利用夹逼准则求极限之令狐文艳创作
中考数学函数综合题型及解题方法讲解之令狐文艳创作
二次函数综合题型精讲精练令狐文艳主讲：姜老师题型一：二次函数中的最值问题例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB===4，因此OM+AM最小值为．方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。
同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。
应用的定理是：两点之间线段最短。
A AB BM 或者 MA’B’例2：已知抛物线1C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。
（1）求抛物线1C 的顶点坐标.（2）已知实数0x >，请证明：1x x+≥2,并说明x 为何值时才会有12x x +=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C ，设1(,)A m y ，2(,)B n y 是2C 上的两个不同点，且满足：090AOB ∠=，0m >，0n <.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。
利用夹逼定理求极限
利用夹逼定理求极限
夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于通过构造夹逼函数来确定极限值的情况。
夹逼定理的原理是，当存在两个数列lim an = lim bn = L，且对于所有n，都有an ≤ cn ≤ bn，那么有lim cn = L。
具体的步骤如下：
1. 首先，确定要求解的极限表达式。
2. 根据给定的函数表达式，找到一个或多个夹逼函数。
3. 判断夹逼函数的极限是否存在，并求出它们的极限值。
4. 利用夹逼定理，得出原极限的极限值。
以下是一个例子：
求lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n)。
解：首先，我们可以发现夹逼函数an = 3n^2/(2n^2 + 3n)和bn = (3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)都可以夹住原函数。
然后，我们计算an和bn的极限：
lim an = lim (3n^2/(2n^2 + 3n)) = 3/2
lim bn = lim ((3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)) = 3/2
根据夹逼定理，我们可以得出lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n) = 3/2。
所以，利用夹逼定理，我们成功求得了极限值。
通过构造夹逼函数，夹逼定理可以帮助我们确定复杂函数的极限值，但需要注意选择夹逼函数时要考虑函数的性质和区间的选择。
(2021年整理)利用夹逼准则求极限
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利用夹逼准则求极限 夹逼准则的使用方法：定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小.要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍,并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。
题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限. 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项,则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()(lim 1)()(limx x x n x n βαβα==例1.求)21 (4)121(lim 222nn n n n ++++++∞→.解：.11lim 22lim 22lim 2121lim222222==++=++=++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n由推论1，.1221 (4)1212122222→+≤++++++≤+←n n nn n n nn n由夹逼准则可得所求极限为1.例2。
求).1...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→解：.11lim 111lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n由推论1,.011 (2111022222)→++≤+++++++++≤++←n n nn n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0。
2021年高数学习资料(讲义及全部重点)(四)之令狐文艳创作
第四章不定积分令狐文艳教学目的与要求1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。
3．求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。
这是积分学的基本问题之一。
4.1 不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。
例如，x^2是2x 的原函数，lnx 是1/x 的原函数因，，故是的原函数。
注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数2．那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I 上连续，则f(x)在I 上一定有原函数。
注意：并不是任意在I 上有定义的函数都有原函数，反例⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f定理2：设f(x)在区间I上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则1．f(x)的任意两个原函数相差一个常数2．F(x)+C也是f(x)的原函数定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作。
其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。
由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即。
因而不定积分可以表示的任意一个原函数。
第一，如果有，那么，对任意常数C，显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。
第二，当为任意常数时，表达式就可以表示的任意一个原函数。
也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族。
例 1 求.解由于=，所以是的一个原函数。
因此.例 2求.解 当时,由于=,所以是在内的一个原函数。
因此，在内， 当时，由于==，由上同理，在内，将结果合并起来，可写作例3、 已知()x F 是x xln 的一个原函数， 求：()x sin dF 解：x lnx(x)F /=例4、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例5、在下列等式中，正确的结果是CA 、()⎰=x f (x)dx f / B、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dx dD 、⎰=f(x)(x)dx f d二基本积分表由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。
微积分证明不等式方法之令狐文艳创作
