=ω2，ε1≠ε2； ④ω1≠ω2，ε1≠ε2。 三、填空题 1．指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只 滚不滑）作；杆BC作； 杆CD作；杆DE作。 并在图上画出作平面运动的构件、在图示瞬时的速度瞬 心。 2．试画出图示三种情况下，杆BC中点M的 速度方向。

第八章 刚体的平面运动习题解

第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 2202 1 0C +?=α 02=C 22 1t α?=

2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：

曲面的切平面与法线方程讲课讲稿

曲面的切平面与法线 方程

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点 处的一个法向量。记为。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 . 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为

. 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为

理论力学 刚体平面运动部分参考答案

一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ， AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。 一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分） 解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?= =R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：22 2 3 2 2// ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos

二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加 速度αOA =0，θ=60°。图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm /s 30310=?=?===OA v v v oA B A BA ω 选A n B A B A a a a a ++= τ A B 即：n B A B A B n B a a a a a ++=+ττA B 点作加速度矢量图如图。由题可知： 222cm /s 90310=?=?=ωOA a n A 222cm/s 5.3724 30===AB v a BA n BA 22 2cm/s 5.372430===BC v a B n B 将 B 点作加速度矢量式向y 轴投影得： τBA n BA n A n B a a a a +-=- 60cos 30sin 得 ： 2cm /s 75.63 -=τBA a 因此得杆AB 的角加速度：

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 ) ()() ()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=-- 也可以写为 010********)()() ()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=--- 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 ) () ()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点 )(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 ))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 如果空间的曲线C 由方程为 )(),(x z z x y y == 且)(),(0' 0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 ) () ()()(100000x z x z z x y x y y x x '-= '-=- 法平面方程为