什么是时间序列预测法
时间序列预测的方法与分析
时间序列预测的方法与分析时间序列预测是一种用于分析和预测时间相关数据的方法。
它通过分析过去的时间序列数据，来预测未来的数据趋势。
时间序列预测方法可以分为传统统计方法和机器学习方法。
下面将分别介绍这两种方法以及它们的分析步骤。
1. 传统统计方法传统统计方法主要基于时间序列数据的统计特征和模型假设进行分析和预测。
常用的传统统计方法包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型。
(1) 移动平均法：移动平均法通过计算不同时间段内的平均值来预测未来的趋势。
该方法适用于数据变动缓慢、无明显趋势和周期性的情况。
(2) 指数平滑法：指数平滑法通过对历史数据进行加权平均，使得近期数据具有更大的权重，从而降低对过时数据的影响。
该方法适用于数据变动较快、有明显趋势和周期性的情况。
(3) ARIMA模型：ARIMA模型是一种常用的时间序列预测模型，它结合了自回归(AR)、差分(I)和滑动平均(MA)的概念。
ARIMA模型可以用于处理非平稳时间序列数据，将其转化为平稳序列数据，并通过建立ARIMA模型来预测未来趋势。
2. 机器学习方法机器学习方法通过训练模型来学习时间序列数据的特征和规律，并根据学习结果进行预测。
常用的机器学习方法包括回归分析、支持向量机(SVM)和神经网络。
(1) 回归分析：回归分析通过拟合历史数据，找到数据之间的相关性，并建立回归模型进行预测。
常用的回归算法包括线性回归、多项式回归和岭回归等。
(2) 支持向量机(SVM)：SVM是一种常用的非线性回归方法，它通过将数据映射到高维空间，找到最佳分割平面来进行预测。
SVM可以处理非线性时间序列数据，并具有较好的泛化能力。
(3) 神经网络：神经网络是一种模仿人脑神经元组织结构和工作原理的计算模型，它通过训练大量的样本数据，学习到数据的非线性特征，并进行预测。
常用的神经网络包括前馈神经网络、循环神经网络和长短期记忆网络等。
对于时间序列预测分析，首先需要收集并整理时间序列数据，包括数据的观测时间点和对应的数值。
时间序列市场预测法
时间序列市场预测法时间序列市场预测法是一种基于统计分析的预测方法，通过分析过去的市场数据，推断未来市场的走势和趋势，以帮助投资者做出投资决策。
时间序列市场预测法主要基于以下三个假设：一、市场具有一定的周期性和趋势性；二、市场的历史数据可以反映未来的趋势；三、市场走势是有规律可循的。
时间序列市场预测法的常用方法包括趋势分析、周期波动分析和季节性分析。
趋势分析是一种通过分析市场的长期趋势，来预测未来市场走势的方法。
通过统计和图表分析，可以发现市场的上升、下降或平稳趋势，进而推断未来市场的变化趋势。
周期波动分析是一种通过分析市场的周期性波动，来预测未来市场走势的方法。
市场的周期波动一般是由经济周期、政策因素或者市场情绪等引起的，通过对历史数据的周期性分析，可以预测出未来市场的周期性变化。
季节性分析是一种通过分析市场的季节性变化，来预测未来市场走势的方法。
市场的季节性变化一般是由季节性因素、节假日等因素引起的，通过对历史数据的季节性分析，可以预测出未来市场的季节性变化。
除了以上常用的方法之外，时间序列市场预测法还包括指数平滑法、ARIMA模型、VAR模型等。
这些方法主要依赖于时间序列数据的平滑处理，通过对历史数据的加权平均或者加权移动平均来预测未来市场走势。
然而，时间序列市场预测法也存在一定的局限性。
首先，市场的走势受到多种因素的影响，其中有些因素是无法通过时间序列数据进行捕捉和分析的。
其次，市场的走势受到随机性因素的影响，即使通过时间序列数据得出了某种趋势，但实际市场可能出现与预测不符的情况。
综上所述，时间序列市场预测法是一种通过分析历史数据来预测未来市场走势的方法。
虽然有其一定的局限性，但在投资决策中仍然具有一定的参考价值。
