杨辉三角形里的秘密
“杨辉三角”中的一些秘密公开课教案教学设计课件案例试卷
均为 n，（2）表中的递推关系类似杨辉
三角，则第
n
行（n≥2）第
2
个数
n2
n 2
2
.
第1行 第2行 第3行 第4行
1
an1 an n(n 2)
2 2 an1 an n
34 3
47 7 4
第5行 5 11 14 11 5
第6行 6 16 25 25 16 6
…… …… ……
(n 1)(n 2)
关系吗？
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行 第4行
1 3 31 1 4 6 41
第5行 第6行
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
… ……C…nr … …
• • 本节课的学习难点是：根据具体横行、斜
行的数字规律，猜想出一般的结论。
五、学习方法
• 本节课采用的是教师引导探究的探究课类型。使用自主探究 与合作交流相结合的探究方式。
• 探究时采用先思考后小组合作互动的方式，重点在于发现规 律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成 建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生 体会再发现再创造的过程，发展学生的创造性思维。
C2 n1
Cn3
当r
3时，C33
C43
C53
C3 n1
Cn4
探究4 （斜看2） ：按照图示的方法写出斜线上的各行数字的和， 仔细观察这些和，你有什么发现？
杨辉三角形知识点总结
杨辉三角形知识点总结杨辉三角形是中国古代数学的一种经典图形，也是组合数学中的重要概念。
它由数字排列而成，具有一些独特的性质和规律。
本文将从几个方面总结杨辉三角形的知识点。
一、杨辉三角形的构造杨辉三角形的构造非常简单。
首先，在三角形的第一行和第一列上填充数字1。
然后，从第三行开始，每个数字等于它上方两个数字之和。
这样继续下去，直到填满整个三角形。
二、杨辉三角形的性质1. 对称性：杨辉三角形是关于中心垂线对称的，即三角形的左右两侧是镜像关系。
2. 数字规律：每行的数字从左到右逐渐增大，且对称地排列。
3. 对角线性质：三角形的每条对角线上的数字之和都是2的幂次方。
三、杨辉三角形的应用1. 组合数学：杨辉三角形中的数字可以表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。
例如，第n行第k个数字表示C(n-1,k-1)。
2. 概率统计：杨辉三角形中的数字可以用于计算二项式分布概率。
例如，第n行第k个数字表示二项式分布中，成功k次的概率。
四、杨辉三角形的数学规律1. 等差性质：每一行的数字之间存在等差关系。
具体来说，第n行的第k个数字等于第n-1行的第k-1个数字加上第k个数字。
2. 幂次规律：杨辉三角形中的数字可以表示为二项式展开的系数。
例如，(a+b)^3展开后的系数就可以在第4行找到。
3. 组合数性质：杨辉三角形中的数字满足组合数的性质，即C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
五、杨辉三角形的应用举例1. 求解多项式的幂次展开系数。
2. 计算组合数，如从n个物品中选取k个的组合数。
3. 计算二项式分布概率。
总结：杨辉三角形是一个具有丰富性质和规律的数学图形，它不仅可以用于解决一些数学问题，还可以应用于组合数学、概率统计等领域。
通过研究杨辉三角形，我们可以深入理解组合数和二项式展开的性质，进一步拓展数学的应用范围。
杨辉三角形是中国古代数学的瑰宝，也是现代数学研究的重要基础。
我国南宋数学家杨辉三角形解释
我国南宋数学家杨辉三角形解释我国南宋数学家杨辉，撰写的《杨辉算法》。
它是现存世界上最早的关于两个三角形面积公式的详细证明。
因为其成果丰富多彩，这本著作也被称为“中国剩余定理的先声”。
《杨辉算法》中第一道题目是解两点间的线段最短问题。
其大意是：在直角坐标系内画两条互相垂直的射线AB， AC，使A、 B、 C 三点成等边三角形。
在a=5时，若AB= 5，求出AP的长。
《杨辉算法》没有就此展开论述，只是将题目中的条件用几何语言写在题目旁边。
读者虽然知道题目中给出的射线AB、 AC都可以将三角形ABC面积分割成两个部分： AB=5， AC=10，但是不知道怎样才能把三角形面积两部分之和，恰好等于15。
在《杨辉算法》中，作者首先假设斜边BD为某种实际意义上的直角三角形面积，即将AB、 AC视为相似图形，设斜边BD为d=AB/2， BC/2，而且设所求的线段为x，由斜边BD两边分别相等得到x=5，显然AP=5，从而把全等三角形转化为等腰三角形，面积等于15，求得三角形ABC的面积为15×10/2=150（平方厘米）。
然后又通过面积法的基本性质得到平行四边形的底和高的比为1： 5，把已知条件作如下变换：当A=5， B=10时，得到图形为矩形，然后通过计算得到面积为5×1×5=25（平方厘米）。
最后通过换底、换高的方法得到三角形面积为150×1×1=25（平方厘米）。
该书主要阐述了一些典型例题的证明过程及注意事项。
例如，图形作梯形，为计算其面积，作变换将梯形变为菱形，按照全等三角形来处理，又如通过构造直角三角形求出等腰三角形的面积，再将等腰三角形转化为两个等边三角形。
