解三角形 高一期末复习
高一数学解三角形期末复习_北师大版必修6
解三角形第1课时 三角形中的有关问题1．正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ． 解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226+ A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226- 变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c o s B = （ ）A ．14 B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A.020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（ ） A 1665 B 5665 C 1665或 5665D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin ABC a b cA b S AB C++∠===++ 则= ．解：3提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得a =例2. 在△ABC 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝C sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2 ⇒∠A＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。
2019-2020高一下期末数学复习解三角形专题
2019级高一数学复习导学案编制人：王宇审核人：袁中飞期末复习专题解三角形【教学目标】1. 运用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理解斜三角形．2. 运用正弦定理、余弦定理及三角变换公式灵活进行边角转换．3. 高考对解三角形，可以为填空题，也可以为解答题，灵活运用公式转化是考查的重点．【教学过程】课前预习1．（2020•常德模拟）已知在△ABC中，，AB＝1，角A的平分线，则AC＝（）A．B．C．D．2．在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是（）A．或B．C． D．3．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为（）A．5米 B．10米C．15米D．20米4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2＝2019c2，则的值为（）A．1008 B．1009 C．2017 D．20185．△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2＝2b2﹣2a2，，则cos2A﹣cos2B的值为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC＝3，AD＝，sin∠ABC＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．6D．127．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a sin B cos C+c sin B cos A＝b且a＞b，则B＝（）A．B．C． D．8．（2017春•故城县校级期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，a+c＝4，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．9．（2017春•西宁期末）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°B．b＝18，c＝20，B＝60°C．a＝15，b＝2，A＝90°D．a＝4，b＝3，A＝120°典型例题：例1. 在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1) 求角A 的大小； (2) 求AC 边上的高．【针对训练】1.△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝________.2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝ ________，c ＝ ________．例2. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1) 求sin B sin C ；(2) 若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.【针对训练】1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．例 3. 某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?2019级高一数学复习导学案 编制人：王 宇 审核人：袁中飞课后练习：1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，则△ABC 的形状是____________．2. 某港口停泊两艘船，大船从港口出发，以40千米/时的速度沿东偏北60°方向行驶2.5小时后，小船以20千米/时的速度开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向与速度不变，从大船折向开始，到与小船相遇(大船速度不变)，最少需要的时间是________小时．3. 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.4. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1) 求cos ∠ADB ；(2) 若DC ＝22，求BC.5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝35，tan (A －B)＝13，C 为钝角，b ＝5.(1) 求sin B 的值； (2) 求边c 的长．6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，－cos A )，m·n ＝0.(1) 求内角A 的大小； (2) 若a ＝10，求△ABC 面积的最大值．7.【2019年高考真题理（江苏卷）】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．8.【2019年高考真题理（全国卷Ⅰ）】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9.【2019·北京高考模拟（理）】已知()sin f x x x =，A 、B 、C 为ABC 的三个内角，BC 2=，()0f A =（1）求A 角；（2）求ABC ∆面积的最大值.10.【2019年高考真题理（天津卷）】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.。
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
高一期末复习解三角形与不等式
高一下学期期末复习1：解斜三角形与不等式姓名一、 选择题（每题5分，12题）1． 在三角形ABC 中，222c b a <+，且,23sin =C 则=∠C A 1200B 600C 300D 600或12002．三角形ABC 中，满足下列条件，不是恰有一解的是A 030,10,5===A b a 030,34,4,===A b a B060,22,32.===A b a C 030,3,4.===A b a D3． 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是300，600，则塔高为3652.A 620564.B 1758.C 3652.-D4． 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一根比1大，一根比1小，则a 的范围11.<<-a A 1,1.>-<ora a B 12.<<-a C 1,2.>-<ora a D5．.对于04≤≤m 中任意m 不等式342-+>+m x mx x 恒成立， x 的取值范围是A 、-13≤≤xB 、1-≤xC 、3≥xD 、x<-1或 x>36．给定平面区域如图，)5,1(),4,6(),1,3(C B A ，若目标函数y ax z +=取最大值的最优解仅过点C ，则a 的范围是 A 512-≤≤-a B 251<<aC0,,251≥<<a or a D 21<<-a 7．某同学用50元买纪念邮票，票面8至少买2套，共有多少种不同的买法？ A 15 个 B 16个 C 10个 D 12个8． 如果x 2＋y 2=1,则3x －4y 的最大值是 ( ) A ．3 B ．51C ．4D ．5 9．设),(y x P 是第一象限的点，且在直线623=+y x 上，则xy 的最大值是 A 、2 B 、1.5 C 、2.5 D 、1 10．设b a <<0, 且1=+b a , 在下列四个数中最大的是aA 1, b B , C ab 2 D 22b a + 11．已知△ABC 中,∠C=90°,则a bc+的取值范围是 A.(0,2) ]C.⎡⎣ ]12．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题（每题5分，6题）13．在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则s i n s i n s i n a b cA B C++++= ；14．在△ABC 中，ac c b a c b a =+-++))((，则B=15．关于x 的不等式01)13(2>+--x a ax 的解集是Ｒ，则实数a 的取值范围是 16．若不等式102≤+-≤a ax x 有唯一解,则a 的取值为 17．函数a ax x a x y ,20)(2(<<-=为常数），则最大值是 18．若直角三角形的斜边为1,则其内切圆的半径的最大值为 （选择题答案填写处）三、解答题19．解下列关于x 的不等式（1）12731422<+-+-x x x x （2）)0(01)1(2≠<++-a x a ax20． （1）已知,0,0>>b a 求证：b a ba ab +≥+（2）已知,0,0>>b a 且3++=b a ab ，求：ab 的最小值21．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b ac =，43cos =B ． （Ⅰ）求CA tan 1tan 1+的值； （Ⅱ）设c a +=⋅求,23的值。
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
解三角形小题综合 解析版--高一下学期备战期末专题训练
期末专题04解三角形小题综合一、单选题1(2022春·江苏常州·高一校联考期末)在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断【答案】C【分析】根据余弦定理可得cos B<0，进而得∠B为钝角，即可求解.【详解】在△ABC中,由余弦定理以及AB=5，BC=6，AC=8可知:cos B=AB2+BC2-AC22AB⋅BC=25+36-64 2×5×6=-120<0,故∠B为钝角，因此△ABC是钝角三角形故选：C2(2022春·江苏连云港·高一统考期末)在锐角三角形ABC中，a=2b sin A，则B=()A.π6B.π4C.π3D.7π12【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：在锐角三角形ABC中，0<B<π2，由正弦定理得asin A=bsin B，又a=2b sin A，所以sin B=12，且0<B<π2，故B=π6.故选：A.3(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2a= 3b sin A，则sin B=()A.63B.33C.23D.13【答案】A【分析】运用正弦定理边化角直接计算即可.【详解】由题意，2a=3b sin A，∴2sin A=3sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin B=23=63；故选：A.4(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=c cos B，则△ABC的形状()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.【详解】因为a=c cos B，cos B=a2+c2-b2 2ac，所以a=c⋅a2+c2-b22ac，整理得a2+b2=c2，所以三角形的形状是直角三角形.故选：B5(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC 中，B =45°，点D 是边BC 上一点，AD =5，AC =7，DC =3，则边AB 的长是()A.46B.1036 C.562D.26【答案】C【分析】由余弦定理求得cos C ，由正弦定理求得AB ．【详解】△ACD 中cos C =AC 2+CD 2-AD 22AC ⋅CD=49+9-252×7×3=1114，所以sin C =1-1114 2=5314，△ABC 中，由正弦定理AB sin C =AC sin B 得AB =AC sin C sin B =7×5314sin45°=562．故选：C ．6(2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末)中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知AB =CD =4，BC =3，AD =7，则该玉佩的面积为()A.496π-934B.493π-932C.496π D.493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出BO =3，AO =7，进而得出△OAD 为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由BC ⎳AD ，得△OBC ∼△OAD ，所以BC AD =BOAO，又AB =CD =4，BC =3，AD =7,所以37=BO BO +AB=BO BO +4，解得BO =3，所以AO =7，所以△OAD 为等边三角形，则∠AOB =π3，故S 扇形=12αr 2=12×π3×72=496π，S △BOC =12OB ×OC ×sin π3=12×3×3×32=934，所以玉佩的面积为496π-934.