3.6 弧微分 曲率 函数作图
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曲率及讲义其计算公式00517
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
第七节曲率
（ | MN | ）2 [1 ( y )2]
| MN |
x
s
x
| MN |
| MN |
1 ( y )2 x
N T R
x x x
y
令 x 0 取极限，得
N
s lim x0 x
lim | MN | lim
x0 | MN | x0
o
(1)C : y f ( x),函数 y f ( x)二阶可导,
tan y arctan y,
d
1 1 y2
y' ' dx
y'' 1 y2
dx
又 ds 1 y2dx
d
1
y'' y'2
dx
ds
1 y2dx
y''
3
(1 y2 )2
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2
s2
M3
s1
M1
弧段弯曲程度越大 转角越大
s1
M
M
N
s2 N
转角相同
弧段越短 弯曲程度越大
设曲线C是光滑的，
y
M0 是基点. MM s ,
从M到M 的切线转角为
o
C
.M
M0
s
S
M
.)
x
定义 弧段 MM' 的平均曲率
第七节 曲 率
一、弧微分
y C : y f (x)
N
设函数f ( x)在区间(a,b) 内具有连续导数.
第三章曲率函数图形的描绘
[1 (2ax b)2 ]2
公式：k
y 3.
(1 y2 )2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
10
摆线
例3
t为何值时,
曲线
x y
a(t a(1
sin t); cos t),
(t) (t) 3(t)
(t) .
(t) (t) (t) (t)
k
3.
[ 2(t ) 2(t )]2 9
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
0
0
y
0
y
极 大
拐 点
极大点: x 5 , 极大值: f (5) 13.5 ,
拐点为 (1, 0) .
lim
x
(x 1)3 (x 1)2
,
曲线无水平渐近线 .
lim
x1
( (
x x
1)3 1)2
,
x 1为垂直渐近线 .
lim
x
lim
x
f
(x)
4( x
lim[
x
x2
1)
2]
2,
水平渐近线
y
2;
26
函数图形的描绘
4( x 1) f (x) x2 2
f
(
x)
4(
x x3
高等数学(同济第六版)课件 第三章 7曲率解析
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当 x b 时，k最大。 2a
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y=f (x)在点
y
M(x,y)处的曲率为k (k 0)
D 1 y f (x)
在点M 处的曲线的法线上，
k
在凹的一侧上取一点D，使 DM 1 .
N
可用一个与转角成正比与弧长成反比的量 来描述曲线的弯曲程度。
定义：设曲线C是光滑的，M0为基点，M, N为曲线
C上的点， MN的弧长为 s， y
C
M与N点切线的夹角为 ，
N.
K s
M0
M
称为曲线段MN的平均曲率； o
x
K lim s0 s
称为曲线C在点M处的曲率。
K | d | ds
2.曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导，
(5) e xdx dex .
(6) a xdx 1 da x lna
(7)
1 1 x
2
dx
d
arctan
x
1
(8)
dx d arcsin x 1 x2
(9) cos xdx d sin x.
(10) sin xdx d cos x (11) sec2 xdx d tan x. (12) csc2 xdx d cot x.
第七节 曲率
一、弧微分
设 f (x)在(a,b)内有连续导数，在曲线y=f (x)上
取基点A(x0, y0), 点M(x, y)为曲线上任一点; 记弧 AM 的长度为 d ，规定： y
曲线正向与 x 增大的方向一致。
M
A
7.弧微分与平面曲线的曲率
1
,
19
三、曲率圆与曲率半径
曲率是表示曲线在一点 附近的弯曲程度的一 个数字特征.当给定曲线在某一点的 曲率，比如说 1 K ，我们还是不能很直观 地想象到曲线弯曲 3 的形象.但是，如果告诉我们某 一个圆的曲率为 1 1 K ，就可以由这个圆的半 径R 3而直观 3 K 地想象出他的弯曲形象 .因此要用具有相同曲率 的 圆来进一步刻画曲线在 某一点的弯曲程度.