用微积分理论证明不等式的方法江苏省扬中高级中学 卞国文 212200高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若极限xy x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim 000)()(0存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数，记作)(0x f y '=．2．证明方法：(1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数，n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：)0(221f na a a n '=+++ ．于是问题可以转化为证明1)0(≤'f ．证明：因nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则nna a a f +++=' 212)0(．利用导数的定义得：x x f x x f x f x f f x x x )()(lim 0)0()()0(lim lim 000→→→==--='．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim 0=≤'→x x f x ．即1221≤+++n na a a ．4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理 定理一：若函数)(x f 在),(b a 可导，则)(x f 在),(b a 内递增（递减）的充要条件是：),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.定理二：设函数)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f （或0)(<'x f ），那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加（或严格单调减少）.定理三：设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （或0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（或严格递减）.上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，取定闭区间],[b a ；△如何构造辅助函数？①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）； ③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）.(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性，从而证明不等式.3.例例2：证明不等式：)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .分析：利用差式构造辅助函数),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，则将要证明的结论转化为要证)0(,0)(>>x x f ，而0)0(=f ，因而只要证明)0(),0()(>>x f x f . 证明：令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ，由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ，即01)1ln(122>+-+++x x x x .因此 )0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .例3：求证：b ba ab a ba +++≤+++111.分析：不等式两边有相同的“形式”:AA +1：试构造辅助函数)0(,1)(≥+=x xx x f .利用定理二与在)(x f 在),0[+∞上的单调性证明不等式. 证明：设辅助函数)0(,1)(≥+=x x x x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有,0)1(1)(2>+='x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由ba b a +≤+≤0，有)()(b a f b a f +≤+，得到b b a ab a bb a ab a ba b a ba +++≤+++++=+++≤+++111111，所以原不等式成立.例4：证明：当0>x 时，2111)1(xx e x ++<+.分析：此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在),0(+∞上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到21)1ln()11(x x x +<++，化简得22)1ln()1(2x x x x +<++，在此基础上可利用差式构造辅助函数： )0)(1ln()1(22)(2≥++-+=x x x x x x f ，因0)0(=f ，因而只要证明)0(),0()(>>x f x f 即可. 证明：分别对不等式得两边取对数，有21)1ln()11(x x x +<++，化简有： 22)1ln()1(2x x x x +<++.设辅助函数)0(),1ln()1(22)(2≥++-+=x x x x x x f ，)1ln(22)(x x x f +-='，易知)(x f 在),0[+∞上连续，)(x f '也在),0[+∞上连续，因)0(,012)(>>+=''x xx x f ，根据定理二，得)(x f '在),0[+∞上严格单调增加，所以)0(,0)0()(>='>'x f x f .又由)(x f 在),0[+∞上连续，且0)(>'x f ，根据定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以)0(,0)0()(>=>x f x f ，即0)1ln()1(222>++-+x x x x ，因此)1ln()1(222x x x x ++>+，即2111)1(xx e x ++<+.4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(x f 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0，然后通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1．证明方法根据－极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件） 设)(x f 在0x 连续，在),(00δx ⋃内可导，（i ）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;(ii) 若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.定理五（极值的第二充分条件） 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ,(i)若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值；(ii)若0)(0>''x f ，则)(x f在0x 取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，并取定区间.△如何构造辅助函数？①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数（见例5）；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数（见例6）；③当不等式形如a x g ≥)(（或a x g ≤)(）（a 为常数）时，可设)(x g 为辅助函数（见例7）.(2)求出)(x f 在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.②最大、最小值的求法：（1）闭区间],[b a 上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点b a ,处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间),(b a 内可导函数的最大值、最小值的求法：若)(x f 在),(b a 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例5：证明：当0>x 时有455+≥x x .