故选：A7(2022秋·江苏南通·高一统考期末)图1是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26 )在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬( )(参考数据：tan34°≈0.67，tan56°≈1.49)A.23°26B.32°34C.34°D.56°【答案】B【分析】由题意有tan α=22.98≈0.67，可得∠MAN ，从而可得β【详解】由图1可得tan α=22.98≈0.67，又tan34°≈0.67，所以α=34°，所以∠MAN =90°-34°=56°，所以β=56°-23°26 =32°34 ，该地的纬度约为北纬32°34 ，故选：B ．8(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设f x =sin x cos x -cos 2x +π4，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f A2 =0，a =1，则△ABC 面积的最大值为()A.2+33B.3+33C.2+34D.3+34【答案】C【分析】先用三角恒等变换得到f x =sin2x -12，从而根据f A 2 =0求出A =π6，再结合余弦定理基本不等式求出bc ≤2+3，根据面积公式求出最大值.【详解】f x =sin x cos x -cos 2x +π4 =12sin2x -121+cos 2x +π2 =sin2x -12，则f A 2 =sin A -12=0，所以sin A =12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π6，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-12bc=32，所以b 2+c 2=3bc +1，由基本不等式得：b 2+c 2=3bc +1≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立，所以bc ≤2+3，S △ABC =12bc sin A =14bc ≤2+34故选：C9(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中，使得△ABC 恰有一个解的是()A.a =2,b =4,A =π3B.a =13,b =4,A =π3C.a =23,b =4,A =2π3D.a =32,b =4,A =2π3【答案】D【分析】利用正弦定理逐项判断.【详解】A . 因为a =2,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π32=3>1，无解；B . 因为a =13,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin Aa =4×sin π313=23913，又32<23913<1，则π3<B <2π3，有两解，故错误；C . 因为a <b ,A =2π3，则B >A ，所以无解，故错误；D . 因为a =32,b =4,A =2π3，由正弦定理得a sin A =b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π332=63，又12<63<1，且a >b ，所以π6<B <π2，故有一解，故正确. 故选：D10(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知△ABC 为锐角三角形，AC =2，A =π6，则BC 的取值范围为()A.1,+∞B.1,2C.1,233D.233,2【答案】C【分析】根据锐角三角形得出角B 的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π60<B <π20<5π6-B <π2,解得π3<B <π2,所以32<sin B <1.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B =BC sin A，即BC =AC ⋅sin A sin B =2×sin π6sin B =1sin B ,由32<sin B <1，得1<1sin B<233，即1<BC <233.所以BC 的取值范围为1,233.故选：C .11(2022春·江苏镇江·高一统考期末)已知A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，且测得点B 对点A 和点C 的张角为120°，则点B 到AC 的距离为( )km ．A.2077B.10217C.20217D.1077【答案】B【分析】由余弦定理求出AC ，再由面积等积法求解.【详解】由余弦定理可得：AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos120°=102+202-2×10×20×-12=700，即AC =107，所以S △ABC =12AB ⋅BC sin120°=12⋅AC ⋅h ，解得h =AB ⋅BC ⋅sin120°AC =1003107=10217.故选：B12(2022春·江苏无锡·高一统考期末)设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b =2，a 2sin C =6sin A ，则△ABC 面积的最大值为()A.3B.5C.6D.3【答案】B【分析】由a 2sin C =6sin A 结合正弦定理可得ac =6，再利用余弦定理可求得cos B ≥23，则可得sin B ≤53，从而可求出△ABC 面积的最大值【详解】因为a 2sin C =6sin A ，所以由正弦定理可得a 2c =6a ，得ac =6，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，4=a 2+c 2-12cos B ，所以4+12cos B =a 2+c 2≥2ac =12，当且仅当a =c 时取等号，所以cos B ≥23，所以sin B =1-cos 2B ≤1-49=53，所以12ac sin B ≤12×6×53=5，当且仅当a =c 时取等号，所以△ABC 面积的最大值为5，故选：B13(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)△ABC 中，A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，则()A.若a <b <c ，则cos B <sin CB.∃A ,B 使得sin (A +B )=sin A +sin BC.∀B ,C 都有tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan CD.若sin A +cos A =32，则A 是钝角【答案】D【分析】特殊值法判断A 、C ；B 由题设有sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，进而有cos B =cos A =1即可判断；D 由已知得sin A +π4 =64<22，结合0<A <π即可判断.【详解】A ：由题设A <B <C ，若C =150°，B =20°，A =10°，此时cos B =sin π2-B >sin C ，错误；B ：若sin (A +B )=sin A +sin B ，则sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，而sin A ,sin B >0，所以cos B =cos A =1，又0<A +B <π，故不存在这样的A ,B ，错误；C ：当B =C =π4时tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan C不成立，错误；D ：由sin A +cos A =2sin A +π4 =32，故sin A +π4 =64<22，而0<A <π，所以5π4>A +π4>3π4，即π>A >π2，正确.故选：D14(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac =8,sin B +2sin C cos A =0，则△ABC 面积的最大值为()A.1B.3C.2D.4【答案】C【分析】根据sin B +2sin C cos A =0利用三角恒等变换和正余弦定理得到2b 2=a 2-c 2，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据S △ABC =12ac sin B 可求△ABC 面积的最大值．【详解】∵sin B +2sin C cos A =0，∴sin A +C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +3cos A sin C =0，则a ⋅b 2+a 2-c 22ab +3×b 2+c 2-a 22bc×c =0，整理得2b 2=a 2-c 2，∴cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-a 2-c222ac=a 2+3c 24ac ≥23ac 4ac =32，当且仅当a 2=3c 2⇔c =83,a =83时取等号，∴B ∈0，π6，∴sin B ≤12，则S △ABC =12ac sin B ≤12×8×12=2．故选：C ．15(2022春·江苏扬州·高一期末)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p=(a +c ，b )，q =(b -a ，c -a )，若p ∥q，则角C 的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π3【答案】B【分析】因为p ⎳q ，所以a +c c -a -b b -a =0，再根据余弦定理化简即得解.【详解】因为p ⎳q，所以a +c c -a -b b -a =0，所以c 2-a 2-b 2+ab =0,∴a 2+b 2-c 2=ab ，所以2ab cos C =ab ,∴cos C =12,∵0<C <π，所以C =π3.故选：B .16(2022春·江苏苏州·高一校考期末)如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为()A.206海里B.406海里C.20(1+3)海里D.40海里【答案】A【分析】分别在△ACD 和△BCD 中利用正弦定理计算AD ,BD ，再在△ABD 中利用余弦定理计算AB 即可【详解】由题意可知CD =40,∠ADC =105°,∠BDC =45°,∠BCD =90°,∠ACD =30°，所以∠CAD =45°,∠ADB =60°，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin30°=40sin45°，得AD =202，在Rt △BCD 中，因为∠BDC =45°,∠BCD =90°，所以BD=2CD=402，在△ABD中，由余弦定理得AB=AD2+BD 2-2AD⋅BD cos∠ADB=800+3200-2×202×402×12=2400=206，故选：A17(2022春·江苏苏州·高一统考期末)已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且b2-c2⋅sin B=2S，若a=kc，则k的取值范围是()A.1,2B.0,3C.1,3D.0,2【答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到c=a-2c cos B，结合正弦定理得到B=2C，由△ABC为锐角三角形，求出B∈π3,π2，从而求出cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，求出k的取值范围.【详解】因为S=12ac sin B，所以b2-c2⋅sin B=2S=ac sin B，即b2-c2=ac，所以ac+c2=a2+c2-2ac cos B，整理得：ac=a2-2ac cos B，因为a>0，所以c=a-2c cos B，由正弦定理得：sin C=sin A-2sin C cos B，因为sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C，所以sin C=sin B cos C-cos B sin C=sin B-C，因为△ABC为锐角三角形，所以B-C为锐角，所以C=B-C，即B=2C，由B∈0,π2C=B2∈0,π2A=π-B2-B∈0,π2，解得：B∈π3,π2，因为a=kc，所以cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，解得：k∈1,2，故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题18(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)在△ABC中，下列结论中，正确的是()A.若cos2A=cos2B，则△ABC是等腰三角形B.若sin A>sin B，则A>BC.若AB2+AC2<BC2，则△ABC为钝角三角形D.若A=60°，AC=4，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(23,+∞)【答案】ABC【分析】根据cos2A=cos2B及角A、B的范围，可判断A的正误；根据大边对大角原则，可判断B的正误；根据条件及余弦定理，可判断C的正误；根据正弦定理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于选项A，因为cos2A=cos2B，且A，B∈(0，π)，所以A=B，所以△ABC是等腰三角形，所以选项A正确；对于选项B，由sin A>sin B，则a<b且A，B∈(0，π)，可得A>B，所以选项B正确；对于选项C，由AB2+AC2<BC2，以及余弦定理可得cos A<0，即△ABC为钝角三角形，所以选项C正确；对于选项D，由A=60°，AC=4，以及正弦定理可得sin B=ACBCsin A=23BC<1，解得BC>23，且由大边对大角B>A，可得AC>BC，即BC<4，所以BC长的取值范围是(23，4)，所以选项D 错误；故选：ABC.19(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45°,c =2，下列说法正确的是()A.