弧微分公式
02-080、弧微分
第三章第七节
弧微分
弧微分的定义
弧微分的计算公式
弧长及弧长函数
第三章第七节增函数。
的单调是而且存在函数关系：与弧。
显然，，相反时增大的方向）一致时依的方向与曲线的正向（弧的长度，当有向弧段的绝对值等于这段如下：简称为弧段的值，规定有向弧点的正向。
对曲线上任一增大的方向作为曲线弧长的基点，并规定依作为度量（上取固定点在曲线）内具有连续导数。
在（：设函数定义x x s x s s x s s s x s s s y x M x y x M x f y b a x f )(),(00)(),(),)(,)(1000=<>=
弧微分）（）（x x y s ∆+∆'+=∆ο2
1
弧微分公式：
x y s d )(1d 2
'+=
2
2）（）（dy dx ds +
=弧微分公式：
弧微分公式：
y x s d )(1d 2
'+=
弧微分公式：
dt y x s 2
2)()(d '+'=
弧微分公式：
θd r r s 22)(d '+=。
第七节曲率
（ | MN | ）2 [1 ( y )2]
| MN |
x
s
x
| MN |
| MN |
1 ( y )2 x
N T R
x x x
y
令 x 0 取极限，得
N
s lim x0 x
lim | MN | lim
x0 | MN | x0
o
(1)C : y f ( x),函数 y f ( x)二阶可导,
tan y arctan y,
d
1 1 y2
y' ' dx
y'' 1 y2
dx
又 ds 1 y2dx
d
1
y'' y'2
dx
ds
1 y2dx
y''
3
(1 y2 )2
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2
s2
M3
s1
M1
弧段弯曲程度越大 转角越大
s1
M
M
N
s2 N
转角相同
弧段越短 弯曲程度越大
设曲线C是光滑的，
y
M0 是基点. MM s ,
从M到M 的切线转角为
o
C
.M
M0
s
S
M
.)
x
定义 弧段 MM' 的平均曲率
第七节 曲 率
一、弧微分
y C : y f (x)
N
设函数f ( x)在区间(a,b) 内具有连续导数.
曲率半径
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y = 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 2 l 求此缓和曲线在其两个端点 O(0 , 0) , B (l , ) 处的曲率. 6R 解: 当 x ∈ [ 0 , l ] 时, y 1 2 l ≈0 ∵ y′ = x ≤ R 2 Rl 2R 1 B y′′ = x Rl o x l 1 x ∴ K ≈ y′′ = 1 3 Rl y= x 1 6 Rl 显然 K x = 0 = 0 ; K x =l ≈ R
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线 x y = 1 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 1 2 解: y′ = − 2 , y′′ = 3 , 则 x x 1 3 o 1 x 3 1) 2 2 2 (1 + 4 (1 + y′ ) 3 x 1 ( x2 + 1 ) 2 = R= =2 ≥ 2 2 2 x y′′ 3
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⎧ x = a cos t (0 ≤ t ≤ 2π ) 在何处曲率最大? 例3. 求椭圆 ⎨ ⎩ y = b sin t
解: x = − a sin t ;
x = − a cos t
y = b cos t ;
故曲率为
y = −b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
y
D(α , β ) R M ( x, y )
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
弧微分公式 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
一、弧微分公式
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
(2) 曲线弧由参数方程给出:
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
2.曲率的计算公式 K d .
ds
设y f ( x)二阶可导,
有 arctan y,
tan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
2
2a
1 costdt 2a 2 sin t dt
弧微分的计算
弧微分的计算以弧微分的计算为标题，本文将介绍弧微分的概念、计算方法以及应用。
弧微分是微积分中的重要概念之一，它可以用于描述曲线的性质和计算曲线上的各种量。
通过了解弧微分的概念和计算方法，我们能更好地理解和应用微积分的知识。
让我们来了解一下弧微分的概念。
在平面直角坐标系中，我们可以用方程 y = f(x) 来表示曲线。
曲线上的每一个点都有唯一的坐标 (x, y)。
假设我们从曲线上的一个点 P1(x1, y1) 移动到另一个点 P2(x2, y2)，这两个点之间的直线距离称为弧长。
而弧微分就是描述这个弧长的微小变化。
弧微分的计算可以通过微积分中的导数来实现。
我们可以将曲线上的每一个点都看作一个参数 t 的函数，即 x = x(t) 和 y = y(t)，其中 t 是参数。
对于曲线上的任意两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，我们可以将弧长表示为：s = ∫√(dx² + dy²)其中，dx 和 dy 分别表示 x 和 y 的微小变化。
根据导数的定义，我们可以得到：dx = x'(t)dtdy = y'(t)dt将 dx 和 dy 代入弧长的公式中，我们可以得到：s = ∫√(x'(t)²dt² + y'(t)²dt²)化简上式，我们可以得到：s = ∫√(x'(t)² + y'(t)²)dt这个公式描述了弧长和参数t 的关系，可以用来计算曲线上的弧长。
接下来，让我们看一下弧微分的计算方法。
根据弧微分的定义，我们可以得到：ds = √(dx² + dy²)将 dx 和 dy 代入上式中，我们可以得到：ds = √(x'(t)²dt² + y'(t)²dt²)化简上式，我们可以得到：ds = √(x'(t)² + y'(t)²)dt这个公式描述了弧微分和参数 t 的关系，可以用来计算弧微分。
曲率及其应用
MN MN MT NT 当x 0时,
AM x0 x
N T R
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
NT y dy 0, 故 ds 1 y2 dx . 弧微分公式
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例3 飞机沿抛物线 y x2
S
M M 切线转角为 .
