高中数学直线与圆习题精讲精练
直线和圆的方程 高中数学-例题课后习题详解-选必一复习参考题 2
复习参考题2一.选择题.1.直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()3,2【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A.2.设直线l 的方程为x -y sin θ+2=0，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A.[0,π] B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,24ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】分sin 0θ=和sin 0θ≠两种情况讨论，当sin 0θ=时，2πα=；当sin 0θ≠时，结合sin θ的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角α的范围.【详解】直线l 的方程为sin 20x y θ-+=，当sin 0θ=时直线方程为2x =-，倾斜角2πα=当sin 0θ≠时，直线方程化为12sin sin y x θθ=+，斜率in 1s k θ=，因为[)(]sin 1,00,1θ∈- ，所以(][),11,k ∈-∞-+∞ ，即(][)tan ,11,α Î-¥-+¥，又因为[)0,απ∈，所以3,,4224ππππα⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦综上可得3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C3.与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为（）A.3450x y +-=B.3450x y ++=C.3450x y -+= D.3450x y --=【答案】B【解析】【分析】把方程中y 换成y -，整理即得．【详解】直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为34()50x y --+=，即3450x y ++=．故选：B ．4.已知下列各组中的两个方程表示的直线平行，求a 的值：（1）23x y a +=，4630x y +-=；（2）210x ay +-=，(31)10a x ay ---=；（3）(1)2x a y a ++=-，2416ax y +=-．【答案】（1）32a ≠；（2）0a =或16a =；（3）1a =【解析】【分析】（1）根据平行得出23463a =≠可求；（2）可得0a =满足，0a ≠时，311121a a a ---=≠-；（3）可得0a =不满足，0a ≠时，1122416a a a +-=≠-.【详解】（1）若方程23x y a +=，4630x y +-=表示的直线平行，则23463a =≠，解得32a ≠；（2）当0a =时，方程210x ay +-=化为1x =，方程(31)10a x ay ---=化为1x =-，此时两直线平行，符合题意；当0a ≠时，要使直线平行，则满足311121a a a ---=≠-，解得16a =，这是0a =或16a =；（3）当0a =时，方程(1)2x a y a ++=-化为20x y +-=，方程2416ax y +=-化为4y =-，此时两直线不平行，不符合题意；当0a ≠时，要使直线平行，则满足1122416a a a +-=≠-，解得1a =，综上，1a =.5.已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直．求a 的值（1）41ax y +=，(1)1a x y -+=-；（2）22x ay +=，21ax y +=；（3）(32)(14)80a x a y ++-+=，(52)(4)70a x a y -++-=．【答案】（1）2a =±；（2）0a =；（3）0a =或1a =.【解析】【分析】当直线以一般方程形式给出时，两直线垂直，可利用公式12120A A B B +=，求实数a 的取值.【详解】（1）因为两直线垂直，所以()41110a a -+⨯=，即24410a a --=，解得：2a =±；（2）由条件可知，220a a +=，得0a =；（3）由条件可知，()()()()32521440a a a a +-+-+=，即20a a -=，解得：0a =或1a =.6.求平行于直线20x y --=，且与它的距离为【答案】20,60x y x y -+=--=【解析】【分析】设该直线为0x y c -+=,利用平行线间的距离公式可得结果.【详解】因为所求直线平行于直线20x y --=，所以可设该直线为0x y c -+=，又因为所求直线与直线20x y --=的距离为，=可得24c +=，解得2,6c c ==-，所以平行于直线20x y --=，且与它的距离为20,60x y x y -+=--=.【点睛】本题主要考查直线平行的性质以及平行线间的距离公式，意在考查对所学知识的掌握与应用，属于基础题./7.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，，且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程.【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】【详解】试题分析：依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标，再结合对角线的交点是M （3，3），可求得C 点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程．试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,解得x=−34,y=74，所以平行四边形ABCD 的顶点A （−34,74）,设C （x 0，y 0），由题意，点M （3，3）是线段AC 的中点，∴x 0−34=6,y 0+74=6，解得x 0=274,y 0=174，∴C （274,174）,由已知，直线AD 的斜率k AD =3．∵直线BC ∥AD ，∴直线BC 的方程为3x-y-16=0,由已知，直线AB 的斜率k AB =-1,∵直线CD ∥AB ，∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．考点：1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.8.求下列各圆的方程：（1）圆心为()5,3M -且过点()8,1A --；（2）过()2,4A -，()1,3B ，()2,6C 三点；（3）圆心在直线350x y +-=上，且经过原点和点()3,1-.【答案】（1）()()225325x y ++-=（2）()2255x y +-=（3）2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据圆心为()5,3M -且过点()8,1A --，求得半径即可；（2）设圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，将()2,4A -，()1,3B ，()2,6C ，代入求解；（3）先求得以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线，再与350x y +-=联立，求得圆心即可.【小问1详解】解：因为圆心为()5,3M -且过点()8,1A --，所以圆的半径为5r ==，所以圆的方程为：()()225325x y ++-=；【小问2详解】设圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，因为过()2,4A -，()1,3B ，()2,6C 三点，所以()()()()()()222222222241326a b r a b r a b r ⎧++-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得2055a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为：()2255x y +-=；【小问3详解】以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线为：350x y --=，又圆心在直线350x y +-=上，由350350x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得530x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以圆心为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为53r =，所以圆的方程为：2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.9.m 为何值时，方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆？并求半径最大时圆的方程．【答案】当()1,3m ∈-时，方程表示圆，当半径最大时，圆的方程为()()22214x y -++=.【解析】【分析】根据方程表示圆可得出关于实数m 的不等式，可解出实数m 的取值范围，求出圆的半径的表达式，利用二次函数的基本性质可求得圆的半径的最大值，求得此时m 的值，即可得出圆的方程.【详解】若方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆，则()()222244422148120m m m m m -+--+=-++>，整理得2230m m --<，解得13m -<<.设圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径为r ，则22r ==，所以，当1m =时，圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径取最大值，此时，圆的方程为224210x y x y +-++=，即()()22214x y -++=.10.判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=是否相切．【答案】是，两圆内切【解析】【分析】求出两圆圆心及半径，判断圆心距与半径和与差的关系来确定两圆的位置关系.【详解】2264120x y x y +-++=，即22(3)(2)1x y -++=，圆心为(3,2)-，半径为1；22142140x y x y +--+=，即22(7)(1)36x y -+-=，圆心为(7,1)，半径为6；圆心距为5d ===，半径之和为7，之差为5，故两圆内切.11.若函数()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象可以近似地看作线段，且a c b ≤≤，求证：[]()()()()c a f c f a f b f a b a-≈+--【答案】证明见详解．【解析】【分析】作图利用三角形相似，得比例CE AE BF AF=即可证明．【详解】证明：设()()()()()(),,,,,,A a f a B b f b C c f c 作AF BF ⊥如图所示：在AFB △中，有CE AE BF AF=，则()()()()f c f a c a f b f a b a --≈--所以[]()()()()c a f c f a f b f a b a-≈+--12.求点()2,1P --到直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=（λ为任意实数）的距离的最大值．13【解析】【分析】将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，得直线系恒过点()1,1A ，由此得到P 到直线l 的最远距离为PA ，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】解：∵直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=，∴可将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，∴20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，由此可得直线系恒过点()1,1A 则P 到直线l 的最近距离为A ，此时直线过P ．P 到直线l 的最远距离为PA ，此时直线垂直于PA ．∴max d PA ===．13.过点P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程．【答案】8240x y --=【解析】【分析】根据题意，设出直线l 1上的一点P 1，求出P 1关于点P 的对称点P 2；由P 2在直线l 2上，求出点P 1，即得所求的直线方程．【详解】方法一：若直线AB 无斜率，则其方程为x ＝3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P ，不合题意．所以直线AB 必有斜率，设为k (k ≠2且k ≠－1)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －3)．由3,220,y kx x y =-⎧⎨--=⎩解得y 1＝42k k -,由3,30,y kx x y =-⎧⎨++=⎩解得y 2＝61k k -+.据题意122y y +＝0，即42k k -＋61k k -+＝0，解得k ＝0或8.