若a=3,△ABC有两解B.若a=3,△ABC有两解C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,22)D.若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)【答案】AC【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即c sin A<a<c，△ABC有两解，a>c或a=c sin A，△ABC有一解，a<c sin A，△ABC有0解，根据直角三角形的情况，便可得出△ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选项，∵c sin A<a<c，∴△ABC有两解，故A正确；B选项，∵a>c，∴△ABC有一解，故B错误；C选项，∵△ABC为锐角三角形，∴c cos A<b<cc cos A，即2<b<22，故C正确；D选项，∵△ABC为钝角三角形，∴0<b<c cos A或b>cc cos A，即0<b<2或b>22，故D错误.故选：AC20(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)在三角形△ABC中，∠A=π3，若三角形有两解，则ca的可能取值为()A.223B.1.1 C.233D.1.01【答案】BD【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足32c <a <c ，即可求解.【详解】若三角形有两解，则满足32c <a <c ，故1<c a <233，故选：BD 21(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c =2b ，B =30°，则角A 可能为()A.135°B.105°C.45°D.15°【答案】BD【分析】由正弦定理求角．【详解】解：正弦定理得c sin C=bsin B ，又c =2b ，B =30°，sin C =22，c >b ，则C >B ，0°<C <180°，故C =45°或135°，A =105°或15°故选：BD ．22(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ，设向量m=c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，则下列选项正确的是()A.A =2BB.C =2AC.1<ca<2D.若△ABC 的面积为c 24，则C =π2【答案】BC【分析】根据向量平行得到c 2=a 2+ab ，结合余弦定理转化为cos C =-12+b 2a，进而利用正弦定理得到cos C =-12+sin B 2sin A，化简整理即可判断A 、B 选项；利用正弦定理及二倍角公式将ca 转化为2cos A ，然后求出角A 的范围，进而求出值域即可判断C 选项；利用S =12ab sin C =c 24，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角A ，进而可以求出角C ，从而可以判断D 选项.【详解】因为向量m =c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，所以c 2=a a +b ，即c 2=a 2+ab ，结合余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab ，cos C =-ab +b 22ab，cos C =-12+b 2a ，再结合正弦定理得cos C =-12+sin B2sin A，2sin A cos C =-sin A +sin B ，又因为sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ,所以2sin A cos C =-sin A +sin A cos C +cos A sin C ，sin A cos C -cos A sin C =-sin A ，sin A -C =-sin A ，sin A -C =sin -A ，所以A -C =-A ，故C =2A ，所以B 正确，A 错误；c a =sin C sin A =sin2A sin A =2sin A cos A sin A，因为sin A ≠0，所以c a =2cos A ，又因为0°<A<180°0°<2A<180°0°<180°-3A<180°，所以0°<A<60°，所以12<cos A<1，即1<2cos A<2，因此1<ca<2，故C正确；因为S=12ab sin C=c24，结合正弦定理12sin A sin B sin C=14sin2C，即sin A sin B=12sin C，则sin A sin180°-3A=12sin2A,sin A sin3A=12sin2A,sin A sin3A=sin A cos A，sin3A=cos A ，sin3A=sin A+90°则3A+A+90°=180°，或3A=A+90°，故A=22.5°或A=45°，故C=45°或C=90°，故D错误.故选：BC.23(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若b=6，c=2，3sin A3+cos A3=2cos C，则下列说法正确的有()A.A+3C=πB.sin C=64C.a=2 D.S△ABC=154【答案】AD【分析】利用三角恒等变换可得出cos C=cosπ3-A3，结合余弦函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用正弦定理可判断C 选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.【详解】因为2cos C=2cos A3cosπ3+sinπ3sin A3=2cosπ3-A3，即cos C=cosπ3-A3，因为0<A<π，0<C<π，则0<π3-A3<π3且余弦函数y=cos x在0,π上递减，所以，C=π3-A3，所以，A+3C=π，A对；因为A+3C=π=A+B+C，则B=2C，所以，0<2C<π，可得0<C<π2，由正弦定理bsin B=csin2C，即62sin C cos C=2sin C，所以，cos C=64，则sin C=1-cos2C=104，B错；由二倍角公式可得sin2C=2sin C cos C=154，cos2C=2cos2C-1=-14，所以，sin A=sin3C=sin C cos2C+cos C sin2C=104×-14+64×154=108，由正弦定理asin A=csin C可得a=c sin Asin C=1，C错；S△ABC=12ab sin C=12×1×6×104=154，D对.故选：AD.24(2022春·江苏扬州·高一统考期末)如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点M为线段AB 中点，P 为线段CM 的中点，延长AP 交边BC 于点N ，则下列结论正确的有( )．A.AP =14AB +12ACB.BN =3NCC.|AN |=193D.AP 与AC 夹角的余弦值为51938【答案】AC【分析】对A ，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B ，根据三点共线的性质，结合AP =14AB +12AC 可得AN =13AB +23AC ，进而得到BN=2NC判断即可；对C ，根据余弦定理可得∠BAC ，再根据B 中AN =13AB +23AC两边平方化简求解即可；对D ，在△ANC 中根据余弦定理求解即可【详解】对A ，AP =12AM +12AC =14AB +12AC，故A 正确；对B ，设AP =λAN ，则由A ，λAN =14AB +12AC ，故AN =14λAB +12λAC，因为B ,N ,C 三点共线，故14λ+12λ=1，解得λ=34，故AN =13AB +23AC ，故AB +BN =13AB +23AB +23BC ，所以BN =23BN +23NC ，即BN =2NC ，故B 错误；对C ，由余弦定理，cos ∠BAC =32+22-422×3×2=-14，由B 有AN =13AB +23AC ，故AN 2=19AB2+49AC 2+49AB ⋅AC ⋅-14 ，即AN 2=1+169-23=199，所以|AN |=193，故C 正确；对D ，在△ANC 中AN =193，AC =2，NC =13BC =43，故cos ∠NAC =AN 2+AC 2-NC 22AN ⋅AC=199+4-1692⋅193⋅2=131976，故D 错误；故选：AC25(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的是()A.若A >B ，则sin A >sin BB.若a =2，b =5，B =π3，则该三角形有两解C.若a cos A =b cos B ，则△ABC 一定为等腰三角形D.若sin 2C >sin 2A +sin 2B ，则△ABC 一定为钝角三角形【答案】AD【分析】对A ，根据正弦定理判断即可；对B，根据正弦定理求解sin A判断即可；对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可【详解】对A，由三角形的性质，当A>B时，a>b，又由正弦定理asin A=bsin B>0，故sin A>sin B，故A正确；对B，由正弦定理asin A=bsin B，故2sin A=532，故sin A=155，因为a<b，故A<π3，故该三角形只有1解，故B错误；对C，由正弦定理，sin A cos A=sin B cos B，故sin2A=sin2B，所以A=B或2A+2B=π，即A+B =π2，所以△ABC为等腰或者直角三角形，故C错误；对D，由正弦定理，c2>a2+b2，又余弦定理cos C=a2+b2-c22ab<0，故C∈π2,π，故△ABC一定为钝角三角形，故D正确；故选：AD26(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是()A.若sin A>sin B，则A>BB.若a2+b2-c2>0，则△ABC是锐角三角形C.若a cos B+b cos A=a，则△ABC是等腰三角形D.若asin A =bcos B=ccos C，则△ABC是等边三角形【答案】AC【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知C为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得A=C；D由正弦定理及三角形内角性质得B=C=45°.【详解】A：由sin A>sin B及正弦定理知：a>b，根据大边对大角有A>B，正确；B：由余弦定理cos C=a2+b2-c22ab>0，只能说明C为锐角，但不能确定△ABC是锐角三角形，错误；C：sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C=sin A，则a=c，故△ABC是等腰三角形，正确；D：由asin A =bcos B=ccos C=bsin B=csin C，则sin B=cos B,sin C=cos C，且0<A,B,C<π，故B=C=45°，即△ABC是等腰直角三角形，错误.故选：AC27(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.c=a cos B+b cos AB.若a cos A=b cos B，则△ABC为等腰或直角三角形C.若a2tan B=b2tan A，则a=bD.若a3+b3=c3，则△ABC为锐角三角形【答案】ABD【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性质判断C ，由余弦定理判断D ．【详解】解：由余弦定理a cos B +b cos A =a ×a 2+c 2-b 22ac +b ×b 2+c 2-a 22bc=c ，A 正确；a cos A =b cos B ，由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，sin2A =sin2B ，A ,B 是三角形内角，所以2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，三角形为等腰三角形或直角三角形，B 正确；由a 2tan B =b 2tan A 得sin 2A ×sin B cos B =sin 2B ×sin Acos A，sin2A =sin2B ，同上得a =b 或a 2+b 2=c 2，C 错；若a 3+b 3=c 3，所以a c 3+b c 3=1，因此0<a c <1,0<bc<1，所以a c 2+b c 2>a c 3+b c 3=1，即a 2+b 2>c 2，cos C =a 2+b 2-c 22ab >0，C ∈(0,π)，所以C 为锐角，显然c 边最大，C 角最大，所以△ABC 为锐角三角形，D 正确．故选：ABD ．28(2022春·江苏苏州·高一校考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，下列说法正确的是()A.若a cos A =b cos B ，则△ABC 是等腰三角形B.若AB =22,B =45°,AC =3，则满足条件的三角形有且只有一个C.若△ABC 不是直角三角形，则tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan CD.若AB ⋅BC<0，则△ABC 为钝角三角形【答案】BC【分析】对于A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得A =B 或A +B =π2判断；对于B 应用余弦定理求BC 即可判断；对于C 由三角形内角性质及和角正切公式判断．