投资者可以结合其他分析方法和市场研究来进行综合分析，以做出更科学的投资决策。
时间序列市场预测法是金融市场中广泛采用的一种预测方法。
其核心思想是通过对市场历史数据进行分析和处理，揭示市场的规律和趋势，从而预测未来市场的走势。
时间序列预测法概述
时间序列预测法概述1. 传统统计方法传统统计方法是时间序列预测的基础，它主要包括时间序列分解、平滑法、指数平滑法和回归分析等。
（1）时间序列分解：时间序列分解是将时间序列数据分解成趋势分量、季节分量和随机分量三个部分。
趋势分量反映时间序列数据的长期变化趋势，季节分量反映时间序列数据的季节性变化，随机分量反映时间序列数据的非季节性随机波动。
根据分解的结果，可以对趋势分量和季节分量进行预测，然后再将它们相加得到最终的预测结果。
（2）平滑法：平滑法是根据时间序列数据的平滑特性来进行预测的方法。
最简单的平滑法是移动平均法，它通过计算前若干个观测值的平均值来确定未来的预测值。
除了移动平均法，还有加权平均法、指数平滑法等不同的平滑方法，它们的选择取决于时间序列数据的特点和预测的目标。
（3）指数平滑法：指数平滑法是一种基于加权平均的平滑方法，它根据时间序列数据的权重，对未来预测的重要性进行加权。
指数平滑法的核心思想是根据历史观测值的加权平均来预测未来的观测值，其中加权因子的选择通常基于最小二乘法。
（4）回归分析：回归分析是一种建立变量之间函数关系的统计方法，在时间序列预测中通常用于分析观测变量与其他变量之间的关系。
回归分析将时间序列数据看作自变量，其他变量看作因变量，然后通过建立回归模型来预测未来的观测值。
2. 机器学习方法随着机器学习技术的发展，越来越多的机器学习方法被应用于时间序列预测中。
这些方法主要包括支持向量机、人工神经网络、决策树和深度学习等。
（1）支持向量机：支持向量机是一种基于统计学习理论的机器学习方法，它通过构建高维特征空间来寻找一个最优的分割超平面，将不同类别的观测值分开。
在时间序列预测中，支持向量机可以根据历史观测值来学习一个预测模型，然后利用该模型对未来的观测值进行预测。
（2）人工神经网络：人工神经网络是一种模仿生物神经网络结构和功能的数学模型，它通过训练样本来学习模型参数，然后利用该模型进行预测。
时间序列预测的常用方法
时间序列预测的常用方法时间序列预测是指根据过去一段时间内的数据，通过建立历史数据与时间的关系模型，预测未来一段时间内的数据趋势和变化规律。
时间序列预测在经济学、金融学、气象学、交通运输等领域有着广泛的应用。
本文将介绍时间序列预测的常用方法。
一、简单移动平均法简单移动平均法是最简单直观的时间序列预测方法之一。
它的原理是通过计算平均值来预测未来的值。
具体步骤为：首先选择一个固定的时间窗口，例如选择过去12个月的数据进行预测，然后计算过去12个月的平均值，将该平均值作为未来一个时间点的预测值。
这种方法的优点是简单易用，适用于数据变动较为平稳的时间序列。
二、指数平滑法指数平滑法是一种较为常用的时间序列预测方法，它适用于数据变动较为平稳的情况。
指数平滑法的原理是通过对过去的数据赋予不同权重，来预测未来的值。
指数平滑法将过去的值按照指定的权重递减，然后将过去的值与未来的值结合得出预测值。
常用的指数平滑法有简单指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。
三、趋势法趋势法是根据时间序列中的趋势来进行预测的一种方法。
趋势可以是线性的也可以是非线性的。
线性趋势法是通过拟合线性回归模型来预测未来的值，具体步骤为根据过去的数据建立一个线性回归模型，然后利用该模型来预测未来的数据。
非线性趋势法包括二次多项式拟合、指数增长拟合等方法，其原理是根据过去的数据来选择合适的含有趋势项的非线性模型，然后通过该模型来预测未来的数据。
