信号与系统第七章1郑君里
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信号与系统_郑君里_第三版_课件
2016/5/9
6
积分器：
R
C vo ( t )
微分器： C
vi(t)
vi(t)
R
vo ( t )
电视系统：
黑灰白 消息 变换器 发射机 信道 （空间） 接收机 变换器
黑灰 白 消息
（图像） （摄像机）
（显像管） （图像）
2016/5/9
7
1.2 信号分类和典型信号
1.2.1 信号的分类
对于各种信号，可以从不同角度进行分类。
2016/5/9
5
系统：一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。
系统可分为物理系统和非物理系统。如：电路系统、 通信系统、自动控制系统、机械系统、光学系统等属于 物理系统；而生物系统、政治体制系统、经济结构系统、 交通系统、气象系统等属于非物理系统 。 每个系统都有各自的数学模型。两个不同的系统可 能有相同的数学模型，甚至物理系统与非物理系统也可 能有相同的数学模型。将数学模型相同的系统称为相似 系统。
(t )
t
( t0 )d u (t t0 )
（1）
0 u(t) 1 0
25
u(t)与 (t ) 的关系：
t
2016/5/9
t
( )d u(t )
d u (t ) (t ) dt
t
( t0 )d u(t t0 )
t
d u (t t0 ) (t t0 ) dt
f (t ) (t ) f (0) (t )
f (t )
f (0)
(1)
(t )
(1)
f (0) (t )
《信号与系统》(郑君里)课后习题答案
2
(t )
2
非线性：设 r1 ( t ) = e1
( t ) 、 r2 ( t ) = e2 2 ( t ) ，
2 2 2 2
则⎡ ⎣ c1e1 ( t ) + c2 e2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 e1 ( t ) + c2 e2
2
( t ) + 2c1c2e1 ( t ) e2 ( t ) ≠ c1r1 ( t ) + c2 r2 ( t )
5
即 输 入 x1 ( t ) ， x2 ( t ) 得 到 的 输 出 分 别 为 y1 ( t ) ， y2 ( t ) ， T ⎡ ⎣ x1 ( t ) ⎤ ⎦ = y1 ( t ) ，
T⎡ 。 ⎣ x2 ( t ) ⎤ ⎦ = y2 ( t ) ，则 T ⎡ ⎣ c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 y1 ( t ) + c2 y2 ( t ) （ c1 ， c2 为常数）
解题过程：
(a-1)
(a-2)
(a-3)
4
(a-4)
(b) f ( t ) 为偶函数，故只有偶分量，为其本身
(c-1)
(c-2)
(c-3)
(c-4)
(d-1)
(d-2)
(d-3)
(d-4)
1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性 （1）线性（Linearity） ：基本含义为叠加性和均匀性
f (t )
1 1
f ( 3t )
→
→
-2
-1
0
1
-2/3
f ( 3t − 2 )
→
1/3
f ( −3t − 2 )
(t )
2
非线性：设 r1 ( t ) = e1
( t ) 、 r2 ( t ) = e2 2 ( t ) ，
2 2 2 2
则⎡ ⎣ c1e1 ( t ) + c2 e2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 e1 ( t ) + c2 e2
2
( t ) + 2c1c2e1 ( t ) e2 ( t ) ≠ c1r1 ( t ) + c2 r2 ( t )
5
即 输 入 x1 ( t ) ， x2 ( t ) 得 到 的 输 出 分 别 为 y1 ( t ) ， y2 ( t ) ， T ⎡ ⎣ x1 ( t ) ⎤ ⎦ = y1 ( t ) ，
T⎡ 。 ⎣ x2 ( t ) ⎤ ⎦ = y2 ( t ) ，则 T ⎡ ⎣ c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 y1 ( t ) + c2 y2 ( t ) （ c1 ， c2 为常数）
解题过程：
(a-1)
(a-2)
(a-3)
4
(a-4)
(b) f ( t ) 为偶函数，故只有偶分量，为其本身
(c-1)
(c-2)
(c-3)
(c-4)
(d-1)
(d-2)
(d-3)
(d-4)
