最新小升初数学衔接班第7讲——重新认识图形

小升初数学衔接班第7讲——重新认识图形一、学习目标：通过学习三角形的边角关系及中线、高线、角平分线等内容，体会初中几何与小学的不同，掌握基本的推理、论证的方法，以便更快适应中学的学习。

二、学习重点：学会基本的推理、论证的方法。

三、课程精讲：1、知识回顾在小学，我们学习过一些几何图形，比如三角形：（1）三角形内角和（量一量、拼一拼，找出规律）（2）三角形三边的关系（摆一摆，找出规律）提问：在测量三角形的内角和时，你真能测量得绝对精确、没有一点误差吗？在把三角形的内角拼接为一个平角时，你真的认为能拼成一个平角吗？会不会只是很接近平角呢？在用小棍摆三角形时，你发现了两边之和必须要大于第三边。

这个结论对所有长度的小棍都成立吗？你没有摆的其他长度也是这样吗？2、新知探秘知识点一为何要推理？例1、图（1）中，线段AB、CD哪一条长？图（2）中，线段AB、AC哪一条长？图（3）中，两个带阴影的椭圆哪一个大？图（4）中，,a b两条直线之间一样宽吗？知识点二推理的依据推理时要做到言必有据，那什么是推理的依据呢？这就是学过的定义、公理和定理。

（1）定义：对于一个名词或术语的意义的说明就叫做定义。

比如，射线的定义为“直线上一点和它一旁的部分叫做射线”、角的定义为“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”等。

（2）公理：被人类长久以来的实践所证实，作为推理依据的事实叫做公理。

比如，“经过两点有且只有一条直线”、“在所有连接两点的线中，线段最短”等。

（3）定理：用逻辑推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

以后，我们将会学习到许多定理。

例2、已知，如图，D是AB中点，E是AC中点，且AB＝AC。

求证：AD＝AE。

思路导航：有同学认为这显然成立，却不能说出推理的依据，这是不可取的。

解答：D是AB中点（已知）∴12AD AB=（线段中点定义）E是AC中点（已知）∴12AE AC=（线段中点定义）又AB＝AC（已知）∴1122AB AC=（等式的性质）即AD＝AE（等量代换）点津：要养成“讲道理”的习惯，初学时应在每一步之后注明推理的依据。

在小学阶段，“三角形内角和为180°”的证明，需要用到平行线的相关性质；而证明“三角形两边之和大于第三边”要用到公理“在所有连接两点的线中，线段最短”。

例3、如图，已知△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若△ABC的面积为6，求PD＋PE的值。

思路导航：仔细体会题目意思，“P 是BC 上任意一点”，明确是要求出P 在BC 上的任何位置时，PD ＋ PE 的值。

再进一步分析，若PD ＋ PE 的值不变的话，只要假设P 在某个特殊的位置，就能比较方便地求出PD ＋PE 的值了。

但这并不是推理证明。

解答： 连接APPD ⊥AB （已知）∴12ABP S AB PD ∆=⨯（三角形面积公式） PE ⊥AC （已知）∴12ACP S AC PE ∆=⨯（三角形面积公式） ∴1122ABP ACP S S AB PD AC PE ∆∆+=⨯+⨯（等式的性质）即1164422PD PE =⨯⨯+⨯⨯∴3PD PE +=（等式的性质） 点津：这里的线段AP 是我们为了解题方便而作出来的，这叫做辅助线。

通常辅助线用虚线表示。

添加辅助线来解题，是我们以后解几何题时常用的办法。

在中学，对于解答题，并不是只要求出得数即可，而应重视解答过程中的论证及其依据。

知识点三 三角形的外角三角形一条边的延长线与其相邻的一条边组成的角，叫做三角形的外角。

关于三角形的外角有如下定理：定理1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

定理2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

定理3：三角形的外角和为360（每个顶点处的外角只取其中一个）。

在中学学习中，同学们一定不能只注重结论，还必须弄清楚其来源和推理过程。

例4、已知：如图，在ABC ∆中，75A ∠=，BE 是AC 边上的高，CF 是AB 边上的高，H 是BE 和CF 的交点。

求BHC ∠的度数。

思路导航：无论解答题还是证明题，其解答或证明过程都是将已知条件和结论联系起来。

因此，我们的任务就是将“BHC ∠”与“75A ∠=”联系起来，过程中可能会用到条件“BE 是AC 边上的高，CF 是AB 边上的高”。

解答：BE 是AC 边上的高CF 是AB 边上的高（已知）∴90AEB ∠=，90BFC ∠=（高线定义） 在ABE ∆中，180A ABE AEB ∠+∠+∠=（三角形内角和定理）75A ∠=（已知） 90AEB ∠=（已证）∴180759015ABE ∠=--=（等式的性质） 即15FBH ∠= 在BHF ∆中，BHC FBH BFH ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）90BFH ∠=（已证） 15FBH ∠=（已证）∴1590105BHC ∠=+=点津：有的同学认为只有证明题才需要推理依据，计算题与证明题不同，只要算出得数即可。

这个观念是极其错误的，计算题在计算过程中也存在着推理论证，也要求言之有据！知识点四 三角形的角平分线在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线。