当k ＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P ，不符合题意，舍去．当k ＝8时，它与两直线的交点分别为(113，163)，(73，－163)，这两点的中点是点P ，符合题意．∴直线AB 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.方法二：()()()20000,3,3,06-3l M x x M P N x x --∴+在直线上任取一点点关于的对称点，在直线1l 上，把()006-3N x x +点，代入1l 方程220x y --=，解得073x =716,33M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，16038733l k --∴==-，即直线1l 方程为：824y x =-.14.已知直线:280l x y --=和(2,0)A -，()2,4B 两点，若直线l 上存在点P 使得PA PB +最小，求点P 的坐标．【答案】(2,3)-【解析】【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求A 关于直线的对称点得解【详解】因为(208)(288)0----->，所以,A B 在直线同侧，设点(2,0)A -关于直线280x y --=对称的点坐标为(,)A a b '，则280222a b b a -⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，即(2,8)A '-，可知PA PB A B +≥'，即三点,,A P B '共线时，||||PA PB +最小，连接A B '交直线于点P ，点P 即为所求，A B ' 直线方程2x =，联立求得P 点坐标(2,3)-.15.求圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长．【答案】【解析】【分析】首先利用两圆相减，求公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解公共弦长.【详解】()()2222101005550x y x y x y +--=⇔-+-=，即圆心是()5,5，半径r =()()2222624003150x y x y x y +-+-=⇔-++=，圆心()3,1-，半径r =，=<+，两圆相交，两圆相减得3100x y +-=，此直线是两圆相交公共弦所在直线方程，()()2222101005550x y x y x y +--==-+-=，即圆心是()5,5，半径r =，圆心到直线3100x y +-=的距离d==所以公共弦长l ===.16.已知圆224x y +=与圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，求直线l 的方程．【答案】20x y -+=【解析】【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线l 斜率，从而求得直线l 的方程.【详解】解：圆221:4C x y +=，圆心为1C ()0,0，半径12r =圆222:4440C x y x y ++-+=，经整理为()()22224x y ++-=，其圆心为2C ()2,2-，半径22r =；故12C C 中点为()1,1C -，而1220120C C k -==---，由对称性知121l C C k k ⋅=-，1l k ∴=:11l y x ∴-=+即直线l 的方程为20x y -+=.17.求与圆C :22(2)(6)1x y ++-=关于直线3−4+5=0对称的圆的方程.【答案】22(4)(2)1x y -++=.【解析】【分析】利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求出对称圆的圆心即可得解.【详解】圆22:(2)(6)1C x y ++-=的圆心的坐标是()2,6-，半径长1r =．设所求圆C '的方程是22()()1x a y b -+-=,由圆C '与圆C 关于直线3450x y -+=对称知，直线3450x y -+=是两圆连心线的垂直平分线．所以有642326345022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⋅-⋅+=⎪⎩,解此方程组，得4,2a b ==-．所以与圆22:(2)(6)1C x y ++-=关于直线3450x y -+=对称的圆的方程是22(4)(2)1x y -++=.【点睛】关键点点睛：利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求解是解题关键.18.求圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点A(2,－1)，与直线x ＋y ＝1相切的圆的方程.【答案】圆的方程为：2(1)x -＋22(y )+＝2【解析】【详解】设圆心为S ，则k SA ＝1,∴SA 的方程为：y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，和y ＝－2x 联立解得x ＝1,y ＝－2，即圆心(1,－2)∴r故所求圆的方程为：2(1)x -＋22(y )+＝2\19.如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？【答案】对角线互相垂直【解析】【分析】设有四边形ABCD ，由条件得知2222A CB CD AD B ++= ，则由向量的运算规律得0BD AC ⋅= ．【详解】解：如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线互相垂直．证明如下：设有四边形ABCD ，由条件得知2222A CB CD AD B ++= 则()()2222AB AD AC AC AB AD+--+= ∴AD AC AB AC ⋅=⋅ ，()0AD AB AC -⋅= ∴0BD AC ⋅=．即BD AC ⊥20.求由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积．【答案】2π+【解析】【分析】先看当0x ≥，0y ≥时整理曲线的方程，表示出图形占整个图形的14，而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，进而利用三角形面积公式和圆的面积公式求得二者的面积，相加即可．【详解】解：当0x ≥，0y ≥时，22111()()222x y -+-=，表示的图形占整个图形的14，而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆∴1114112222S ππ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭故围成的图形的面积为：2π+21.一条光线从点()2,3A -射出，经x 轴反射后，与圆22:(3)(2)1C x y -+-=相切，求反射后光线所在直线的方程【答案】3460x y --=或4310x y --=.【解析】【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程.【详解】点()2,3A -关于x 轴的对称点为()2,3--，设反射光线的斜率为k ，则可得出反射光线为()32y k x +=+，即230kx y k -+-=，因为反射光线与圆相切，则圆心()3,2到反射光线的距离d r =1=，解得43k =或34，则反射直线的方程为3460x y --=或4310x y --=.22.已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求证：直线l 恒过定点．（2）直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长．【答案】（1）证明见解析；（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，此时34m =-，最短弦长为【解析】【分析】（1）直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=，要使直线l 恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，易得定点；（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，即得解.【详解】（1）证明：直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=，联立27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩.所以直线恒过定点P (3,1).（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，直线l 的斜率为21121,1312CP m k k m +-=-==-+-由211(112m m +-⋅-=-+解得34m =-此时直线l 的方程是250x y --=圆心(1,2)C 到直线250x y --=的距离为d ==，||||AP BP ==，所以最短弦长是||2||AB AP ==。
考点19 直线和圆的方程(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 为 在第一象限上的点，点 在 延长线上，点 的坐标为 ，且 为 的平分线，则下列正确的是（）
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．
A． B． C． D．
【答案】C
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 2
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)【题组一 直线与圆的位置关系】1．(2021·江西南昌市)直线4320x y --=与圆+-+-=2224110x y x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都不对2．(2021·全国)直线1x y +=和圆221x y +=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．(2021·白银市第十中学)直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．(2021·北京高二期末)已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定5．(2021·北京高二期末)直线34x y b +=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则b 的值是( ) A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或126．(2021·全国高二课时练习)若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，则m =( ) A ．1B ．1-C ．1-或3D ．3-或17．(2021·浙江高二期末)已知直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A ．[1,1-+B ．(1-+C ．(1-D ．(11]--8．(2021·浙江高二期末)直线()20ax y a a R --=∈与圆229x y +=的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定9．(2021·全国)(多选)直线l 与圆C 有公共点，则直线l 与圆C 的位置关系可能是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定10．(2021·全国)(多选)已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则( )A ．圆心坐标为(1，－2)B ．圆心到直线的距离为2C ．直线与圆相交 D11．(2021·内蒙古包头市·高二月考(理))已知(),P a b 是圆221x y +=内一点，则直线1ax by +=与圆221x y +=公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都有可能【题组二 直线与圆的弦长】1．(2021·陕西安康市·高二期末(理))设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于A ，B 两点，则||AB = 。
