抽象函数问题分类解析
“四招”突破抽象函数问题
“四招”突破抽象函数问题作者：唐浩德来源：《甘肃教育》2015年第16期【关键词】数学教学;函数问题;抽象;求解【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C【文章编号】 1004—0463（2015）16—0119—01抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出一些体现函数特征的式子的一类函数.抽象函数问题的解决往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手.下面，从四个不同的方面来探寻一些解题规律.一、利用赋值法巧求抽象函数的函数值赋值法是求抽象函数值的重要方法.通过观察与分析抽象数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是利用函数的奇偶性与周期性来转化解答，有时还需多次赋值.例1 定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0使得对于任意实数x1、x2总有f （x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.1.求f（1）+f（0）的值;2.求x0的值.解：1. 因为对于任意实数x1、x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立，令x1=1、x2=0，有f（x0）= f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）+f（0）=0.解：2. 令x1=0、x2=0，有f（0）=f（x0）+f（0）+f（0），即f（0）=f（x0）+2f （0），∴f（0）=f（x0）.∴f（x0）=-f（0）.又∵f（1）+f（0）=0，∴f（0）=-f（1），∴f（1）=-f（0），∴f（x0）=f（1）.又∵f（x）为定义在R上的单调函数，∴x0=1.二、利用函数图像和奇偶性定义判断抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性是要判断f（x）与f（-x）之间的关系，从而得出图象关于原点或y轴的对称，再结合函数的图象作进一步判断;在利用奇偶性的定义进行判断时，若等式中还有其他的量未解决，就需要特殊赋值加以解决.例2 已知函数f（x）对x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，求证：f（x）是偶函数.解：∵对任意x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）令x=0，y=0，有f（0）+f（0）=2f（0）f（0），∴2f（0）=2f（0）2，∴f（0）=f（0）2，∴f（0）=0或f（0）=1.又∵f（0）≠0，∴f（0）=1.令x=0，有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），∴f（y）=f（-y），又∵y∈R，∴f （x）为偶函数.三、利用函数单调性求解或证明抽象不等式抽象函数的单调性，需要对所含的参数进行分类讨论，或根据已知条件确定参数的范围，最后再根据单调性求解或证明抽象不等式，同时要注意定义域的限制.例3 设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）.若f （3）=1，且f（a）>f（a-1）+2，求实数a的范围.解：∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（3）= 1，∴2=2f（3）=f（3）+f（3）= f（3×3）=f （9），又∵f（a）>f（a-1）+2，∴f（a）>f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，从而得不等式组：a>0 ; ; ; ; ; ; ①9（a-1） >0 ; ; ; ②a>9（a-1） ; ; ; ;③四、利用函数模型巧解抽象函数问题抽象函数问题的设计一般都有一个基本函数作为模型，若能分析出这个函数模型，结合其性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单解决.例4 已知函数f（x）对于任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，有f（x）>0，f（-1）=-2.求f（x）在[-2，1]上的值域.