第十六章 量子力学基础

2m ⎛ A⎞ ⎜ E − ⎟ Ψ ( x, y, z ) = 0 ℏ2 ⎝ r⎠
16-6
如果可以将氢原子看作无限深势阱， 电子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氢原子的线度为 10-10 m，
试求电子处于基态和第一激发态的能量。
解：根据无限深势阱的能量表达式，可以将电子的能级写为： En = n 2
π 2 ℏ2 , n = 1, 2,3, ⋯ 2 me a 2
�
�
�
�
� 2 � 2 Ψ ( ri , t ) AΨ ( ri ,t ) 所以， 波函数允许包含一个任意的常数因子。 这与经典物理中的波也是不同的。 = 2 � � 2 Ψ ( rj , t ) AΨ ( rj , t )
16-2 概述概率波波函数的物理意义。
答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数 Ψ ( r , t ) 的模的平方： Ψ ( r , t ) 表示在空间某处粒子被 发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。
ℏ2 2 A ∇ + 2m r
ˆ Ψ ( x, y, z ) = EΨ ( x, y, z ) 式中 A 是与有心力场有关的常量。将上式代入定态哈密顿方程的一般形式： H
中，得： ⎜ −
ℏ2 2 A ⎞ ∇ + ⎟ Ψ ( x, y, z ) = EΨ ( x, y, z ) r⎠ ⎝ 2m ⎛
整理得： ∇ 2 Ψ ( x, y, z ) +
将有关数据代入上式，得： En = 37.6n 2 eV
(
)
基态： n = 1
E1 = 37.6 eV
第一激发态： n = 2
E1 = 150 eV
16-7
如果可以将氘核看作无限深势阱，质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氘核的线度为 10-14
m，试求质子和中子处于基态的能量。
解：将质子和中子的质量( m p = 1.673 ×10−27 kg 、 m n = 1.675 ×10−27 kg )以及有关数据代入无限深势阱的 能量表达式 En = n 2
4
子的概率不等于零，不存在什么禁区。
（2）按经典力学的规律，在平衡位置(x = 0)振子的速度为最大，停留的时间为最短，而在最大位移处(x = ±A)，振子的速度为零，停留的时间最长。将这一规律应用于微观粒子，自然会得出在平衡位置粒子出 现的概率最小，而在最大位移处粒子出现的概率最大。
（3）经典谐振子零点的能量为零。而量子状态下的谐振子的零点能为： E0 =
Hn ( ξ )
式中 An 是常量，可用归一化条件
µω x 表示， µ 是谐振子的质量。 ℏ
在第一激发态， n = 1 ，波函数为： ψ 1 ( ξ ) = 2 A1ξ e
1 − ξ2 2
对概率密度取极值：
1 − ξ2 2 d d ψ1 (ξ ) = 2 A1ξ e 2 dξ dξ： ξ = ±1 ,
1 ℏω 2
（4）一维揩振子的能量只能取一系列分立值： En = ⎜ n +
⎛ ⎝
1⎞ ⎟ ℏω 而经典的谐振子的能量是连续的。 2⎠
16-10
求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。
1 − ξ2 2
解：一维线性谐振子波函数的一般形式为：ψ n ( ξ ) = An e 确定，在此与我们的题目无关。变量 ξ 由式： ξ = α x =
即得： x = ±
ℏ µω
16-11
试求处于基态的氢原子的平均半径，并与玻尔半径作比较。
解：处于基态的氢原子波函数为：ψ 100 ( r ) =
1
π a3
e
−
r a
式中 a 就是玻尔半径 a0 。半径 r 的平均值可以表示为：
5
r =∫
2π
0
∫ ∫
0
π
∞
0
ψ 100 r 3 sin θ d ϕd θ dr =
如果粒子的波函数为 Ψ ( r ,θ ,ϕ ) ，试求：(1)在 r → r + dr 的球壳内找到粒子的概率；(2)在 (θ ,ϕ )
方向上、在 d Ω = sin θ dθ d ϕ 立体角内找到粒子的概率。
解(1)在 r → r + dr 的球壳内找到粒子的概率： ⎡
⎢ ∫0 ⎣
π
(∫
2π
0
2 2 Ψ ( r , θ , ϕ ) d ϕ sin θ d θ ⎤ ⎥ r dr ⎦
(2)
在势阱范围内、并使式(1)得到满足的 m 值只能是 0、1、2.因为当为 0 和 1 时，x = 0 和 a ，波函数 及其概率密度都等于零， 对应于概率密度极小值。 所以能满足概率密度极大值的只能是 m = 1， 此时 x =
a 。 2
当粒子处于状态: ψ 2 ( x ) =
2 2π x sin a a
即： −
ℏ2 2 ∇ Ψ ( x, y, z ) = EΨ ( x, y, z ) 2m 2 mE Ψ ( x, y, z ) = 0 ℏ2
或： ∇ 2 Ψ ( x, y, z ) +
(2)当粒子在有心力场中运动时，粒子的能量应为： E =
p2 p2 A +U (r) = + 2m 2m r
2
ˆ =− 哈密顿量应写为： H
)
(
)
(
)
16-5
试写出下面两种情况下粒子的定态薛定谔方程：(1)自由粒子；(2)在有心力场中运动的粒子。