分析：利用差式构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，这与前面利用函数单调性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同，但由于)(x f 在),0(+∞上不是单调函数，（因对任意0,21>x x ，且)(5)()()(,2152512121x x x x x f x f x x ---=->，不能判断)(x f 的符号）.所以不能用可导函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之.函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之．证明：构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，则有 ),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224-++=-+=-='x x x x x x x f 令0)(='x f ，解得1±=x ，其中只有1=x 在区间),0(+∞内，由)1(45lim )(lim 511f x x x f x x =--=→→，有)(x f 在1=x 点连续．因当10<<x 时，0)(<'x f ，则)(x f 在)1,0(上为减函数；当1>x 时，0)(>'x f ，则)(x f 在),1(+∞上为增函数；由定理四可知，)(x f 在1=x 处取得极小值，即0)1(=f 为区间),0(+∞上的最小值，所以当0>x 时，有0)1()(=≥f x f ．故),0(0455>≥--x x x 即)0(455>+≥x x x ．例6：设0,0>>b a ，则b b ba b a )()11(1≥+++． 分析：此不等式两边含有相同的“形式”：B B A )(，可将不等式变形为b b b b b b a a 11)1()1(+++≥+，可构造辅助函数)0()1()(1>+=+x xx x f b b ． 证明：将不等式变形为bb b b b b a a 11)1()1(+++≥+，构造辅助函数)0()1()(1>+=+x x x x f b b ，则有b b b xb x x x x f 21)()1()(-+='-，令0)(='x f ，则有b x =．当b x <<0时，0)(<'x f ，所以)(x f 单调递减；当b x >时，0)(>'x f ，则)(x f 单调递增．因此，由定理四可知)(x f 在b x =时取得极小值，即最小值．所以当),0(+∞∈∀a ，有≥+=+b b a a a f 1)1()(b b b b b f 1)1()(++=，即)0,(,)()11(1>≥+++b a ba b a b b ． 例7：证明：若1>p ，则对于]1,0[中的任意x 有：121)1(1-≥-+≥p p p x x ．分析：显然设辅助函数)10(,)1()(≤≤-+=x x x x f p p ，若设121)(-=p x g ，由)10(0)1(211)0()0()0(1≤≤≠=-=-=-x F g f F p ，故很难用函数单调性的定义去证明．考虑到1)1()0(==f f ，不难看到不等式1)1(≤-+pp x x ，即为)(x f 与其端点1,0==x x 处的函数值的大小比较问题，因而可想到用最值方法试之．证明：设辅助函数为)10(,)1()(≤≤-+=x x x x f p p ，则10≤≤x 时，有： ],)1([)1()(1111------=--='p p p p x x p x p px x f 令0)(='x f 得11)1(---=p p x x ,解之得稳定点21=x ,因函数)(x f 在闭区间[0,1]上连续,因而在[0,1]上有最大值和最小值，已知121)211()21()21(,1)1()0(-=-+===p p p f f f .有,1}21,1{max )}({max 1]1,0[]1,0[==-∈∈p x x x f =∈)}({min ]1,0[x f x ,21}21,1{min 11]1,0[--∈=p p x 因此对一切1],1,0[>∈p x 时，有,1)(211≤≤-x f p 所以原不等式得证.4.适用范围（1）所设函数)(x f 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法根据－拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足下列条件：（I ）)(x f 在闭区间],[b a 上连续；（ⅱ）)(x f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ. 拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.2.证明方法①辅助函数)(x f ，并确定)(x f 施用拉格朗日中值定理的区间],[b a ；②对)(x f 在],[b a 上施用拉格朗日中值定理；③利用ξ与b a ,的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.3.例例8：证明：当x x xxx <+<+>)1ln(1,0. 分析：所证不等式中的函数)1ln(x +的导数为x+11，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理试之.由于01ln =，因此可构造函数的改变量1ln )1ln(-+x ，则相应自变量的改变量为x ，原不等式等价于：11)1(11)1ln(11<-+-+<+x n x x ，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.证明：构造函数t t f ln )(=，因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续，在)1,1(x +上可导，)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使 ξξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ，因1111),1ln(1ln )1ln()1()1(<<++=-+=-+ξx x x f x f ，所以1)1ln(11<+<+x x x . 即)0(,)1ln(1><+<+x x x xx.4.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.五、用柯西中值定理证明不等式法1.证明方法根据－柯西中值定理柯西中值定理：若⑴函数)(x f 与)(x g 都在闭区间],[b a 上连续；⑵)(x f 与)(x g 都在开区间),(b a 内可导；⑶)(x f '与)(x g '在),(b a 内不同时为0；⑷)()(b g a g ≠. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 )()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ . 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.2.证明方法①构造两个辅助函数)(x f 和)(x g ，并确定它们施用柯西中值定理的区间],[b a ；②对)(x f 与)(x g 在],[b a 上施用柯西中值定理； ③利用ξ与b a ,的关系，对柯西公式进行加强不等式.3.例 例9：设20,π<<<>y x e a ，证明a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.分析：原不等式可等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--.可看出不等式左边可看成是函数ta t f =)(与t t g cos )(=在区间],[y x 上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.证明：原不等式等价于a a x y a a x xy ln cos cos -<--，可构造函数t a t f =)(，t t g cos )(=,因),(t f )(t g均在],[y x 上连续，在),(y x 上可导，且0ln )(≠='a a t f t，由于20π<<<y x ，则y y g x x g t t g cos )(cos )(,0sin )(=≠=≠-='，所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条件，于是存在),(y x ∈ξ，使得ξξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''aa x y a a x g y g x f y f g f x y ，又因),,(,y x e a ∈>ξ ,20π<<<y x 有1ln ,1sin 1,>><a a a x ξξ，得到ξξξξsin ln ln ,sin ln ln a a a a a a a a xx->-< ,因此a a xy a a x xy ln cos cos -<--,即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.4.