解：∵对于任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，y=0有f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.再令y=-x有f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数.设x10.又∵当x>0时有f（x）>0，f（0）=0，∴f（x）>f（0），∴f（x1-x2）>0，∴f （x）-f（x）>0，∴f（x）>f（x）.∴f（x）为R的增函数.又∵f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=-4，f（1）=-f（-1）=2，∴当x∈[-2，1]时，f（x）∈[-4，2].编辑：谢颖丽。
例说高中抽象函数问题分类解题教学法
例说高中抽象函数问题分类解题教学法摘要：抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，由于其解析式隐含不露而高度抽象，加之其与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，所以问题类型众多，解题方法复杂多变。
如果以特殊背景函数代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法。
关键词：抽象函数；背景函数模型；分类；解析；探究中图分类号：C633 文献标识码：A 文章编号：1672-691x（2010）05抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，只给出了函数所具有的某些性质或运算特征的一类函数，由于其解析式隐含不露而高度抽象，解决此类问题时往往很棘手。
其实，大量的抽象函数并非无源之水，都是以中学阶段所学的基本函数为背景函数抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景函数”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过观察、分析、类比、猜想出它可能为某种基本函数抽象而成，利用该基本函数的性质和结论，进而猜想出抽象函数可能具备的性质和结论，变抽象为具体，变陌生为熟知，可轻松觅得解题思路，下面我就教学中的一些做法和体会进行归类总结如下。
一、正比例函数为背景函数模型的抽象函数问题正比例函数y=kx(k≠0)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则具有性质 (1)f(0)=0；(2)y=f(x)是R上的奇函数；(3)若x≠0，f(x)≠0时，则y=f(x)是R上的单调函数.其函数特征为：f（x±y）＝f（x）±f（y）例1、已知是定义在R上的函数，对任意的、都有，且当>0时，＜0，。
问当时，函数是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。
分析：我们知道，正比例函满足。
根据题设，我们知本题是以正比例函数为背景函数模型，于是，用赋值法令x=y=0去证明这个我们猜想的正比例函数的奇偶性、单调性，达到解决问题的目的。
解：令则，解得又因为所以即函数为奇函数。
设、<,则>0依题意,有<0所以,即函数在R上是减函数。
2009年高考抽象函数问题分类解析
变 式 ３ 设 ０为 ＡＡ Ｃ的外 接圆心 ， 圆的半 Ｂ 若
从 上述解答 看试 题考查 重点是 平面 向量的运算 与性质 ， 如果抛 开对立 体几何 中的线 面角 的考查 ， 原 问题可 降低难 度 ， 减少 思维量 ， 重点 考查 向量的数 量
积运算 ： 变 式 １ 设 ０为 ＡＡ Ｃ的外 心 ， ３Ｄ ４Ｄ Ｂ 若 Ａ＋ ＋５ＯＣ ＝０ 则 ＡＡ ， ＢＣ的内角 Ｃ为 （ ）
３
１ ＞ ０ ＝０， 以 一 １ ＜０ 即 一２ ）＜ ） ） 所 ） ， ５
吾 ＝ ・ ） ０ 寻） ０ ） ＝ ）： ）
２
＝
８ ） ＜ １ ） 故选 Ｄ ０ １， ．
例 ４ （０９年 陕 西卷 理 ）定 义在 Ｒ上 的偶 函 ２０
数 － ） 厂 满足 ： 任 意 的 ，：∈ （ （ 对 一∞ ， ］ ≠ ） ０（ ， 有 （ 一 ）／ ）一 ． ） （ ／ ）＞０ 贝 当 ∈Ｎ 时 ， （ ．０
苕 §量雪 毛 要熟知 三角形 的重心 、 圆周 角与 圆心角 等知识 ， 还要 具备猜 测 的技 能 ） 是 否有得 不偿失 之嫌 ？ ， 思考二 对模拟 试卷命 题有什 么启示 ？
中学 数学杂 志
２１ ０ ０年第 ３期
Ｏ ＝０ 其 中 ，， Ｃ （ Ｙ ＞０ ， ） 那么可 以考查 到 问题 的本
