第二篇高级统计方法-多因素设计试验
高级统计方法 多因素实验的方差分析
表 11-1
家兔神经缝合后的轴突通过率( ) 家兔神经缝合后的轴突通过率 (%)
束膜缝合( 束膜缝合( a 2 ) 1 月( b1 ) 10 20 30 50 30 28 2 月( b 2 ) 50 50 70 60 30 52 合计
A (缝合方法) 缝合方法) B (缝合后时间) 缝合后时间)
外膜缝合( 外膜缝合( a1 ) 1 月( b1 ) 10 10 40 50 10 2 月( b 2 ) 30 30 70 60 30 44
表 11-1
家兔神经缝合后的轴突通过率( ) 家兔神经缝合后的轴突通过率 (%)
束膜缝合( 束膜缝合( a 2 ) 1 月( b1 ) 10 20 30 50 30 28 2 月( b 2 ) 50 50 70 60 30 52 合计
A (缝合方法) 缝合方法) B (缝合后时间) 缝合后时间)
外膜缝合( 外膜缝合( a1 ) 1 月( b1 ) 10 10 40 50 10 2 月( b 2 ) 30 30 70 60 30 44
第十一章 多因素实验的方差分析 (P181) 第一节 析因设计的方差分析
第一节 析因设计的方差分析
单因素试验与多因素试验概念 当重点的研究因素为一个因素时叫单因 素试验 当重点的研究因素为两个或两个以上因 素时叫多因素试验
设计类型 完全随机设计 （单因 素多水 平） 随机区组设计 （双因 素多水 平） 拉丁方设计 （三个因素且水 平 数 相 同 ,无 交 互 无 作用） 析因设计（多因 素多水平有重复 数据，可观察交 互作用） 正交设计 嵌套设计 裂区设计 重复测量设计
变异分拆
பைடு நூலகம்
重点研究因素 一个处理因素
组内
试验类型
临床试验常用统计分析方法-多因素
0
10
20
No. at risk Ticagrelor
Days after randomisation
9,333
8,942
8,827
Clopidogrel 9,291
8,875
8,763
30
8,763 8,688
0
HR 0.80 (95% CI 0.70–0.91), p<0.001
31 90 150 210 270 330 Days after randomisation*
Cumulative incidence (%) Cumulative incidence (%)
8
8
6
6
Clopidogrel
5.43
4.77
4
Ticagrelor
4
Clopidogrel
6.60
5.28
Ticagrelor
2
2
0
HR 0.88 (95% CI 0.77–1.00), p=0.045
DIED
2 1 4 1 1
CENSORED 2
1 1
1
1
1
生存函数的估计
INTERVAL
STARTED INTERVAL
DIED
CENSORED P(SURV)
S(t)
0-1
20
2
1-2
16
1
2-3
15
4
3-4
10
1
4-5
8
1
5-6
7
6-7
7
1
7-8
5
8-9
5
1
9-10
4
2
高级篇 第二章 正交试验设计及统计分析-方差分析
0.415
（2）显著性检验
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24
变异来源
A B C△ 误差e 误差e△ 总和
平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03
自由度 2 2 2 2 4
表10-24 方差分析表
均方 F值
Fa
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
油温℃A 1 1 2 2 3 3 4 4
1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04 46.24
表10-27 试验方案及结果分析
含水量％B 油炸时间s C
1
1
空列 1
2Hale Waihona Puke 2211
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2 11.4
1 10.2
1 12.1
11.5
12.7
10.8
空列 1 2 2 1 2 1 1 2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
0.16
0.41
0.285
显著水平 ** *
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优 水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影
响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。 即温度为58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
K2k2 SST＝QT CT
…
Kmk2 SSk
Q
＝
j
1 r