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：⑴若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<，其两端函数)(),(x g x f 均可导，且)()()(a g a f a F -=或)()()(b g b f b F -=有一为0时，宜用函数的单调性.⑵若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理.⑶若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<，两端函数)(),(x g x f 均可导，但)()()(x g x f x F -=不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.七、用函数的凹凸性证明不等式1.证明方法根据－凹凸函数定义及其定理和詹森不等式定义：设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对于I 上任意两点21,x x 和实数)1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 为I 上的凸函数，若总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+,则称)(x f 为I 上的凹函数.定理六：设)(x f 为I 上的二阶可导函数，则)(x f 为I 上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I 上)0)((0)(≤''≥''x f x f 或 .命题（詹森不等式） 若)(x f 在],[b a 上为凸函数，对任意的)2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ且11=∑=n i i λ,则≤∑=)(1ni i i x f λ)(1i ni ix f ∑=λ.该命题可用数学归纳法证明.函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系.2.证明方法：①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数)(x f ，并讨论)(x f 在所给区间上的凹凸性.②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.3.例例10：证明：当0,0>>y x 时,2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 分析：不等式等价于：2ln)2(2ln ln yx y x y y x x ++>+.不等式两边含有相同“形式”：t t ln ,可设辅助函数)0(ln )(>=t t t t f .因此原不等式可化为要证)2(2)()(yx f y f x f +>+.只要证明)(t f在),0(+∞上为凸函数，即证)(x f 在),(y x 内0)(>''x f 即可.证明（定义证明法）：设)0(ln )(>=t t t t f .有)0(01)(,1ln )(>>=''+='t tt f t t f .则)(t f 在),0(+∞为凸函数.对任意)(0,0y x y x ≠>>，有)2(2)()(yx f y f x f +>+(取21=λ).(要使)(x f 与)(x g 的系数相同，当且仅当λλ-=1时成立，即21=λ).因此2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+.例11：若A,B,C是ABC ∆的三内角，则323sin sin sin ≤++C B A . 分析：不等式左边为x sin 的函数的和，考虑构造凸函数x x f sin )(-=.证明（詹森不等式）：令π<<-=x x x f 0,sin )(，则0sin )(>=''x x f .则)(x f 是),0(π上的凸函数,π<<C B A ,,0,取321λλλ==，由131=∑=i i λ，得到31321===λλλ，由詹森不等式结论得：)sin sin (sin 313sinC B A C B A ++-≤++-,因C B A ,,是ABC ∆的三内角，则π=++C B A ，可得233sin )sin sin (sin 31=≤++πC B A .即323sin sin sin ≤++C B A .4.适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.八、用泰勒公式证明不等式法1.证明方法根据－泰勒定理泰勒定理：若函数)(x f 满足如下条件：⑴在闭区间],[b a 上函数)(x f 存在直到n 阶连续导数;⑵在开区间),(b a 内存在)(x f 的1+n 阶导数，则对任何),(b a x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得:1)1()(2)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n nn a x n a f a x n a f a x a f a x a f a f x f . 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.2.证明方法①根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式；②根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止.（注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行①前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使②不会过于繁琐.）3.例例12：设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，)1()0(f f =,且2)(≤''x f ，试证明：1)(≤'x f .分析：根据题设条件，)(x f 在]1,0[上二阶可导，且函数值)1()0(f f =，2)(≤''x f ，可写出函数)(x f 在x 处的一阶泰勒公式，并取考察点0或1，利用相应的泰勒公式，对)(x f '作估计.证明：取10≤≤x ，由泰勒公式分别有：,0,)0)((21)0)(()()0(121x x f x x f x f f <<-''+-'+=ξξ 10,)1)((21)1)(()()1(222<<-''+-'+=ξξx f x x f x f f .由于)1()0(f f =，则将以上两式做差，整理得：],)1)(()([21)(2221x f x f x f -''-''='ξξ所以])1()()([21)(2221x f x f x f -''+''≤'ξξ)0)1(2(,1)1(21)1(])1(22[212222≥-≤--=-+=-+≤x x x x x x x x ．因此原不等式成立.4.适用范围当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.九、用幂级数展开式证明不等式法１．证明方法根据－几个重要的初等函数的幂级数展开式 几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：),(,!1!2112+∞-∞∈+++++=x x n x x e n x ； ),(,)!12(1)1(!31sin 1213+∞-∞∈+--++-=--x x n x x x n n；),(,)!2(1)1(!41!211cos 242+∞-∞∈+-++-=x x n x x x n n；)1,0(,1112∈+++++=-x x x x xn ； ]1,1(,)1(3121)1ln(132-∈+-+++-=+-x nx x x x x nn ．