勾股 数 ３４５多少能让 不少 考生联想 到 内角 ｃ与 ，， 有关 ， 并设 法找 出计算 的办法 和结 果． 果将 条件 ３ 如
＋４０ ＋５Ｏ ＝０再 一般化 成 Ｏ ＋ＹＯ ＋ Ｃ Ａ Ｂ
２０ 高 考 抽象 函数 问题分 类 解析 ０９年
江 苏省 南通 市通 州区兴仁 中学 ２ ６ ７ ２３ １ 吴佑 华
抽象函数问题分类解析
以 幂 函 数ｆｘ ＝ ” （） ｘ为原 型 ， 基本 特 征 是ｆｘ ）ｆｘ ｆｙ ， 其 （ｙ ＝（ ）（）或
ｆ ） （ ：Ｙ 来自。 ｉ ＹＪ Ｌ
以ｆｘ ） ｆ ） ｙ 为 例证 明 。 （ｙ ＝（ ｆ ） ｘ （
证 明 ：’ ｘ ＝ “ ’ （ ）ｘ． ． ｆ
・ ． ．
（ ） 证 ：（） ０ １求 ｆｘ ＞ ； （ ） 证 ：（） （ ， 。） 为 单 调 减 函 数 ； ２求 ｆｘ 在 ０ ＋。 上 （ ） （ ： ， 求ｍ的 值 。 ３ 若ｆｍ）９ 试
分 析 ： （ｙ ＝ （ ）（ ） 想 ： ｘ ： ｎ 原 型 函 数 为ｆｘ ＝ 由ｆｘ ） ｆｘ ｆｙ ， （。 ） ｘ ｘ ｘ （） ：
１一 次 函 数 型 ．
ｆｘ ） （ｙ “ ｘ ｆｘ ｆｙ ， （ ｙ ＝ （ ）（ ） （ｙ ＝ ｘ ） ～ （ ）（ ） 即ｆｘ ） ｆｘ ｆｙ ＝ Ｙ＝
．
例 ３已 知 定 义 在 （ ＋ ） 的 函数 ｆｘ 对 任 意 的ｘ ｙ Ｏ 均 ． ０， 上 （） ，＞ ，
有 （ ）ｆ ）ｙ， ｘ１ 有 （ ＜，３ ÷． ｆｙ一ｘｆ ） ｘ （ （ 且当 ＞时，ｆ ）１ （） ｘ ｆ ：
， ｎ
以 一 次 函 数ｆｘ ＝ ｘ 原 型 ， 基 本 特 征 是ｆｘ ｙ －（ ） ｆ （）ｋ为 其 （＋ ） ｆｘ ＋ （）或 ｆｘ Ｙ＝ ｘ 一（ ） ｙ ， （— ）ｆ ）ｆｙ 。 ｉ 以ｆｘ ｙ ：（ ）ｆｙ 为 例 证 明 。 （＋ ）ｆ ＋ （） ｘ 。 证 明 ：’ ｘ ＝ ｘ ’ （ ）ｋ 。 ． ｆ ｆｘ ｙ ＝ （＋ ）ｋ＋ ｙｆｘ ＋（ ） 即ｆｘ ｙ＝ （）ｆｙ ． （＋ ） ｋ ｘ ｙ＝ ｘ ｋ ＝（ ）ｆｙ ， （＋ ）ｆｘ ＋（） 例 １已知 函数 ｆｘ 对 任 意 ＸＹ ． （） ， ∈Ｒ， 有 ｆｘ ｙ＝ （） ｆｙ ， 均 （＋ ）ｆｘ ＋（ ） 且 当ｘ ０ ， ｘ ＞ ， １一 ３求 ｆｘ在 区 间 ［２ ３ 上 的最 大值 。 ＜ 时 ｆ ）０ ｆ ） ， ｉ ） （ （ 一 ，］ 分 析 ： （十 ）ｆｘ ＋（） 想 ：（＋ ）ｋ ＋ ｙ 原 型 函数 为 由ｆｘ ｙ＝ （）ｆｙ ， ｋ ｘ ｙ＝ ｘ ｋ ， ｆｘ ＝ ｘ 猜 测 ： （） ｋ ， 抽象 函数 ｆｘ 为 奇 函 数 ， 在 实 数 集 Ｒ 单 调 递 （） 且 上 减 ， 大 值 、 小 值 分 别 为ｆ一 ） （） 最 最 （２ 与ｆ３ 。 解 析 ： （＋ ）ｆｘ ＋ （）令 ｘ ０ 得 ｆ０ ＝ ， 令ｙ Ｘ 得 由ｆｘ ｙ ＝（ ）ｆｙ ， ＝ ， （ ）０ 再 — ，
抽象函数有关问题归类与解法
抽象函数有关问题归类与解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；（奇偶，周期）③利用函数的性质；（值域，单调性，对称性，奇偶） ④分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；⑤构造与联想 一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数12[log (3)]f x -的定义域。
解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x 解析式.解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u -=+=--∴2()1x f x x -=-2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
第6讲 利用函数性质解决抽象函数不等式(解析版)
7.【2018年普通高校招生全国卷一】已知函数 ，任取两个不相等的正数 ， ，总有
，对于任意的 ，总有 ，若 有两个不同的零点，则正实数 的取值范围为__________．
3．已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，任意 满足 ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
【来源】（全国1卷）2021届高三5月卫冕联考数学（理）试题
【答案】D
【分析】
由 是偶函数，得函数图像关于直线 对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.