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，＋By＋C ＝0，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ01<0Δ02＝0Δ03>0几何观点d 04>rd 05＝rd 06<r2．圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)位置关系图形几何法公切线条数外离d >r 1＋r 2四条外切d＝r1＋r2三条相交|r1－r2|<d<r1＋r2两条内切d＝|r1－r2|一条内含0≤d<r1－r2无1．圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M x N. 3．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(4)在圆中最长的弦是直径．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案B解析圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，而0<22<1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．故选B.(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y ＝0的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切答案C解析圆O1：x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为O2(0，－2)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距为|O1O2|＝（－1）2＋（－2）2＝5，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2＝3，因此两圆的位置关系为相交．故选C.(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．答案(x－3)2＋(y＋1)2＝1解析由题意得，r＝|3×3＋4×（－1）|32＋42＝1，因此圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2T3改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．答案y＝x＋1解析圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，则圆心为C(3，2)，k CM＝3－22－3 1.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知，k m·k CM＝－1，所以k m＝1，所以所求的直线方程为y－3＝1·(x－2)，即y＝x＋1.考点探究——提素养考点一直线与圆的位置关系例1(1)(2023·江西九江二模)直线l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝16的位置关系为________．答案相交解析由mx－y－2＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)－y－2＝0(m∈R)，＋1＝0，y－2＝0，解得＝－1，＝－2，所以直线l过定点(－1，－2)，又因为(－1)2＋(－2－1)2＝10<16，得(－1，－2)在圆内，所以直线l与圆C总相交．(2)(2024·广东湛江廉江中学高三第二次月考)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r 的值为________．答案±2解析由直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，得|2|12＋12＝|r|，即|r|＝2，故r的值为± 2.【通性通法】判断直线与圆的位置关系的两种方法特别地，对于过定点的直线，也可以通过定点在圆内部或圆上判定直线和圆有公共点．【巩固迁移】1．(2023·陕西榆林模拟)已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为()A．相交B．相离C．相切D．相切或相交答案C解析由题意可得x20＋y20＝2，于是圆心C到直线l的距离d＝2x20＋y20＝22＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．答案(－32，32)解析由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝|－a|2<3，解得－32＜a＜32.考点二圆的弦长、切线问题(多考向探究)考向1弦长问题例2(1)(2024·四川西昌期末)直线l：x－3y cosθ＝0被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦长为()A．3B．5C．7D．3答案C解析因为圆x2＋y2－6x＋5＝0，所以其圆心为(3，0)，半径r＝2，于是圆心(3，0)到直线l：x－3y cosθ＝0的距离为d＝31＋3cos2θ，因为cosθ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]，所以d＝31＋3cos2θ∈32，3，因为直线l与圆相交，所以d<2，所以d∈32，又因为弦长为2r2－d2＝24－d2，所以当d取得最小值32时，弦长取得最大值，为7.故选C.(2)(2023·海南华侨中学二模)已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．答案5解析因为圆心(0，0)到直线x－3y＋8＝0的距离d＝81＋3＝4，由|AB|＝2r2－d2，可得6＝2r2－42，解得r＝5.【通性通法】求直线被圆截得的弦长的两种方法【巩固迁移】3．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为()A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0答案B解析当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.故选B.4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l ：x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 的面积为85”的m 的一个值：________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，由d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±2或m ＝±12.考向2切线问题例3(1)在平面直角坐标系中，过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为()A ．5x －12y ＋45＝0B ．y ＋5＝0C ．x －3＝0或5x －12y ＋45＝0D ．y －5＝0或12x －5y ＋45＝0答案C解析因为32＋52－2×3－4×5＋1>0，点(3，5)在圆外，且x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为(1，2)，半径为2.若切线的斜率不存在，即x ＝3，圆心(1，2)到直线x ＝3的距离为2，故直线x ＝3是圆的切线；若切线的斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋5＝0，则|k －2－3k ＋5|k 2＋1＝2，则|3－2k |k 2＋1＝2，两边平方得12k ＝5，k ＝512，所以y －5＝512(x －3)，即5x－12y ＋45＝0.综上，切线的方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.故选C.(2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离．设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，所以|PM |的最小值为22，此时|PQ |＝|PM |2－1＝（22）2－1＝7.【通性通法】1．求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系，求得切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程，如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得到切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0.2．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求得k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．【巩固迁移】5．(2023·河南开封模拟)已知圆M 过点A (1，3)，B (1，－1)，C (－3，1)，则圆M 在点A 处的切线方程为()A ．3x ＋4y －15＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．4x ＋3y －13＝0D ．4x －3y ＋5＝0答案A解析设圆M 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.＋3E ＋F ＋10＝0，－E ＋F ＋2＝0，3D ＋E ＋F ＋10＝0，＝1，＝－2，＝－5，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋x －2y －5＝0，圆心为－12，所以直线AM的斜率k AM ＝3－11＋12＝43，所以圆M 在点A 处的切线方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.故选A.6．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝()A ．1B ．154C ．104D ．64答案B解析解法一：因为x 2＋y 2－4x －1＝0，即(x －2)2＋y 2＝5，可得圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，因为|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PC |2－r 2＝3，可得sin ∠APC ＝522＝104，cos ∠APC ＝322＝64，则sin ∠APB ＝sin2∠APC ＝2sin ∠APC cos ∠APC ＝2×104×64＝154，cos ∠APB ＝cos2∠APC ＝cos 2∠APC －sin 2∠APC ＝＝－14<0，即∠APB 为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB )＝sin ∠APB ＝154.故选B.解法二：圆x 2＋y 2－4x －1＝0的圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，连接AB ，可得|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝3，因为|PA |2＋|PB |2－2|PA |·|PB |cos ∠APB ＝|CA |2＋|CB |2－2|CA |·|CB |cos ∠ACB ，且∠ACB ＝π－∠APB ，则3＋3－6cos ∠APB ＝5＋5－10cos(π－∠APB )，即3－3cos ∠APB ＝5＋5cos ∠APB ，解得cos ∠APB ＝－14<0，即∠APB 为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB )＝－cos ∠APB ＝14，又α为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝154.故选B.解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝5，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不符合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则|2k－2|k2＋1＝5，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝（k1＋k2）2－4k1k2＝215，所以tanα＝|k1－k2|1＋k1k2＝15，即sinαcosα＝15，可得cosα＝sinα15，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2α15＝1，又α则sinα>0，解得sinα＝154.故选B.7．(2024·陕西西安碑林区校级月考)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－1，则|TM|的取值范围为________．答案[1，9]解析由题意可知，直线OP的方程为y＝k1x，直线OQ的方程为y＝k2x，∵OP，OQ与圆M相切，∴|k1x0－y0|1＋k21＝22，|k2x0－y0|1＋k22＝22，分别对两个式子进行两边平方，整理可得21（8－x20）＋2k1x0y0＋8－y20＝0，22（8－x20）＋2k2x0y0＋8－y20＝0，∴k1，k2是方程k2(8－x20)＋2kx0y0＋8－y20＝0的两个不相等的实数根，易知8－x20≠0，∴k1·k2＝8－y208－x20，又k1·k2＝－1，∴8－y208－x20＝－1，即x20＋y20＝16，则圆心M的轨迹是以(0，0)为圆心，4为半径的圆．又|TO|＝9＋16＝5，∴|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，∴1≤|TM|≤9.考点三圆与圆的位置关系例4(1)(2024·广东揭阳期末)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为() A．相交B．相离C．外切D．内切答案A解析圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1.圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝3.