2 由于ds 1 y dx , 所以
14
d K ds
y dx 2 1 y 1 y dx
2
y
y (1 y )
2 3 2
y' ' K (1 y'2 )3 2
o
曲线 C
M'
s
M0 s
M
x
15
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ), dy ( t ) d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) , . 2 3 dx ( t ) dx (t )
圆的弯曲程度处处相同 s 1 r s r 1 K r 圆的半径越小,K越大,圆弯 曲得越厉害.
s
M
13
下面推导曲率的计算公式. y 设 y f ( x ) 二阶可导,
曲线 C
M'
由导数的几何意义可知 ， s tan y' M0 s M arctan y' o x y d (arctany )dx dx 2 1 y
长度之比的极限等于 1，即 MN li m 1 x 0 MN
2 2
高数第七节：曲率
(t) .
k
(t) (t)
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
k
3
(1 y2 )2
(t) (t) (t) (t)
k
3
[ 2 (t) 2 (t)]2
例1： 直线的曲率处处为零; 解：设直线方程为 y ax b, y a, y 0
k
0 0 3
(1 a2 )2
所以直线没有弯曲。
cot
y d cot
dx
d ( cot ) d
d
dx
csc2 1 asin
csc 3
a
y
k
3
(1 y2 )2
(t) (t) (t) (t)
k
3
[ 2 (t) 2 (t)]2
例2：圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径
越小曲率越大.
y
解：设圆的方程为 x2 y2 a2
曲率最大？
思考题解答
k | y | 3
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2
6
3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有(4 5cos2 t)2 最小
t , 3 此时k 最大，
22
作业：P175：2，3，5，8。
在点 M 处的曲线的法线上凹的一侧取一点 D,
使 DM 1 .
k
以 D 为圆心, 为半径作圆(如图), y
称此圆为曲线在点 M 处的曲率圆. D 曲率中心,
D 1
k
M
y f (x)
曲率半径.
o
x
注意:
y
曲率,曲率圆,曲率半径
曲率、曲率圆、曲率半径 1、弧微分
设函数 f(x)在(a,b)上具有连续导数（光滑曲线） ，由曲线上取固 定点 M 0 ( x0 , y 0 ) 作为度量弧长的基点， 并规定以 x 轴增大的方向作为曲 线的正方向，对曲线上的任意一点 M(x,y)规定有向弧段 M （简称弧 s）如下： 1）
s
0
M 的值 s
我们用比值 ，即单位弧段上切线转过来的角度来表达弧
s
M
0
M 的平均弯曲程度，这个比值叫做弧段的平均曲率
K =
s
平均曲率的极限称作曲线 C 在 M 处的曲率，记作：
lim K= s
0
s
y
=
2 3 2
(1 y )
2
也可以表示为： K=
d ds
lim 在 s
0
s
存在的条件下
另外：圆各处的曲率都等于半径的倒数·即：
K =
1 a
3、曲率圆与曲率半径
设曲线 f(x)在 M(x,y)处的曲率为 K （K≠0） ，在点 M 处的 曲线的法线上，在凹的一侧上取一点 D 使
MD
1 =K
=ρ，以 D 为
圆心，ρ为半径作圆，这个圆叫做曲线在 M 点处的曲率圆，曲 率圆的圆心 D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心。曲率圆的半径ρ 叫做曲线在点 M 处的曲率半径。
s= M
0
M 是关于 x 的函数 s=s(x)
表示弧长
0
2）当有向弧段 M 3）当有向弧段 M
M 的方向与曲线正向一致时，s>0； M 的方向与曲线负向一致时，s<0；
0
弧微分公式：
ds 1 y 2 dx
2、曲率及计算公式
设函数 f(x)在(a,b)上具有连续导数（光滑曲线） ，由曲线上取固 定点 M 0 ( x0 , y 0 ) 作为度量弧长的基点， 并规定以 x 轴增大的方向作为曲 线的正方向，对曲线上的任意一点 M(x,y)规定有向弧段 M （简称弧 s）如下： 1）
s
0
M 的值 s
我们用比值 ，即单位弧段上切线转过来的角度来表达弧
s
M
0
M 的平均弯曲程度，这个比值叫做弧段的平均曲率
K =
s
平均曲率的极限称作曲线 C 在 M 处的曲率，记作：
lim K= s
0
s
y
=
2 3 2
(1 y )
2
也可以表示为： K=
d ds
lim 在 s
0
s
存在的条件下
另外：圆各处的曲率都等于半径的倒数·即：
K =
1 a
3、曲率圆与曲率半径
设曲线 f(x)在 M(x,y)处的曲率为 K （K≠0） ，在点 M 处的 曲线的法线上，在凹的一侧上取一点 D 使
MD
1 =K
=ρ，以 D 为