初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时， 可很快证明出某些含幂级数的不等式.2.证明方法先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.3.例例13:当)1,0(∈x ，证明x e xx211>-+. 证明：因x e x2,11-分别可写成幂级数展开式，有：=++++++=-+)1)(1(112 n x x x x xx)1,0(,22212∈+++++x x x x n ．),(,!2!2221222+∞-∞∈+++++=x x n x x enn x．则左边的一般项为nx 2，右边的一般项为!2n x n n ，因此当!22,3n n n>≥，所以)1,0(,112∈>-+x e xxx .4.适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法来证明此不等式.十、用定积分理论来证明不等式法1.证明方法根据－定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两格可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤ 则dx x g dx x f baba⎰⎰≤)()(.微积分学基本定理：若函数)(x f 在],[b a 上连续，则由变动上限积分],[,)()(b a x dt t f x xa∈=Φ⎰，定义的函数Φ在],[b a 上可导，而且)()(x f x =Φ'.也就是说，函数Φ是被积函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数.微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.2.证明方法①利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数)(x f ，)(x g ，先证出)()(x g x f ≤，然后由定积分的性质可证dx x g dx x f baba⎰⎰≤)()(（见例14）；②构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数， 利用变上限积分⎰xadt t f )(及函数的单调性解决此类不等式（见例15）.3.例 例14：证明：⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x .证明（利用定积分性质）：当]2,1[∈x 时，0ln ,>≤x x x ，则x x x x ln ln ≤.因x x ln ，x x ln 在]2,1[上均为连续函数.则xx x x ln ,ln 在]2,1[均可导.由定积分性质可知：⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x ．例15：设)(x f 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明dx x f b a dx x xf ba ba⎰⎰+≥)(2)(. 分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数b 变为变数t ，利用差式构造辅助函数：dx x f t a dx x xf t F tata ⎰⎰+-=)(2)()(，则要证0)()(=≥a Fb F .证明：（利用构造变上限辅助函数）：设辅助函数dx x f t a dx x xf t F ta ta⎰⎰+-=)(2)()(.显然0)(=a F ． 对],[b a t ∈∀，⎰⎰⎰-=--=+--='tat a t a dx x f t f dx x f t f a t t f t a dx x f t tf t F )]()([21)(21)(2)(2)(21)()(),(t a x ∈．因为)(x f 单调递增，则0)(≥'t F ，则)(t F 单调递增，所以)(,0)()(a b a F b F ≥=≥.因此dx x f b a dx x xf ba ba ⎰⎰+≥)(2)(.4.适用范围当不等式含有定积分（或被积函数)()(x g x f ≤时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.十一、引入参数证明不等式法1.证明方法根据－将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论研究函数的性质，从而证明不等式.%1．证明方法引入参数t ，构造辅助函数0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ，得到关于t 的二次多项式，利用判别式0≤∆来证明不等式.3.例例16：设)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，证明：dx x g dx x f dx x g x f b ab a b a ⎰⎰⎰≤)()())()((222（柯西－许瓦茨不等式）. 分析：欲证不等式是函数)(),(22x g x f ，以及)()(x g x f 的积分不等式，引入参数t ，考虑辅助函数 2)]()([x tg x f -在区间],[b a 上的积分.证明：利用定积分的性质易知0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ，即0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba b a b a dx x f dx x g x f t dx x g t .这是关于t 的二次多项式不等式，因此，判别式：0)()(4))()((4222≤-=∆⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f ，即： dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰≤)()())()((222．4.适用范围当积分式含有平方项)(2x f ，或)(2x f '的情形.参考文献：1．《高等数学选讲》2．《数学分析》3．《常微分选讲》。
大学高数公式大全之令狐文艳创作
高等数学公式令狐文艳导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∑∑∑∑Ω∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂dsA dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n ndiv )cos cos cos (...,0div ,div )cos cos cos ()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数： 级数审敛法：绝对收敛与条件收敛： 幂级数：函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数：周期为l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：0二阶常系数非齐次线性微分方程。
2021年高三数学数学归纳法1之令狐文艳创作