1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性 （1）线性（Linearity） ：基本含义为叠加性和均匀性
f (t )
1 1
f ( 3t )
→
→
-2
-1
0
1
-2/3
f ( 3t − 2 )
→
1/3
f ( −3t − 2 )
郑君里信号与系统课件总复习
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t)eσt 0
t
σ σ0
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu( t )
2.指数函数
0 1
estd
t
1 est 1 s 0 s
L eα t eα testd t
eα st
奈奎斯特抽样间隔
16
重点： 1、傅里叶变换定义和存在条件 2、典型信号的傅里叶变换 3、傅里叶变换的性质 4、抽样定理
1、已知f ( t )的傅里叶变换为F( j )，求信号 f ( 2t 5 )的傅里叶变换
，
2、已知信号f ( t ) sin(1000 t ) 。 当对该信号取样时，试求能恢复原信号的最大抽样周期
t
f ( t ) ( t )dt f ( 0）u（t )
第一章
2、系统框图列微分方程
第二章 连续时间系统的时域分析
➢ 微分方程式的建立与求解
➢ 零输入响应与零状态响应 ➢ 冲激响应与阶跃响应
关系！
➢ 卷积及其性质(方便求零状态响应)
系统分析过程
列写方程: 根据元件约束,网络拓扑约束
整个 s 平面
0
0
0
0
第五章 掌握基本概念 ❖ 滤波器的类型
第七章 离散时间系统的时域分析
❖ 序列的概念、离散时间信号的运算
相加、相乘、序列移位、反褶、尺度倍乘、差分、累加
❖ 常系数线性差分方程的求解
迭代法 时域经典法：齐次解+特解 零输入响应+零状态响应
❖ 离散时间系统的冲激响应与阶跃响应
第四章
❖ 因果系统的s域判决条件：
信号与系统第七章1郑君里
xnT sinΩ0 nT 令 0 Ω0T，离散正弦信号
区别:
xn sin 0 n
连续 连续 连续域的正弦频率 离散域的频率
17
Ω0 ω0
单位 弧度 / 秒 单位 弧度
ω0 π，
7．复指数序列
xn e j0n cos 0 n j sin 0 n
8
1．单位样值信号
0, n 0 ( n) 1, n 0 0, n j 时移性 ( n j ) 1, n j
比例性 c ( n), c ( n j ) 抽样性 f ( n) ( n) f (0) ( n)
( n)
1
O
1
n
( n 1)
2．单位阶跃序列
1 u( n) 0
n0 n0
u( n) 1
1 O
1 23
n
u(n)可以看作是无数个单位样值之和:
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
n与un是差和关系，不再是微 商关系。
x ( n)
1
1 O 1 2 3 4
n
13
5．单边指数序列
xn a n un
a n un
a 1
a n un
0a1
1
1
1
O
1
2
3
4
n
1 O
1
a n un
2
3
4
n
a n un
a 1
1 a 0
1 1 O 1 2
3
1 4
n
信号与系统-课件-郑君里
School of Computer Science and Information
1.1 Signals
Signals are functions of independent variables that carry information. The independent variables can be continuous or discrete. The independent variables can be 1-D, 2-D, ••• , n-D. For this course: Focus on a single (1-D) independent variable which we call “time”. Continuous-Time signals: x(t), t-continuous values. Discrete-Time signals: x(n), n-integer values only.
School of Computer Science and Information
Examples
Electrical signals — voltages and currents in a circuit. Acoustic signals — audio or speech signals. Video signals — intensity variations in an image. Biological signals — sequence of bases in a gene.
