大学物理麦克斯韦速率分布律资料
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06-3麦克斯韦速率分布律
由定义式 f ( v)
dN
可看出 f (v)的意义是：
dv v 表示速率在 附近
因为 所以
v 0
dN
0
N， 即
v 0
dN N
1
f (v ) d v 1
这称为速率分布函数 的归一化条件。
二 、麦克斯韦速率分布函数
1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 分子速率分布函数为： 无外场的平衡态（T）下，
数的比例为万分之2.58 。
五、三种统计平均值
最可几速率 v p
2kT m 2 RT RT 1.41 M mol M mol
8 RT RT 1.60 π M mol M mol
平均速率
8kT v πm
2
方均根速率
3kT v m
3RT RT 1.73 M mol M mol
另一种是用连续的分布函数来描述： 设：dN 为速率v v +dv 区间内的分子数，
N 为总分子数， 则： dN N d v， dN 即 dv N 由于dN / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与 总分子数之比，所以它应与v 的大小有关， 可以 dN dN 写成： f (v) 即 f ( v) d v ， N dv N
0
x (v ) Nf (v )dv N
0 x (v ) f (v )dv
例 T 300K时， v p 395m/s ， v 取 v 790m/s，v 10m/s，则 u 2， vp v 10 u v p 395 N 4 u2 2 e u u N π 4 22 2 10 4 e 2 2.58 10 395 π 即：速率为790 — 800m/s的分子数占总分子
大学物理第十二章气体动理论第6节 麦克斯韦气体分子速率分布律
解
m(H 2 ) m(O2 ) v p ( H 2 ) v p (O 2 )
vp (H2 ) 2 000m.s-1
2kT vp m
o
2 000
v/ ms
1
vp ( H 2 )
m( O 2 ) 32 4 v p (O 2 ) m( H 2 ) 2
vp (O2 ) 500m.s
f ( v)
dS
dN f ( v)dv dS N
v
第十二章 气体动理论
o
v v dv
概率密度
3
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
f (v)dv物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态下，速 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在 v v dv 区间的分 子数占总分子数的百分比.
第十二章 气体动理论
4
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
dN Nf ( v)dv 速率在 v v dv 内分子数： 速率位于 v1 v2区间的分子数： v2 N v N f (v)dv 1 速率位于 v1 v2 区间的分 f ( v)
-1
第十二章 气体动理论
17
f (v )
vp v v
2
第十二章 气体动理论
vp v 2 v
v
15
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
讨论 1 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函 数 f ( v) . 求 （1） 速率在 vp ~ v 间的分子 数；（2）速率在 vp ~ 间所有分子动能 之和 . 解 （ 1）
5麦克斯韦速率分布
2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n
i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
大学物理,气体动理论14-06 麦克斯韦气体分子速率分布律
i ~ i 1
N i
N i N
5
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克 斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻 耳兹曼由经典统计力学导出。 由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布 的实验，直到20世纪二十年代才实现。 1920年斯特 恩首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物 理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年 密勒和库士测出钍蒸汽分子的速率分布。 斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分 布律的实验。实验证实了麦克斯韦的分子按速率分 布的统计规律。
14.6 麦克斯韦速率分布律
一 测定气体分子速率分布的实验
第14章 气体动理论
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸汽 狭 缝
v l
显 示 屏
8
l
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
9
14.6 麦克斯韦速率分布律
测量原理
第14章 气体动理论
(1) 能通过细槽到达检测 器的分子所满足的条件 L v L v (2) 通过改变角速度ω的 大小，选择速率 v
28
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
求：速率在 v1 ~ v2 之间的分子的平均速率。
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比 相应速率下的分子数。
10
14.6 麦克斯韦速率分布律
速率区间 (m/s) 实验数据 氧分子在 273K时的 速率分布
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
-麦克斯韦速率分布律
0
x x x
x
太原理工大学物理系
一、 速率分布函数
o
+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N
N + 间隔内分子数与分子总数N之比 N
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2
3kT m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
2kT m
3 2
v
2 p
太原理工大学物理系
f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )
2
e
1 2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
太原理工大学物理系
四、分子速率的实验测定
速率分布函数 f(v)可写为
f (v) 4 (
m
)3
2
v2e
mv2 2kT
2 kT
4
1
3
2
v2 v3p
ev2
v
2 p
4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
太原理工大学物理系
f (v)
4
2
v ev2
v
2 p
v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (vp )
4 1 e1
mol用于讨论速率分布用于计算分子的平均平动动能三种速率的使用场合地球形成之初大气中应有大量的氢氦但很多分子和he原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率112kms故现今地球大气中已没有氢和氦了