圆心，ρ为半径作圆，这个圆叫做曲线在 M 点处的曲率圆，曲 率圆的圆心 D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心。曲率圆的半径ρ 叫做曲线在点 M 处的曲率半径。
s= M
0
M 是关于 x 的函数 s=s(x)
表示弧长
0
2）当有向弧段 M 3）当有向弧段 M
M 的方向与曲线正向一致时，s>0； M 的方向与曲线负向一致时，s<0；
0
弧微分公式：
ds 1 y 2 dx
2、曲率及计算公式
3.6 弧微分、曲率
例4
率突然改变, 容易发生事故, 为了行驶平稳, 往往
在直道和弯道之间接入一段缓冲段, 使曲率连续
地由零过渡到
1 R
,
其中
R
为圆弧轨道的半径.
数学上常用三次抛物线
y
x3 6Rl
,
x
[0,
x0
].
作为缓冲段 OA,其中 l 为OA的长度,
使得缓冲段 OA在始端 O 处 的曲率为零,
且当
l R
很小
l R
1
时,
y R
在终端
A
的曲率近似为
1 R
.
A
ol
x
y 1 x3 6Rl
例2 根据分析, 在缓冲段 OA上,
y
1 2Rl
x2,
y
1 Rl
x.
故在缓冲段始端 x 0处的曲率为 K0 0. ( y 0, y 0)
题意实际要求
l
x0 ,
l R
1,
故
y xx0
x02 2Rl
l2 2Rl
l 2R
,
y xx0
y
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
二、曲率及其计算公式
曲线的弯曲程度
与切线的转角有关 与曲线的弧长有关
M M M
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s ,对应
切线转角为 ,定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
x0 Rl
l Rl
1. R
例2
题意实际要求
l
3-9弧微分与曲率-文档资料
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
2 cos t , y 3 sin t 椭圆 x 上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
k
3 2 2 2 (4sint 9cost) [1 ( y ) ] 6
3 2 2
| y |
6
(4 5cos2 t )
3 2
2 要使 k最大， 必有 (45cos t)
3 2 最小，
3 t , 2 2
此时 k最大，
y 2 1 ( ) x s )2 (x (y s ) lim 1 x 0 x
MM MM
M M lim 1 x 0M M
s(x ) 1(y)2
2 2 2 或 d s (d x ) (d y ) d s 1 ( y )d x x x (t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
1 3 通常用三次抛物线 y x ， x [ 0 , x 0 ]．作为 6 Rl 缓冲段 OA ，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率 l 为零 , 并且当 很小 R l ( 1 ) 时，在终端 R 1 A 的曲率近似为 . R
y
R
l
A (x ,y ) 0 0
一、 弧微分
设 yf( x ) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s ( x )
y
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
2 cos t , y 3 sin t 椭圆 x 上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
k
3 2 2 2 (4sint 9cost) [1 ( y ) ] 6
3 2 2
| y |
6
(4 5cos2 t )
3 2
2 要使 k最大， 必有 (45cos t)
3 2 最小，
3 t , 2 2
此时 k最大，
y 2 1 ( ) x s )2 (x (y s ) lim 1 x 0 x
MM MM
M M lim 1 x 0M M
s(x ) 1(y)2
2 2 2 或 d s (d x ) (d y ) d s 1 ( y )d x x x (t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
1 3 通常用三次抛物线 y x ， x [ 0 , x 0 ]．作为 6 Rl 缓冲段 OA ，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率 l 为零 , 并且当 很小 R l ( 1 ) 时，在终端 R 1 A 的曲率近似为 . R
y
R
l
A (x ,y ) 0 0
一、 弧微分
设 yf( x ) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s ( x )
y
高等数学(上册)-第3章第6讲(弧微分与曲率)[19页]
(2)在工程设计中，一般可用曲率圆在点M 附近的一段弧近似代替曲线弧.