School of Computer Science and Information
1.3 Types of Signals
1. Certain Signal and Random Signal
1.1 Signals
Signals are functions of independent variables that carry information. The independent variables can be continuous or discrete. The independent variables can be 1-D, 2-D, ••• , n-D. For this course: Focus on a single (1-D) independent variable which we call “time”. Continuous-Time signals: x(t), t-continuous values. Discrete-Time signals: x(n), n-integer values only.
School of Computer Science and Information
Examples
Electrical signals — voltages and currents in a circuit. Acoustic signals — audio or speech signals. Video signals — intensity variations in an image. Biological signals — sequence of bases in a gene.
School of Computer Science and Information
1.3 Types of Signals
1. Certain Signal and Random Signal
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k )f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0)4、系统的分类与性质?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δ4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统4.3 线性系统与非线性系统①线性性质T[a f (·)] = a T[ f (·)](齐次性)T[ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y(·) = y f(·) + y x(·) = T[{ f(·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性)T[{a f(·) }, {0}] = a T[{ f(·) }, {0}]T[{f1(t) + f2(t) }, {0}] = T[{ f1(·) }, {0}] + T[{ f2(·) }, {0}](零状态线性) T[{0},{a x1(0) +b x2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t -t d)] = y f(t -t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
郑君里信号与系统课件
2 an T1
T1 2 T 1 2
f ( t )dt
余弦分量 系数 正弦分量 系数
T1 2 T 1 2
f ( t ) cos(n1t )dt
2 bn T1
T1 2 T 1 2
f ( t ) sin( n1t )dt
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
尺度变换、初值、终值
卷积特性 拉氏逆变换
部分分式展开法（求系数）
系统函数H(s)
定义（两种定义方式）
求解（依据两种定义方式）
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；
σ t
lim f (t ) e
t
0
σ σ0
三．一些常用函数的拉氏变换
t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
n n1 st t e dt s 0 n n 1 n 所以 L t L t s n1
Lt t e d t
st 0
1 1 st 1 e s2 s s 0 n2 2 2 1 2 2 L t Lt 2 3 s s s s n3 3 2 3 2 6 3 Lt Lt 3 4 s s s s
1 sin( t ) (e jt e jt ) 2j 1 cos(t ) (e jt e jt ) 2
推出 公式