|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交．故选A.(2)(多选)(2023·吉林期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C ．两个圆心所在直线的斜率为－43D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x －8y －25＝0答案BC解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2＝1，其圆心C 1(0，0)，半径R ＝1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，其圆心C 2(3，－4)，半径r ＝1，圆心距|C 1C 2|＝9＋16＝5，则|PO |的最小值为|C 1C 2|－R －r ＝3，最大值为|C 1C 2|＋R ＋r ＝7，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心C 1(0，0)，圆心C 2(3，－4)，则两个圆心所在直线的斜率k ＝－4－03－0＝－43，故C 正确；对于D ，两圆的圆心距|C 1C 2|＝5，则|C 1C 2|>R ＋r ＝2，两圆外离，不存在公共弦，故D 错误．故选BC.(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．答案x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x＋4y －5＝0解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x ，＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l21，设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0，0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直．设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t ＞0，则点O (0，0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.【通性通法】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．【巩固迁移】8．(2024·安徽芜湖模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是()A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案B解析由题意，得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．故选B.9．(2023·云南丽江期中)圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0公切线的条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝36，其圆心为(3，5)，半径r ＝6；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋7)2＝49，其圆心为(－2，－7)，半径R ＝7，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－2－3）2＋（－7－5）2＝13＝R ＋r ，所以两圆相外切，其公切线有3条．故选C.10．(2024·江苏启东中学阶段考试)已知P 是圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上一动点，A ，B 是圆C ：x 2＋2x ＋y 2＋2y －2＝0上的两点，若|AB |＝23，则|PA →＋PB →|的取值范围为________．答案[42－2，82＋2]解析由题意知，点P 所在圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝2，且A ，B 所在圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (－1，－1)，半径为2.设D 是AB 的中点，连接CD ，则CD 垂直平分AB ，则|CD |1，所以点D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，即点D 所在圆C 1：(x＋1)2＋(y ＋1)2＝1，又由PA →＋PB →＝2PD →，可得|PA →＋PB →|＝2|PD →|，|PD →|即为圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上的点与圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的点的距离，因为|MC 1|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以32－1－2≤|PD →|≤32＋1＋2，即|PA →＋PB →|的取值范围为[42－2，82＋2]．课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，直线l ：2x －y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且直线过圆C 的圆心答案B解析由x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故圆心C (－1，2)，半径r ＝5，则圆心到直线l ：2x －y －1＝0的距离d ＝|－2－2－1|22＋1＝55＝5＝r ，故直线l 与圆C 相切．故选B.2．(2024·黑龙江大庆质检)若直线kx －y ＋1－2k ＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为()A ．23B ．22C ．3D ．2答案B解析直线kx －y ＋1－2k ＝0，即k (x －2)－(y －1)＝0恒过定点M (2，1)，而(2－1)2＋12＝2<4，即点M 在圆C 内，因此当且仅当AB ⊥CM 时，|AB |最小，而圆C 的圆心C (1，0)，半径r ＝2，|CM |＝2，所以|AB |min ＝2r 2－|CM |2＝24－2＝2 2.故选B.3．(2023·河北联考一模)直线l ：ax ＋by －4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则(a －3)2＋(b －4)2的最大值为()A ．16B ．25C ．49D ．81答案C解析由直线l 与圆O 相切可得，圆心O (0，0)到直线l 的距离等于圆的半径，即|－4|a 2＋b 2＝2，故a 2＋b 2＝4，即点(a ，b )在圆O 上，(a －3)2＋(b －4)2的几何意义为圆上的点(a ，b )与点(3，4)之间距离的平方，由a 2＋b 2＝4，得圆心为(0，0)，因为32＋42>4，所以点(3，4)在圆a 2＋b 2＝4外，所以点(a ，b )到点(3，4)的距离的最大值为圆心到(3，4)的距离与圆半径之和，即d ＋r ＝（3－0）2＋（4－0）2＋2＝7，所以(a －3)2＋(b －4)2的最大值为72＝49.故选C.4．(2023·广东汕头模拟)已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(－∞，1－6)∪(1＋6，＋∞)C ．(0，4)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，所以圆C 1与C 2外离，所以（a －3）2＋（a －3＋4）2>4，解得a >3或a <－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D.5．(2023·山东青岛模拟)已知直线l ：3x ＋my ＋3＝0，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0，则下列说法正确的是()A ．“m >1”是“曲线C 表示圆”的充要条件B ．当m ＝33时，直线l 与曲线C 表示的圆相交所得的弦长为1C ．“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件D ．当m ＝－2时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1有两个公共点答案C解析对于A ，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0⇒(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－1，曲线C 表示圆，则m 2－1>0，解得m <－1或m >1，所以“m >1”是“曲线C 表示圆”的充分不必要条件，A 错误；对于B ，当m ＝33时，直线l ：x ＋3y ＋1＝0，曲线C ：(x ＋2)2＋(y ＋33)2＝26，圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋3×（－33）＋1|1＋3＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝226－25＝2，B 错误；对于C ，若直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－m 2＋3|9＋m 2＝m 2－1，解得m ＝±3，所以“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当m ＝－2时，曲线C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝3，其圆心坐标为(－2，2)，r ＝3，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1的圆心距为（－2－0）2＋（2－0）2＝22>3＋1，故两圆相离，没有公共点，D 错误．故选C.6．(2024·山东淄博期末)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，则实数k 的取值范围是()A ∞，－43∪[0，＋∞)B ∞，－43∪[0，1)C ∞，－43∪[1，＋∞)D ．－43，1答案A解析圆心C (1，0)，半径r ＝2，设P (x ，y )，因为两切线l 1⊥l 2，如图，设切点为A ，B ，则PA ⊥PB ，由切线性质定理，知PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，|PA |＝|PB |，所以四边形PACB 为正方形，所以|PC |＝2，则点P 的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆，方程为(x －1)2＋y 2＝4，直线l ：y ＝kx －2过定点(0，－2)，直线方程即kx －y －2＝0，只要直线与点P 的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d ＝|k －2|k 2＋1≤2，解得k ≥0或k ≤－43，即实数k ∞，－43∪[0，＋∞)．故选A.7．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C解析解法一：令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式，化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.故选C.解法二：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，整理得(x －2)2＋(y －1)2＝9，令x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x －y ＝3cos θ－3sin θ＋1＝32cos 1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋π4∈π4，9π4，则当θ＋π4＝2π，即θ＝7π4时，x －y 取得最大值32＋1.故选C.解法三：由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故选C.8．(2023·甘肃酒泉三模)若直线3x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，动点P 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，则△ABP 面积的取值范围是()A ．[2，32]B ．[3，23]C ．[3，33]D ．[22，32]答案C解析如图所示，因为直线3x －y －3＝0与坐标轴的交点A (3，0)，B (0，－3)，则|AB |＝3＋9＝23，圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为C (0，1)，半径为r ＝1，则圆心C (0，1)到直线3x －y －3＝0的距离为d ＝|－1－3|3＋1＝2，所以圆x 2＋(y －1)2＝1上的点P 到直线3x －y －3＝0的距离的最小值为d －r ＝2－1＝1，最大距离为d ＋r ＝2＋1＝3，所以△ABP 面积的最小值为12×23×1＝3，最大值为12×23×3＝33，即△ABP 面积的取值范围为[3，33]．故选C.二、多项选择题9．(2024·湖北武汉期末)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为()A．