※第十三章极限令狐文艳●体系总览●考点目标定位1.数学归纳法、极限要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（2）了解数列极限和函数极限的概念.（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.●复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.13.1 数学归纳法●知识梳理1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n =n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n =k （k ∈N *， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n =k +1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标. ●点击双基 1.设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n21（n ∈N *），那么f（n +1）－f （n ）等于A.121+nB.221+nC.121+n +221+n D.121+n －221+n解析：f （n +1）－f （n ）=21+n +31+n +…+n 21+121+n +221+n －（11+n +21+n +…+n 21）=121+n +221+n －11+n =121+n －221+n . 答案：D2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为解析：2002=4×500+2，而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答案：D3.凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n +1边形有对角线条数f （n +1）为A.f （n ）+n +1B.f （n ）+nC.f （n ）+n －1D.f （n ）+n －2解析：由n 边形到n +1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n －2个顶点连成的n －2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案：C4.用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为A.2k +1B.2（2k +1）C.112++k k D.132++k k解析：当n =1时，显然成立.当n =k 时，左边=（k +1）（k +2）·…·（k +k ），当n =k +1时，左边=（k +1+1）（k +1+2）·…·（k +1+k ）（k +1+k +1）=（k +2）（k +3）·…·（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1） =（k +1）（k +2）·…·（k+k ）1)22)(12(+++k k k =（k +1）（k +2）·…·（k +k ）2（2k +1）.答案：B5.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_________个点.解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n－1个点，故第n个图形中点的个数为n（n－1）+1.答案：n2－n+1●典例剖析【例1】比较2n与n2的大小（n∈N *）.剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n＞n2.下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，25＞52成立.（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C0k +C1k+C1 kk=k2+2k+1=（k+1） 2.∴当n=k+1时，2n＞n2.由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.深化拓展当n ≥5时，要证2n ＞n 2，也可直接用二项式定理证：2n=（1+1）n=C0n+C1n+C2n+…+C2-n n+C1-n n+Cn n＞1+n +2)1(-n n +2)1(-n n =1+n +n 2－n ＞n 2.【例2】 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·（n 2－12）+2（n 2－22）+…+n （n 2－n 2）=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论.剖析：先取n =1，2，3探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *，a 、b 、c 所确定的等式都成立.解：分别用n =1，2，3代入解方程组 下面用数学归纳法证明.（1）当n =1时，由上可知等式成立; （2）假设当n =k +1时，等式成立，则当n =k +1时，左边=1·［（k +1）2－12］+2［（k +1）2－22］+…+k ［（k +1）2－k 2］+（k +1）［（k +1）2－（k +1）2］=1·（k 2－12）+2（k 2－22）+…+k （k 2－k 2）+1·（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41k 4+（－41）k 2+（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41（k +1）4－41（k +1）2.∴当n =k +1时，等式成立.由（1）（2）得等式对一切的n ∈N *均成立.评述：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.【例3】（2003年全国）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N *）.证明：n ≥1时，a n =51[3n+（－1）n －1·2n］+（－1）n ·2n·a 0.剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证. 证明：（1）当n =1时，51［3+2］－2a 0=1－2a 0，而a 1=3－2a 0=1－2a 0.∴当n =1时，通项公式正确.（2）假设n =k （k ∈N *）时正确，即a k =51［3k+（－1）k －1·2k ］+（－1）k ·2k·a 0，那么a k +1=3k－2a k =3k－52×3k+52（－1）k·2k+（－1）k +1·2k +1a 0=53·3k+51（－1）k·2k +1+（－1）k +1·2k +1·a 0=51［3k +1+（－1）k ·2k +1］+（－1）k +1·2k +1·a 0.∴当n =k +1时，通项公式正确.由（1）（2）可知，对n ∈N *，a n =51［3n+（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n·a 0.评述：由n =k 正确 n =k +1时也正确是证明的关键.深化拓展本题也可用构造数列的方法求a n . 解：∵a 0为常数，∴a 1=3－2a 0. 由a n =3n －1－2a n －1，得n n a 33=－1132--n n a +1， 即nna 3=－32·113--n n a +31. ∴n na 3－51=－32（113--n na －51）.∴{nn a 3－51}是公比为－32，首项为513230--a 的等比数列. ∴n na 3－51=（54－32a 0）·（－32）n －1.∴a n =（54－32a 0）·（－2）n －1×3+51×3n=51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n·a 0. 注：本题关键是转化成a n +1=ca n +d 型. ●闯关训练 夯实基础1.如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是A.P （n ）对n ∈N*成立B.P （n ）对n ＞4且n ∈N*成立C.P （n ）对n ＜4且n ∈N*成立D.P （n ）对n ≤4且n ∈N*不成立解析：由题意可知，P （n ）对n =3不成立（否则n =4也成立）.同理可推得P （n ）对n =2，n =1也不成立.答案：D2.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数是A.2k －1B.2k－1 C.2kD.2k+1解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121-n ;由n =k ，末项为121-k 到n =k +1，末项为1211-+k =kk 2121+-，∴应增加的项数为2k.答案：C3.观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……设第n 行的各数之和为S n ，则∞→n lim2n S n =__________.解析：第一行1=12， 第二行2+3+4=9=33， 第三行3+4+5+6+7=25=52， 第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n 项的各数之和S n =（2n －1）2，∞→n lim2n S n =∞→n lim （nn 12-）2=4.答案：44.