对于D 由向量数量积定义判断；【详解】对于A ：由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，则sin2A =sin2B ，则△ABC 中A =B 或A +B =π2，故A 错误；对于B ：由cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =BC 2-142BC=22，则BC 2-4BC -1=0，可得BC =2±5，故BC =2+5，满足条件的三角形有一个，故B 正确；对于C ：由△ABC 不是直角三角形且A =π-(B +C )，则tan A =-tan (B +C )=-tan B +tan C1-tan B tan C，所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ，故C 正确；对于D :AB ⋅BC =|AB ||BC |cos (π-B )=-|AB ||BC |cos B <0，即|AB ||BC|cos B >0，∠B 为锐角，故△ABC 不一定为钝角三角形，故D 错误；故选：BC三、填空题29(2022春·江苏连云港·高一统考期末)曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针方向旋转角α时，P 和Q 之间的距离是xcm ，若OA =3cm ，AP =7cm ，α=120°，则x 的值是．【答案】5【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在△APO中，由余弦定理可知49=OP2+9-2×3⋅OP⋅cos∠AOP⇒OP=5cm，另外，由图可知，在点A与点B重合时，OQ=AP+OA=10cm,∴PQ=OQ-OP=10-5=5cm,故答案为：530(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40nmile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距nmile．【答案】202【分析】利用正弦定理求AB的长度即可.【详解】由题设，CA=40nmile且∠ABC=135°，正弦定理有ABsin∠BCA=CAsin∠ABC°，则ABsin30°=40sin135°，可得AB=202nmile.故答案为：20231(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C=60°，a =1，c=7，则b=.【答案】3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC中，C=60°，a=1，c=7，所以由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C，所以7=1+b2-2b cos60°，b2-b-6=0，(b+2)(b-3)=0，得b=-2(舍去)，或b=3，故答案为：332(2022春·江苏扬州·高一期末)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地km【答案】603+60【分析】由题意作图后由正弦定理求解【详解】作图如下，由题意得A=75°，B=60°，C=45°，AB=120，故BCsin A=ABsin C，BC=120sin45°⋅sin75°，而sin75°=sin(45°+30°)=6+24，得BC=603+60故答案为：603+6033(2022春·江苏泰州·高一统考期末)如图所示，该图由三个全等的△BAD 、△ACF 、△CBE 构成，其中△DEF 和△ABC 都为等边三角形.若DF =2，∠DAB =π12，则AB =.【答案】6+2##2+6【分析】设AF =BD =x ，在△ABD 中，利用正弦定理求出x 的值，再利用正弦定理可求得AB 的长.【详解】由已知△ABD ≌△CAF ，所以，AF =BD ，设AF =x ，在△ABD 中，∠ADB =2π3，∠BAD =π12，则∠ABD =π4，sin ∠BAD =sin π12=sin π3-π4 =sin π3cos π4-cos π3sin π4=6-24，由正弦定理BD sin π12=AD sin π4，即x 6-24=x +222，解得BD =AF =x =233，由正弦定理BD sin π12=ABsin 2π3得AB =BD sin 2π3sin π12=233×326-24=6+ 2.故答案为：6+ 2.34(2022春·江苏常州·高一统考期末)在△ABC 中，AB =22，BC =3，B =45°，点D 在边BC 上，且cos ∠ADC =1717，则tan ∠DAC 的值为.【答案】67【分析】首先由余弦定理求出b ，再求出sin ∠ADC ，由正弦定理求出AD ，再由余弦定理求出BD ，最后在△ADC 中由正弦定理求出sin ∠DAC ，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为AB =22，BC =3，B =45°，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即b 2=9+8-2×3×22×22=5，所以b =5，因为cos ∠ADC =1717，所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =41717，所以sin ∠ADB =sin π-∠ADC =sin ∠ADC =41717由正弦定理AB sin ∠ADB=AD sin B ，所以AD =172，再由余弦定理AD 2=BD 2+AB 2-2AB ⋅BD cos B ，即4BD 2-16BD +15=0，解得BD =32或BD =52，又BC =3，∠ADC ∈0,π2 ，所以BD =32，则DC =32，在△ADC 中由正弦定理AC sin ∠ADC =DCsin ∠DAC ，即541717=32sin ∠DAC，所以sin ∠DAC =68585，又AD >DC ，所以cos ∠DAC =1-sin 2∠DAC =78585，所以tan ∠DAC =sin ∠DAC cos ∠DAC=67；故答案为：6735(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =6，b =2，要使△ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取(取整数值，答案不唯一)．【答案】5(填7也对，答案不唯一)【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4<c <8，再分别讨论a 和c 为钝角时，边c 的取值范围，根据题意即可得到答案.【详解】首先由a ，b ，c 构成三角形有4=a -b <c <a +b =8，若c 为钝角所对边，有c 2>a 2+b 2=40，c >40，若a 为钝角所对边，有36=a 2>b 2+c 2=4+c 2，c <32，由b <a ，b 不可能为钝角所对边，综上，c 的取值范围是4，32 ∪40,8 , 由题意，c 取整数值，故c 的大小可取5或7.故答案为：5(填7也对，答案不唯一).36(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC 中，以AB ，BC ，CA 为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D ，E ，F ，若∠BAC =30°,DF =4，利用拿破仑定理可求得AB +AC 的最大值为．【答案】46【分析】结合拿破仑定理求得AD ,AF ，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB +AC 的最大值.【详解】设BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图，连接AF ，BD ，AD ．由拿破仑定理知，△DEF 为等边三角形．因为D 为等边三角形的中心，所以在△DAB 中，AD =12⋅AB sin60°=c 3，同理AF =b3．又∠BAC=30°,∠CAF=30°,∠BAD=30°，所以∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=90°．在△ADF中，由勾股定理可得DF2=AD2+AF2，即16=c23+b23，化简得b+c2=2bc+48，由基本不等式得b+c2≤2⋅b+c22+48，解得b+c≤46(当且仅当b=c=26时取等号)，所以AB+ACmin=46．故答案为：46。
高一解三角形知识点
高一解三角形知识点解三角形是解决三角形相关问题的一种方法，它是数学中的一个重要知识点。
在高一阶段，学生们开始接触并学习解三角形的相关知识。
那么，解三角形的基本方法有哪些呢？本文将从三角形的内角和、相似三角形以及正弦定理与余弦定理等几个方面来介绍解三角形的知识点。
一、三角形的内角和对于任意一个三角形来说，它的三个内角的和永远等于180度。
这是解三角形中非常基础的一个知识点。
我们可以利用这一特性求解三角形中缺失的角度，从而推导出其他相关的角度或边长。
当已知两个角度时，可以直接用180度减去这两个角度的和，从而得到第三个角度的大小。
二、相似三角形的性质相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。
对于相似三角形来说，它们的各个对应边长度的比值都相等。
利用相似三角形的性质，我们可以解决一些关于三角形边长的问题。
例如，当已知三角形的一个角度和两个边长时，可以通过相似三角形的特性，推导出其他边长的比值关系，从而求解三角形的具体边长。
三、正弦定理与余弦定理的运用正弦定理是解决三角形中边与角之间关系的重要工具。
对于任意一个三角形来说，我们可以根据正弦定理来计算三角形中各条边与对应角的关系。
正弦定理的公式为：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
余弦定理是解决三角形中边与边、边与角之间关系的重要定理。
对于任意一个三角形来说，我们可以根据余弦定理来计算三角形中各条边和对应角的关系。
余弦定理的公式为：a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
四、解实际问题解三角形知识点在解决实际问题中有着广泛的应用。
比如，利用解三角形的知识可以帮助我们解决日常生活中的测量问题，如测量高楼大厦的高度、远处物体的距离等。
高中数学期末专题：解三角形大题综合解析版
期末专题05解三角形大题综合1.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知平面四边形ABCD 中，AD =3,∠BAD =90°,∠CBA =120°,∠ACD =60°，(1)若AC =3，求BD ；(2)若∠ACB =45°，求AB ．【答案】(1)23(2)2【分析】(1)由条件可得∠CAB =30°，在△ABC 中，求出AB ,然后在直角三角形ABD 中由勾股定理可得出答案.(2)根据条件先求出∠CDA =45°，然后在△ACD 中利用正弦定理求出AC , 在△ABC 中利用正弦定理可得出答案.(1)由AC =AD =3, ∠ACD =60°,则△ACD 为等边三角形所以∠CAD =60°，又∠BAD =90°，则∠CAB =30°又∠CBA =120°，所以∠ACB =30°，则AB =BC ,由AB sin30°=AC sin120°,则AB =AC sin120°×sin30°=3连接BD ,由∠BAD =90°，则BD =AB 2+AD 2=3+9=23(2)由∠ACB =45°，∠CBA =120°，则∠CAB =15°又∠BAD =90°，则∠CAD =75°又∠ACD =60°，则∠CDA =45°在△ACD 中，AC sin ∠ADC =ADsin ∠ACD,即AC sin45°=3sin60°解得AC =6在△ABC 中, AB sin ∠ACB =ACsin ∠ABC, 即AB sin45°=6sin120°,解得AB =22.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m =3cos A ，sin A ，n =1，-1 ，且m ⊥n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =7，3sin B =2sin C ，求△ABC 的面积．3(2)332．【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；(2)由正弦定理先求出b ,c 的关系，再由余弦定理即可解出b ,c ，最后根据三角形的面积公式即可解出(1)由m ⊥n 可得，m ⋅n =3cos A -sin A =0，所以tan A =3，而A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由3sin B =2sin C 得3b =2c ，而a 2=b 2+c 2-2bc cos A =7，即7=b 2+94b 2-32b 2，解得b 2=4，所以b =2,c =3，故△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×2×3×32=332．3.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m=b +c ,sin A ，n =a +b ,sin C -sin B ，且m ∥n .(1)求角C ；(2)若b =4，△ABC 的面积为43，求△ABC 的周长.【答案】(1)C =2π3(2)8+43【分析】(1)根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可；(2)根据面积公式可得a =4，进而得到A =B =π6，从而利用正弦定理求出c =43，进而得到周长即可(1)由向量平行的坐标公式可得b +c sin C -sin B -a +b sin A =0，由正弦定理可得b +c c -b -a +b a =0，即-ab =a 2+b 2-c 2，故cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12，因为C ∈0,π ，故C =2π3(2)由三角形面积公式，43=12×4a ×32，故a =4，故△ABC 为等腰三角形，故A =B =12π-2π3 =π6，又a sin A =c sin C ，故c =a sin Csin A =4×3212=43，所以△ABC 的周长为4+4+43=8+434.