例5、已知：如图，ABC ∆中，AD 是角平分线，40B ∠=，50C ∠=。

求ADC ∠的度数。

思路导航：由于已知50C ∠=，所以，为求ADC ∠的度数，只需再知道DAC ∠的度数就可以了。

为求DAC ∠，只需再知道BAC ∠的度数就可以了。

为求BAC ∠，只需知道B ∠和C ∠的度数就可以了。

而B ∠和C ∠的度数已知，所以，问题得解。

解答：在ABC ∆中，180BAC B C ∠+∠+∠=（三角形内角和定理）∴180BAC B C ∠=-∠-∠（等量减等量，差相等。

可简称为等式的性质） 又40B ∠=，50C ∠=（已知）∴180405090BAC ∠=--=（等量代换） 又AD 平分BAC ∠（已知）∴12DAC BAC ∠=∠（角平分线定义）∴190452DAC ∠=⨯=（等量代换）在ADC ∆中，180DAC ADC C ∠+∠+∠=（三角形内角和定理） ∴180ADC DAC C ∠=-∠-∠（等式的性质） 180455085=--=（等量代换）点津：我们在分析题目的过程中，经常使用“要求什么，只要求什么”的思维方法，这种思维方法即为分析法，是一种很常用的方法，在分析解题思路时很有用。

我们在分析、听讲、阅读几何问题时，一定要结合几何图形来进行。

四、知识提炼导图：五、目标期望：通过本讲的学习，希望同学们了解初中研究几何的方法与小学不同，主动、自觉地培养自己理性思维的习惯，即演算、论证过程要言之有据。

希望同学们在后续的学习过程中，形成这样的观点：学习几何的过程中最重要的不是许许多多的结论，而是如何得出这些结论的过程！本讲选用三角形为例来说明以上观点，希望同学们能用新的观点重新研究小学的一些结论（比如三角形的内角和、三边的大小关系等），多思考为什么能得出这些结论。

六、下讲预告：著名数学教育家波利亚如是说：“要想成为一个好的数学家，你必须首先是一个好的猜想家，数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但这个证明是由合情推理、由猜想来发现的。

”国家义务教育课程标准中明确指出“培养学生创新意识”、“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

”下一讲，我们将学习如何观察、实验、猜测，它们是创造的基石。

【同步练习】（答题时间：45分钟） 1、火眼金睛：（1）下列说法中正确说法的个数是（ ） ①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形三条高至多有两条不在三角形内部；③三角形三条高的交点不是在三角形内部，就是在三角形外部； ④钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（2）如果三角形三边长分别为1-a 、a 、1+a ，则a 的取值范围是（ ） A. 0>a B. 10<<a C. 2>a D. 21<<a（3）一个等腰三角形的周长是11，其中一边长是3，则其他两边长是（ ） A. 3和5 B. 4和4 C. 3和5或4和4 D. 不能确定（4）五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中三条线段为边长可以构成的三角形的个数为（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 （5）如图，4,3,2,1∠∠∠∠满足下列（ ）关系式A. 3421∠-∠=∠+∠B. 4321∠+∠=∠+∠C. 3421∠-∠=∠-∠D. 4321∠-∠=∠-∠2、对号入座：（1）已知：如图，ABC ∆中，OA 、OB 分别平分BAC ∠、ABC ∠，若 100=∠AOB ，则=∠C ；（2）已知：如图，AD 、AE 分别是ABC ∆的高和角平分线，若 33=∠B ， 67=∠C ，则=∠1 ，=∠2 ，=∠3 ；（3）已知ABC ∆中，BC AD ⊥，AC BE ⊥，垂足为D 、E ，AD ＝6，BC ＝10，BE ＝8。

则AC 的长为_______________；（4）已知ABC ∆中， 36B =∠， 110ACB =∠，AD 平分A ∠，AE 是BC 边上的高，则=∠DAE _______；（5）已知：如图， 40=∠A ，BE 、CE 是ABC ∠、ACB ∠的平分线，BF 、CF 是CBM ∠、NCB ∠的平分线，则=∠E ，=∠F 。

3、牛刀小试：（1）已知：如图，ABC Rt ∆中， 90=∠ACB ，AB CD ⊥，AE 平分CAB ∠。

求证：CFE CEF ∠=∠。

（2）已知：ABC ∆中，D 为AB 边上一点，且AD ＝AC ，求证：AC AB CD BC -<-。

【试题答案】 1、火眼金睛：（1）A 解析：①钝角三角形只有一条高在三角形内部，错；②三角形三条高不能都不在内部，对；③三角形三条高的交点可以在定点处，错；④钝角三角形三个内角的平分线的交点一定在三角形内部，错。

（2）C 解析：因为，边1a +最长，所以只要满足11a a a -+>+即可，解得2a >。

（3）C 解析：若3为腰长，则底边为11325-⨯=；若3为底边长，则腰长为(113)24-÷=；均能构成三角形。

（4）A 解析：较短边为1和2时，均不能构成三角形； 较短边为1和3时，均不能构成三角形； 较短边为1和4时，均不能构成三角形；较短边为2和3时，能构成三角形的只有2、3、4； 较短边为2和4时，能构成三角形的只有2、4、5； 较短边为3和4时，能构成三角形的只有3、4、5。