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
2.曲率的计算公式
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
d
y 1 y2
t , 3 此时k 最大，
22
谢谢
返回
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
曲线的弧微分和曲率分析
曲线的弧微分和曲率分析曲线是我们日常生活中常见的概念，指的是由一系列的点或者坐标连接而成的连续性图形。
学习曲线是计算机科学、数学、物理、工程学等领域必须掌握的基础知识。
本文将介绍曲线的弧微分和曲率分析，让大家更深入理解曲线中的形态和特征。
一、弧微分在学习曲线之前，我们需要了解一下微积分中的概念：导数。
导数是描述一个函数在某点处变化率的概念，计算导数的过程就叫做微分。
对于曲线，由于它特殊的连续性，我们可以在不断微分的基础上得到它的弧长，进而求得弧微分。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，则曲线从 $a$ 到 $x$ 的长度为$L(x)=\int_a^x\sqrt{1+(f'(t))^2}dt$对 $L(x)$ 进行微分，即可求出弧微分 $\Delta s$：$$\Delta s=\sqrt{1+(f'(x))^2}\Delta x$$二、曲率分析曲率是描述曲线形态的重要指标，它的概念是指曲线在某一点处形成的圆的半径，半径越小曲线越弯曲，反之曲线越平滑。
计算曲率的过程就叫做曲率分析。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，曲线上某一点的坐标为$(x_0,f(x_0))$，则通过一系列的推导，可以得到它在该点处的曲率为：$$K(x_0)=\frac{|f''(x_0)|}{[1+(f'(x_0))^2]^{3/2}}$$在计算曲率时，需要首先求出曲线的二阶导数，也就是 $f''(x)$。
对于不同类型的曲线，计算曲率的方法略有不同，但其本质是类似的。
比如对于圆弧，由于其表现为标准的圆形，曲率计算非常简单。
三、弧微分和曲率的重要意义曲线的弧微分和曲率是描述曲线特征的重要概念，它们不仅在计算机科学、物理、工程学等领域有着广泛的应用，而且在医学影像、地理信息科学等人文领域也有着重要的应用。
通过对曲线特征的描述和分析，可以更好地理解曲线的形态和变化，从而为人们提供更好的分析和决策基础。
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
11
注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 .
k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
弧长元素(弧微分)
:
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)
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3
二、曲率概念及其计算公式 1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
曲率及其计算公式(精)
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
代入曲率公式，得
K
| (1
y | y2 )3
2
． [1
| 2a | (2ax b)2 ]3
2
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ．而 x b 对应的点为
2a
2a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
2
|
MM MM
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
|
Байду номын сангаас
2
1
Dy Dx
2
(
Ds Dx
|
MM MM
|
2
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
曲率及其曲率半径的计算
MM|2 (Dx)2
|M MM M|2(Dx)(2Dx)(2Dy)2
|M MM M|21D Dyx2
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
((
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
因为 lim | MM | lim | MM | 1，又limDyy，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
a 我 们 称 K liD m 为 曲 线 C 在 点 M 处 的 曲 率 ． D s 0 D s
曲线在M点的曲率半径
Dr
| D M | 1 K
y=f(x)
M
O
x
Байду номын сангаас
r r 曲线在M点的曲率圆
曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
1 ， K 1 ．
K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
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s 0
s 0
, K
注意:
(1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.