(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边，m =2b +c ,cos C ,n=-a ,cos A ，且m ∥n ，a =23.(1)求A 角大小.(2)D 为BC 边上一点，AD =1，且，求△ABC 的面积.(从①AD 为∠BAC 的平分线，②D 为BC 的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.)3(2)3【分析】(1)根据向量的平行关系得到等式，再运用正弦定理及正弦的两角和公式化简即可求解；(2)若选①，运用面积公式及余弦定理可求解；选②，根据向量关系及余弦定理即可求解.【详解】(1)∵m ⎳n,∴2b +c cos A =-a cos C 由正弦定理得：2sin B +sin C cos A =-sin A cos C2sin B cos A +sin C cos A +sin A cos C =02sin B cos A +sin A +C =02sin B cos A +sin B =0sin B 2cos A +1 =0∵sin B ≠0，∴cos A =-12∵A ∈0,π ,∴A =2π3(2)选①：由AD 平分∠BAC 得：S △ABC =S △ABD +S △ACD 12bc sin120°=12×1×c sin60°+12×1×b sin60°，所以bc =b +c ，(1)在△ABC 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos120°,a =23所以b 2+c 2+bc =12，(2)(1)(2)联立得bc =b +cb 2+c 2+bc =12解得(bc )2-bc -12=0，解得bc =4，所以S △ABC =12bc sin120°=12×4×32=3，选②：AD =12AB +AC ，AD 2=14(AB +AC )2=14AB2+2AB ⋅AC +AC 21=14c 2+2bc cos120°+b 2 ，得b 2+c 2-bc =4(1)△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos120°,a =23所以b 2+c 2+bc =12，(2)(2)-(1)即可得bc =4，S △ABC =12bc sin120°=12×4×32= 3.5.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 2-sin A 2cos A 2+sin A 2=sin Bcos B．(1)若C =2π3，求B ；(2)若a 2+b 2-kc 2=0(k ∈R )，求符合条件的k 的最小值．【答案】(1)π6(2)42-5【分析】(1)由三角恒等变换得出C =π2+B ，再由C =2π3，得出B ；(2)由k =a 2+b 2c 2结合正弦定理以及C =π2+B 得出k =2cos 2B -1 2+1-cos 2B cos 2B ，令x =cos 2B ，结合基本不等式得出k 的最小值.【详解】(1)cos A 2-sin A2cos A 2+sin A 2=cos 2A 2-sin A 2cos A2cos 2A 2+sin A 2cos A 2=1+cos A2-sin A 21+cos A2+sin A 2=1+cos A -sin A 1+cos A +sin A=sin Bcos B ，即sin B +sin B cos A +sin A sin B =cos B +cos A cos B -sin A cos B ，sin B +sin (A +B )=cos B +cos (A +B )，sin B -cos B =-sin C -cos C ，两边平方得1-2sin B cos B =1+2sin C cos C ，即sin (-2B )=sin2C ，∵-2B ∈-2π,0 ,2C ∈0,2π ,B +C ∈0,π ,∴-2B +2C =π,C =π2+B ,∵C =2π3，B =2π3-π2=π6;(2)由(1)可得，C =π2+B ，则π-π2+B +B =A ,则0<π-π2+B +B <π,0<B <π4，22<cos B <1,sin A =sin π-π2+B +B=cos2B =2cos 2B -1，由a 2+b 2-kc 2=0(k ∈R )得，k =a 2+b 2c 2=sin 2A +sin 2B sin 2C =2cos 2B -1 2+1-cos 2B cos 2B设x =cos 2B ，则12<x <1k =a 2+b 2c2=(2x -1)2+1-x x =4x 2-5x +2x =4x +2x -5≥24x ⋅2x -5=42-5当且仅当4x =2x ,x =22时，等号成立即符合条件的k 的最小值为42-56.(2021春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a +c =mb (m ∈R ).(1)若m =2，求∠B 的最大值；(2)若∠B 为钝角，求：①m 的取值范围；②sin A sin C 1+cos A cos C的取值范围.(参考公式：sin α+sin β=2sin α+β2cos α-β2)【答案】(1)π2；(2)①1<m <2；②0,13.【分析】(1)由题意可得b=a+c2，然后利用余弦定理可得cos B≥0，从而可求出∠B的最大值；(2)①由于∠B为钝角，所以可得a2+c2<b2，结合a+c=mb(m∈R)，可得m2<(a+c)2a2+c2=1+2a c +ca，再结合基本不等式可求得m的取值范围；②由正弦定理将a+c=mb化为sin A+sin C=m sin B，利用和差化积公式可得cos2A-C2=m2cos2A+C2，再利用三角恒等变换公式可得sin A sin C 1+cos A cos C =m2-1m2+1=-2m2+1+1，再结合①可得结论【详解】(1)当m=2时，b=a+c2，所以cos B=a2+c2-a+c222ac=(a-c)24ac≥0，因为B∈(0,π)，所以B∈0,π2，则∠B的最大值为π2.(2)①因为a+c>b，所以m>1；因为∠B为钝角，即存在a>0,c>0，使得a2+c2<b2，即a2+c2<a+cm2,m2<(a+c)2a2+c2=1+2ac+ca成立；因为ac+ca≥2，所以1<m2<2，即1<m<2；②又因为a+c=mb，所以sin A+sin C=m sin B，则2sin A+C2cos A-C2=2m sin B2cos B2，因为sinA+C2=sinπ-B2=cos B2≠0，所以cos A-C2=m sin B2=m sinπ2-A+C2=m cos A+C2，所以cos2A-C2=m2cos2A+C2，则1+cos(A-C)2=m2×1+cos(A+C)2，1+cos A cos C+sin A sin C=m2(1+cos A cos C-sin A sin C)，所以sin A sin C1+cos A cos C=m2-1m2+1=-2m2+1+1，因为1<m<2，所以0<-2m2+1+1<13，所以sin A sin C1+cos A cos C的取值范围为0,13.7.(2021春·江苏常州·高一统考期末)如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中AB=3a，∠B=π2，BC=33a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A MN).现考虑绿地最大化原则，要求点M与点A，B 均不重合，A 落在边BC上且不与端点B，C重合.(1)设∠AMN=θ，若θ=π3，求此时公共绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度.【答案】(1)23a 2；(2)2a .【分析】(1)根据大三角形直角边的比例关系，可得三角形∠A =π3，结合θ=π3，可求得各边的长度以及三角形的面积(2)在△AMN 中，由正弦定理求出AN 的表达式，可化简为关于θ的三角函数形式，根据θ角的范围求出三角函数的最值，从而求出AN 的最值【详解】(1)由题意得：△AMN 与△A MN 全等，∴∠BMA =π-2θ=π3∴在Rt △BMA 中，BM =12A M =12AM ，又BM +AM =3a =AB ，∴32AM =3a ，∴AM =2a ，又∵AB =3a ，BC =33a ，∠B =π2，∴∠A =π3，∴△AMN 为等边三角形，∴公共绿地的面积S =2S △AMN =2⋅34AM 2=23a 2(2)由图得：AM +AM cos (π-2θ)=AB =3a 且AM =A M∴AM =3a 1-cos2θ=3a2sin 2θ在△AMN 中，由正弦定理得：AN sin θ=AMsin 2π3-θ∴AN =AM sin θsin 2π3-θ=3a2sin θsin 2π3-θ，令f (θ)=2sin θsin 2π3-θ=2sin θ32cos θ+12sin θ =32sin2θ+1-cos2θ2=sin 2θ-π6 +12又由0<π-2θ<π2得θ∈π4,π2，∴2θ-π6∈π3,5π6 ，∴当2θ-π6=π2即θ=π3时f (θ)取最大值，即AN 最短，此时△AMN 是等边三角形，MN =AM =2a .8.(2021春·江苏南通·高一统考期末)在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．①3a sin C =4c cos A ，②2b sinB +C2=5a sin B 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知；a =32.(1)求sin A的值(2)如图，M为边AC上一点，MC=MB，∠ABM=π2，求△ABC的面积【答案】选择见解析；(1)45；(2)278．【分析】选择条件①3a sin C=4c cos A(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解．选择条件②2b sin B+C2=5a sin B(1)根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解．【详解】解：若选①，(1)3a sin C=4c cos A，由正弦定理可得3sin A sin C=4sin C cos A因为sin C≠0，所以可得tan A=43，在△ABC中，所以A∈0，π2，所以sin A=442+32=45；(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin A=-4 5．在△BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2·-4 5，解得m=5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，因为sin A=45，BM=5，∠ABM=π2，所以AB=354所以S△ABM=15 8，所以S△ABC=32+158=278．若选②，(1)因为2b sin B+C2=5a sin B，所以2b sinπ-A2=5a sin B，由正弦定理可得2sin B cos A2=5sin A sin B=25sin A2cos A2sin B，因为sin B≠0，cos A2≠0，所以sin A2=15，cos A2=25，所以sin A=2sinA2cos A2=2⋅15⋅25=45.(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin A=-4 5．在△BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2·-4 5，解得m=5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，因为sin A=45，BM=5，∠ABM=π2，所以AB=354所以S△ABM=15 8，所以S△ABC=32+158=278．9.(2021春·江苏常州·高一统考期末)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C=2a-c 2b.(1)若cos(B+C)=-5314，求cos C的值；(2)若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)3314；(2)332.【分析】(1)根据已知条件cos C =2a -c 2b，运用余弦定理，可推得B =π3，再结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．(2)由AD =2DC ，可推得BD =13BA +23BC，对等式两边同时平方，并结合均值不等式和三角形面积公式，即可求解．【详解】解：(1)由余弦定理得，cos C =2a -c 2b =a 2+b 2-c 22ab 整理得，a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12又因为B ∈(0,π)，所以B =π3因为cos (B +C )=-5314，又0<B +C <π，所以sin (B +C )=1-cos 2(B +C )=1114故cos C =cos [(B +C )-B ]=cos (B +C )cos B +sin (B +C )sin B=-5314 ⋅12+1114⋅32=3314(2)因为AD =2DC ，所以BD =BA +AD =BA +23AC =BA +23(BC -BA )=13BA+23BC所以BD 2=13BA+23BC 2，即4=19c 2+49a 2+2⋅29ac ⋅12≥219c 2⋅49a 2+29ac =23ac ，所以ac ≤6.当且仅当19c 2=49a 2ac =6，即a =3c =23 取“=”又因为S △ABC =12ac sin B =34ac ，所以S △MBC max =33210.(2021·江苏·高一期末)在①b 2+2ac =a 2+c 2，②a cos B =b sin A ，③sin B +cos B =2，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC 中，，A =π3，b =2，(1)求角B ； (2)求△ABC 的面积．【答案】条件选择见解析(1)B =π4；(2)3+34.