第一章 绪论
关于冲激信号
(at )
1 (t ) a
尺度变换特性
(t ) f (t ) f (0) (t )
T1 2 T 1 2
f ( t )dt
余弦分量 系数 正弦分量 系数
T1 2 T 1 2
f ( t ) cos(n1t )dt
2 bn T1
T1 2 T 1 2
f ( t ) sin( n1t )dt
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
尺度变换、初值、终值
卷积特性 拉氏逆变换
部分分式展开法（求系数）
系统函数H(s)
定义（两种定义方式）
求解（依据两种定义方式）
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；
σ t
lim f (t ) e
t
0
σ σ0
三．一些常用函数的拉氏变换
t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
n n1 st t e dt s 0 n n 1 n 所以 L t L t s n1
Lt t e d t
st 0
1 1 st 1 e s2 s s 0 n2 2 2 1 2 2 L t Lt 2 3 s s s s n3 3 2 3 2 6 3 Lt Lt 3 4 s s s s
1 sin( t ) (e jt e jt ) 2j 1 cos(t ) (e jt e jt ) 2
推出 公式
第一章 绪论
关于冲激信号
(at )
1 (t ) a
尺度变换特性
(t ) f (t ) f (0) (t )
信号与系统郑君里课件
04
信号的频域分析
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的性质
线性、时移、频移、共轭、对称等性质，这 些性质在信号处理中有着广泛的应用。
傅里叶变换
将时间域信号转换为频域信号的数学工具。
傅里叶变换的逆变换
将频域信号还原为时间域信号的过程。
频域表示与频谱分析
01
频域表示
通过傅里叶变换，将信号从时间 域转换到频域，用频率作为自变 量表示信号特性。
系统。
信号与系统的重要性及应用领域
总结词
信号与系统是信息传输和处理的基础，广泛应用于通 信、控制、图像处理等领域。
详细描述
信号与系统是信息科学和技术领域的基础学科，是研究 信息传输和处理的基本理论和方法。在通信领域中，信 号与系统理论用于研究信号的调制解调、频谱分析和信 道容量等问题；在控制领域中，信号与系统理论用于研 究系统的稳定性、时域和频域分析等问题；在图像处理 领域中，信号与系统理论用于研究图像的压缩编码、滤 波和增强等问题。此外，信号与系统理论还在雷达、声 呐、生物医学工程等领域得到广泛应用。
02
信号的时域分析
信号的时域表示
信号的分类
根据不同的特性，信号可以分为连续信号和离散 信号、确定性信号和随机信号等。
信号的时域表示
信号在时间轴上的取值表示，可以是连续的波形 或离散的序列。
信号的基本属性
幅度、频率、相位等。
信号的时域运算
信号的延迟和提前。
信号的微分、积分等时域 变换。
信号的加法、减法、乘法 等基本运算。
系统的频域响应
线性时不变系统的频域响应
01
描述系统对不同频率输入信号的输出响应，包括幅度响应和相
位响应。
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11
( n) u(n) u( n 1)
3．矩形序列
1 RN ( n ) 0
RN ( n )
0 n N 1 n 0, n N
1
1 o 1 2 3
N 1 n
与un的关系：RN (n) u(n) u(n N )
12
4．斜变序列
x( n) nu( n)
xnT sinΩ0 nT 令 0 Ω0T，离散正弦信号
区别:
xn sin 0 n
连续 连续 连续域的正弦频率 离散域的频率
17
Ω0 ω0
单位 弧度 / 秒 单位 弧度
ω0 π，
7．复指数序列
xn e j0n cos 0 n j sin 0 n
第七章离散时间系统的时域分析
离散时间信号、离散时间系统
f tk
离散时间信号： 时间变量是离散的，函数 只在某些规定的时刻有确定的 值，在其他时间没有定义。
t 2 t 1 o
t1 t 2 t 3
tk
离散信号：可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际 系统生成。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信 号。如数字计算机。
1
系统分析
连续时间系统——微分方程描述
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: 拉氏变换法
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: z变换法