－1B．－2C．1D．2答案BD解析由圆x2＋y2＝4，可得圆心为(0，0)，半径为2，要使圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线的距离为1，所以|b|2＝2－1，所以b＝± 2.故选BD.10．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则() A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2答案ABD解析对于A，因为两圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为|1＋1| 2＝2，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2，D正确．故选ABD.三、填空题11．(2023·广东深圳校考二模)过点(1，1)且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截得的弦长为22的直线方程为________．答案x＋y－2＝0解析圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆心为(2，2)，半径r＝2，若弦长l＝22，则圆心到直线的距离d＝2，显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，所以d＝|2k－2－k＋1|k2＋（－1）2＝2，解得k＝－1，所以直线方程为x＋y－2＝0.12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案8解析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.因为|C1C2|>r1＋r2，所以圆C1与圆C2外离．又A 为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.13．(2024·浙江校考模拟预测)已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1，则过点MC1，C2都相切的直线方程为________(写出一个即可)．答案x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)解析若过M的切线斜率不存在，即为x＝2，此时显然与两圆都相切；若过M的切线斜率存在，不妨设为y－43＝k(x－2)，则C1(0，0)，C2(3，2)到y－43＝k(x－2)的距离分别为d1＝|2k－43|k2＋1＝2，d2＝|k－23|k2＋1＝1，解得k＝－512，即y－43＝－512(x－2)，即5x＋12y－26＝0.综上，过M且与两圆都相切的直线方程为x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)．14．(2024·云南大理一模)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，过点A(1，1)的相互垂直的两条直线分别交圆C于点M，N和P，Q，则四边形MQNP面积的最大值为________．答案7解析圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，点A(1，1)在圆C内部，设圆心C到直线PQ和MN的距离分别为d1，d2，则有|PQ|＝24－d21，|MN|＝24－d22，且d21＋d22＝|CA|2＝1，所以四边形MQNP的面积S＝12|PQ|·|MN|＝24－d21·4－d22≤7，当且仅当d1＝d2＝22时，等号成立，故四边形MQNP面积的最大值为7.四、解答题15．(2024·辽宁大连月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．解(1)由题意知，圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为d＝r，即|2k－3－4k－1|1＋k2＝2，解得k＝－34，所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3－3|2＝ 2.故所求弦长为2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.16．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．解(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题意，得CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故直线l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为|－8|12＋32＝4105，所以|PM |＝2＝4105，所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.17．(多选)(2023·重庆一中模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5，5)作圆E 的两条切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中正确的是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与圆E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与圆E 交于G ，H 两点，则当△EHG 的面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2，1)，半径为2，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5，5)，所以|PE |＝（5－2）2＋（5－1）2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F ＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0，0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S ＝12EH ·EG sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取最大值2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．故选ABD.18．(2023·福建龙岩统考二模)已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝2上一个动点，且直线l 1：m (x －3)－n (y －2)＝0与直线l 2：n (x －2)＋m (y －3)＝0(m ，n ∈R ，m 2＋n 2≠0)相交于点P ，则|PM |的最小值是____________．答案2解析由两直线方程可知，l 1，l 2分别过定点A (3，2)，B (2，3)，且两直线互相垂直，设AB的中点为O ，则如图所示，则两直线的交点P 的轨迹为以O 为圆心，AB 为直径的圆O ，|AB |＝2，|OC |＝522，可知两圆相离，设直线OC 交圆C 于点E ，交圆O 于点D ，显然|PM |≥|ED |＝|OC |－|CE |－|OD |＝522－2－22＝ 2.。
高中数学直线与圆习题精讲精练
圆与直线一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m 64x 6x 4400-=--解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx2x 4|OM |21S 020OMQ -===∆令x 0-1=t ，则t>0 )2t1t (10t)1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。
要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。
分析： （1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2)即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k 2k11k +-=-+∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。
高中数学必修二直线和圆的位置关系课后练习一(含解析)新人教A版必修2
题2 答案： C．
详解：∵圆 x2+y2 =r 2 的圆心 O（ 0， 0）到直线 l ： 2x+3y+1=0 的距离 m= 13 ， 13
又直线 l ：2x+3y+1=0 被圆 C：x2 +y2 =r 2 所截得的弦长为 d，
∴弦心距 13 ，弦长之半 d 与圆半径 r 组成的直角三角形，
13
2
即 r 2 ( d )2 ( 13 )2 ，∵圆心 O（ 0， 0）到直线 2x+4y-1=0 的距离
-2 ，
题3
11
1
答案：最大值为 5 ，最小值为 5．
详解：圆心 C( － 2,0) 到直线 3x＋ 4y＋12＝ 0 的距离为
|3 × ( －2) ＋4×0＋ 12| 6
d＝
32＋ 42
＝5．
6
11
∴P 点到直线 3x＋ 4y＋ 12＝ 0 的距离的最大值为 d＋ r ＝ 5＋ 1＝ 5 ，
6
1
最小值为 d－ r ＝ 5－1＝ 5．
题4
求与圆
x
2
+（
y-2
）
2
=
4
相切且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
题5
从直线 x- y+3=0 上的点向圆（ x+2） 2 +（ y+2） 2 =1 引切线，则切线长的最小值是
．
题6 若⊙ O： x2＋ y2＝5 与⊙ O1： ( x－m) 2＋ y2＝ 20( m∈ R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 线互相垂直，则线段 AB的长度是 __________ ．
当△＞ 0 时， ( m+1) 2-5 ＜0，∴ 1 5 <m< 1 5 ;
高中数学-直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系精讲精练
高中数学-直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系精讲精练典题精讲例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P 、Q ，且OP⊥OQ(O 为原点)，求圆的方程.图2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解. 解法一:设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2). 由⎩⎨⎧=+-++=-+,06,03222c y x y x y x消去x,得(3-2y)2+y 2+(3-2y)-6y+c=0，即5y 2-20y+12+c=0.由韦达定理，得y 1+y 2=4，y 1y 2=512c+. 如图2.3(3.4)3所示， ∵OP⊥OQ， ∴2211x y x y •=-1， 即123232211-=-•-y y y y .解得9-6(y 1+y 2)+5y 1y 2=0. ∴9-6×4+5×512c+=0，解得c=3. 从而所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.解法二:设过圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P 、Q 的圆的方程为x 2+y 2+x-6y+c+λ(x+2y-3)=0，即x 2+y 2+(1+λ)x-(2λ-6)y+c-3λ=0. ∵OP⊥OQ，故该圆过原点,c-3λ=0,① 且圆心(21λ+-，262--λ)在直线x+2y-3=0上, 21λ+-+2·(262--λ)-3=0.②由①②求得λ=1，c=3.故所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.变式训练1若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则这个圆的方程为_________________.思路解析:若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=1. 答案：1变式训练2(2006重庆高考,文3)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=3 思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径r=22435)1(423++-⨯-⨯=3，故选C.答案：C例2已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9. (1)求证:无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交.(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小?并求出该最小值.思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.(1)证法一:设圆心C(3，4)到动直线l 的距离为d ，则 d=21)25(21)2()3(|4)2(3)3(|222++=++++•+-•+m m m m m m ≤2.