如图，第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来（n =1，2，3，…），则第n －2个图形中共有____________个顶点.解析：观察规律：第一个图形有32+3=（1+2）2+（1+2）; 第二个图形有（2+2）2+（2+2）=42+4; 第三个图形有（3+2）2+（3+2）=52+5; …第n －2个图形有（n +2－2）2+（n +2－2）=n 2+n 个顶点. 答案：n 2+n5.已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg an －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论.解：∵f （n ）=f （n －1）+lg a n －1，令n =2，则f （2）=f（1）+f （a ）=－lg a +lg a =0.又f （1）=－lg a ， ∴⎩⎨⎧=+=+.1420αββα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,21βα ∴f （n ）=（21n 2－21n －1）lg a .证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时成立，即f （k ）=（21k 2－21k －1）lg a ，则n =k +1时，f （k +1）=f （k ）+lg a k=f （k ）+k lg a =（21k2－21k －1+k ）lg a =［21（k +1）2－21（k +1）－1］lg a .∴当n =k +1时，等式成立.综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=21，β=－21，使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任意n ∈N *都成立.培养能力6.已知数列｛ｂn ｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．（1）求数列｛ｂn ｝的通项公式ｂn ； （2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝lg （1＋nb 1），记S n 为｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与21lg ｂn ＋1的大小，并证明你的结论． 解：（1）容易得ｂn ＝2n －1. （2）由ｂn ＝2n －1，知S n ＝lg （1＋1）＋1g （1＋31）＋…＋lg （１＋121-n ）＝lg （１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）. 又211g b n ＋１＝1g12+n ，因此要比较S n 与211g b n ＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）与12+n 的大小.取n =1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测 （1+1）（1+31）·…·（１＋121-n ）＞12+n .① 下面用数学归纳法证明上面猜想：当n =1时，不等式①成立. 假设n =k 时，不等式①成立，即 （1＋1）（1＋31）·…·（１＋121-k ）＞12+k . 那么n =k +1时，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k ）（１＋121+k ）＞12+k （１＋121+k ） ＝1212)1(2+++k k k .又［1212)1(2+++k k k ］2－（32+k ）2＝121+k ＞０，∴1212)1(2+++k k k ＞32+k =.1)1(2++k∴当n =k +1时①成立.综上所述，n ∈N*时①成立． 由函数单调性可判定S n ＞211g b n ＋１.7.平面内有n 条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n 条直线把平面分割成21（n 2+n +2）块.证明：（1）当n =1时，1条直线把平面分成2块，又21（12+1+2）=2，命题成立.（2）假设n =k 时，k ≥1命题成立，即k 条满足题设的直线把平面分成21（k 2+k +2）块，那么当n =k +1时，第k +1条直线被k 条直线分成k +1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k +1个平面块.所以k +1条直线把平面分成了21（k 2+k +2）+k +1=21［（k +1） 2+（k +1）+2］块，这说明当n =k +1时，命题也成立.由（1）（2）知，对一切n ∈N *，命题都成立.探究创新8.（2004年重庆，22）设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=a n +na 1（n =1，2，…）.（1）证明a n ＞12+n 对一切正整数n 都成立；（2）令b n =na n （n =1，2，…），判定b n 与b n +1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n =1时，a 1=2＞112+⨯，不等式成立.假设n =k 时，a k ＞12+k 成立，当n =k +1时，a k +12=a k 2+21ka +2＞2k +3+21ka ＞2（k +1）+1，∴当n =k +1时，a k +1＞1)1(2++k 成立.综上，由数学归纳法可知，a n ＞12+n 对一切正整数成立.证法二：当n =1时，a 1=2＞3=112+⨯结论成立.假设n =k 时结论成立，即a k ＞12+k ，当n =k +1时，由函数f （x ）=x +x1（x ＞1）的单调递增性和归纳假设有a k +1=a k +ka 1＞12+k +121+k =12112+++k k =1222++k k =124842+++k k k ＞12)12)(32(+++k k k =32+k .∴当n =k +1时，结论成立. 因此，a n ＞12+n 对一切正整数n 均成立.（2）解：nn b b 1+=na n a n n 11++=（1+21na ）1+n n ＜（1+121+n ）1+n n =1)12()1(2+++n n n n =12)1(2++n n n =2141)21(2+-+n n ＜1.故b n +1＜b n . ●思悟小结1．用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证n =n 0时，n 0并不一定是1．（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k 到k +1时命题的变化．（3）由假设n =k 时命题成立，证n =k +1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标.2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.●教师下载中心 教学点睛1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.2.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.拓展题例【例1】是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于3k－1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值为36.【例2】如下图，设P1，P2，P3，…，P n，…是曲线y=x 上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Q n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Q n－1Q n P n，…都是正三角形，设它们1n（n+1）.的边长为a1，a2，…，a n，…，求证：a1+a2+…+a n=3证明：（1）当n=1时，点P1是直线y=3x与曲线y=x的交点，∴可求出P 1（31，33）.∴a 1=|OP 1|=32.而31×1×2=32，命题成立.（2）假设n =k （k ∈N *）时命题成立，即a 1+a 2+…+a k =31k（k +1），则点Q k 的坐标为（31k （k +1），0），∴直线Q k P k +1的方程为y =3[x －31k （k +1）].代入y =x，解得P k +1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k∴a k +1=|Q k P k +1|=33（k +1）·32=32（k +1）.∴a 1+a 2+…+a k +a k +1=31k （k +1）+32（k +1）=31（k +1）（k +2）.∴当n =k +1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.评述：本题的关键是求出P k +1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k +1|.。
