【数学】苏州市2020届高三年级上学期期末试卷数学及答案

10．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x＋my＋m＋2＝0(mR)上存在点 P，使得过点 P 向
圆 O：x2 y2 2 作切线 PA（切点为 A），满足 PO＝ 2 PA，则实数 m 的取值范围为
．
【答案】m≥ 4 或 m≤0. 3
【解答】由勾股定理知道：PO2 PA2 r2 ，又 PO＝ 2 PA，因此 PA2=r2，即 PA=r，因此
F1O OP
c b
tan
F1PO
tan
60
3 ，因此
e c c2 c2 ( 3b)2 3 6 。 a a2 c2 b2 ( 3b)2 b2 2 2
x 0
8．若
x，y
满足约束条件
x
y
0
，则 z＝x＋3y 的最大值为
．
x y 1 0
【答案】3. 【解答】画出（x,y）满足的区域，不难看出当 z=x+3y 过点（0,1）时取最大值 3. 9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y 1 与函数 f (x) sin(x ) ( ＞0)的图
2
6
象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 A1，A2，…，若点 A1 的横坐标为 1，则点 A2 的横坐
标为
．
【答案】3.
【解答】点
A1 的横坐标为
1，纵坐标为
1
，代入函数
f
(x)
sin( x
PO= 2r ，现在即将题目转化为：直线上存在点到圆心距离为 2r 。因此只要让圆心到直线
的最小距离 d≤ 2r 即可。 d | 0 0 m 2 | 2 2 ，即| m 2 | 2 1 m2 ，两边 12 m2
平方整理得 3m2 4m 0，解此不等式得 m≥ 4 或 m≤0. 3
．
2．已知 i 是虚数单位，复数 z＝(1＋bi)(2 ＋i)的虚部为 3，则实数 b 的值为
．
3．从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概
率为
．
4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的
车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是 440 辆，
F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC，BD 的中点，则
uuur uur
PQ EF 的值为
．
13．已知实数 x，y 满足 x(x y) 1 2 y2 ，则 5x2 4 y2 的最小
值为
．
第 12 题
14．已知函数
f
(x)
ex ex
，x
2
4x
8 ，x
（其中
2
e
为自然对数的底数），若关于
xOy
中，己知点
F1，F2
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a＞0，b＞0)的左、右焦
点，点 P 的坐标为(0，b)，若∠F1PF2＝120°，则该双曲线的离心率为
．
x 0
8．若
x，y
满足约束条件
x
y
0
，则 z＝x＋3y 的最大值为
．
x y 1 0
9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆
r b
＝(cosx，﹣1)．
4
rr （1）当 a ∥ b 时，求 tan2x 的值；
（2）设函数
f
(x)
r rr 2(a b)b
，且
x (0，
)，求
f
(x) 的最大值以及对应的
x
的值．
2
2
16．（本题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，CA＝CB，D，E 分别是 AB，B1C 的中点． （1）求证：DE∥平面 ACC1A1； （2）若 DE⊥AB，求证：AB⊥B1C．
如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象 限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的
“上辅点”．已知椭圆
E：
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0) 上的点(1，
3 )的上辅点为(1， 2
3 )．
（1）求椭圆 E 的方程；
π )
得，sin
(
π )
1
。
2
6
62
8
因此 2k 或2k 5 （k∈N），又点 A1 是 y 轴右侧的第一个公共点，所以
6
6
6
6
5 6
，
2 3
。点
A2
为
y
轴右侧的第
2
个公共点，所以点
A2
的横坐标 x0 满足
x0
6
13 6
，解得点 A2 的横坐标 x0 =3.
12.如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AD＝3，BC＝4，E，F 为 AB，CD 的中点，P，Q
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）当函数 f (x) 与函数 g(x) ln x 图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取
值集合；
（3）证明：当 a (0， 1 2
)时，函数 h(x)
f
(x) ax 有两个零点 x1 ， x2 ，且满足
1 x1
1 1． x2 a
5
江苏省苏州市 2019—2020 学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
（1）求 a1 和 a2 的值及数列an 的通项公式；
（2）设 Tn
1 S1 2
1 S2 4
1 L S3 6
1 S n 2n
( n N )．①若T1
T2T3 ，求
k
的
值；②求证：数列Tn 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
4
20．（本题满分 16 分）
已知函数 f (x) a ln x ( a R)． x
上(C 与 A，B 不重合)，在小路 AB 与 OC 的交点 D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，
空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC＝ ，蜂果区的面积为 S(平方百米)． （1）求 S 关于 的函数关系式； （2）当 为何值时，蜂巢区的面积 S 最小，并求此时 S 的最小值．
3
18．（本题满分 16 分）
江苏省苏州市 2019—2020 学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
高三数学试题
2020．01
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．．）
1．已知集合 A＝ x x 1 ，B＝{﹣1，0，1，4}，则 A I B＝
uuur uur
为对角线 AC，BD 的中点，则 PQ EF 的值为
．
【答案】 7 。 4
【解答】连接点 Q，F，P，E。由中位线定理知 FQ∥BC 且 FQ= 1 BC。同理有 PE∥BC 且 2
PE= 1 BC。FP∥AD 且 FP= 1 AD。QE∥AD 且 QE= 1 AD。因此四边形 FPQE 为平行四边
（2）若△OPQ 的面积等于 1 ，求上辅点 Q 的坐标； 2
（3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系， 并证明你的结论．
19．（本题满分 16 分）
已知数列an 满足 2Sn nan a1， a3 4 ，其中 Sn 是数列an 的前 n 项和．
高三数学试题答案
2020．01
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．．）
1．已知集合 A＝ x x 1 ，B＝{﹣1，0，1，4}，则 A I B＝
．
【答案】{1,4}
2．已知 i 是虚数单位，复数 z＝(1＋bi)(2 ＋i)的虚部为 3，则实数 b 的值为
锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 ，弧长为 4 cm 的扇形，则 5
7
该冰淇淋的体积是
cm3．
【答案】 16 16 3π。 3
【解答】圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 ，弧长为 4 cm 的扇形，从而圆锥底面圆 5
半径
弧长 r= 2π
4π 2π=2
，母线
长
弧长 l= 圆心角
．
【答案】1. 【解答】z=2-b+(2b+1)i，因此 2b+1=3,b=1.
3．从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概
率为
．
【答案】 2 3
【解答】三人中选二人有 C32 种选法，一男一女的选法共有 C21C11 种，因此选中的恰好是一男
一女的概率为
条件．（填“充
分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）
【答案】充分不必要。
【解答】由 a1 0 ，“ a1 ＜ a2 ”，a2=a1q，得 q>1，因此 a5=a3q2>a3，所以“ a1 ＜ a2 ”是“ a3
＜ a5 ”的充分条件；若“ a3 ＜ a5 ”，即 a5=a3q2>a3，所以 q2>1，q>1 或 q<-1。当 q<-1 时，
则在[8，9)之间通过的车辆数是
．
5．如图是一个算法流程图，若输入的 x 值为 5，则输出的 y 值为
．
第4题
第5题
第9题
6．已知等比数列an 中， a1 0 ，则“ a1 ＜ a2 ”是“ a3 ＜ a5 ”的