【分析】分别选择①②③，利用余弦定理、正弦定理和三角函数的性质，以及辅助角公式等，求得B =π4，再根据正弦定理，求得a =3,C =5π12，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】若选①：(1)因为b 2+2ac =a 2+c 2，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =2ac 2ac =22，又因为B ∈(0,π)，可得B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin A sin B=2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.若选②：(1)因为a cos B =b sin A ，由正弦定理，可得sin A cos B =sin B sin A ，又因为A ∈(0,π)，得sin A >0，所以cos B =sin B ，即tan B =1，由B ∈(0,π)，可得B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin A sin B=2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.若选③：(1)因为sin B +cos B =2，可得2sin B +π4 =2，即sin B +π4=1，又因为B ∈(0,π)，可得B +π4∈π4,5π4 ，所以B +π4=π2，所以B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin Asin B =2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.11.(2021春·江苏南通·高一统考期末)在①a +b +c a +b -c =3ab ②tan A +tan Btan A tan B -1=3③sin C 2sin B -sin A =cos Ccos A 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足．(1)求角C 的大小；(2)若D 为边BC 上一点，且AD =6，BD =4，AB =8，求AC ．【答案】(1)C =π3；(2)AC =35【分析】(1)选①则根据等式化简结合余弦定理与角的取值范围即可；选②则根据两角和的正切公式化简并结合角的取值范围即可；选③则利用两角和的正弦公式结合角范围即可；(2)在中利用余弦定理求出算出，在中利用正弦定理即可.【详解】(1)选①，由题意化简得a 2+2ab +b 2-c 2=3ab ，即c 2=a 2+b 2-ab ，根据余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=12，因为C ∈(0,π)所以C =π3.选②，由题意得-tan (A +B )=3,则tan C =3，因为C ∈(0,π)所以C =π3.选③，由题意化简得sin B =2cos C sin B ,当sin B =0,B =π2时代入原式显然不成立，故cos C =12，因为C ∈(0,π)所以C =π3.(2)在△ABD 中，根据余弦定理得cos ∠ADB =62+42-822×6×4=-14，所以cos ∠ADB =14，故∠ADB ∈0,π2 ,所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =154，在△ADC 中根据正弦定理得AC sin ∠ADB =6sin C，解得AC =3512.(2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期末)△ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知2b +c =2a cos C 且a =5.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的周长为6+5，求△ABC 的面积；(3)若b =3，求cos (2B -A )的值.【答案】(1)2π3(2)34(3)-1+33320【分析】(1)由余弦定理角化边化简后可得；(2)余弦定理与已知联立可得bc 的值，然后可得；(3)先由正弦定理可得sin B 的值，然后根据二倍角公式与和差公式可解.【详解】(1)因为2b +c =2a cos C ，所以2b +c =2a ⋅a 2+b 2-c 22ab，整理可得：b 2+c 2-a 2=-bc ，由余弦定理可得：b 2+c 2-a 2=2bc cos A ，所以cos A =-12，A ∈(0,π)，所以可得A =2π3；(2)由三角形的周长为6+5，a =5，所以b +c =6，由(1)可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-2bc -2bc cos A ，而cos A =-12，所以可得5=6-2bc +bc ，可得bc =1，所以S △ABC =12bc sin A =12×1×32=34，所以△ABC 的面积为34；(3)因为b =3，a =5，A =23π，由正弦定理可得：sin B =basin A =35⋅32=325，b <a ，所以B 为锐角，所以cos B =1125，所以sin2B =2sin B cos B =31110，cos2B =2cos 2B -1=2×114×5-1=110，所以cos (2B -A )=cos 2B -2π3 =-12，即-12cos2B +32sin2B =-1+33320，所以cos 2B -A =-1+33320．13.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =b 3sin C +cos C ．(1)求B ；(2)已知BC =23，D 为边AB 上的一点，若BD =1，∠ACD =π2，求AC 的长．【答案】(1)B =π6(2)AC =212【分析】(1)由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；(2)由余弦定理求得CD ，再用正弦定理计算．【详解】(1)∵a =b 3sin C +cos C ，∴sin A =sin B 3sin C +cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =3sin B sin C +sin B cos C ，所以cos B sin C =3sin B sin C ，因为sin C >0，所以cos B =3sin B ，所以tan B =33，因为B ∈0,π ，所以B =π6．(2)因为BC =23，BD =1，∠B =π6，根据余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ⋅BD ⋅cos B =1+12-2×1×23×32=7，∴CD =7．∵∠BDC =π2+∠A ，∴sin ∠BDC =sin π2+∠A =cos A ．在△BDC 中，由正弦定理知，BC sin ∠BDC =CD sin ∠B ，∴23cos A =712，∴cos A =217，∴tan A =233=CD AC，∴AC =212．14.(2022春·江苏扬州·高一期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足b cosB +C2=a sin B ．(1)求A 的大小；(2)若a =23，BA ⋅AC =32，AD 是△ABC 的角平分线，求AD 的长．【答案】(1)2π3；(2)155.【分析】(1)利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A ；(2)由数量积公式可得bc ，再由余弦定理求出b +c ，根据三角形面积公式利用S △ABC =S △ABD +S △ACD 建立方程求解即可.【详解】(1)因为b cos B +C2=a sin B ，∴sin B sinA2=sin A sin B ，因为B ∈0,π ，所以sin B >0，所以sin A 2=2sin A 2cos A2，又A ∈0,π ，∴cos A 2=12，所以A 2=π3，即A =2π3.(2)由BA ⋅AC =32，得cb cos π3=32，∴bc =3，又a =23，∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b +c 2-2bc +bc =12，可得b +c =12+3=15，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12bc sin 2π3=12b ⋅AD ⋅sin π3+12c ⋅AD ⋅sin π3，所以AD =bc sin 2π3b +c sin π3=3⋅3215⋅32=155.15.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，请在①cos2B -3cos A +C =1，②2a -c =2b cos C ，③a 2+c 2-b 2=433S △ABC这三个条件中任选一个，完成下列问题.(1)求角B ；(2)在(1)的条件下，若点D 为AC 的中点，且AB =3，BD =132，求△ABC 的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，B =π3(2)334【分析】(1)选①，根据二倍角公式结合内角和与诱导公式化简求解即可；选②，根据正弦定理结合内角和与两角喝茶的正余弦公式化简求解即可；选③，根据余弦定理与面积公式化简求解即可；(2)构造四边形ABCE 为平行四边形，再在△ABE 中，由余弦定理化简求解即可【详解】(1)选①，因为cos2B -3cos A +C =1，所以cos2B -3cos π-B =1，2cos 2B -1+3cos B =1,2cos 2B +3cos B -2=0，解得cos B =12,cos B =-2，因为cos B ∈-1,1 ，所以cos B =12,B ∈0,π ，故角B =π3．选②，因为2a -c =2b cos C ，由正弦定理的，2sin A -sin C =2sin B cos C ,2sin B +C -sin C =2sin B cos C ，所以，2cos B sin C -sin C =0，sin C >0，所以cos B =12,B ∈0,π ，故角B =π3．选③，因为a 2+c 2-b 2=433S ΔABC ，所以a 2+c 2-b 2=433⋅12ac sin B ，2ac cos B =233⋅ac sin B ,ac >0，tan B =3,B ∈0,π ，故角B =π3．(2)作AE ⎳BC ,CE ⎳AB ，交于点E ，连结DE ，则四边形ABCE 为平行四边形，点D 为BE 中点，且∠BAE =2π3．在△ABE 中，由余弦定理得BE 2=AB 2+AE 2-2AB ⋅AE cos ∠BAE ,13=9+AE 2-2⋅3⋅AE ⋅-12,AE 2+3AE -4=0,AE =1或AE =-4(舍)，即BC =1，所以S ΔABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12×3×1×32=334.16.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在①b =a cos C +33c sin A ；②(b +c +a )(b +c -a )=3bc ；③sin A -sin C sin B -sin C=b a +c 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．(1)求A ；(2)若a =3，求△ABC 面积的取值范围．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)A =π3(2)0,334【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得A=π3；对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得A=π3；对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得A=π3.【详解】(1)(1)若选①：因为b=a cos C+33c sin A，根据正弦定理得sin B=sin A cos C+33sin C sin A，所以sin(A+C)=sin A cos C+33sin C sin A，所以sin A cos C+cos A sin C=sin A cos C+33sin C sin A．则cos A sin C=33sin C sin A，因为sin A≠0,sin C≠0，所以tan A=3，又0<A<π，所以A=π3．若选②化简得：b2+c2-a2=bc，则cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又0<A<π，所以A=π3．若选③：因为sin A-sin Csin B-sin C=ba+c，根据正弦定理得a-cb-c=ba+c，所以a2-c2=b2-bc．即cos A=b2+c2-a22bc =12，因为0<A<π，所以A=π3．(2)(2)因为a=3，由bsin B =csin C=3sin60，则b=2sin B,c=2sin C=2sin B+π3，S△ABC=12bc sinπ3=3sin B sin B+π3=312sin2B+32sin B cos B=31-cos2B4+34sin2B=32sin2B-π6+34，又B∈0,2π3,2B-π6∈-π6,7π6，所以sin2B-π6∈-12,1，则S△ABC的取值范围为0,33 4．17.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且满足2b-ccos A=a cos C，b cos C+c cos B=1．(1)求A和a的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围．【答案】(1)A=π3，a=1；(2)36,3 4.【分析】(1)由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；(2)由锐角三角形得B ∈π6,π2，根据正弦定理有b =23sin B ，c =23sin 23π-B ，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.