正弦、余弦值的计算都利用了勾股定理。
由于证明过程十分严谨，可以说代表了宋代我国解析几何的较高水平。
作者的严谨的治学态度和惊人的才华，为世人所折服，世人认为这本书是对“中国剩余定理”的预告，书中对各种问题的叙述，一般只列出公式，不作证明。
杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
第 1行 1 第 2行 1 1 贾宪 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
杨辉三角中的一些秘密手算高次方根研究高阶等差级数垛积术研究微积分差分方程无穷级数1010152015213535212856705628368412612684362856705628213535211520151010杨辉三角中的每一个数都是二项式系数都可都可以写成组合数2856705628213535211520151010杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和杨辉恒等式10101520152135352128567056283684126126843610101520152135352128567056283684126126843610152128361020355684153570126215612628841213奇偶
奇异、美丽的图案-----超出想象！来自是工艺美术大师的创作吗？
这是数学 的杰作！
斐 波 那 契
1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …
悄悄的我走了， 正如我悄悄的来； 我翻一翻课本， 让我收获点什么 。
再 见
宁波市正始中学 陈碧文
《 开 方 作 法 本 源 图 》 贾 宪
1 1 0 1 左 杨辉三角中的 1C1 C1 1 衺 02 11 2 1 C2 C 2 C 2 每一个数都是二项 乃 10 3 3 1 2 1 3 积 贾宪 3 10C4 1C 3 42C 3 3C 3 式系数，都可都可 6 1 4 数 C45 104 10 4 5 C1 C 4 C C 1 以写成组合数 4 0 1 2 3 4 5 1C5 6 C 5 205 15 5 6 C1 C 5 15 C C 5 右 0 7 21 35 35 3 21 4 1 2 6 1 6 C 6 C 6 C 6 C 67 C 6 C 6 15 C 衺 1 8 28 56 70 56 .. 乃 .......... 28 8 1 0 1 2 r 0 .......... .......... r 隅 Cn 1 C n-1 2C n-1 ...r C n-1 C n-1 ... n2 n- 2 C n 1 1 1 r C n1 1 C n-1 Cn-1 ... C n-1 C1n-r1 ... C n-1 1 n 1 0 0 算C C 1 2C 2 1 . .. C nrC n... ... C nn1 C 1 Cn 1 . .. n Cn n Cn n n 中 0 1 r n n (a b) n Cn a n Cn a n1b... Cn a nr b r ... Cn 1ab n1 Cn b n 藏 者 r 1 杨辉三角中,第n行第r个数为 an ,r Cn 1 皆 廉
_杨辉三角中的一些秘密_教学设计_陈碧文
……
1 2 r n-1 C0 Cn n Cn Cn … Cn … C n n
r n-2 n-1 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Cn0 - 1 Cn1 - 1 Cn2 - 1 … Crn - 1 Cn - 1 … C n - 1 Cn - 1
（2 ）
】 导学案中已经为学生准备了两个杨辉 【 设计意图 三角，一个用数字表示，一个用组合数表示 . 笔者要 求学生从数字表示的杨辉三角中寻找规律，从组合数 表示的杨辉三角中总结规律，并加以证明 . 这体现了 “观察—归纳—猜想—证明”的数学研究理念，并且通 过小组合作的方式，既能降低探究的难度，也能培养 学生的合作意识，提高学生的学习兴趣. 4. 小组展示，分享所得 杨辉三角的性质. 角度 1： （1 ）杨辉三角中每一行数的平方和都是杨 辉三角中的数.
取其中的 xn 项，
2 2 2 （C0 （C1 （Cn ） ］ ·xn， 等式左边 =［ n） + n） + … + n
等式右边 = C2nn xn. 由于等式2 （C1 （Cn 即 （C0 n） + n） + … + n） = C2n .
（2 ）杨辉三角每一行数字错一位叠加就得到 11 的
图1 图2
而二项式系数都可以写成组合数 . 从而我们就可以把 杨辉三角写成以下的形式，其中第 n 行第 r 个数可以
1 写成 an，r = Crn 如图 4 ） . -1 （
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形 就是数阵. 今天这节课，我们就一起来研究一下数阵 . 当然， 对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体. 所以， 我们从一个特殊的三角数阵开始. 大家认识这个数阵 （ 如图 3 ） 吗？在古代，我们 称它为“开方作法本源图” . 而在现代，它还有另外一 个名字— ——杨辉三角.