1．相加： z(n) x(n) y(n) 2．相乘： z(n) x(n) y(n) z( n) ax( n) 3．乘系数： 4．移位： z( n) x( n m ) z ( n) x ( n m )
x 1 x 0
x n x 3
3
右移位 左移位
xn sinnω0 余弦序列：xn cosn 0
sinnω0 1 O 1 5 10 n sin 0 t
6．正弦序列
1
0 : 正弦序列的频率 , 序列值依次周期性重复 的速率。
离散正弦序列 xn sin 0 n 是周期序列应满足
xn N xn N称为序列的周期，为任意正整数。
x 2n
O
6
n
6 5 4 3 2 1
n x 2
4
2
O
1 2 3 4 5 6
n
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
21 n
例3：设N=10，说明正弦序列的包络线每隔10个样值重 复一次，周期为10。
2π 2π ω0 0.2π N 10
表示相邻两个序列值间 的弧度数为 0.2π。
15
2π 当 0 ＝ , 则序列每10个重复一次正弦包络的 数值。 10
正弦序列周期性的判别
①
2π
N，N是正整数 0 2π sin 0 n N sin 0 n sin 0 n 2π sin 0 n 0 正弦序列是周期的
一．离散信号的表示方法
xt xnT 等间隔T xn n 0,1,2,
数字序列 如 0.9, 0.8,0.3,0.1 n 0 有规则的, 可以用函数表示 : xn 波形表示 : 线段的长短表示各序列 值的大小
2．单位阶跃序列
1 u( n) 0
n0 n0
u( n) 1
1 O
1 23
n
u(n)可以看作是无数个单位样值之和:
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
n与un是差和关系，不再是微 商关系。
x ( n)
1
1 O 1 2 3 4
n
13
5．单边指数序列
xn a n un
a n un
a 1
a n un
0a1
1
1
1
O
1
2
3
4
n
1 O
1
a n un
2
3
4
n
a n un
a 1
1 a 0
1 1 O 1 2
3
1 4
n
1 O
1
2
3
4
n
14
7．累加： z( n)
k
x( k )
8．重排（压缩、扩展）：
n x n x an , 或 x n x a 注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。
9．序列的能量 E
n
x ( n)
n
2
7
三．常用离散信号
•单位样值信号 •单位阶跃序列 •矩形序列 •斜变序列 •单边指数序列 •正弦序列 •复指数序列
2
本章内容
•离散时间信号及其描述、运算； •离散时间系统的数学模型——差分方程； •线性差分方程的时域解法； •离散时间系统的单位样值响应； •离散卷积。
学习方法
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几 章对照，温故而知新。
3
第二节离散时间信号--序列
x n
3 4 5
1 2
9 10 11 6 7 8
22
n
一个周期
23
例5：信号xn sin0.4n是否为周期信号？
0 0.4
2π
0
5π是无理数 所以为非周期的序列
24
复序列用极坐标表示：
x n x n e
x n 1
jarg x n
复指数序列：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
arg xn 0 n
18
数字角频率（离散域的频率）的取值
数字频率 0可以连续变化，
但0只能在 π ，π 范围内取值。 正弦函数本身周期为 2π , 0为抽样值的数字频率间隔 的弧度数，其数值不会超过 2π 。
ω0 反映每个序列值出现的速 率，ω0小，两个序列值 间弧度 小。
sin nω0 1
o1
sin Ω0 t 5
10 n
22
1
例4
4π 已知： sin n ， 求其周期。 11 4π 2π 11 11 N ω0 ，则有： 2π 11 ω0 4π 2 m
所以N 11，即周期为11。（ 2π 中有5.5个ω0 ）
序列形式： x ( n ) ,0,0, 1 ,2,4,8, n 0
x n
波形：
2
4
1
O
2
2
1
1
n
20
例2
x n
6 5 4 3 2 1
已知x ( n)波形，请画出 n x ( 2n), x 波形。 2
1 2 3 4 5 6
●数字频率——抽样间隔的关系应满足Nyquist抽样率
0 Ω0TS 2π
TS为抽样间隔时间，s为抽样角频率，
0 π 可以取负值，所以0 π ，π
因为 S 2Ω0 ， 所以0 π
19
S
Ω0
2 n , n 0 试写出其序列形式并画出波形。 例1 x ( n) 0, n 0
1
O
1
n
注意： ( t )用面积 强度表示， t 0，幅度为 ;