2.曲率的计算公式
设 曲 线 C 的 方 程 为 y f ( x ), 且 具 有 二 阶 导 数 , 则 曲 线 C 在 任 意 点 M ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 y ta n , ( 为 切 线 倾 斜 角 ),
2
rr |
''
(r r
)
3/2
.
例1 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大 解 y 2 ax b ,
k 2a
3
?
y 2 a ,
.
[ 1 ( 2 ax b ) ] 2
2
显然, 当 x
又 ( b 2a ,
b 2a
2
时 , k 最大 .
x
2
x x
x
(x ) (y )
2
2
1(
y x
2 ) x
1 y dx ,
ds ,
2 2
MT
( dx ) ( dy )
1 y dx ,
2
当 x 0时 ,
NT y dy ＝ o ( x ） 0 ,
1 ( y x ) x
F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
O点处抛物线轨道的曲率半径
mv
2
.
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1 2000
.
得曲率为 k
F
x x0
1 2000
.
曲率半径为 2000 米 .
70 400 2000
2
5600 ( 牛 ) 571 . 4 ( 千克 ),
x 增大的方向一致
;
( 2 ) AM s , 当 AM 的方向与曲线正向
一致时 , s 取正号 , 相反时 , s 取负号 .
y
单调增函数
s s( x ).
如图，
o
A
M
N T R
设 N ( x x , y y ),
MN MN MT NT
MN
MN s
x0
)为抛物线的顶点
最大 .
b 4 ac 4a
,
抛物线在顶点处的曲率
【例2】求立方抛 物线 y
x 上任一点的曲率。
3
例
铁轨由直道转入圆弧弯
道时，若接头处 驶平
的曲率突然改变 稳，往往在直道和 弯道之间接入一段
, 容易发生事故，为了行
缓冲段 ( 如图 ), 使曲 率连续地由零过渡 到 1 R 的半径 ). ( R 为圆弧轨道
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例3 飞机沿抛物线
y
x
2
y
4000 ( 单位为米 ) 俯冲飞行 , 在原 点 O 处速度为 飞行员体重 v 400 米 / 秒 , 70 千克 .求俯冲
Q
o
x
到原点时 , 飞行员对座椅的 压力 .
P
解 如图,受力分析
Q 70 ( 千克力 ) 571 . 4 ( 千克力 ), 641 . 5 ( 千克力 ).
Байду номын сангаас
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
弧微分公式
s s( x )为单调增函数, 故 ds 1 y 2 dx .
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M
2
S2
2
S1
M
3
M
M
S1
M1
N
S2
N
弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
设曲线C是光滑的，
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
M ( x , y ) 处的曲率为 k ( k 0 ). ,
o
y
1 k
y f ( x)
D
在点 M 处的曲线的法线上 在凹的一侧取一点 1 k
D , 使 DM
M
x
. 以 D 为圆心 , 为半径 M 处的曲率圆 .
'
sec
2
d
y
dx ,
d dx
y 1 tan
2
y ) 2 1 (y
d
dx y
1 y
2
d
y 1 y
K
d ds
.
dx , ds 2
1 y dx .
2
k
二阶可导 ,
y
3
.
x ( t ), 设 y ( t ),
2 2
曲线由参数方程 x ( t ),
' '' ''
y (t )
'
k
| ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) | [( ( t )) ( ( t )) ]
' 2 ' 2 3/2
;
曲线由极坐标方程
2
r r ( )
'2 '2
k
| r 2r
第十一节 平面曲线的曲率
一、弧微分 二、曲率及计算公式 三、曲率半径与曲率圆 四、小结 五、作业
一、弧微分
y
设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内具有连续导数
基点 : A ( x 0 , y 0 ),
N T R
.
A
M
M ( x , y )为任意一点
,
o
x0
x
x x
x
规定：( 1 ) 曲线的正向与
M 0 是基点 . M M s , M M 切线转角为 .
y
M .
C
S
M0
S
定义
弧段 M M 的平均曲率为
o
K s .
.M )
x
曲线C在点M处的曲率 K lim
在 lim s d ds 存在的条件下
s
d ds .
2
| s |
2 dx 1 y
| o(x) |
1 (
y x
) x
2
| s | 1 y 2 dx
| o(x) |
用 x 除不等式得
1 ( y x x )
2
x
s x
2
1 ( y )
2
|
o(x) x
|
取极限得
ds
1 y dx .
2 )2 (1 y
dy dx
( t ) ( t )
d y
2
,
dx
2
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )
3
.
k
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
3
.
[ ( t ) ( t )]2
作圆 ( 如图 ), 称此圆为曲线在点
D 曲率中心 ,
曲率半径 .
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1 k ,k 1
.
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).