∴当m=25-时，d max =2＜3(半径). 故动直线l 总与圆C 相交.证法二:直线l 变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0. 令⎩⎨⎧=-=+-,023,01y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,2y x如图2-3-(3,4)-4所示，故动直线l 恒过定点A(2，3).图2-3-(3,4)-4而|AC|=32)43()32(22<=-+-，∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交. (2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小. 由(1)知,当m=25-时，弦长最小. ∴最小值为72)2(3222=-.解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小， ∴过点A 且垂直AC 的直线被圆C 所截弦长最小. ∴k l =11-=-ACk .∴,123-=++m m 解得m=25-.此时弦长为72)2(92||32222=-=-AC . 故当m=25-时，直线被圆C 所截弦长最小，最小值为72. 绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小. 解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.变式训练3设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A.±2 B.±2 C.±22 D.±4 思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y=x+a ，圆心(0，0)到直线的距离等于半径2， ∴22||=a .∴a 的值为±2，选B. 答案：B例3已知P(x,y)在圆C:x 2+y 2-6x-4y+12=0上， (1)求x-y 的最大及最小值；(2)求x 2+y 2的最大及最小值；(3)求|PA|2+|PB|2的范围，其中A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意. (1)解：设x-y=m ，则P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在⊙C 上,⊙C 的圆心坐标为(3,2), ∴l 与⊙C 有公共点. ⊙C 的圆心坐标为(3,2),∴圆心到直线l 的距离d=11|23|+--m ≤1，|1-m|≤2，得1-2≤m≤2+1.∴x -y 的最大值为2+1,最小值为1-2.(2)解法一:x 2+y 2=(x-0)2+(y-0)2=(22)0()0(-+-y x =|OP|2.由平面几何知识，连结直线OC 交⊙C 于A 、B. 当P 与A 重合时，|OP|min =|OA|=|OC|-1=13-1; 当P 与B 重合时，|OP|max =|OB|=|OC|+1=13+1. 从而，14-213≤x 2+y 2≤14+213.解法二:设x 2+y 2=r 2(r ＞0)，因此P 在⊙O 上，又在⊙C 上，图2-3-(3,4)-5即⊙O 与⊙C 有公共点，由图2-3-(3,4)-5可知，当⊙O 与⊙C 外切时，r 最小. 此时|OC|=r+1=13, ∴r min =13-1.当⊙O 与⊙C 内切时，r 最大. 此时，|OC|=|r-1|=13， ∴r max =13+1.∴14-213≤x 2+y 2≤14+213.(3)解：可化归为(2),|PA|2+|PB|2=222222))1(())1((y x y x +-+++ =x 2+2x+1+y 2+x 2-2x+1+y 2=2(x 2+y 2)+2.由(2)14-132≤x 2+y 2≤14+132， ∴30-134≤|PA|2+|PB|2≤30+134.绿色通道：本题是坐标法的逆向应用,即用几何法研究代数问题——最值.变式训练4圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.26D.25思路解析：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2，2)，半径为23，圆心到直线x+y-14=0的距离为23522|1422|>=-+，所以直线与圆的位置关系是相离.因此圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=26，选C.答案:C例4已知圆C:x 2+y 2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R ). (1)求证:不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程. 思路分析:(1)直线l 是过一个定点的直线，若此定点在圆内，则此直线l 必与圆C 相交.(2)当过定点的直线与圆心的距离最短，即此直线垂直于定点与圆心的连线时，被圆截得的弦最短.(1)证明:把直线l 的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+,072,04y x y x解得⎩⎨⎧==.1,3y x∴直线l 总过定点(3，1).圆C 的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25.∴圆C 的圆心为(1，2)，半径为5，定点(3，1)到圆心(1，2)的距离为5)21()13(22=-+-＜5.∴点(3，1)在圆C 内.∴过点(3，1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交.图2-3-(3,4)-6(2)解：当直线l 过定点M(3，1)且垂直于过点M 的圆心的半径时，l 被圆截得的弦长|AB|最短.(如图2-3-(3,4)-6) |AB|=254202])21()13[(2522222==-+--=-CM BC .此时，k AB =CMk 1-=2.∴直线AB 的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为54，此时直线l 的方程为2x-y-5=0. 绿色通道：充分考虑圆的几何性质，数形结合,如果对于第(2)问用纯代数的方法来解决,会很复杂.变式训练5(2006高考全国卷Ⅰ，文7)从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) A.21B.53C.23D.0思路解析:圆x 2-2x+y 2-2y+1=0的圆心为M(1，1)，半径为1，从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为tanθ=34411212=-•，该角的余弦值等于53，选B. 答案：B 问题探究问题1过一点作圆的切线,求切线方程.现利用点斜式,求出斜率值只有一个,那么该点在圆上吗？利用点斜式求直线方程,会产生漏解吗？如果漏解,会漏掉什么样的解？ 导思：根据不同条件求圆的切线,主要有以下题型:(1)已知切点,求切线方程.可根据切线垂直于过切点的半径直接写出切线的方程.注意只有一条.(2)已知圆外一点,求圆的切线方程.切记有两条. (3)已知切线的斜率求圆的切线方程. 求圆的切线方程常用的三种方法: (1)设切点用切线公式法; (2)设切线斜率用判别式法;(3)设切线斜率,用圆心到切线的距离等于半径法.探究：利用点斜式求直线方程时,很重要的一点就是注意点斜式不能表示斜率不存在的直线的方程,即倾斜角为2π的直线的方程.如果没有考虑到这一点就贸然运用点斜式方程就有可能产生漏解,忽略倾斜角为2π的直线的方程而造成错误.对于题中所给问题,先要判断此点与圆的位置关系,如果点在圆外,则过此点应该有两条圆的切线,现在只解出一个斜率,则说明遗漏了倾斜角为2π的切线方程;如果点在圆上,则应该有一条切线,现解出一个斜率,则正是所求切线的斜率;如果点在圆内,则不应该有切线,不可能解出正确的斜率值.问题2将两个相交的非同心圆的方程x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢？导思：可以通过设出两圆的交点(x 1,y 1)、(x 2,y 2),将(x 1,y 1)代入两圆方程相减得到 (D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+F 1-F 2=0,将(x 2,y 2)代入两圆方程相减得到(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+F 1-F 2=0,点(x1,y1)、(x2,y2)满足(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,故该方程为公共弦所在直线的方程.探究：两圆相减得一直线方程,它当然经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.。
高考数学专题13直线与圆小题精练B卷(含解析).doc
2019 年高考数学 专题 13 直线与圆小题精练 B 卷（含分析）1．已知圆的方程为 x 2 y 2 4x 2y 4 0 ，则圆的半径为（ ）A ．3B ．9C ． 3D ．3【答案】 A2．已知圆 C ： 2 y 22（ a 0 ）及直线：x y 3 0，当直线被 C 截得的x a 4 弦长为 23 时，则 a = （）A ． 2B ．22C ． 21D ． 21【答案】 Ca 21 24 ，解得 a2 1 ，又由于 a 0 ，因此 a2 1；【分析】由题意，得131 应选 C ．3．已知圆心 ，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 B【分析】由题意可设圆的直径两头点坐标为，由圆心坐标可得，可求得，可得圆的方程为即．应选 B ．4．过点 ，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ()A ．B ．C ．1D ．2【答案】 B【分析】在直角三角形 AOB 中 ，选 B ．5．若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C6．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】圆心到直线，的距离，由勾股定理可知，，即，应选 B．7．已知圆的圆心在直线上，且与直线平行，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】 A【分析】设直线为，代入点得．应选A．点睛：两条直线平行的想法，斜率相等，只要要截距不一样．8．直线x ky10 （k R ）与圆 x2y 24x 2 y 2 0 的地点关系为（）A．订交B．相切 C．相离D．与 k 的值有在【答案】 A【解析】由于直线 x ky10恒过定点P1,0 ，且P1,0在圆x2y24x 2 y 2 0 内，故圆与直线x ky 1 0 的订交，应选答案A．9．曲线y＝ 1＋与直线 y＝k( x－2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是() A．B．(，＋∞)C．(，]D．(，]【答案】 C【分析】由题设可化为过定点的动直线与半圆 有两个交点， 如图，圆心 到直线的距离是，又 ，联合图形可知： 当 ，即 ，应选答案 C ．10．若曲线2 20(0) 与直线xyxyy k( x 2)有交点，则 k的取值范围是（）6A ． [3,0)B ． (0, 4]C ． (0,3]D ．[ 3,3]43 44 4【答案】 C考点：直线与圆的地点关系．11．若一次函数y kx b，y随x的增大而减小，当3x 1y 9 ，则它的分析时， 1式为（）A．y2x7B．y 2 x3C．y2x7或 y2x3D ．以上都不对【答案】 B【分析】试题剖析：∵一次函数y kx b ，当3 x 1y9 ，且 y 随x的增大而减小，∴时， 1当 x 3 时， y9 ；当 x 1 时， y13k b9k2，∴1，解得b．∴一次函数的解k b3析式为 y2x 3 ．应选B．考点：函数分析式．12．已知直线ax by60(a0,b0) 被圆x2y22x 4 y0 截得的弦长为 2 5 ，则 ab 的最大值是（）A．5B．4C．9D．9 22【答案】 C考点： 1．圆的一般方程化为标准方程；2．基本不等式．专题 14直线与圆1．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A．-2 B．-3C．-4D．-5【答案】 D【分析】∵，∴，应选D．2．设 A，B 为x轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且PA PB ,若直线PA的方程为x y 10 ，则直线 PB 的方程为（）A． 2 x y 7 0B．2x y 1 0C．x 2 y 4 0D．x y 50【答案】 D3．方程1 4k x 2 2k y214k0 表示的直线必经过点（）A．2,2B．2,2C．12 ,11 D ．34,225555【答案】 C【分析】方程 1 4k x 2 2k y 2 14k0 ，化为（x﹣2y+2）+k（4x+2y﹣14）=012﹣0xx 2 y 2512 ,11解 {﹣，得 {，∴直线必经过点4x 2 y 14011 5 5y5应选 C．点睛：过定点的直线系A1x＋ B1y＋C1＋λ（ A2x＋ B2y＋ C2）=0 表示经过两直线l 1∶A1x＋ B1y＋C1=0与 l 2∶A2x＋ B2y＋ C2＝ 0 交点的直线系，而这交点即为直线系所经过的定点．4．已知圆心，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】 B5．过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ( )A．