(n )在n 0取有限值为1不是面积 。
9
利用单位样值信号表示任意序列
x ( n)
m
x(m ) (n m )
f n
1.5
1
2 1
3
o
3
4
n
f n 1,1.5,0,3,0,0, n 1 1.5 n 3 n 2 n 0 10
x n 1 x 0
x 1
x 1
x 1
2 1 o 1
3
x 3
4
n
1 o
1 2
n
6
x 2
x 2
5．倒置： z(n) x( n) 6．差分： 前向差分：x( n) x( n 1) x( n)
后向差分：x( n) x( n) x( n 1)
2π
0 找不到满足 xn N xn的N值 ，为非周期的
16
离散信号 sinn 0 与连续信号 sin0 t 的关系与区别。
2 f t sin2πf 0 t sinΩ0 t Ω0 T 离散点（时刻）nT上的正弦值
8
1．单位样值信号
0, n 0 ( n) 1, n 0 0, n j 时移性 ( n j ) 1, n j
比例性 c ( n), c ( n j ) 抽样性 f ( n) ( n) f (0) ( n)
( n)
1
O
1
n
( n 1)
xn与xn概念上有区别，但为了书写方便，常以 xn
表示整个序列，在应 用场合一般不会混 淆。
4
序列的三种形式
单边序列： n 0；
x ( n)
双边序列： n ；
O
n x ( n)
O
n
x ( n)
有限长序列： n1 n n2；
O
n1
n2
5
n
二．离散信号的运算
N N ， 为有理数 ② 0 m m 2π sin 0 n N sin 0 n m sin 0 n m 2π sin 0 n 0 2π sin 0 n仍为周期的 周期：N m 0 2π ③ 为无理数
( n) u(n) u( n 1)
3．矩形序列
1 RN ( n ) 0
RN ( n )
0 n N 1 n 0, n N
1
1 o 1 2 3
N 1 n
与un的关系：RN (n) u(n) u(n N )
12
4．斜变序列
x( n) nu( n)
xnT sinΩ0 nT 令 0 Ω0T，离散正弦信号
区别:
xn sin 0 n
连续 连续 连续域的正弦频率 离散域的频率
17
Ω0 ω0
单位 弧度 / 秒 单位 弧度
ω0 π，
7．复指数序列
xn e j0n cos 0 n j sin 0 n
第七章离散时间系统的时域分析
离散时间信号、离散时间系统
f tk
离散时间信号： 时间变量是离散的，函数 只在某些规定的时刻有确定的 值，在其他时间没有定义。
t 2 t 1 o
t1 t 2 t 3
tk
离散信号：可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际 系统生成。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信 号。如数字计算机。
1
系统分析
连续时间系统——微分方程描述
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: 拉氏变换法
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: z变换法
1．相加： z(n) x(n) y(n) 2．相乘： z(n) x(n) y(n) z( n) ax( n) 3．乘系数： 4．移位： z( n) x( n m ) z ( n) x ( n m )
x 1 x 0
x n x 3
3
右移位 左移位
xn sinnω0 余弦序列：xn cosn 0
sinnω0 1 O 1 5 10 n sin 0 t
6．正弦序列
1
0 : 正弦序列的频率 , 序列值依次周期性重复 的速率。
离散正弦序列 xn sin 0 n 是周期序列应满足
xn N xn N称为序列的周期，为任意正整数。
x 2n
O
6
n
6 5 4 3 2 1
n x 2
4
2
O
1 2 3 4 5 6
n
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
21 n
例3：设N=10，说明正弦序列的包络线每隔10个样值重 复一次，周期为10。
2π 2π ω0 0.2π N 10
表示相邻两个序列值间 的弧度数为 0.2π。
15
2π 当 0 ＝ , 则序列每10个重复一次正弦包络的 数值。 10
正弦序列周期性的判别
①
2π
N，N是正整数 0 2π sin 0 n N sin 0 n sin 0 n 2π sin 0 n 0 正弦序列是周期的
一．离散信号的表示方法
xt xnT 等间隔T xn n 0,1,2,
数字序列 如 0.9, 0.8,0.3,0.1 n 0 有规则的, 可以用函数表示 : xn 波形表示 : 线段的长短表示各序列 值的大小
2．单位阶跃序列
1 u( n) 0
n0 n0
u( n) 1
1 O
1 23
n
u(n)可以看作是无数个单位样值之和:
