高三数学一模考试试题 文
湖南省岳阳市2017届高三数学一模考试试题 文
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}{}22,0,2|2310A B x x x =-=--≤,则A
B =
A. {}0
B. {}2
C. {}0,2
D.{}2,0-
2.已知复数z 满足2z i i ?=-(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点所在的象限是 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是
A. 3x y =
B. 2y x =
C. ln y x =
D.y x x = 4.已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,
则“m β⊥”是“αβ⊥”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.一个几何体的三视图如图1,则该几何体的体积为
A. π
B. 2π
C. 3π
D.6π
6.一程序框图如图2所示,如果输出的函数值在区间[]1,2内,那
么输入实数x 的取值范围是
A. (),0-∞
B.[]1,0-
C. [)1,+∞
D.[]0,1
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()111,2n n n a a S +==,则2017a =
A. 2016
B. 2017
C. 4032
D.4034
8.函数()f x x α
=满足()24f =,那么函数()()log 1a g x x =+的图象大致是
9.已知直线():10,0x y l a b a b +=>>将圆22:2440C x y x y +--+=平分,则直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为
A. 8
B. 4
C. 2
D.1
10.已知O 为坐标原点,点A 的坐标为()3,1-,点(),P x y 的坐标满足不等式组21y x y x y a ≤??+≥??-≤?
,若
z OP OA =?的最大值为7,则实数a 的值为
A. B. C. D.
11.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ,且两曲线的一个交点为P ,若4PF =,则双曲线的离心率为
A. 21+
B. ()221+
C. 2
D.22
12.设函数的定义域为D ,若满足条件:存在[],a b D ?,使()f x 在[],a b 上的值域为,22
a b ??
????,则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()x f x e t =+为“倍缩函数”,则实数t 的取值范围是
A. 1ln 2,2+?
?-∞- ??? B. 1ln 2,2+??-∞- ??? C. 1ln 2,2+??+∞???? D.1ln 2,2+??+∞ ???
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.平面向量a 与b 的夹角为90,()2,0,1a b ==则2a b += .
14. 在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知60,4,43ABC A b S ?===,则a = .
15.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠,本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?你算出顶层有 盏灯.
16.把正整数排列成如图4所示的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数,得到如图5所示的三角形数阵,设ij a 为图5所示三角形数阵中第i 行第j 个数,若2017mn a =,则实数对(),m n 为 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(本题满分12分)已知函数()sin cos .23f x x x ππ????=+
- ? ????? (1)求函数()f x 的最小正周期;
(2)将函数()y f x =的图象向下平移14
个单位,再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍(横坐标不变),得到函数()y g x =的图象,求函数()y g x =在0,
3π??????
上的最大值.
18.(本题满分12分)如图6,在四棱锥P ABCD -中,
底面ABCD 是平行四边形,45,2,ADC AD AC O ∠===为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD 且6,PO M =为BD 的中点.
(1)证明:AD ⊥平面PAC ;
(2)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.
19.(本题满分12分)根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规
定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超
过35微克/立方米,PM2.5的24小时
平均浓度不得超过75微克/立方米.我
市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据
,数据统计如右表:
(1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(2)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图4.
①求图7中a 的值;
②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
20.(本题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的两个焦点为1212,,22F F F F =,点,A B 在椭圆上,1F 在线段AB 上,且2ABF ?的周长等于4 3.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过圆22
:4O x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点,M N ,求PMN ?面积的最大值.
21.(本题满分12分)已知函数()()2
ln ,.2
ax f x x x g x == (1)求函数()f x 在x e =处的切线方程;
(2)若至少存在一个[]01,x e ∈使()()00f x g x <成立,求实数a 的取值范围;
(3)设k Z ∈且()()32f x k x k >--+在1x >时恒成立,求整数k 的最大值.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,
请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.(本题满分10分)选修4-4:参数方程与极坐标系
已知曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=,以极点O 为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为11x at y t
=-+??=+?(t 为参数).
(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程;
(2)直线l 与曲线C 交于,B D 两点,当BD 取到最小值时,求a 的值.
23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数()2.f x x a a =-+
(1)若不等式()6f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤,求实数a 的值;
(2)在(1)的条件下,若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立,求实数m 的取值范围.