【详解】
因为 是偶函数，所以 的图像关于直线 对称，
【详解】
令 ， ，
则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 在 上为单调递减函数，
当 时，由 可知 ，不满足 ；
当 时， ，所以 可化为 ，即 ，
因为 在 上为单调递减函数，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
【变式演练3】定义在非零实数集上的函数 满足 ，且 是区间 上的递增函数．
（1）求 的值；
（2）求证： ；
【详解】
令 ，则 可得
所以 是 上的奇函数，
，
当 时， ，所以 ，
是 上单调递增，
所以 是 上单调递增，
因为 ，
由 可得 即 ，
由 是 上单调递增，可得 解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数 ，根据已知条件判断 的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式.
【答案】A
抽象函数问题分类解析——我的教学反思
抽象函数问题分类解析——我的教学反思在教学过程中，抽象函数问题是一项非常重要的内容。
抽象函数作为计算机科学中的基本概念之一，是我们在软件开发和设计中经常会遇到的概念。
抽象函数的正确理解和使用对于程序的正确性和效率至关重要。
然而，在教学抽象函数的过程中，我发现学生们对于抽象函数问题的分类和解析存在一些困惑。
本文将对抽象函数问题进行分类并进行解析，并分享我的教学反思。
一、什么是抽象函数？在正式进行问题分类之前，首先我们需要明确抽象函数的概念和作用。
简而言之，抽象函数是一种没有具体实现的函数，它的作用主要是描述一些抽象的概念和行为。
抽象函数通常由函数原型和函数描述组成，它们可以帮助我们更好地理解和设计程序。
二、抽象函数问题的分类根据我在教学过程中的观察和总结，我将抽象函数问题分为以下几类：1. 抽象函数的定义和用法问题这是学生最容易出现困惑的地方。
在这类问题中，学生们往往对于如何正确定义抽象函数以及如何使用它们存在疑惑。
他们可能会在函数定义部分出现错误，如参数个数不匹配、返回值类型错误等。
另外，他们也容易在函数调用的地方出错，如传入的参数类型不正确、没有正确处理函数的返回值等。
解决这类问题的关键是帮助学生加深对于抽象函数的理解。
我会通过举例和针对性练习来巩固学生们的知识，并引导他们思考如何正确定义和使用抽象函数。
2. 抽象函数的重载问题抽象函数的重载是指在同一个类中定义多个同名但参数列表不同的抽象函数。
这类问题主要涉及到如何正确使用抽象函数重载以及如何根据不同的参数列表来选择正确的抽象函数。
学生们常常会出现重载函数调用错误的情况，如传入的参数类型不匹配、参数个数错误等。
解决这类问题的方法是通过理论讲解和实例演示来强化学生们对于抽象函数重载的理解，同时可以通过练习题或编程作业来巩固他们的知识。
3. 抽象函数的继承问题抽象函数的继承是指一个类继承另一个类，并重写或实现其抽象函数。
在这类问题中，学生们可能会出现如何正确重写和实现基类的抽象函数的困惑，也可能会忽略掉某些抽象函数的重写或实现。
抽象函数 常见问题剖析
抽象函数常见问题剖析
凤斌;叶菊
【期刊名称】《青苹果：高中版》
【年(卷),期】2016(000)04X
【摘要】抽象函数通常是指这样一类函数,我们并没有被告知函数的具体解析式,只知道其他一些条件(如定义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图像特征等),它是高中数学函数部分的难点,也是初等数学与高等数学的一个衔接点.因无具体解析式,理解、研究起来往往很抽象.现在我们梳理一下抽象函数的常考题型.