【详解】(1)因为(2b -c )cos A =a cos C ，由正弦定理得：(2sin B -sin C )cos A =sin A cos C 所以2sin B cos A =sin C cos A +sin A cos C ，所以2sin B cos A =sin (C +A )=sin B ，因为△ABC 中sin B ≠0，所以cos A =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3，因为b cos C +c cos B =1，由余弦定理得：b ⋅a 2+b 2-c 22ab+c ·a 2+c 2-b 22ac =1，解得a =1，综上，A =π3，a =1．(2)由(1)知：A =π3，a =1，由正弦定理得：b =a sin B sin A =23sin B ，c =a sin C sin A =23sin C =23sin 23π-B ．因为△ABC 为锐角三角形，故B ∈0,π2C =23π-B ∈0,π2 ，得B ∈π6,π2 ．从而△ABC 的面积S =12bc sin A =33sin B ⋅sin 23π-B =33sin B ⋅12sin B +32cos B =3312sin 2B +32sin B ⋅cos B =331-cos2B 4+34sin2B =3632sin2B -12cos2B +312=36sin 2B -π6 +312，又B ∈π6,π2 ，2B -π6∈π6,5π6，所以sin 2B -π6 ∈12,1，从而△ABC 的面积的取值范围为36,34．18.(2022春·江苏常州·高一统考期末)如图，AC 是平面四边形ABCD 的一条对角线，且在△ADC 中，2AD-DC =AC 2+AD 2-DC 2AD.(1)求角D 的大小；(2)若∠BAD =π3，∠ABC =5π6，AB =2，DC =4，求AC 的长.【答案】(1)D =π3(2)AC =27【分析】(1)在△ACD ，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小；(2)设AC =x ，∠CAD =α，在△ACD 中，由正弦定理可得23=x sin α，在△ABC 中，由正弦定理x=12sin α-π6 ，联立可解得sin α的值，在△ACD 中，由正弦定理可得AC 的值.(1)解：因为在△ADC 中，2AD -DC =AC 2+AD 2-DC 2AD所以AD 2+DC 2-AC 2=AD ×DC ，①即在△ADC 中，由余弦定理得，AD 2+DC 2-AC 2=2×AD ×DC ×cos D ，②则由①②两式得，cos D =12，又因为在△ADC 中，D ∈(0,π)，所以D =π3，(2)解：在△ACD 中，设∠CAD =α，AC =x ，则由正弦定理得AC sin D =DCsin ∠CAD，即x =DC sin ∠CAD×sin ∠D =23sin α①又在△ABC 中，∠CAB =π3-α，∠BCA =π-5π6-π3-α =α-π6，则由正弦定理得AC sin ∠ABC =ABsin ∠BCA ，即x =AB sin ∠BCA ×sin ∠ABC =1sin α-π6②则由①②两式得，23sin α=1sin α-π6 ，即23sin α-π6 =sin α，展开并整理得2sin α=3cos α，也即4sin 2α=3cos 2α=3-3sin 2αsin 2α=37，又因为在△ACD 中，sin α>0，所以sin α=217，把sin α=217代入①式得，AC =23sin α=14321=27.19.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =2B .(1)若sin B =13，求sin A 的值；(2)若a >c ，求证：12<b c <λ.(参考数据：λ=2sin π10=5-12≈0.618)【答案】(1)2327；(2)证明见解析.【分析】(1)由三角形内角性质可得0<B <π2，结合已知并利用二倍角正余弦公式求cos B 、sin C 、cos C ，最后应用诱导公式、和角正弦公式求sin A .(2)由大边对大角及三角形内角性质得0<B <π5，根据C =2B 及正弦定理边角关系得bc=12cos B ，即可证结论.(1)由C =2B ，A +B +C =π，故0<B <π3，又sin B =13，可得cos B =223，则sin C =sin2B =2sin B cos B =429，cos C =cos2B =2cos 2B -1=79，则sin A =sin [π-(B +C )]=sin (B +C )=sin B cos C +cos B sin C =2327.(2)由a >c 知：A >C =2B >0，所以π=A +B +C >B +2C =5B ，即0<B <π5，又sin C =sin2B =2sin B cos B ，则sin B sin C=12cos B ，即b c =12cos B ，所以12<b c <12cos π5，而cos π5=1-2sin 2π10=5+14，则12cos π5=25+1=5-12=λ，综上，12<bc<λ.20.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，某学校前后两座教学楼AB ，CD 的高度分别为12米和17米，从教学楼AB 顶部A 看教学楼CD 的张角∠CAD =45°．(1)求两座教学楼AB 和CD 的底部之间的距离BD ；(2)求∠ACB 的正切值．【答案】(1)BD =20米；(2)4897．【分析】(1)过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，分别求出tan ∠DAE ,tan ∠CAE ，再根据两角和的正切公式即可解出；(2)先通过解△ACE ,△BCD 求出tan ∠ACE ,tan ∠BCD ，即可求出tan ∠ACB ．(1)如图所示：过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，易知四边形ABDE 为矩形，设BD =AE =x 米，所以，tan ∠DAE =12x ,tan ∠CAE =5x，而∠CAD =45°，所以，tan ∠CAD =tan ∠DAE +∠CAE =tan ∠DAE +tan ∠CAE 1-tan ∠DAE tan ∠CAE =12x +5x1-12x ×5x =1，化简得，x 2-17x-60=0，而x >0，解得x =20，即BD =20米．(2)在△ACE 中，tan ∠ACE =205=4，在△BCD 中，tan ∠BCD =2017，所以，tan ∠ACB =tan ∠ACE -∠BCD =4-20171+4×2017=4897．21.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，其中BD ，BE 为景区内的乘车观光游览路线，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 是步行观光旅游路线(所有路线均不考虑宽度)，经测量得：∠BCD =135°，∠BAE =120°，∠CBD =30°，CD =32，DE =8，且cos ∠DBE =35.(1)求BE 的长度；(2)景区拟规划△ABE 区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域△ABE 面积最大，并求此最大值．【答案】(1)10(2)当步行观光旅游路线AB =AE =1033时，种植区域△ABE 面积最大，且最大值为2533【分析】(1)在△BCD 中，根据正弦定理，可得BD 的长，在△BDE 中，根据余弦定理，即可得答案.(2)在△ABE 中，由余弦定理及基本不等式，可得AB ×AE ≤1003，代入面积公式，即可得答案.(1)在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠CBD =BDsin ∠BCD，所以BD =CD ⋅sin ∠BCDsin ∠CBD=6，在△BDE 中，由余弦定理得cos ∠DBE =BD 2+BE 2-DE 22×BD ×BE=35，所以35=36+BE 2-642×6×BE ，解得BE =10或BE =-145(舍)(2)在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22×AB ×AE=-12，所以AB 2+AE 2=100-AB ×AE ≥2AB ×AE ，所以AB ×AE ≤1003，当且仅当AB =AE =1033时等号成立，此时△ABE 面积最大值S =12×AB ×AE ×sin ∠BAE =2533所以当步行观光旅游路线AB =AE =1033时，种植区域△ABE 面积最大，且最大值为253322.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且10sin B +C22=7-cos2A ．(1)求角A 的大小；(2)若b =2,c =1，①∠BAC 的角平分线交BC 于M ，求线段AM 的长；②若D 是线段BC 上的点，E 是线段BA 上的点，满足CD =λCB ,BE =λBA ，求AD ⋅CE的取值范围．【答案】(1)A =π3(2)①AM =233；②[-3,-1]【分析】(1)根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可；(2)①法一：在△AMC 与△ABM 中根据正弦定理可得CM =2MB ，再根据AM =23AB +13AC结合数量积运算求解即可；法二：根据S △ABM +S △AMC =S △ABC ，结合面积公式列式求解即可；②法一：根据平面向量基本定理可得AD ⋅CE =[λAB +(1-λ)AC ]⋅[(1-λ)AB -AC]，进而求得范围；法二：以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解即可【详解】(1)10sin B +C 2 2=7-cos2A ，则51-cos B +C =7-cos2A ，故5(1+cos A )=8-2cos 2A ，所以2cos 2A +5cos A -3=0，因为cos A <1，可得cos A =12，由A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)①法一：在△AMC 与△ABM 中，由正弦定理得CM sin ∠CAM =AC sin ∠AMC ,BM sin ∠BAM =ABsin ∠AMB，即CM BM =ACAB =2，故CM =2MB ，所以AM =23AB +13AC ,AM 2=49AB 2+19AC 2+49AB ⋅AC =43，所以AM =233法二：在△ABC 中，由AM 是∠BAC 的角平分线所以∠BAM =∠MAC =π6由S △ABM +S △AMC =S △ABC 知：12⋅AB ⋅AM ⋅sin ∠BAM +12⋅AM ⋅AC ⋅sin ∠MAC =12⋅AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC 即12⋅1⋅AM ⋅sin π6+12⋅2⋅AM ⋅sin π6=12⋅1⋅2⋅sin π3，解得AM =233②法一：由CD =λCB ，得AD =λAB +(1-λ)AC ,(λ∈[0,1])又CE =AE -AC =(1-λ)AB -AC所以AD ⋅CE =[λAB +(1-λ)AC ]⋅[(1-λ)AB -AC]=2λ-3∈[-3,-1]．AD ⋅CE的取值范围为[-3,-1]；法二：以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由b =2,c =1,A =π3．则A (0,0),B (1,0),C (1,3),AB =(1,0),AC =(1,3)因为CD =λCB ,BE =λBA ，所以AD =AC +CD =(1,3-3λ),CE =BE -BC=(-λ,-3)．所以AD ⋅CE=-λ-3(3-3λ)=2λ-3由λ∈[0,1]，得AD ⋅CE的取值范围为[-3,-1]23.(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A +sin Bsin C=c +ba -b．(1)若a =23，b =2，求角B ;(2)设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为3，求AD 长的最大值．【答案】(1)B =π6(2)1【分析】(1)从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A ，再利用一次正弦定理求得角度B .(2)利用角平分线性质及面积公式得到AD =bc b +c，再利用基本不等式得出AD 最值.【详解】(1)解：因为sin A +sin B sin C =c +b a -b ，依据正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ，所以a +b c =c +b a -b⇒a 2-b 2=bc +c 2，即b 2+c 2-a 2=-bc ，由余弦定理变形知cos A =b 2+c 2-a 22bc =-bc 2bc =-12，因为A ∈0，π ，所以A =2π3．因为a =23，b =2，则在△ABC 中，由正弦定理得：又a sin A =b sin B ⇔2332=2sin B ⇒sin B =12，因为b <a ⇔B <A ，所以B =π6．(2)法一：因为S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc =3⇒bc =4，AD 是∠BAC =2π3的角平分线，而S △ABC =S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×AD ×sin π3+12×AC ×AD ×sin π3=12×AB ×AC ×2π3，即b +c AD =bc ，所以AD =bc b +c ，因为b >0，c >0，b +c ≥2bc ，且bc =4，故AD =bc b +c ≤bc 2bc=1;当且仅当b =c =2取等，所以AD 最大值为1．答：当b =c =2时，AD 最大值为1．法二：因为S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc =3⇒bc =4,设∠ABD =θ，θ∈0，π3，在△ABD ，△ACD 中由正弦定理知：AD sin θ=c sin ∠ADB ⇔AD sin θ=c sin θ+π3①，ADsinπ3-θ=bsin∠ADC⇔ADsinπ3-θ=bsinθ+π3②，因为bc=4，所以①⋅②得，AD2=bc sinθsinπ3-θsin2π3+θ=8sinθsinπ3-θ1+cos2θ-π3=23sin2θ+2cos2θ-21+cos2θ-π3=4sin2θ+π6-21+cos2θ-π3=4cos2θ-π3-21+cos2θ-π3=4-61+cos2θ-π3，令t=1+cos2θ-π3，θ∈0，π3，由于2θ-π3∈-π3，π3⇒t∈32，2，所以AD2=4-6t，易得此函数在t∈32,2为单调递增函数，所以当t=2⇔θ=π6时，AD最大值为1．