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。
随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。
后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。
假设y=11n当n=0时： y=1；当n=1时： y=11；当n=2时：y=121；当n=3时：y=1331；当n=4时：y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：当n=5时： 1 4 6 4 1⨯ 1 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1⨯ 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。
如下图：1 (110) 1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116) ……其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。
“杨辉三角”中的一些秘密
1 n 2 n r n n1 n
第n行 C C C C C
0 n
C 2
n n
n
(1)第n行数字的和为2 ． 性质1 (2) 前n行(含第0行)所有数的和为2
2、如图，它满足：（1）第 n 行首尾两数 均为 n，（2）表中的递推关系类似杨辉 2 三角， 则第 n 行 （n≥2） 2 个数 第
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行
……
n n2 . 2
1
an1 an n(n 2)
2
2
3 4 7 4
an1 an n
3 4 11 5 16 6
7
5 11 14
…… ……
第6行 6 16 25 25
(n 1)(n 2) an 1 a2 2 3 n 1 2
r Cn 3、 （2006 年湖北卷）将杨辉三角中的每一个数
1 都换成分数 n 1C r ，就得到一个如右图所示的 n 分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼 茨三角形可以看出 1 1 1 r x r+1 n 1Cn n 1Cn nCnr1 ，其中 x=____.
杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏在游艺场可以看到如图的弹子游戏小球向容器内跌落碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落如是一直下跌最终小球落入底层根据具体区域获得奖品
“杨辉三角”中的一些秘 密
杨辉
二项式（a+b）n展开 式的二项式系数，当 n依次取1，2， 3．．．时，列出的 一张表，叫做二项式 系数表，因它形如三 角形，南宋的杨辉对 其有过深入研究，所 以我们又称它为杨辉 三角．
杨辉三角形的规律总结
杨辉三角形的规律总结杨辉三角是一种数学图形，由中国古代数学家杨辉在13世纪发明。
它是一种规律的图形，其中每个数字都是由它上方两个数字相加得到的。
杨辉三角的规律非常有趣，可以用于许多数学问题的解决。
本文将对杨辉三角的规律进行总结和分析。
一、杨辉三角的构造杨辉三角的构造非常简单。
首先，我们先在第一行写上数字1，然后在第二行写上两个数字1，这两个数字分别位于第二行的两端。
接下来，我们依次在下一行的两端写上数字1，然后在中间的位置填写上方两个数字之和。
如此反复，直到我们得到所需的行数为止。
下面是一个6行的杨辉三角的示例：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1二、杨辉三角的规律1. 每一行的数字之和都是2的n次方，其中n为行数。
例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字和为2的3次方，即8；第五行的数字和为2的4次方，即16。
2. 每一行的中间数字都是组合数C(n,k)，其中n为行数，k为该数字所在的位置。
例如，在上面的杨辉三角中，第四行的中间数字3是C(4,2)；第五行的中间数字10是C(5,2)。
3. 每一行的数字都是对称的。
例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字是1 3 3 1，可以看出它是对称的。
4. 每一行的数字都是上一行的相邻两个数字之和。
例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字是1 3 3 1，可以看出每个数字都是它上方两个数字之和。
5. 杨辉三角可以用于二项式定理的展开。
二项式定理是指对于任意实数a和b以及正整数n，有(a+b)的n 次方等于a的n次方加上n乘以a的(n-1)次方乘以b再加上n(n-1)除以2乘以a的(n-2)次方乘以b的平方再加上...直到最后一项nb 的n次方。
这个定理可以用杨辉三角来证明。
例如，我们想要展开(a+b)的4次方，可以用杨辉三角中的第五行来展开：(a+b)的4次方=1a的4次方+4a的3次方b+6a的2次方b的平方+4ab的3次方+1b的4次方。
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杨辉三角形里的秘密
有一次数学课，老师让我们研究杨辉三角形，刚一看，密密麻麻的数字组成了一个三角形，细一看，这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的。
一节课过去了，黑板上规律也没见几个，老师只好让我们回家再找。
一到家，我就对着它冥思苦想，终于想出了两个。
最后不得不请教电脑，这个把我们难倒的三角形有它就迎刃而解了：1、第几行就有几个数字。
2、相邻两个数之和等于他们下面的数。
3、第二个数加1等于行数……而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
杨辉三角形真神奇呀，我一定要找出更多规律来！
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————来源网络整理，仅供供参考。