四、季节性分解法季节性分解法是一种将时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分的方法。
首先对时间序列进行季节性调整，然后利用调整后的数据建立趋势模型和季节模型，最后将趋势模型和季节模型相加得到预测结果。
季节性分解法适用于时间序列中存在明显的季节性变化的情况，如销售数据中的每年的圣诞节销售量增加。
五、ARIMA模型ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）是一种基于时间序列的统计模型，常用于对非平稳时间序列的预测。
第七章 时间序列预测法
16
例题：
已知某企业产品 1~12 月份销售额资料，试利用一 次移动平均法预测该企业明年 1 月份的销售额， n 分别取 3 和 5 。
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xt
240 252 246 232 258 240 238 248 2n 3
月份 销量 1 60 2 50.4 3 55 4 49.6 5 75 6 76.9 7 72 8 68 9 54.5 10 44 11 43.8 12 47
X= X=
60+50.4+55+49.6+75+76.9+72+68+54.5+44+43.8+47
12
=58 （万辆）
72+68+54.5+44+43.8+47
X 2005= Xn+1= Xn+⊿ X · = 16805+1201×1 = 18006（件） 1
X 2006= Xn+2= Xn+⊿ X · = 16805+1201×2 = 19207（件） 2
8
加权算术平均法：
是为观察期内的每一个数据确定一个权数，并在此基 础上，计算其加权平均数作为下一期的预测值。这里的权 数体现了观察期内各数据对预测期的影响程度。 x1f1+x2f2+ ……+xnfn ∑ xifi X= = f1+f2+ ……+fn ∑ fi
12
9.3 平滑预测法
所谓平滑就是将历史统计数据中的随
机因素加以过滤，消除统计数据的起伏波动状况，
使不规则的线型大致规则化，以便把握事物发展
时间序列预测的方法
时间序列预测的方法时间序列是指按一定时间间隔有序地组织起来的数值序列。
它的特点是包含了时间因素，即每个数据点有一个时间戳与之对应。
在时间序列预测中，我们希望通过已有的时间序列数据，来预测未来的数值。
时间序列预测的方法有很多种，以下是其中几种常见的方法：1. 简单平均法：这是最简单的时间序列预测方法。
它根据历史数据的平均值来预测未来值。
通过计算所有历史数据的平均值，然后将这个平均值作为未来值的预测结果。
这种方法没有考虑到数据的趋势和季节性变化。
2. 移动平均法：移动平均法是在简单平均法的基础上进行改进的方法。
它考虑到了数据的趋势性。
移动平均法通过计算一个滑动窗口（如过去几个月或几个季度）内的数据的平均值，并将这个平均值作为未来值的预测结果。
这种方法可以消除数据的随机波动，但不能处理季节性变化。
3. 线性回归法：线性回归法是一种较为常用的时间序列预测方法。
它利用变量之间的线性关系来进行预测。
线性回归法通过建立一个线性回归模型，来拟合已有的时间序列数据。
然后使用这个模型来预测未来的数值。
这种方法能够考虑到数据的趋势性和季节性变化。
4. 指数平滑法：指数平滑法是一种常用的时间序列预测方法。
它假设未来的数值是过去数据的加权平均值。
指数平滑法根据数据的权重分配方式可以分为简单指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法。
这种方法较为简单，适用于数据变动较小的时间序列。
5. ARIMA模型：ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型是一种经典的时间序列预测方法。
它能够处理多种数据变化模式，包括趋势性和季节性。