【总页数】4页(P18-21)
【作者】凤斌;叶菊
【作者单位】安徽省宿州二中;安徽省宿州二中
【正文语种】中文
【中图分类】G6
【相关文献】
1.抽象函数解题策略剖析 [J], 隋航
2.抽象函数r常见问题剖析 [J], 凤斌;叶菊
3.高中数学抽象函数几类常见问题解法初探 [J], 李鹤鸣;
4.两类抽象函数问题错解剖析 [J], 刘树霞
5.抽象函数常见问题剖析 [J], 凤斌;叶菊;
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽象函数问题分类解析抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, 一:函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 二:特殊化方法1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特殊值代入3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.(1)、线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）-------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）(2)、二次函数型抽象函数m a x k x f +-=2)()(——— )()(x a f x a f -=+(3)、指数函数型的抽象函数 f （x ）＝a x------ f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)()(y f x f (4)、对数函数型的抽象函数f （x ）＝log a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （yx）＝ f （x ）－f （y ） 三：例题分析 1. 求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解。
例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___。
分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x 。
例2. 已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______。
分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a(1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，12. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3. 已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。
分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1， 得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-=于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数。
例4. 若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数y f x =()是偶函数。
证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，） y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=() ∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
3. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例5. 如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5例6. 设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。
证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f = 若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾所以0)0(≠f ，即有1)0(=f 当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以0)(1)(>-=x f x f 又当0=x 时，01)0(>=f所以对任意R x ∈，恒有0)(>x f设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ，所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+=所以)(x f y =在R 上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
4. 探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。
常见结论:（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a 是非零常数)。
（2）f(x+a)=-f(x),则T=2a(a 是非零常数)。
1(3)()()f x a f x +=±,则T=2a(a 是非零常数)。
例7. 设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2，并存在正实数c ，使f c()20=。
试问f x ()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，且cos π20=，猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数。
f x c c f x c c f x c f cf x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()++++-=+=∴+=-∴+=-+=22222222故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期。
例8.设y=f (x) 是定义在实数集R 上的函数，且满足 f (－x) = f (x)与f (4－x)=f (x)，若当x ∈[0,2]时，f (x) =-－x 2+1 ,则当x ∈[－6 , －4 ]时f (x)= （ ）（A ）－x 2 +1 (B) －(x －2)2 +1 (C)－(x+4)2 +1 (D) － (x+2)2+1 5. 求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
例9. 已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。
分析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得 f f f f ()()()()844244=+==， ∴=f ()42 又令x y ==2， 得f f f (4)(2)(2)=+=2， ∴=f (2)1例10. 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，f ()11997=，求f (2001)的值。
分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是f x f x f x ()()()+=+-211， f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=++--+-=-412121111111 所以f x f x f x ()()()+=-+=814 故f x ()是以8为周期的周期函数，从而f f f (2001)()()=⨯+==8250111997例11．设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=_____。
分析：读懂题意，理解函数满足关系式f(x+2)＝-f(x)及f(-x)=-f(x)；将f(7.5)的求值问题转化到x ∈[0，1]范围内解决。
由f(x+2)=-f(x)，得f(x+4)=-f(x+2)＝f(x)，知f(x)是以4为一个周期的周期函数，于是f(7.5)=f(4×2-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。
例12．已知f(x)是定义在实数集上的函数且满足f(x+2)(1-f(x))=1+f(x)，f(1)=1997，求f(2001)的值。
分析：易知f(x)1,所以有∴函数f(x)是以8为一个周期的周期函数，从而f(2001)=f(8×250+1)=f(1)=1997。
注：对一类抽象函数求值问题，充分利用周期性，化未知为已知。
例13.函数()f x 满足()(2)13,f x f x ⋅+=若(1)2,f =则(99)f =（ ）A.13B.2C.132 D. 213【解析】：由规则()(2)13,f x f x ⋅+=有(2)(4)13,f x f x +⋅+=∴()(4)f x f x =+，∴()f x 的周期T=4。
∴(99)f =(4243)(3)f f ⨯+=，再由规则()(2)13f x f x ⋅+=赋值，令1x =得(1)(12)13,f f ⋅+=∴13(3)2f =，即13(99)2f =.选C 。