04麦克斯韦速率分布律-PPT文档资料
9
讨论： 1）vP与温度T的关系
f (v )
T1
2kT vp m
T2
T v p
T 2 T 1
曲线的峰值右移,由 于曲线下面积为1不变， 所以峰值降低。
o
v p1
v p2
v
f (v )
m2
2）vP与分子质量m的关系
m1
m m vp m 2 1
曲线的峰值左移,由 于曲线下面积为1不变， 所以峰值升高。
N dN Nf ( v ) dv 在 v v2区间内的分子数为 1
N v2 f (v) dv 在 v v2有限区间内的概率为 1 v 1 N v 2 v dN Nvf ( v ) dv 在 v v 区间内的总速率 1 2 v
v 1 v 1
v 2
v 2
1
4
N dN Nf ( v ) dv 在 v v2区间内的分子数为 1
1.将速率从 0 分割成很多相等的速率区间。 例如速率间隔取10m/s , 整个速率分为0—10；10—20；…等区间。 在 v v v 区间内的 分子数为 N 2.总分子数为N，
N/ N 在 v v v 区间内的概率为
2
在 v v v 区间内的 分子数为 N 2.总分子数为N，
0
vf(v)dv 平均速率： v vf(v)dv f(v)dv m e vdv 4 kT 2
0
8kT v m
0
3 /2
2 mv 2 kT 3
0
8 kT m
11
8 RT 8kT 上下同乘N 有： RT v v 1.59 A M mol M mol m
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当 v 0时， v dv ； N dN； 2. 速率分布函数 f(v) 的定义
f ( v)
注意： 在平衡态下，f(v)仅是v的函数。 O
N dN f (v) lim v 0 vN N dv
v v+Δv
v
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3. 速率分布函数 f(v) 的意义：概率密度函数 ※分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数占总 分子数的百分比(比率)； ※对单个分子来说，它表示分子速率落在该单位速 率间隔内的概率。 4. 速率分布曲线 在v-v+dv区间的分子数占总分子数的百分比(概率)为 f ( v ) dN dN f (v)dv 面积 N N N 面积 v N 2 N 在v1-v2区间 f (v)dv v1 N 在0-区间有 f (v)dv 1
0
——归一化条件
O dv
v1 v2
v
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三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理 导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式
m 32 f (v) 4π( ) e 2πkT
f (v )
mv2 2 kT
v
2
麦克斯韦速 率分布函数
麦克斯韦速率分布曲线 它是二次函数 v2 与指数函数 mv 2 exp 共同作用的结果。 2kT
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例题5-5 从速率分布函数推算分子的三个统计速率 (1)算术平均速率 2
v vf (v)dv 0
0
m 32 v 4 π( ) e 2πkT
mv 2 kT
v dv
2
8kT πm
(2)方均根速率
2 2
RT 8 RT 1.60 M mol πM mol
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分子速率分布实验曲线（柱状图）如下所示：
相 对 分 子 数
O
分子速率分布实验曲线
v
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二、速率分布函数
1.研究气体分子的速率分布 •把速率分成若干相等区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比 速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间， 全部分子如何分配到这些区间中去的问题。 分上页 下页 返回 退出
当铝钢圆柱体以给定角 速度 转动时，只有满足下 列关系式的原子才能顺利通 过细槽出口：
L t v
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形 细槽的铝钢圆柱体。
v L
这里的斜槽是一速率选择器。
而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通 过。改变角速度，检测器D则测出通过细槽的不 同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率 分布，见下图。
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 •在气体动理论方面，他还提出气体分子 基人，气体动理论 按速率（速度）分布的统计规律。 的创始人之一。
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麦克斯韦速率分布函数（概率密度）
m mv2 / 2 kT 2 f (v ) 4 π v e 2πkT
O
vpv v 2
v
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三个速率都与 T 成正比，与 m或 M 成反比， vp v vrms，在室温下它们的数量级一般在几百米 每秒至几千米每秒。
三种统计速率有不同的应用： 在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计 算分子碰撞频率时，要用到平均速率；在计算分子 的平均平动动能时，则要用到方均根速率。
3 2
复杂的系数 是因归一化 的需要！
式中 T 是气体的热力学温度， m是每个分子的质量， k 是 玻耳兹曼常量。 特点：曲线从坐标原点出发，经 过一极大值后，随着速率的增大 而逐渐趋近于横坐标轴。这说明 气体分子速率可以取从 0到∞之间 的一切数值。速率很大和速率很 小的分子数所占的比率都很小， f(0)=f(∞)=0 ，而具有中等速率的 分子数所占的比率却很大。
§5-5 麦克斯韦速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
一、分子速率分布的实验测定 密勒和库士实验（1955年）
铊蒸气源
108 mmHg
检测器
O 抽气
B
L
C
D
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形细槽 的铝钢圆柱体。
m 2 m 2 v v df m 32 m 2 4 π( ) [2ve 2 kT v ve 2 kT ]v vp 0 dv 2πkT kT
2 RT RT 2kT 1.41 vp M mol M mol m
(4)三种速率的关系
f (v )
vp v v 2
vp : v : v 2 1.41:1.60 :1.73
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O
v
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831—1879）
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 电磁规律的一个里程碑。
将速率分成若干相等的区间，如
0 ~ 10 m/s; 10 m/s ~ 20 m/s; 20 m/s ~ 30 m/s;