ARIMA模型通过对数据的自回归、差分和移动平均进行建模，来拟合时间序列数据。
然后使用这个模型进行预测。
以上是时间序列预测的几种常见方法，不同的方法适用于不同的时间序列数据特点。
在选择方法时，需要根据数据的特点和预测的目标来进行选择。
此外，还需要注意数据的质量和数量，确保数据的稳定性和充分性，以提高预测的准确性。
什么是时间序列预测法
什么是时间序列预测法？一种历史资料延伸预测，也称历史引伸预测法。
是以时间数列所能反映的社会经济现象的发展过程和规律性，进行引伸外推，预测其发展趋势的方法。
时间序列，也叫时间数列、历史复数或动态数列。
它是将某种统计指标的数值，按时间先后顺序排到所形成的数列。
时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年内可能达到的水平。
其内容包括：收集与整理某种社会现象的历史资料；对这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间数列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模式；以此模式去预测该社会现象将来的情况。
时间序列预测法的步骤第一步收集历史资料，加以整理，编成时间序列，并根据时间序列绘成统计图。
时间序列分析通常是把各种可能发生作用的因素进行分类，传统的分类方法是按各种因素的特点或影响效果分为四大类：(1)长期趋势；(2)季节变动；(3)循环变动；(4)不规则变动。
第二步分析时间序列。
时间序列中的每一时期的数值都是由许许多多不同的因素同时发生作用后的综合结果。
第三步求时间序列的长期趋势(T)季节变动(s)和不规则变动(I)的值，并选定近似的数学模式来代表它们。
对于数学模式中的诸未知参数，使用合适的技术方法求出其值。
第四步利用时间序列资料求出长期趋势、季节变动和不规则变动的数学模型后，就可以利用它来预测未来的长期趋势值T和季节变动值s，在可能的情况下预测不规则变动值I。
然后用以下模式计算出未来的时间序列的预测值Y：加法模式T+S+I=Y乘法模式T×S×I=Y如果不规则变动的预测值难以求得，就只求长期趋势和季节变动的预测值，以两者相乘之积或相加之和为时间序列的预测值。
如果经济现象本身没有季节变动或不需预测分季分月的资料，则长期趋势的预测值就是时间序列的预测值，即T=Y。
但要注意这个预测值只反映现象未来的发展趋势，即使很准确的趋势线在按时间顺序的观察方面所起的作用，本质上也只是一个平均数的作用，实际值将围绕着它上下波动。
时间序列预测法概述
时间序列预测法概述时间序列预测是根据过去的数据推断未来的趋势和模式的一种方法。
它是在时间方向上观察数据点之间的关系，并据此预测未来的数值。
时间序列预测在很多领域都有应用，例如经济预测、股市预测、天气预测等。
时间序列预测的目的是根据历史数据的规律性和趋势性，发现变量之间的关系，并预测未来一段时间内的数值变化趋势。
为了达到这个目标，需要对时间序列数据进行分析和建模，然后使用模型进行预测。
时间序列预测方法可以分为传统方法和机器学习方法。
传统方法包括统计学方法和时间序列建模方法，如移动平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型（ARMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
这些方法基于一些模型假设，如平稳性、线性关系等，通过对时间序列进行平滑和分解，找出趋势、季节和残差等组成部分，然后根据这些分量进行预测。
移动平均法是一种简单的时间序列预测方法，它通过计算一定时间区间内数据点的平均值来预测未来的数值。
移动平均法的优点是简单易用，但它忽略了趋势的变化和季节性的影响。
指数平滑法是另一种常用的时间序列预测方法，它通过对数据赋予不同的权重来预测未来的数值。