18
高等数学（上册）（慕课版）
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
O
x0
y f (x)
M
•
x
x
4
一、弧微分
弧微分公式 ds ? ds s(x)dx 先求s s(x)的导数 d s lim s
d x x0 x
s ? x
在x处给自变量x一增量x,
相应的有向弧段的值s有增量s,
s M0M M0M MM
s s MM MM MM x x x MM x
解 根据摆线方程可得x(t) a a cos t，y(t) a sin t，故
y(x) d y y(t) sin t cot t ，
d x x(t) 1 cos t
2
y(x)
d2 y d x2
d dt
cot
t 2
1 x(t)
1 2 sin2
t
1 a(1 cos t)
a(1
1 cos
y
K
y
3
(1 y2 )2
分析
K
d
ds
s s(x), (x)
d
ds
d?dx
ds dx
M
•
s
M
M •
0
•
O
x
ds dx
1 y2
d
dx
?
12
二、曲率
证明
tan y,
sec2 d y.
dx
d
dx
y
sec2
y
1 tan2
y 1 y2
.
又 d s 1 y2 dx
18
高等数学（上册）（慕课版）
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
O
x0
y f (x)
M
•
x
x
4
一、弧微分
弧微分公式 ds ? ds s(x)dx 先求s s(x)的导数 d s lim s
d x x0 x
s ? x
在x处给自变量x一增量x,
相应的有向弧段的值s有增量s,
s M0M M0M MM
s s MM MM MM x x x MM x
解 根据摆线方程可得x(t) a a cos t，y(t) a sin t，故
y(x) d y y(t) sin t cot t ，
d x x(t) 1 cos t
2
y(x)
d2 y d x2
d dt
cot
t 2
1 x(t)
1 2 sin2
t
1 a(1 cos t)
a(1
1 cos
y
K
y
3
(1 y2 )2
分析
K
d
ds
s s(x), (x)
d
ds
d?dx
ds dx
M
•
s
M
M •
0
•
O
x
ds dx
1 y2
d
dx
?
12
二、曲率
证明
tan y,
sec2 d y.
dx
d
dx
y
sec2
y
1 tan2
y 1 y2
.
又 d s 1 y2 dx
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C：y f ( x) . B
A. )
S ) )
x
则 K lim lim d 称为曲线 C 在点
S0 S S0 S dS A 处的曲率. ( 它刻划了曲线在一点处的弯曲程度)
（这里取绝对值是为了使平均曲率、曲率都是正数）
2. 曲率的计算公式
由定义知 K d
dS
设曲线 C : y f ( x)，a x b, 且 f 二阶可导,
d2y dx2
d dx
dy dx
rsin
r cos
d
rcos r sin dx
r 2 2(r)2 r r
(r cos r sin )3
,
y
r 2 2(r)2 r r
K
(1 y2 )3 2
[r 2 (r)2 ]3 2
.
例1 1) 求直线 y ax b 的曲率，
AOB S ,
R
K S 1 .
S RS R
1
K lim . S0 S R
同理可得 K 1 . R
.O )
R .B
s
.
)
.A
O.
R
R R, K K ,
. O 比 . O
弯曲得厉害 .
或用公式: K
(t)(t) (t) (t)
3
.
2(t) 2(t) 2
圆
:
若曲线 C : r r( ) , , r( ) 在[ , ]
连续，
C
:
x y
r( r(
) )
cos sin
, 为参数
,则
ds [(r( )cos )]2 [(r( )sin )]2 d
[r( )]2 [r( )]2 d
二. 曲率及其计算 1. 曲率的定义
曲线的弯曲程度 .