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
n与un是差和关系，不再是微 商关系。
x ( n)
1
1 O 1 2 3 4
n
13
5．单边指数序列
xn a n un
a n un
a 1
a n un
0a1
1
1
1
O
1
2
3
4
n
1 O
1
a n un
2
3
4
n
a n un
a 1
1 a 0
1 1 O 1 2
3
1 4
n
1 O
1
2
3
4
n
14
7．累加： z( n)
k
x( k )
8．重排（压缩、扩展）：
n x n x an , 或 x n x a 注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。
9．序列的能量 E
n
x ( n)
n
2
7
三．常用离散信号
•单位样值信号 •单位阶跃序列 •矩形序列 •斜变序列 •单边指数序列 •正弦序列 •复指数序列
2
本章内容
•离散时间信号及其描述、运算； •离散时间系统的数学模型——差分方程； •线性差分方程的时域解法； •离散时间系统的单位样值响应； •离散卷积。
学习方法
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几 章对照，温故而知新。
3
第二节离散时间信号--序列
x n
3 4 5
1 2
9 10 11 6 7 8
22
n
一个周期
23
例5：信号xn sin0.4n是否为周期信号？
0 0.4
2π
0
5π是无理数 所以为非周期的序列
24
复序列用极坐标表示：
x n x n e
x n 1
jarg x n
复指数序列：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
arg xn 0 n
18
数字角频率（离散域的频率）的取值
数字频率 0可以连续变化，
但0只能在 π ，π 范围内取值。 正弦函数本身周期为 2π , 0为抽样值的数字频率间隔 的弧度数，其数值不会超过 2π 。
ω0 反映每个序列值出现的速 率，ω0小，两个序列值 间弧度 小。
sin nω0 1
o1
sin Ω0 t 5
10 n
22
1
例4
4π 已知： sin n ， 求其周期。 11 4π 2π 11 11 N ω0 ，则有： 2π 11 ω0 4π 2 m
所以N 11，即周期为11。（ 2π 中有5.5个ω0 ）
序列形式： x ( n ) ,0,0, 1 ,2,4,8, n 0
x n
波形：
2
4
1
O
2
2
1
1
n
20
例2
x n
6 5 4 3 2 1
已知x ( n)波形，请画出 n x ( 2n), x 波形。 2
1 2 3 4 5 6
●数字频率——抽样间隔的关系应满足Nyquist抽样率
0 Ω0TS 2π
TS为抽样间隔时间，s为抽样角频率，
0 π 可以取负值，所以0 π ，π
因为 S 2Ω0 ， 所以0 π
19
S
Ω0
2 n , n 0 试写出其序列形式并画出波形。 例1 x ( n) 0, n 0
1
O
1
n
注意： ( t )用面积 强度表示， t 0，幅度为 ;
(n )在n 0取有限值为1不是面积 。
9
利用单位样值信号表示任意序列
x ( n)
m
x(m ) (n m )
f n
1.5
1
2 1
3
o
3
4
n
f n 1,1.5,0,3,0,0, n 1 1.5 n 3 n 2 n 0 10
x n 1 x 0
x 1
x 1
x 1
2 1 o 1
3
x 3
4
n
1 o
1 2
n
6
x 2
x 2
5．倒置： z(n) x( n) 6．差分： 前向差分：x( n) x( n 1) x( n)
后向差分：x( n) x( n) x( n 1)
2π
0 找不到满足 xn N xn的N值 ，为非周期的
16
离散信号 sinn 0 与连续信号 sin0 t 的关系与区别。
2 f t sin2πf 0 t sinΩ0 t Ω0 T 离散点（时刻）nT上的正弦值
8
1．单位样值信号
0, n 0 ( n) 1, n 0 0, n j 时移性 ( n j ) 1, n j
比例性 c ( n), c ( n j ) 抽样性 f ( n) ( n) f (0) ( n)
( n)
1
O
1
n
( n 1)
xn与xn概念上有区别，但为了书写方便，常以 xn
表示整个序列，在应 用场合一般不会混 淆。
4
序列的三种形式
单边序列： n 0；
x ( n)
双边序列： n ；
O
n x ( n)
O
n
x ( n)
有限长序列： n1 n n2；
O
n1
n2
5
n
二．离散信号的运算
N N ， 为有理数 ② 0 m m 2π sin 0 n N sin 0 n m sin 0 n m 2π sin 0 n 0 2π sin 0 n仍为周期的 周期：N m 0 2π ③ 为无理数