B．C．1D．2【答案】 B【分析】在直角三角形AOB中，选B．6．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C【分析】圆的圆心，半径为，直线与圆有公共点，则，，解得实数的取值范围是，应选C．7．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】 圆心到直线 ，的距离 ，由勾股定理可知， ，即，应选 B ．8．已知圆 C ： （ a<0）的圆心在直线上，且圆 C 上的点到直线 的距离的最大值为 ，则的值为（）A ．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】圆的方程为，圆心为 ① ，圆 C 上的点到直线的距离的最大值为 ②由①②得，a<0，故得 ， =3 ．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用．9．已知直线 ax y2 2ABC 为等腰1 0 与圆 C : x 1ya1订交于 A,B 两点，且 直角三角形，则实数 a 的值为A ．1B ．1C ．1或1D ．1或17【答案】 D10．过点 ( 2,0) 引直线与曲线 y1 x2 订交于 A 、B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）A ．3B ．3 3C ．333D．3【答案】 B 【分析】试题剖析：因y1x2表示以 O 为圆心,半径为的上半圆．又SAOB1sin AOB,故2AOB900时,AOB 的面积取最大值,此时圆心 O 到直线y k (x2)的距离d1, 即|2k |1, 也即3k21,解之得 k3,应选 B．2 1 k 223考点：直线与圆的地点关系及运用．11．若直线ax by10 a 0, b 0均分圆 C : x2y22x4y 10 的周长，则 ab 的取值范围是（）A ．111 ,B．0,C．0, 884D． 1 ,4【答案】 B考点：直线与圆的地点关系．12．在平面直角坐标系xOy 中, M , N 分别在线段 OA,OB 上,以 C 1,1 为圆心的圆与若, MN与圆C相切,则x 轴和MNy 轴分别相切于的最小值为（A,B ）两点 ,点A．B．22C．222D．222【答案】 D【分析】试题剖析：由于 C 1,1 为圆心的圆与x 轴和y轴分别相切于A, B 两点,点 M , N 分别在线段OA,OB 上,若,MN与圆C相切，设切点为Q ，因此AM BN QM QN MN ，设MNO，则OM ON MN cos MN sin , OA OB 2 MN 1 cos sin，MN2222 2 2，应选D．1 cos siny32A1M Q-2-1ON1B-11 2 sin1242345x考点： 1、圆的几何性质；2、数形联合思想及三角函数求最值．。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程4圆的方程精讲含解析新人教A版选择性必修第一册
圆的方程考点一 圆的方程【例1】（1）（2019·河北新华.石家庄二中高一期末）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=（2）（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是（ ） A ．()()22315x y +++= B ．()()223125x y +++= C ．()()22315x y -+-= D ．()()223125x y -+-=【答案】（1）C （2）D【解析】（1）本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C（2）∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=，故选：D .【一隅三反】1．（2020·河南濮阳.高一期末（理））设(2,1),(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+= B ．22(3)8x y -+= C ．22(3)2x y ++= D ．22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为(3,0)，圆的半径为||2AB r ===所以圆的方程为22(3)2x y -+=.故选：A.2．（2020·广东东莞四中高一月考）圆心为()1,2-，且与x 轴相切的圆的标准方程为（ ） A ．()()22122x y -+=+ B ．()()22124x y -++= C ．()()22122x y ++-= D ．()()22124x y ++-=【答案】B【解析】因为圆心为()1,2-，圆与x 轴相切，所以圆的半径为2， 所以圆的标准方程为()()22124x y -++=，故选：B3．（2020·河北运河.沧州市一中高一期末）已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为( ) A ．()5,2 B ．()5,2-C ．()2,5D ．()5,2-【答案】A【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+.由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2.故选：A 考点二 根据圆的方程求参数【例2】（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( ) A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <23【答案】D【解析】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【一隅三反】1．（2020·全国高二）已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．(),20-∞ B ．(),5-∞ C ．()5,+∞ D ．()20,+∞【答案】B【解析】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5-∞.故选：B. 2．（2020·浙江丽水.高二期末）“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ，所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.3．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知方程()()2224232141690x y m x my m+-++++=─表示一个圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1(,1)7-B ．1(,1)7-C ．1(,)(1,)7-∞-⋃+∞D ．1(,1)(,)7-∞-⋃+∞【答案】B【解析】由题意可得()()()22244341441690m m m ++⨯--+>，所以()()7110m m +-<，解得117m -<<.故选：B ．考点三 点与圆的位置关系【例3】（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二月考）点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定【答案】A【解析】因为a 2＋52＝a 2＋25＞24，所以点P 在圆外．【一隅三反】1．（2020·莆田第七中学高一月考）点()1,1在圆()2211x y +-=的（ ）A ．圆上B ．圆内C ．圆外D ．无法判定【答案】A【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2211x y +-=的方程即()221111+-=，∴点()1,1在圆()2211x y +-=上，故选：A2．（2020·江苏泗洪。
高中数学竞赛专题精讲18直线和圆(含答案)
18直线和圆，圆锥曲线一．直线与圆1,两点间的距离公式:设111222(,),(,)P x y P x y ,则12PP =; 2,线段的定比分点坐标公式:设111222(,),(,)P x y P x y ,点(,)P x y 分12P P 的比为λ,则 121x x x λλ+=+,121y y y λλ+=+(1)λ≠-3,直线方程的各种形式(1),点斜式:00()y y k x x -=-; (2),斜截式:y kx b =+; (3),两点式:112121y y x x y y x x --=--(4),截距式:1(,0)x ya b a b+=≠;(5),一般式:0(,Ax By C A B ++=不同为零); (6)参数方程:00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数,α为倾斜角,t 表示点(,)x y 与00(,)x y 之间的距离)4,两直线的位置关系设11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=(或111222:,:l y k x b l y k x b =+=+).则 (1),121221//0l l A B A B ⇔-=且12210AC A C -≠(或12k k =且12b b ≠); (2),1212120l l A A B B ⊥⇔+=(或121k k ⋅=-). 5,两直线的到角公式与夹角公式: (1),到角公式:1l 到2l 的到角为θ,则2112tan 1k k k k θ-=+,(000180θ≤≤);(2),夹角公式:1l 与2l 的夹角为,则,().6,点到直线的距离:.7,圆的方程(1),标准方程:,其中为圆心坐标,R 为圆半径;(2),一般方程:,其中,圆心为,. θ2112tan 1k k k k θ-=+00090θ≤≤000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =222()()x a y b R -+-=(,)a b 220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->(,)22D E --(3),参数方程: ,其中圆心为,半径为R.cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(,)a b三．解题思想与方法导引.1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 5,整体处理例题讲解1．在平面直角坐标系中,方程为相异正数),所表示的曲线是（ ） A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形D,非正方形的菱形 2．平面上整点(坐标为整数的点)到直线的距离中的最小值是（ ）C,D,3．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线,若此直线与抛物线交于A,B 两点,弦AB 的中垂线与轴交于P 点,则线段PF 的长等于（） A, B, D,4．若椭圆上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为（ ）A, B, C, D,5．过椭圆中心的弦AB,是右焦点,则的最大面积为（ ）A, B, C, D,6．已知P 为双曲线上的任意一点,为焦点,若,则（ ） A, B,C, D,1(,22x y x ya b a b+-+=5435y x =+12013028(2)y x =+060x 163832213620x y +=(-(3,(3,-22221x y a b+=(0)a b >>(,0)F c AFB ∆bc ab ac 2b 22221x y a b-=12,F F 12F PF θ∠=12F PF S ∆=2cot 2b θ1sin 2ab θ22tan 2b a θ-22()sin a b θ+7．给定点,已知直线与线段PQ(包括P,Q 在内)有公共点, 则的取值范围是 .8．过定点作直线交轴于Q 点,过Q 点作交轴于T 点, 延长TQ 至P 点,使,则P 点的轨迹方程是 .9．已知椭圆与直线交于M,N 两点,且,(为原点),当椭圆的离心率时,椭圆长轴长的取值范围是 .10．已知是椭圆的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到轴的距离为 ,且是和的等比中项,则的值等于 .11．已知点A 为双曲线的左顶点,点B 和点C 在双曲线的右分支上,是 等边三角形,则的面积等于 .12．若椭圆()和双曲线有相同的焦点 ,P 为两条曲线的一个交点,则的值为 .13．设椭圆有一个内接,射线OP 与轴正向成角,直线AP,BP 的斜率 适合条件.(1),求证:过A,B 的直线的斜率是定值;(2),求面积的最大值.14．已知为常数且),动点P,Q 分别在射线OA,OB 上使得(2,3),(3,2)P Q -20ax y ++=a (,0)F a (0)a >l y QT FQ ⊥x QP TQ =22221(0)x y a b a b+=>>1x y +=OM ON ⊥O e ∈12,F F 2211612x y +=y MN MN 1MF 2MF MN 221x y -=ABC ∆ABC ∆221x y m n +=0m n >>221(0,0)x y a b a b-=>>1,F 2F 12PF PF 22126x y +=PAB ∆x 3π0AP BP k k +=k PAB ∆(AOB θθ∠=02πθ<<POQ ∆的面积恒为36.设的重心为G,点M 在射线OG 上,且满足. (1),求的最小值; (2),求动点M 的轨迹方程.15．过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线 于M,N 两点,线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点,交轴于Q 点. (1),求PQ 中点R 的轨迹L 的方程;(2),证明:L 上有无穷多个整点,但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.课后练习1．已知点A 为双曲线的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积是（A ） （B ） （C ） （D ）2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（A ） （B ） （C ） （D ）3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)(D)4．直线椭圆相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B C D6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．B ．C ．D ．7．方程表示的曲线是 POQ ∆32OM OG =OG 22y px =p x l x 122=-y x ABC ∆ABC ∆3323333365435+=x y 17034853420130132134=+yx 191622=+y x 3163833163813cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x yyyyxx xxA. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在x 轴上的双曲线C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线8．在椭圆中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。