3.6 弧微分 曲率 函数作图
一. 弧 微 分
y
设函数f ( x)在区间(a, b) 内具有连续导数.
y f (x) N
C A M s y
x
取定点 A( x0 , y0 ) C， o x0 x x x x
基点 , M( x, y)C, 有 AM s s( x) ,
给 x 以增量 x, 相应有 y f ( x x ) f ( x) ,
MN
MN
2
1
y x
2
当 x 0 N M, lim MN lim MN 1 , x0 MN N M MN
ds 2
dx
lim x0
s x
2
1 dy 2 dx
ds dx
1
dy
2
,
dx
s( x) 是单调递增函数，y
ds
1
dy
2
,
y
CA
f ( x) N. M. s
y
T
dy
dx
dx
x ds
o x0 x x x x
(ds)2 (dx)2 (dy)2
ds (dx)2 (dy)2
弧微分公式
或ds 1 y2 dx
若曲线C :
x
y
(t)
,
(t)
t
,
在 [， ] 连续且不全为零，则
(t), (t)
ds [(t)]2 [ (t)]2 dt
A
A
) 1
1 2
) 2
. S .
A
B
B
A .S . B
弧长相等的两曲线段，
B
切线转动的角度越大曲线弯曲得越厉害 .
切线转角相同的两曲线段
. . 弧长越短曲线弯曲得越厉害 .
)
由此可见，曲线的弯 A B
曲程度不仅与其切线方向
S
S S
变化的角度 的大小有
. . 关，而且还与所考察的曲
S
线的弧长 S 有关 .
率的倒数，称为曲线C 在该点的曲率半径 ,
记作：
1 K
（当K 0 时，则
曲率半径 ）
如 图 ， 在 曲 线C 上 点 M 处 作 法 线, 并 在 曲 线 凹 的 一 侧 法 线
O. .M
上 取 一 点O, 使 OM .
C
以 O 为圆心, 为半径作一个圆，称这个圆为曲
线 C 在点 M 处的曲率圆 . O 点称为曲率中心 .
(t )
,
y K (1 y2 )3 2
(t ) (t ) (t ) (t )
3
2(t) 2(t) 2
.
若曲线 C : r r( ) , , r( ) 二阶可导，
则
x y
r( r(
) cos ) sin
, 为参数 ，
dy r( )sin r( )cos , dx r( )cos r( )sin
tan y, 有 arctan y,
d
y 1 y2
dx,
dS
1 y2 dx .
则曲线上横坐标为 x 的点 A 处的曲率为：
K
d
dS
y
3
(1 y2 ) 2
曲率公式
若曲
线C
由
参数
方 程 xy
(t) (t)
给出
，
则 dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t ) (t ) (t ) [ (t )]3
x
y
R R
cos t sint
,
x Rsint
y
Rcos t
,
x
y
Rcos t R sin t
,
K 1 . R
结论：圆上各点处的曲率都等于其半径的倒
数 1 R ，且半径越小曲率越大 ; 圆的半径
恰好是其曲率的倒数R 1 K .
一般地，把曲线C : y f ( x) 上一点的曲
曲线 C 在点 M 处与
其曲率圆有下列关系：
(1) 有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同的切线，即曲率圆
O.
与曲线C 在 M 点相切；
(2) 有相同的曲率，都等于1 ，C
y f (x)
.M
即它们的弯曲程度一样，亦即曲率圆与曲线
A
B
所以，应该用比 来衡量曲线的弯曲程度.
S
单位弧长切线方向变化的角度 .
定义 设 A 为曲线 C : y f ( x) 上一点, B 为 C
上 A 附近的一点, AB 的弧长记为 S，从 A 到 B
切线方向变化的角度为 ， y 则 K 称为 AB 弧
S
平均曲率（平均弯曲程度），
当 B 沿 C A S 0， o
N ( x x, y y) C,
s s( x x) s( x) AN AM MN
s AN AM MN y
而 MN 2 (x)2 (y)2
s 2 MN 2
y f (x) N
C A M s y
x
x x
o x0 x x x x
2
2
MN
MN
MN
x
2) 求半径为 R 的圆的曲率 .
解 1) 若用定义，由于直线上任一点处的切线
就是它本身， 切线方向变化的角度 0，
0,
S
K 0, K 0.
y a, y 0 .
或由公式K
(1
y y2 )3 2
直接得：K 0 .
结论：直线上任一点处的曲率均为零， 即 直线不弯曲.
2) 若用定义，如图： 切线转动的角度：