地图数学模型原理与分析 课程作业

地图数学模型原理与分析课程作业院系：资源与环境科学学院专业：学生姓名：学号：指导教师一、在空间数据库中，把大比例尺图形数据缩编成小比例尺，图形数据是按要素分层的，各要素应采用什么模型确定选取指标?答：按要素分层的GIS 图形数据主要包括:居民地、河流、道路网、独立地物、岛屿(湖泊)等。

大比例尺缩编成小比例尺时,应根据不同的要素的特点采用不同的数学模型确定指标。

1.居民地选取指标模型确定居民地选取指标的模型较多,有一元回归模型、多元回归模型、图解计算法、开方根规律模型等。

实施地图制图综合时,以多元回归模型为例进行说明。

在地图制图综合中，影响居民地选取指标的因素很多，诸如居民地密度，人口密度，地形，水系，交通等。

宜采取多元回归模型，并采用居民地密度，人口密度和居民地选取程度三个变量之间的相关，进行多元回归分析，建立选取模型。

1）建立确定居民地选取指标的多元回归模型的基本原理 根据分析，确定居民地选取指标的多元回归模型为21210b b x x b y =。

（1-1）式中，y 为居民地选取程度,1x 为居民地密度,2x 为人口密度,0b 、1b 、2b 为待定参数。

设y 1为单位面积内居民地选取的个数，则有11x y y =（1-2） 把（1-2）式代入（1-1）式有2121101bb x x b y += （1-3） 下面对参数的性质进行讨论①参数0b ：决定总的选取水平0b =0时y=0；所以：0b ≥0 ②参数1b ：决定不同居民地密度的选取程度如果1b >0，居民地密度越大，选取程度越大，这是违背地图制图综合原理的如果1b <-1，居民地密度越大，选取数量反而少，这是违背地图制图综合原理的，所以：-1≤1b ≤0③参数2b ：如果2b <0，人口密度越大的区域，居民地选取程度反而小，这也是违背地图制图综合原理的所以：2b ≥0.2）各种比例尺地形图上选取指标模型对各种比例尺的量测数据进行整理，由实地居民地密度1x （个/100km2），人口密度2x （人/km2）和相应比例尺的居民地选取程度y ，得各种比例尺居民地选取模型1：10万 0468.023792.019336.2x x y -= 1：20万 0697.026865.017870.2x x y -=1：100万 1719.028962.013588.0x x y -=1：150万 1843.029657.012363.0x x y -=1：200万2187.020038.110753.0x x y -= 1：250万2216.020275.110478.0x x y -=3）通用居民地选取模型从以实地居民地密度建立的系列比例尺的居民地选取程度模型中，可以看出 b 0、b 1、b 2随比例尺变化而变化，它们同地图比例尺分母M 有相关关系。

可用多项加以描述332210M a M a M a a b +++=b 0=3.5976-0.0552M+0.0003M2-0.00001M3 b 1=-1.0144+6.4187/Mb 2=0.02442+0.00247M-0.000012M2+0.00000002M3 如果要求出1：25万地形图的居民地选取模型，则M=25从而得出：079.0276.0139.2x x y -= 2、河流选取指标模型确定河流选取指标模型主要有一元回归模型、多元回归模型、方根模型等。

实施地图综合时,应根据具体情况,选择合适的模型。

河流选取的模型和居民地相似。

3、其他地理要素选取主要使用方根模型 ①道路网选取指标模型道路网选取指标可用方根模型确定：xF A A F M M n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=。

随着比例尺的缩小,选取级别x 应逐渐提高,最高可使用4级。

②独立地物选取指标模型地形图上的地物可根据方根通用模型: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=F A B Z A F M M C C n n 确定选取指标。

③岛屿(湖泊)选取指标模型地形图上岛屿(湖泊)的综合,可按方根基本模型FA A F M M n n =确定选取指标。

二、在空间数据库中，把大比例尺图形数据缩编成小比例尺，图形数据是按要素分层的，各要素应采用什么模型进行具体的选取?答：地图要素结构选取模型是确定选取具体要素的模型。

根据制图物体的结构模型,从大比例尺图上寻找出更重要的一部分物体表示在小比例图上。

结构选取模型主要有等比数列法、模糊数学模型和图论模型。

一般地图要素主要包括河流、道路网、地貌等。

现在分别就这三种地图要素选取不同的模型来叙述。

1、河流结构选取模型河流结构选取模型主要有等比数列法、模糊数学法和图论模型。

现就模糊数学法进行叙述。

1）选取因素集合地图上河流选取主要考虑河流的长度、河流的密度（间距）。

根据地图制图综合原理，河流越长，选取的可能性越大；河流越密（间距越小），选取的可能性越小；另外，还要考虑河流在人文、地理位置上的重要性和河网类型等。

因此，地图上对河流选取的因素集合为U={u 1（河流长度），u 2（河流间距），u 3（河流的重要性），u 4（河网类型）} 2）河流选取的评判集在地图制图综合中，对河流只有选取或舍去，故河流选取的评判集为 V={v 1（选取），v 2（舍去）} 3）因素权重集影响河流选取的四个因素中，它们所起的作用并不相等，所以要对这些因素分配不同的权重。