指数平滑法的优点是可以对趋势进行较好的拟合，但它也忽略了季节性的影响。
自回归移动平均模型（ARMA）是一种广泛应用的时间序列预测方法，它可以对非平稳数据进行建模和预测。
ARMA模型基于自回归（AR）和移动平均（MA）两个部分，其中AR 部分通过当前观测值和过去观测值的线性组合来预测未来的数值，MA部分通过当前观测值和过去残差的线性组合来预测未来的数值。
ARMA模型可以通过最大似然估计或最小二乘法来求解模型参数。
季节性自回归移动平均模型（SARIMA）是ARMA模型的一种扩展形式，它考虑了时间序列数据的季节性模式。
SARIMA 模型包括四个部分：季节性差分、自回归、移动平均和非季节性差分。
季节性差分用于去除季节性成分，自回归和移动平均用于建立模型和预测，非季节性差分用于还原季节性成分。
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什么是时间序列预测法？一种历史资料延伸预测，也称历史引伸预测法。
是以所能反映的社会经济现象的发展过程和规律性，进行引伸外推，预测其发展趋势的方法。
时间序列，也叫时间数列、历史复数或。
它是将某种的数值，按时间先后顺序排到所形成的数列。
时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年内可能达到的水平。
其内容包括：收集与整理某种社会现象的历史资料；对这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间数列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模式；以此模式去预测该社会现象将来的情况。
时间序列预测法的步骤第一步收集历史资料，加以整理，编成时间序列，并根据时间序列绘成。
时间序列分析通常是把各种可能发生作用的因素进行分类，传统的分类方法是按各种因素的特点或影响效果分为四大类：(1)长期趋势；(2)季节变动；(3)；(4)不规则变动。
第二步分析时间序列。
时间序列中的每一时期的数值都是由许许多多不同的因素同时发生作用后的综合结果。
第三步求时间序列的长期趋势(T)季节变动(s)和不规则变动(I)的值，并选定近似的数学模式来代表它们。
对于数学模式中的诸未知参数，使用合适的技术方法求出其值。
第四步利用时间序列资料求出长期趋势、季节变动和不规则变动的数学模型后，就可以利用它来预测未来的值T和季节变动值s，在可能的情况下预测不规则变动值I。
然后用以下模式计算出未来的时间序列的预测值Y：加法模式T+S+I=Y乘法模式T×S×I=Y如果不规则变动的预测值难以求得，就只求和季节变动的预测值，以两者相乘之积或相加之和为时间序列的预测值。
如果经济现象本身没有季节变动或不需预测分季分月的资料，则长期趋势的预测值就是时间序列的预测值，即T=Y。
但要注意这个预测值只反映现象未来的发展趋势，即使很准确的在按时间顺序的观察方面所起的作用，本质上也只是一个的作用，实际值将围绕着它上下波动。
[]时间序列分析基本特征1.时间序列分析法是根据过去的变化趋势预测未来的发展,它的前提是假定事物的过去延续到未来。
时间序列分析,正是根据客观事物发展的连续规律性,运用过去的历史数据,通过统计分析,进一步推测未来的发展趋势。
事物的过去会延续到未来这个假设前提包含两层含义:一是不会发生突然的跳跃变化,是以相对小的步伐前进;二是过去和当前的现象可能表明现在和将来活动的发展变化趋向。
这就决定了在一般情况下,时间序列分析法对于短、近期预测比较显著,但如延伸到更远的将来,就会出现很大的局限性,导致预测值偏离实际较大而使决策失误。
2.时间序列数据变动存在着规律性与不规律性时间序列中的每个观察值大小,是影响变化的各种不同因素在同一时刻发生作用的综合结果。
从这些影响因素发生作用的大小和方向变化的时间特性来看,这些因素造成的时间序列数据的变动分为四种类型。