解：(1)自由粒子的动能为
ℏ2 2 ℏ2 ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ p2 ，写成算符为： − ∇ =− ⎜ 2+ 2+ 2⎟ 2m 2m ⎝ ∂ x ∂ y ∂ z ⎠ 2m
ˆ Ψ ( x, y, z ) = EΨ ( x, y, z ) 因为在这种情况下， 粒子的动能就是粒子的总能量 E， 所以定态薛定谔方程为： H
第十六章 量子力学基础
16-1 试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。
答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数 Ψ ( r , t ) 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动 性，就是德布罗意波，也称为概率波。它与经典物理中的波有如下区别：
�
（1）描述微观粒子的波函数 Ψ ( r , t ) 并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。这与经典 物理中的波是不同的。
�
�
2
波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。（3）波函数允许包含 一个任意的常数因子（即： Ψ ( r , t ) 与 AΨ ( r , t ) 描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数
�
�
1
� � Ψ1 ( r , t ) 、 Ψ 2 ( r , t ) ⋯ 都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加也是这个系统的一个可能
=−
⎛ ⎞ e2 1 e 2 me e 2 me e 4 me e 4 =− =− = 2⎜ − ⎟ = 2E1 2 2 2 2 2 ⎜ ⎟ 4πε 0 a0 4πε 0 4πε 0 ℏ ( 4πε 0 ) ℏ ⎝ 2 ( 4πε 0 ) ℏ ⎠
其中： E1 = −
me e4
2 ( 4πε 0 ) ℏ2
时，发现粒子的概率密度为: ψ 2 ( x )
2
=
2 2 2π x . sin a a
对上式求极值:
2 d d ⎡2 2π x ⎤ 4π x a ψ 2 ( x ) = ⎢ sin2 = 0 解得： sin = 0 故得： x = m dx dx ⎣ a a ⎥ a 4 ⎦
在势阱范围内、符合概率密度极大值条件的 m 是 1 和 3，即： x =
的量子态。（5）波函数必定是复数。
16-3 如果粒子的波函数为 Ψ ( x, y, z ) ，试求出在 x → x + dx 、 y → y + dy 、 z → z + dz 范围内找到粒 子的概率的表达式。
解：在题意所述范围内找到粒子的概率为： Ψ ( x , y , z ) dxdydz
2
16-4
)
(2)在 (θ , ϕ ) 方向上、在 d Ω = sin θ dθ d ϕ 立体角内找到粒子的概率为：
∫
∞
0
( Ψ ( r,θ ,ϕ )
2
∞ ∞ 2 2 r 2 sin θ dθ d ϕ dr = ⎡ Ψ ( r , θ , ϕ ) r 2 dr ⎤ sin θd θd ϕ = ⎡ Ψ (r , θ , ϕ ) r 2 dr ⎤ dΩ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
氢原子基态能量。
所以，基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的 2 倍。
6
a 3a 和x= 4 4
15-9 试比较一维线性谐振子与经典的弹簧振子的区别
答：（1）按照经典力学的结论，一维谐振子的能量如式 E =
1 2 1 kA = µω 2 A 2 所表示，如果在势能曲线 2 2
的纵轴上取与振子能量相应的 E 点， 过 E 点作 x 轴的平行线，交势能曲 线上 M、N 两点，如图所示。M 和 N 所对应的横坐标的绝对值就是振子 的最大位移，振子只能处于 x ≤ A 的范围内， x > A x 的区域则是经 典禁区，振子是不可能进入这个区域的。而在量子力学中，由于隧道效 应，粒子可以到达经典禁区，也就是说，在所谓“经典禁区”内发现粒
�
（2）微观粒子的波函数 Ψ ( r , t ) 的模的平方： Ψ ( r , t ) 表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概 率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。这与经典物理中的波也是不同的。
�
�
2
（3）在经典物理学中，波函数 Ψ ( r , t ) 和 AΨ ( r , t ) (A 是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态； 而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的 概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点 r i 和 r j 下面的关系必定成立：