多因素试验
Tr2 C 702 682 632 1496.33 2.89
ab
33
SSe SST SSr SSt 7.78
对处理组合平方和进行分解
SS A
TA2 C 612 692 712 1496.33 6.23
r b
33
SSB
TB2 C 702 652 662 C 1.56
变异来源 DF SS MS
F
F0.05
F0.01
区组间
2 2.89 1.45 2.96 3.63 6.23
处理组合间 8 30.00 3.75 7.65** 2.59 3.89
A因素
2 6.23 3.12 6.37** 3.63 6.23
B因素
2 1.56 0.78 1.59 3.63 6.23
A×B
⑤ 依据极差大小排主次。极差越大，该因素在试验中的效果 越大，影响试验结果越明显。本例中各因素影响效果依次是：
B因素、A因素、C因素
⑥ 依据各因素各水平的平均数作直观图
600
500
400
300
200
100
0
A1
A2
B1
B2
C1
C2
◆B因素的线条变化最大，则B因素对试验结果影响最大。
◆找出最佳处理组合。该试验A1B2C1组合最佳。
A3B1 6
Ⅲ区组 A1B3 A2B1 A1B2 A2B2 A3B3 A1B1 A2B3 A3B2
68669868
1）将上述资料整理成便于计算的表 水稻品种和密度试验小区产量记总表
处理
A1B1 A1B2 A1B3 A2B1
A2B2 A2B3 A3B1 A3B2 A3B3 总和Tr
多因素设计测试用例的方法
多因素设计测试用例的方法在软件测试领域，多因素设计测试用例是一种重要的测试方法。
它通过对多个因素进行组合，全面评估被测系统的功能、性能和稳定性。
本文将详细介绍多因素设计测试用例的方法，帮助您提高软件测试的效率和质量。
一、多因素设计测试用例的概述多因素设计测试用例是指在测试过程中，将多个因素（如输入条件、操作步骤、环境配置等）进行组合，形成不同的测试场景，以便全面验证被测系统的功能、性能和稳定性。
这种方法可以提高测试的覆盖率，降低软件在实际应用中出现问题风险。
二、多因素设计测试用例的步骤1.确定测试因素在多因素设计测试用例之前，首先要明确测试的目标和范围，确定影响测试结果的各种因素。
这些因素可能包括：- 输入条件：有效值、边界值、无效值等；- 操作步骤：正常操作、异常操作、错误操作等；- 环境配置：硬件、软件、网络等；- 用户权限：管理员、普通用户、受限用户等。
2.划分因素水平将确定的测试因素划分为不同的水平（即不同的取值），以便进行组合。
例如：- 输入条件：有效值（正常输入）、边界值（最大/最小值）、无效值（错误输入）；- 操作步骤：正常操作（按照预期流程执行）、异常操作（非预期流程）、错误操作（违反规定的操作）；- 环境配置：标准配置、最低配置、最高配置；- 用户权限：管理员、普通用户、受限用户。
3.创建测试用例组合根据划分的因素水平，创建测试用例组合。
可以采用以下方法：- 正交法：选择具有代表性的组合进行测试，降低测试用例的数量；- 完全组合法：对所有可能的组合进行测试，测试覆盖率较高，但测试用例数量较多；- 帕累托法则：根据因素的重要程度，优先测试影响较大的组合。
4.编写测试用例根据测试用例组合，编写详细的测试用例。
测试用例应包括以下内容：- 测试编号：便于管理和跟踪；- 测试目的：明确测试的目标；- 测试步骤：详细描述测试的操作步骤；- 预期结果：描述测试执行后的预期结果；- 实际结果：记录测试执行后的实际结果；- 测试环境：记录测试执行时的环境配置；- 测试人员：记录测试执行人员。
多因素试验的统计分析
abr 1 ( 1) (ab 1) ( 1)(ab 1)
《试验统计方法》
第一节 二因素随机区组试验的统计分析
其中, ab 1 a 1 (b 1) (a 1)(b 1)
处理组合的自由度 A的自由度 B的自由度 A B自由度 ab a b ab ( y kl y ) 2 b ( y k y ) 2 a ( yl y ) 2 ( y k l y k yl y ) 2 1 1 1 1 处理组合平方和 SSt A的平方和SS A B的平方和SSB A B的平方和SS AB
1.59
3.63
3.63
6.23
6.23
4
16 26
22.21
7.78 40.67
5.55
0.49
11.33**
3.01
4.77
误差 总变异
《试验统计方法》
第一节 二因素随机区组试验的统计分析
4. 多重比较
品种间比较 此处以各品种的小区平均数进行新复极差测验。假设为H0:μA1 = μA2 = μA3 对HA：μA1、μA2 、 μA3不全相等。算得
SS R SSt T T r
t
dfT rab 1 3 3 3 1 26
702 682 632 C 1496.33 2.89 ab 3 3
2
2 r
df R r 1 3 1 2 dft ab 1 3 3 1 8 dfe dfT dfR dft 26 2 8 16
242 202 C 3
282
1496.33 30.00
SSe SST SSR SSt 40.67 2.89 30 7.78
多因素实验设计案例