(1)趋势性:某个变量随着时间进展或自变量变化,呈现一种比较缓慢而长期的持续上升、下降、停留的同性质变动趋向,但变动幅度可能不相等。
(2)周期性:某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律。
(3)随机性:个别为随机变动,整体呈统计规律。
(4)综合性:实际变化情况是几种变动的叠加或组合。
预测时设法过滤除去不规则变动,突出反映趋势性和周期性变动。
时间序列预测法的分类时间序列预测法可用于、和。
根据对资料分析方法的不同，又可分为：、、、、、、、等。
也称。
即把若干历史时期的统计数值作为观察值，求出算术平均数作为下期预测值。
这种方法基于下列假设：“过去这样，今后也将这样”，把近期和远期数据等同化和平均化，因此只能适用于事物变化不大的趋势预测。
如果事物呈现某种上升或下降的趋势，就不宜采用此法。
就是把各个时期的历史数据按近期和远期影响程度进行加权，求出平均值，作为下期预测值。
就是相继移动计算若干时期的算术平均数作为下期预测值。
即将简单移动平均数进行加权计算。
在确定权数时，近期观察值的权数应该大些，远期观察值的权数应该小些。
上述几种方法虽然简便，能迅速求出预测值，但由于没有考虑整个社会经济发展的新动向和其他因素的影响，所以准确性较差。
应根据新的情况，对预测结果作必要的修正。
即根据历史资料的上期实际数和预测值，用指数加权的办法进行预测。
此法实质是由内加权移动平均法演变而来的一种方法，优点是只要有上期实际数和上期预测值，就可计算下期的预测值，这样可以节省很多数据和处理数据的时间，减少数据的存储量，方法简便。
是国外广泛使用的一种方法。
根据经济事物每年重复出现的周期性季节变动指数，预测其季节性变动趋势。
推算季节性指数可采用不同的方法，常用的方法有季(月)别平均法和移动平均法两种：a．季(月)别平均法。
就是把各年度的数值分季(或月)加以平均，除以各年季(或月)的总平均数，得出各季(月)指数。
这种方法可以用来分析生产、、原材料储备、预计需要量等方面的经济事物的季节性变动；b．移动平均法。
即应用移动平均数计算比例求典型季节指数。
就是对产品市场寿命周期的分析研究。
例如对处于成长期的产品预测其销售量，最常用的一种方法就是根据统计资料，按时间序列画成，再将曲线外延，即得到未来销售发展趋势。
最简单的外延方法是直线外延法，适用于对的预测。
这种方法简单、直观、易于掌握。
[]时间序列预测法案例分析[]案例一:可提费用的时间序列预测一、可提费用概述可提费用是保费收人中重要的组成部分，是目前国内运营的基本保证。
它的变化规律，对于的、、以及发展规划等行为起到至关重要的作用．因此合理、相对准确地预测可提费用对于保险公司在和发展规划方面起到重要的作用。
可提费用与诸多因素有关，且这些因素多属于不确定性因素，如：市场的成长性、的持续缴费(选择期缴方式的客户)、季节性因素、的开发与投放、的等，而且由于不同产品类型的收入规律和不同国家的经济、社会水平不同，规律也不同，又因为人寿保险的产品保障类型组合非常复杂，统一的预测模式几乎不可能实现．但研究结果表明，可提费用的逐月累计余额构成的时间序列是一个有规则的周期波动，具有明显的趋势性和季节性，月度数据周期为12，这是由中国会计财年决定的(也有一些业务的月发生具有明显的季节因素)，利用季节模型还可有效刻画年内的波动规律。
二、时间序列预测法1.逐步自回归(StepAR)模型：StepAR模型是有趋势、季节因素数据的模型类。
2.Winters Method—Additive模型：它是将和乘法季节因素相结合，考虑序列中有规律节波动。
3.ARlMA模型：它是处理带有趋势、季节因平稳随机项数据的模型类。
4.Winters Method—Muhiplicative模型：该方将时同趋势和乘法季节因素相结合，考虑序列规律的季节波动。