根据专家评定和统计分析得)15.0,20.0,30.0,35.0(~=A4)模糊综合评判矩阵为了得到模糊综合评判矩阵，必须确定各因素对选取河流的隶属度。

①河流长度对其选取的隶属度)(~L A μ的确定根据等比数列选取表5-2，当河流长为Li 时，资料图上河流间隔为di 时，利用回归分析方法，可求出选取时所需的河流间隔C 。

这个C 值是河流选取和舍去的临界值，隶属度为0.5。

因此，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1]2sin[21210)(~D C L A πμ )2()20()0(C D C D D ≥<<=式中，D 为河流选取时与已取河流间隔值。

②河流间隔对其选取的隶属度)(~D A μ的确定在制图综合中，河流间隔越小，选取河流的长度越长；因此，利用回归分析可求出河流长度S 和河流间隔d 之间相关关系。

同样，S 值是河流选取与舍去的临界值，隶属度为0.5。

所以有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1)2/()21(0)(11~L S L L D A μ )2()2()(1111L S L L S L L L L -≥-<<=式中，L 1是选取的最短河流长度，L 为河流长度。

③河流在人文、地理位置上重要性对河流选取隶属度)(~I A μ的确定河流在人文、地理位置上重要性对河流选取的作用是比较复杂的模糊概念，根据地图制图的理论知识，采用仿数量化的方法定值（表1）表1④河网类型对河流选取隶属度)(~C A μ的确定河网类型对河流选取的作用也是比较复杂的模糊概念，同样，根据地图制图的理论知识，采用仿数量化的方法定值（表2）表2⑤模糊综合评判矩阵 对于每个单因素评价为),(~21i i r r R =式中，1i r 为单因素对河流选取的隶属度，2i r 为单因素对河流舍去的隶属度。

因此，模糊综合评判矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(1)()(1)()(1)()(1)(~~~~~~~~~~~~~41413231222112114321C C I I D D L L r r r rr r r r R R R R R AAAA AAAAμμμμμμμμ5）模糊综合评判结果集根据模糊综合评判矩阵R ~和因素权重集A ~，通过模糊变换可得评判结果),()(1)()(1)()(1)()(1)()15.0,20.0,30.0,35.0(~~~21~~~~~~~~b b C C I I D D L L R A B AAAA AAAA=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==μμμμμμμμ 根据最大隶属原则，在21,b b 中，看谁的数值大。

如果21b b >该河流选取。

如果21b b <该河流舍去。

为了防止21b b =情况出现，要采用清晰大的模糊算子。

如M （⊕，·）模糊算子；这里，采用“V”模糊算子。

2、道路网选取模型道路网结构选取模型主要是图论模型。

图1 节点与编号1）道路网图形处理将道路的交叉衔接处定义为节点。

2）建立道路网的邻接矩阵根据eB e eB T n πππ∞→=lim 确定道路网节点集合的衔接矩阵。

3）道路网边值的确定道路等级的高低是决定边值大小的依据。

采用仿数字化的方法，将各种道路的边值确定为铁路：10)(1=x f 公路：3)(2=x f 大车路：1)(3=x f4）确定节点选取数量 5）计算节点强度值6）按选取指标和节点强度值大小进行自动选取图2 借助图论进行选取的1：50万地形图3.地貌结构选取模型以等比数列法来阐述地貌结构选取数学模型，该模型利用谷地长度和谷地密度（谷间距）来确定谷地的取舍 1）谷地长度分级数列Ai 的确定根据图上能表达的长度和实际情况，将谷地分为4级: <1，1~3,3~5,>5mm ，且A 1= 1mm ，A 2= 3mm ，A 5= 5mm ，2）谷间距分级数列Bj 的确定地图上可以表达的最小谷间距为0.5mm ，取B 1=0.5mm ，ρ=1.6.3）选取表的构成地貌谷地选取表分成两个基本部分，表其结合部的右侧为主表，适用于一般地区，左侧为辅表，适用于特别破碎的地区。

表3 单位：mm4）选取数列Cn 的确定。

根据表形成地貌等高线表示的谷地选取模型。

三、确定河流选取程度的数学模型为：22101b b x x b y =。

式中，y 为河流选取程度，x 1为资料图上单位面积河流条数，x 2为资料图上单位面积河流长度（河网密度），b 0、b 1、b 2为待定参数。

试分析b 0、b 1、b 2意义和取值范围。

答：以往确定河流的选取标准（指标）时，通常是根据地区的河网密度。

事实上，河流的选取不但与单位面积河流的长度（河网密度）有关，还应与单位面积河流的条数有关。

因此，确定河流选取程度的数学模型为21210bb x x b y = （3-1）式中，y 为河流选取程度，1x 为资料图上单位面积河流条数，2x 为资料图上单位面积河流长度（河网密度），b 0、b 1、b 2为待定参数。

设1y 为单位面积内河流选取的条数,则有：111x y y =(3-2)把(3-2)式代入(3-1)式有：212101b b x x b y += (3-3)下面对参数b 0、b 1、b 2的性质进行讨论。