多因素实验设计案例实验设计是科学研究中非常重要的一部分，通过设计合理的实验，可以解决研究中的问题，并得出科学的结论。
多因素实验设计是一种考虑多个因素影响的实验设计方法。
下面将介绍一个多因素实验设计的案例。
假设我们想要研究不同养殖环境对鸡蛋孵化率的影响。
我们认为孵化率可能受到环境温度、湿度和光照强度等多个因素的影响。
我们选择了温度、湿度和光照强度作为研究因素，并设计了一个三因素二水平的实验。
首先，我们需要确定温度、湿度和光照强度的两个水平。
根据之前的研究和经验，我们选择了25°C和30°C作为温度的两个水平，60%和70%作为湿度的两个水平，5000 lx和7000 lx作为光照强度的两个水平。
接下来，我们需要确定实验的处理组合。
因为是一个三因素二水平的实验，所以总共有2^3=8个处理组合。
我们列出所有的处理组合如下：温度（A）湿度（B）光照强度（C）25°C 60% 5000 lx25°C 60% 7000 lx25°C 70% 5000 lx25°C 70% 7000 lx30°C 60% 5000 lx30°C 60% 7000 lx30°C 70% 5000 lx30°C 70% 7000 lx然后，我们需要随机分配实验单元到不同的处理组合中。
为了消除可能的混杂效应，我们可以采用随机化的方法。
将每个处理组合写在一张卡片上，然后将这些卡片放入一个袋子中，并在实验开始前适当搅拌袋子，然后取出一张卡片，即为一个处理组合。
在实验开始前，我们需要确定每个处理组合的重复次数。
根据实验资源的限制和统计学原则，我们选择每个处理组合的重复次数为3次。
也就是说，我们需要在每个处理组合中重复实验3次。
在实验进行过程中，我们需要记录每个处理组合的孵化率。
我们可以通过统计每个处理组合中鸡蛋的成功孵化数量并除以总的鸡蛋数量来得到孵化率。
多因素实验设计
3多因素组内实验设计多因素组内（被试内）实验设计是单因素组内实验设计的扩展。
在多因素被试内实验设计中，基本方法是：随机取样被试，参加实验的被试接受全部实验处理水平的结合。
以两因素被试内实验设计举例，表2中自变量A因素有两个水平，B因素有四个水平。
两个因素共有2×4=8种处理水平的结合，即A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4。
参加实验的每个被试接受所有自变量实验处理水平的结合。
实验设计的基本思想是，由于每个被试接受所有的试验处理水平的结合，因而实验处理后测量到的差异应当来自A因素、B因素，或来自A因素与B因素的交互作用。
表2 两因素被试内实验设计举例4混合实验设计在多因素实验设计中，当两个或多个因素均为被试间因素时，我们称之为组间或被试间实验设计，当两个或多个因素均为被试内因素时，我们称之为组内或被试内实验设计。
然而，还有一种可能性，多因素实验设计中的自变量既包含有被试间因素，又包含有被试内因素，这种情况我们称之为混合实验设计（Mixed Factorial Design）。
混合实验设计的基本方法是，首先确定实验中的被试间因素和被试内因素，将被试按被试间因素的水平数随机分组，然后，每组被试接受被试间因素的某一处理水平与被试内因素所有处理水平的结合。
我们仍以两因素混合实验设计举例，表3中自变量A因素是被试间因素，有两个水平，B因素是被试内因素，有四个水平。
两个因素共有2×4=8种处理水平一种常用的方法是在确认分解的各因素之间不存在交互作用的前提下，将复杂的多变量实验设计分解为若干个单因素和简单的多因素实验设计，分多次实施实验，然后再将多个实验获得的数据放到一起进行分析和讨论，这样就减少了由于实验设计的复杂给主试和实验者实施实验带来的困难，提高了实验者对实验过程的可控性。
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第十一章 多因素设计试 验 第一节 析因设计试验
1. 含义与特点： 析因设计是多因素多水平的设计类型，既可分
析各因素的单独作用，即每个因素的水平间效应有 无差异，还可分析因素间的交互作用，即某因素的 水平改变可造成其它因素的效应发生改变。
它是将每个因素的所有水平组合在一起，每种 组合作为一种处理组，每一组有若干例重复，因此 在因素和水平数较多时，样本含量要相当大。
10
50
10
30
20
50
40
70
30
70
50
60
50
60
10
30
30
30
a2 a1 b2 b1
Xi
24 120 4400
44 220 11200
28 140 4800
52 260 14400
合计
740 34800
表-2 2因素2水平析因试验均数差别
A因素
B因素
S处S理SAS＋SBS＋S交S互 S总S＝S处S＋理S误S差
表11-15 雌螺产卵条件因素与水平
因素 A因素 B因素
C因素 D因素
水平 温度(℃) 含氧量(%) 含水量(%) pH值
1
5
0.5
10
6.0
2
25
5.0
30
8.0
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7 8
表11-16 雌螺产卵条件的正交试验结果 A因素 B因素 C因素 D因素 温度(℃) 含氧量(%) 含水量(%) pH值