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圆与直线一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m64x 6x 4400-=-- 解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx 2x 4|OM |21S 02000OMQ-===∆ 令x 0-1=t ，则t>0)2t1t (10t )1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。
要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。
分析： （1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2) 即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k2k 11k +-=-+ ∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。
一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。
也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y)为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得2|1y x |5|5y x 2|-+=--，化简即可。
还可注意到，AB 与AC 关于AE 对称。
例3、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；（2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。
分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。
总之，要数形结合，拓宽解题思路。
（1）法一：从数的角度若选用标准式：设圆心P （x ，y ），则由|PA|=|PB|得：(x 0-5)2+(y 0-2)2=(x 0-3)2+(y 0-2)2又2x 0-y 0-3=0两方程联立得：⎩⎨⎧==5y 4x 00，|PA|=10∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10若选用一般式：设圆方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则圆心（2E,2D --）∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----⨯=++++=++++03)2E()2D (20F E 2D 3230F E 2D 5252222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=31F 10E 8D法二：从形的角度AB 为圆的弦，由平几知识知，圆心P 应在AB 中垂线x=4上，则由⎩⎨⎧==--4x 03y x 2得圆心P （4，5）∴ 半径r=|PA|=10显然，充分利用平几知识明显降低了计算量 （2）设A 关于直线x+2y=0的对称点为A ’ 由已知AA ’为圆的弦 ∴ AA ’对称轴x+2y=0过圆心 设圆心P （-2a ，a ），半径为R 则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2又弦长22d R 222-=，2|1a a 2|d +--=∴ 2)1a 3(2R 22-+=∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+2)1a 3(2-∴ a=-7或a=-3当a=-7时，R=52；当a=-3时，R=244∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244例4、已知方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0表示一个圆，（1）求实数m 取值范围；（2）求圆半径r 取值范围；（3）求圆心轨迹方程。
分析：（1）m 满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m 2)]2-4(16m 4+9)>0，即7m 2-6m-1<0∴ 1m 71<<-（3）半径r=716)73m (71m 6m 722+--=++-∵ 1m 71<<-∴ 73m =时，774r max =∴ 0<r ≤774（3）设圆心P （x ，y ），则⎩⎨⎧-=+=1m 4y 3m x 2消去m 得：y=4(x-3)2-1 又1m 71<<- ∴4x 720<< ∴ 所求轨迹方程为(x-3)2=41(y+1)（4x 720<<） 例5、如图，过圆O ：x 2+y 2=4与y 轴正半轴交点A 作此圆的切线 ，M 为 上任一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，求△MAQ 垂心P 的轨迹方程。
分析：从寻找点P 满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。
连OQ ，则由OQ ⊥MQ ，AP ⊥MQ 得OQ ∥AP 同理，OA ∥PQ 又OA=OQ ∴ OAPQ 为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2设P(x ，y)，Q(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧-==2y y xx 0又x 02+y 02=4∴ x 2+(y-2)2=4（x ≠0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
同步练习（一）选择题1、若直线(m 2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m 取值范围是 A 、-1<m ≤21 B 、21-≤m ≤1 C 、21<m<1 D 、21≤m ≤1 2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4π，则m 值为 A 、 31-或-3 B 、-3或31 C 、-3或3 D 、31或3 3、点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是A 、 2B 、6C 、22D 、10 4、过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有A 、 1条B 、2条C 、3条D 、4条5、圆x 2+y 2-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=900，则C 的值是 A 、 -3 B 、3 C 、22 D 、86、若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r 取值范围是A 、 （4，6）B 、[4，6）C 、（4，6]D 、[4，6] 7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转2π后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x 2+(y-1)2=R 2相切，则正数R 等于A 、 21B 、22C 、1D 、28、 方程x 2+y 2+2ax-2ay=0所表示的圆A 、关于x 轴对称B 、关于y 轴对称C 、关于直线x-y=0对称D 、关于直线x+y=0对称 （二）填空题9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a ，b ），（d ，e ）的直线方程是___________________。
10、已知{(x ，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y= 3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
11、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++010y 5x 206y 3x 5015y 8x 3，则x-y 的最大值为________，最小值为________。
12、过点A （2，1），且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。
13、已知圆：(x-1)2+y 2=1，作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是__________________。
（三）解答题14、已知y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程，A （-4，2），B （3，1），求点C 坐标，并判断△ABC 形状。
15、已知n 条直线：x-y+c i =0（i=1，2，…，n ），其中C 1=2，C 1<C 2<C 3<…<C n ，且每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n ，（1）求C n ；（2）求x-y+C n =0与坐标轴围成的三角形面积：（3）求x-y+C n-1=0与x-y+C n =0与x 轴、y 轴围成的图形面积。
16、已知与曲线C ：x 2+y 2-2x-2y+1=0相切的直线 交x 、y 轴于A 、B 两点，O 为原点，|OA|=a ，|OB|=b ，a>2，b>2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求△AOB 面积的最小值。
17、已知两圆x 2+y 2=4和x 2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线y=25x+b 两侧，求b 取值范围；（2）求过点A （0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k 的范围。
18、当0<a<2时，直线 1：ax-2y-2a+4=0与 2：2x+a 2y-2a 2-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a 应取何值？参考答案（一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D （二）9、3x-2y+C=0 10、2 11、6，-5 12、x+y=3或x-2y=013、41y )21x (22=+-（x ≠0）（三）14、C （2，4），∠C=90015、（1）2)1n (n 2C n +=（2）4)1n (n 22+ （3）n 316、（1）利用圆心到直线距离等于半径 （2）(x-1)(y-1)=21(x>1，y>1) （3）322+ 17、（1）画图 3≤b ≤5 （2）k ∈（25,25-） 18、21一、选择题1、设2000200120012002101101,101101M N ++==++，2000200120012002109109,1010010100P Q ++==++，则M 与N 、P 与Q 的大小关系为 ( )A.,M N P Q >>B.,M N P Q ><C.,M N P Q <>D.,M N P Q << 解：设点(1,1)A --、点20012000(10,10)B 、点20022001(10,10)C ，则M 、N 分别表示直线AB 、AC的斜率，BC 的方程为110y x =，点A 在直线的下方，∴AB AC K K >，即M ＞N ； 同理，得P Q <。