利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限夹逼准则（或称夹逼定理）是微积分中常用的一种方法，用于求解函数极限问题。
夹逼准则通常用于解决一些函数极限不存在或无法直接求解的情况。
夹逼准则的核心思想是，如果一个函数f(x)在一些点x0的左侧（或右侧）始终小于等于另一个函数g(x)，并且这两个函数的极限都等于L，则当x趋近于x0时，函数f(x)的极限也等于L。
夹逼准则可以形式化地表示如下：设函数f(x)与g(x)定义在点x0附近的一些开区间上（除去x0），且满足对于任意的x，都有f(x)≤g(x)。
如果lim┬(x→x₀)f(x) = L ，lim┬(x→x₀)g(x) = L ，则lim┬(x→x₀)f(x) 也等于 L。
下面我们将利用夹逼准则来求解一个极限的例子。
例子：求极限lim┬(x→0)sin(x)/x。
我们知道 sin(x) 是一个周期函数，且当x≠0 时，有 -1 ≤ sin(x) ≤ 1 ，因此对于任意的 x ，都有 -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x。
当 x 趋近于 0 时，-1/x 和 1/x 分别趋近于正无穷和负无穷，即lim┬(x→0)(-1/x) = -∞ ，lim┬(x→0)(1/x) = ∞。
根据夹逼准则，我们可以得到lim┬(x→0)sin(x)/x = 0。
解析：根据夹逼准则，我们首先找到两个函数 f(x) 和 g(x) ，使得对于任意的 x ，都有f(x) ≤ sin(x)/x ≤ g(x)。
我们可以取f(x)=-1/x和g(x)=1/x。
对于任意的 x ，有f(x) ≤ sin(x)/x ≤ g(x)。
即 -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x ，当x≠0 时，该不等式恒成立。
然后我们再来看一下f(x)和g(x)的极限。
当 x 趋近于 0 时，-1/x 和 1/x 分别趋近于 -∞ 和∞ ，因此有lim┬(x→0)(-1/x) = -∞ ，lim┬(x→0)(1/x) = ∞。
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利用夹逼准则求极限
令狐文艳
夹逼准则的使用方法：
定理 1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。
要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。
题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限
推论 1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。
证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()
(lim 1)()(lim
x x x n x n βαβα== 例1.求
)
21 (4)
12
1(
lim 2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→.
解：
.
11lim 22lim 22lim 2121
lim
22
2222==++=++=++∞
→∞→∞→∞
→n n n n n n n n n n n n n
由推论1，
.
12
21 (4)
12
1212
2
2
2
2
→+≤
++
+++
+≤
+←
n n n
n n n n
n n
由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).
1
...2111(
lim 222n n n n n n n n +++++++++∞
→
解：.11lim 11
1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n
由
推论1，
.011 (211102)
2222→++≤+++++++++≤++←
n n n
n n n n n n n n n n n
由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求).
...2211(
lim 222n n n n
n n n n n +++++++++∞→
解： 由推论1，
2
1112)1(...221112)1(2122222→++⋅+<+++++++++<++⋅+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为21.
由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩
接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧 例
4.求!2lim
n n
n ∞→.
解：)
.(42...322212!20放到第二项最大！n n n n ≤⨯⨯⨯⨯=< 且0
!4
lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n
例5.求
).
1(lim
>∞
→αα
n
n n
解：设),0(1>+=h h α则 从而
,)1(202h n n
n
-<
<
α因为,0)1(2
lim 2=-∞→h n n
由夹逼准则可知
.
0lim
=∞
→n
n n
α
例
6.求.1)!sin(lim 3
2+∞→n n n n
解：由于
,1
11)!sin(0333
232323
2n
n n n n n n n n n ==<+≤+≤
(三角函数有界性)
即3
3
2311)!sin(1n n n n n
<+<-,而,01
lim 1lim 33
==-∞→∞
→n n n n
由夹逼准则可知.01)
!sin(lim 3
2=+∞→n n n n
例7.求.
)321(lim 1n
n n
n ++∞
→
解：原式.
]1)32
()31[(3lim ]1)32()31[(3lim 1
1
n n n n n n n n ++=++=∞→∞→
因为1)32()31(0<+<n n ,3
1)32
()31(1<++<n n ,
两边同时乘以n 3得到133213
+<++<n n n n
,
再两边同时开n 次方根得到.33]321[311n
n n n
⨯<++<
当∞→n 时,
.
3lim 3133lim 3)33(lim 11
左边右边===⨯=⨯=⨯=∞
→∞
→∞
→n n
n n
n
故由夹逼准则可得.
3)321(lim 1=++∞→n
n n
n
例8.求[].
lim
x x x ∞
→
解：由取整函数的性质可知[].1x x x ≤≤-
当,0时>x [][]；
即111,1≤≤-≤≤-x x x x x x x x x 当,0时<x [][]；即111,1≥≥-≥≥-x x x x x x x x x
因为，1)1
1(lim =-∞→x x 由夹逼准则可得[].1lim =∞→x x x
例9.求).0,0(lim 0
>>⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
→b x b x x αα
解由取整函数的性质可知)
0(1≠≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-x x b
x b x b ,
当0>x 时，各项乘以α
x
得到ααα
αb
x b x x
b
≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<
-
因为
,
)(
lim 0αα
α
b
x b
x =
-+
→由夹逼准则可得.lim 0
ααb
x b x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+
→。