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设任一速率区间为： v ~ v v 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 v N ——分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数 vN 占总分子数的比率。
v v f (v)dv
0
0
m 32 v 4 π( ) e 2πkT
2
mv 2 2 kT
v dv
2
RT 3RT 3kT 1.73 v M mol M mol m
2
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(3)最概然速率(the most probable speed)：vp 最概然速率是指在任一温度T 时，气体中分子最可能 具有的速率值。即在v =vp时，分布函数取极大值。
f ( v)
注意： 在平衡态下，f(v)仅是v的函数。 O
N dN f (v) lim v 0 vN N dv
v v+Δv
v
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3. 速率分布函数 f(v) 的意义：概率密度函数 ※分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数占总 分子数的百分比(比率)； ※对单个分子来说，它表示分子速率落在该单位速 率间隔内的概率。 4. 速率分布曲线 在v-v+dv区间的分子数占总分子数的百分比(概率)为 f ( v ) dN dN f (v)dv 面积 N N N 面积 v N 2 N 在v1-v2区间 f (v)dv v1 N 在0-区间有 f (v)dv 1
0
——归一化条件
O dv
v1 v2
v
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三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理 导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式
m 32 f (v) 4π( ) e 2πkT
f (v )
mv2 2 kT
v
2
麦克斯韦速 率分布函数
麦克斯韦速率分布曲线 它是二次函数 v2 与指数函数 mv 2 exp 共同作用的结果。 2kT
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例题5-5 从速率分布函数推算分子的三个统计速率 (1)算术平均速率 2
v vf (v)dv 0
0
m 32 v 4 π( ) e 2πkT
mv 2 kT
v dv
2
8kT πm
(2)方均根速率
2 2
RT 8 RT 1.60 M mol πM mol
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分子速率分布实验曲线（柱状图）如下所示：
相 对 分 子 数
O
分子速率分布实验曲线
v
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二、速率分布函数
1.研究气体分子的速率分布 •把速率分成若干相等区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比 速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间， 全部分子如何分配到这些区间中去的问题。 分上页 下页 返回 退出
当铝钢圆柱体以给定角 速度 转动时，只有满足下 列关系式的原子才能顺利通 过细槽出口：
L t v
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形 细槽的铝钢圆柱体。
v L
这里的斜槽是一速率选择器。
而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通 过。改变角速度，检测器D则测出通过细槽的不 同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率 分布，见下图。
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 •在气体动理论方面，他还提出气体分子 基人，气体动理论 按速率（速度）分布的统计规律。 的创始人之一。
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麦克斯韦速率分布函数（概率密度）
m mv2 / 2 kT 2 f (v ) 4 π v e 2πkT
O
vpv v 2
v
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三个速率都与 T 成正比，与 m或 M 成反比， vp v vrms，在室温下它们的数量级一般在几百米 每秒至几千米每秒。
三种统计速率有不同的应用： 在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计 算分子碰撞频率时，要用到平均速率；在计算分子 的平均平动动能时，则要用到方均根速率。
3 2
复杂的系数 是因归一化 的需要！
式中 T 是气体的热力学温度， m是每个分子的质量， k 是 玻耳兹曼常量。 特点：曲线从坐标原点出发，经 过一极大值后，随着速率的增大 而逐渐趋近于横坐标轴。这说明 气体分子速率可以取从 0到∞之间 的一切数值。速率很大和速率很 小的分子数所占的比率都很小， f(0)=f(∞)=0 ，而具有中等速率的 分子数所占的比率却很大。
§5-5 麦克斯韦速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
一、分子速率分布的实验测定 密勒和库士实验（1955年）
铊蒸气源
108 mmHg
检测器
O 抽气
B
L
C
D
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形细槽 的铝钢圆柱体。
m 2 m 2 v v df m 32 m 2 4 π( ) [2ve 2 kT v ve 2 kT ]v vp 0 dv 2πkT kT
2 RT RT 2kT 1.41 vp M mol M mol m
(4)三种速率的关系
f (v )
vp v v 2
vp : v : v 2 1.41:1.60 :1.73
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O
v
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831—1879）
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 电磁规律的一个里程碑。
将速率分成若干相等的区间，如
0 ~ 10 m/s; 10 m/s ~ 20 m/s; 20 m/s ~ 30 m/s;
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设任一速率区间为： v ~ v v 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 v N ——分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数 vN 占总分子数的比率。
v v f (v)dv
0
0
m 32 v 4 π( ) e 2πkT
2
mv 2 2 kT
v dv
2
RT 3RT 3kT 1.73 v M mol M mol m
2
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(3)最概然速率(the most probable speed)：vp 最概然速率是指在任一温度T 时，气体中分子最可能 具有的速率值。即在v =vp时，分布函数取极大值。