b 23 366 368 352 351 … … 359 b 1 3 T 1 k 358 356 372 373 … … 365 724
表11-20 雌螺产卵条件的 20cm2 正交试验方差分析表
变异来源 自由度
SS
MS F
P
总变异
7
146.0
A(温度)
1
8.0 8.0 3.2 >0.05
B(含氧量) 1
19 7420
（处理组间） （3） （2620）
A
1
180 180 0.60 >0.05
B
1 2420 2420 8.07 <0.05
AB
1
20 20 0.07 >0.05
误差
16 4800 300
27＝ 1， 28 2－ 1 （ ） 7＋ 1＝ 8。L8 ( 2 7 )
第 二节 正交设计
正交设计试验是一种多因素多水平的试验， 它是按照正交表的设计安排试验。
7
2211221
8
2212112
正交表的性质： 1.每列中各水平出现的次数相等； 相邻两列的水平组合出现的次数相等。
20cm2 正交设计表的表头设计
因素 实施 个数 比例 1 2 3
列号
4
5
67
3 1 A B AB C AC
BC ABC
4 1/2 A B AB=CD C AC=BD BC=AD D
18.0 18.0 7.2 >0.05
C(含水量) 1
60.5 60.5 24.2 <0.05
实施比例＝1为析因设计，三个因素各有用和不用两个水 平，他们的全搭配共有以下8种（用为1，不用为0）。
T 2k
例11-4 研究雌螺产卵的最优条件，在 X 的泥盒里
饲养同龄雌螺10只，试验条件有4个因素（表11-15），每
个因素2个水平。试在考虑温度与含氧量对雌螺产卵有交
互作用的情况下安排正交试验。
正交设计是以牺牲分析各因素的部分或大部分 交互作用为代价的，因此最佳组合也是相对的。
正交试验资料的分析方法可采用直观分析和 方 差分析。
表11-13 20cm2 正交表
处理
列号
方案号 1 2 3 4 5 6 7
1
1111111
2
1112222
3
1221122
4
1222211
5
2121212
6
2122121
。试验结果为家兔神经缝合后的轴突
通过率(%)（注：测பைடு நூலகம்指标，视为计量资料），见
表11-1，试做析因分析。
表11-1 家兔神经缝合后的轴突通过率(%)
A(方法) 外膜缝合( b 1 )
束膜缝合( a 1 )
B(时间) 1月( b 2 ) 2月( X i2) 1月(b 2 ) 2月( X i)2
10
30
例11-1 将20家兔随机等分4组，每组5只，进
行神经损伤后的缝合试验。处理由两个因素组合
而成，A因素为缝合方法，有两水平，一水平为外
膜缝合，记作 b 1 ，另一水平为束膜缝合，记作
a 1 ，B因素为缝合后的时间，有两水平，一水平
为缝合后1个月，记作 b 2 ，另一水平为缝合后2个
月，记作
X
2 i
正交设计试验不仅能分析各因素的单独效应 及效应的主次，还可分析因素间的交互作用，找 出诸因素各水平的最佳组合。
正交设计试验是一种各因素各水平的部分组 合试验，因此和析因设计相比较为节省。
正交设计试验的组合数计算：
组合数＝(水平数－1)×因素数＋1
A 1B 0C 0,A 0B 1 C 0,A 0B 0C 1,A 1B 1 C 0, A 1B 0C 1,A 0B 1 C 1,A 1B 1 C 1,A 0B 0C 0 。
序号 (A) (B) (AB) (C)
(D) X
1111 2111
1 1 1 1 86 2 2 2 2 95 181
3122 4122
1 1 2 2 91 2 2 1 1 94 185
5212 6212
1 2 1 2 91 2 1 2 1 96 187
7221 8221
1 2 2 1 83 171 2 1 1 2 88
析因设计的各因素水平数可以相等，也可不等。 各因素的组合数等于各因素水平数的乘积。
2. 模式：例如两因素（甲、乙）两水平（1、2） 的析因设计实验，共有四种搭配，分为四组：
A
B
C
D
（甲1乙1） （甲1乙2） （甲2乙1） （甲2乙2）
（ 区 组 ）
…… …… …… ……
3. 随机化：将观察对象按完全随机方法分配到各 处理组中，或按区组随机。
平均
b1
24
44
34
b2
28
52
40
a1
20 24
平均 26
48
22
a2
4
8
6
单独效应：其它因素水平固定，某因素水平间的差异。
主效应：某因素各水平间的平均差别。
交互作用：某因素的单独效应随另一因素水平变化而改变。
表11-5 例11-1析因试验结果的方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异
5
0.5
10
6.0
5
0.5
30
8.0
5
5.0
10
8.0
5
5.0
30
6.0
25
0.5
10
8.0
25
0.5
30
6.0
25
5.0
10
6.0
25
5.0
30
8.0
产卵 数量
86 95 91 94 91 96 83 88
1.直接分析
表11-20 雌螺产卵条件的20cm2 正交试验结果
试验 1 2 3 4 5 6 7 试验结果