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．24.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC中，已知AB=1，BC=7，D为AC上一点，AD=2DC，AB⊥BD.(1)求BD的长度；(2)若点P为△ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.【答案】(1)3；(2)27.【分析】(1)设BD=x，CD=y，在△ABD与△CBD中应用余弦定理，结合∠ADB+∠CDB=π可得x2+2y2=5，再由AB⊥BD有1+x2=4y2求出BD.(2)由(1)易知AD为△ABD外接圆的直径，讨论P的位置，利用正余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质求PB+2PD的最大值.【详解】(1)设BD=x，CD=y，则AD=2y.在△ABD与△CBD中，由余弦定理知：AB2=BD2+AD2-2BD⋅AD⋅cos∠ADB，即x2+4y2-4xy cos∠ADB=1，BC2=BD2+CD2-2BD⋅CD⋅cos∠CDB，即x2+y2-2xy cos∠ADB=7.∵∠ADB+∠CDB=π，∴cos∠ADB+cos∠CDB=0，可得x2+2y2=5.∵AB⊥BD，∴AD2=AB2+BD2，即1+x2=4y2.解得x=3，y=1.∴BD= 3.(2)由(1)知：△ABD中，∠ABD=π2，AD=2，AD为△ABD外接圆的直径.P为△ABD外接圆上任意一点，当P在B点时，PB+2PD=2PD=2 3.当P在D点时，PB+2PD=PB= 3.当P 在优弧BAD 上时，∠BPD =∠BAD =π3，设∠PBD =θ0<θ<2π3 ，则∠PDB =2π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin 2π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin 2π3-θ +4sin θ=2sin 2π3cos θ-cos 2π3sin θ +4sin θ=5sin θ+3cos θ=27sin (θ+φ)tan φ=35,0<φ<π2 ，当θ+φ=π2时，PB +2PD 的最大值为27.当P 在劣弧BD 上时，∠BPD =π-∠BAD =2π3，设∠PBD =θ0<θ<π3 ，则∠PDB =π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin π3-θ +4sin θ=2sin π3cos θ-cos π3sin θ +4sin θ=3sin θ+3cos θ=23sin θ+π6 .当θ+π6=π2时，PB +2PD 的最大值为2 3.综上，PB +2PD 的最大值为27.【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论P 的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正弦型函数的性质求对应最值.25.(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin A sin B +sin C +b sin B b sin A +c sin B=1(1)求角C ；(2)CD 是∠ACB 的角平分线，若CD =433，△ABC 的面积为23，求c 的值.【答案】(1)C =π3；(2)c =23【分析】(1)先由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb=1，化简整理得a 2+b 2-c 2=ab ，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；(2)先由面积求得ab =8，再由角平分线得AD BD =b a ，结合平面向量得CD =a a +b CA +b a +b CB ，平方整理求得a +b =6，再由(1)中a 2+b 2-c 2=ab 即可求出c 的值.【详解】(1)由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb =1，即a b +c+b a +c =1，整理得a a +c +b b +c =a +c b +c ，化简得a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12，又C ∈0,π ，则C =π3；(2)由面积公式得12ab sin C =12ab ×32=23，解得ab =8，又CD 是∠ACB 的角平分线，则S △ACD S △BCD =12⋅CA ⋅CD ⋅sin π612⋅CB ⋅CD ⋅sin π6=CA CB =AD BD ，即AD BD =b a ，则CD =CA +AD =CA +b a +b AB =CA +b a +b CB -CA =a a +b CA +b a +b CB ，所以CD 2=a a +b CA +b a +b CB 2=a 2a +b 2CA 2+2ab a +b 2CA ⋅CB +b 2a +b2CB 2，即163=a 2b 2a +b 2+2ab a +b 2⋅ab ⋅12+a 2b 2a +b2，整理得163=3a 2b 2a +b2，又ab =8，解得a +b =6，则a 2+b 2=a +b 2-2ab =20，由(1)知c 2=a 2+b 2-ab =20-8=12，则c =2 3.26.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在①2a cos A =b cos C +c cos B ；②tan B +tan C +3=3tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且其面积为32，点G 为△ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且AN =2NB ，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．【答案】(1)A =π3(2)16,1312【分析】(1)若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；(2)用AB 、AC 作为平面内的一组基底表示出AG ，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP ，即可表示GP ，利用面积公式求出bc =2，再由三角形为锐角三角形求出b 的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得；【详解】(1)解：若选①2a cos A =b cos C +c cos B ，由正弦定理可得2sin A cos A =sin B cos C +sin C cos B =sin B +C即2sin A cos A =sin A ，又sin A >0，所以2cos A =1，即cos A =12，因为A ∈0,π ，所以A =π3；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解三角形
一、知识梳理：
三角形中的有关公式：
（1）内角和定理：π=++C B A ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方。
（2）正弦定理：
R R C
c
B b A a (2sin sin sin ===为三角形外接圆的半径）. ①
C B A c b a sin :sin :sin ::=；②R a A 2sin = R b B 2s i n = R
c
C 2s i n =
③=a R A 2sin ⋅ R B b 2s i n
⋅= R C c 2sin ⋅= 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
A 为锐角 A 为钝角或直角 图形
关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数
一解
两解
一解
一解
(3)余弦定理：bc
a c
b A A b
c c b a 2cos ,cos 22
222
2
2
-+=-+=等，常选用余弦定理鉴定三角
形的形状.
(4)面积公式：)(2
1
sin 2121c b a r C ab ah S a ++===
（其中r 为三角形内切圆半径） 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意π=++C B A 这个特殊性：
C B A -=+π,2
cos 2sin ,sin )sin(C
B A
C B A =+=+；（2）求解三角形中含有边角混合关
系问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
二、典型例题：
题型一：利用正、余弦定理解三角形
1、在ABC ∆中，若,60,2,6 ===B BC AC 则______=C 。
2、下列条件判断三角形解的情况，正确的是_______
①
30,16,8===A b a ，有两解； ②
60,20,18===B c b ，有一解； ③
90,2,15===A b a ，无解 ④
150,25,30===A b a ，有一解 3、设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知4
1cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长
（2）求)cos(C A -的值.
题型二：判断三角形形状
1、在ABC ∆中，,cos sin 2sin C B A =且C B A 2
22sin sin sin +=，试判断ABC ∆的形状。
2、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 2
2=，试判断ABC ∆的形状.
3、在ABC ∆中，已知c
c b A 22cos 2
+=（c b a ,,分别为角C B A ,,的对边），判断ABC ∆的形状.
4、在ABC ∆中，若A A c b B B c a sin )cos (sin )cos (-=-，判断ABC ∆的形状.
题型3：三角恒等变形
1、在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B . （1）求A ∠的度数；
（2）若,3,3=+=c b a 求c b ,的值.
2、在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，已知C 2cos =4
1
-. （1）求C sin 的值；
（2）当C A a sin sin 2,2==时，求b 及c 的长.
题型4：正弦定理余弦定理综合应用
1、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，已知b c a 22
2=-，且
,s i n c o s 3c o s s i n C A C A =求b .
2、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，（1）求角C 的大小；（2）求
B A sin sin +的最大值.
题型5：其他知识综合
1、已知向量),,(),,(a b c a n b c a m --=+=
且0=⋅n m ，其中C B A ,,是ABC ∆的内角，
c b a ,,分别是角C B A ,,的对边.
（1）求角C 的大小
（2）求B A sin sin +的取值范围.
2、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，且满足5
5
22cos =
A ，3=⋅AC A
B . （1）求AB
C ∆的面积； （2）若1=c ，求a 的值.
课后练习
1、在ABC ∆中，20=bc ，35=∆ABC S ，ABC ∆的外接圆半径为3，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3
2、在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于（ ）
A.
22
6- B. 2
2
6+ C. 12+ D. 23-
3、在ABC ∆中 3,3,2=⋅==AC BA AC AB ，则A ∠等于（ ）
A.
120 B.
60 C.
30 D.
150 4、在ABC ∆中，下列条件中解三角形其有两个解的是（ ） A. 75,45,10===C A b B. 60,48,60===C b a C. 80,5,7===A b a C. 45,16,14===A b a 5、在ABC ∆，7:5:3::=c b a ，则这个三角形的最大角为（ ）
A.
30 B.
90 C.
120 D.
60
6、在ABC ∆中，已知三边之比4:3:2::=c b a ，则
=-C
B
A 2sin sin 2sin （ ）
A. 1
B. 2
C. 2-
D. 2
1
7、在ABC ∆中，已知,sin cos sin 2C B A =那么ABC ∆的形状是_______三角形。
8、在平行四边形ABCD 中，已知1,2,1=⋅==AD AB AD AB ，则=AC _____ 9、在钝角ABC ∆中，2,1==b a ，则最大边c 的取值范围是________。
10、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，向量))sin(,2
cos
2(B A C
m +-=
，n m B A C n
⊥+=)),sin(2,2
(cos .
（1）求角C ；
（2）若22
22
1c b a +=，试求)sin(B A -的值.
11、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，且.2tan tan 1b
c
B A =+ （1）求角A ；
（2）)2
cos
2,(cos ),1,0(2
C B n m =-=
，试求n m
+的最小值.。