时间趋势模型可根据该序列律的季节波动对该趋势进行修正。
为了能捕捉到季节性，趋势模型包含每个季节的一个季节参季节因子采用乘法季节因子。
随机时间序列整理汇总历史上各类保险的数据得到逐月的数据，Winters Method-Multiplicative模型表示为xt = (a + b t)s(t) + εt(1)其中a和b为趋势参数，s(t)为对应于时刻t的这个季节选择的季节参数，修正方程为。
，bt= ω2(a t− a t− 1) + (1 − ω2)b t− 1(2)其中：xt,a t,b t,分别为序列在时刻t的实测值、平滑值和平滑趋势s{t-1}(t)选择在季节因子被修正之前对应于时刻t的季节因子的过去值。
在该修正系统中，趋势多项式在当前周期中总是被中心化，以便在t以后的时间里预报值的趋势多项式的截距参数总是修正后的截距参数at。
向前τ个周期的预报值是。
xt+ τ = (a t + b tτ)s t(t+ τ)(3)当季节在数据中改变时季节参数被修正，它使用季节实测值与预报值比率的平均值。
5. (ARCH)模型带自相关扰动的回归模型为。
xt= ξtβ + v t，,εt = N(0,σ2)(4)其中：xt为因变量；ξt为回归因子构成的列向量；\beta为结构参数构成的列向量；εt为均值是0、方差是一的独立同分布正态随机变量。
服从GARCH过程的序列xt，对于t时刻X的条件分布记为xt| φt− 1˜N(0,h t)(5)其中\phi_{t-1}表示时间t-1前的所有可用信息，条件方差。
(6)。
其中p≥0,q>0,,。
当p=0时，GARCH(p,q)模型退化为ARCH(p)模型，ARCH参数至少要有一个不为0。
GARCH回归模型可写成,，et˜ N(0,1)(7)也可以考虑服从自回归过程的扰动或带有GARCH误差的模型，即AR(n)-GARCH(p,q)。
,,(8)三、预测分析与结论在具体应用时，可在使用模型前依据数据特征对数据进行一些变换，如Log，Logistic，Cox—Box等变换。
实际数据如表所示，数据是年内累计的。
其数据散布图如图所示，其中纵轴表示“当年可提费用”，时间从2001-02～2003-11，共计34个月。
从图中可以看出，该序列具有明显的趋势性和季节性(周期)．在具体应用时．可在使用模型之前依据数据特征对数据进行一些变换，如Log，Logistic，Cox-Box等变换．得到各个模型拟合的残差平方和统计量、R-Square统计量和AIC统计量。
如下表所示。
其中GARCH模型SAS系统采用极大似然方法．由于的方差太大，极大似然不能被执行，GARCH模型不能被建立．综合考虑模型{敛合的残差平方和统计量、R-Square统计量和AIC统计量，可以看出在各个预报模型中稳健的方法为Log ARIMA(1,1,0)×(O,1,O)，因此选择Log ARIMA(1,l,0)×(O,1.o)预报模型，具体应用过程中，在模拟ARIMA(1,1,0)×(O，l,0)模型之前对数据进行Log变换，即yt=ln(x t)。
那么总体可提费用的数据序列{x t}t=1，2，…，N，N=34)由Log ARIMA(1,1.0)X(0.1,0)预报模型进行预测所产生的参数估计如下表从而，对数据Log变换后拟合参数的模型为(9)其中得到的对未来12个月的预报值段95％置信限(下表)和预报图及95％置信限图(下图)，历史数据(2001-02～2003-11)包括在用于预报图所给范围的图形里，在预报周期的开始位置有一条参考线。
然后，利用得到的外推预报值{(l)}，将其与实际值相比较，得到实际精度．将各个模型得到的003-12，2004-01，2004-02，2004-03预测值与实数据比较的误差分析结果如上表所示。
从误差分析看出，理论最佳模型具有次优的实际预测误差，而理论次优模型具有最优的实际预测误差。