第八章-2 强度理论(1)
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材料力学 第8章强度理论
同的材料，式(8.8)可演化成式(8.6)。
8.4 各种强度理论的适用范围
8.4.1 强度理论的选用原则 1. 强度理论的选用原则 (1) 脆性材料：当最小主应力大于等于 0 时，使用第一理论；当最小主应力小于 0 而
·176·
第 8 章 强度理论
·177·
最大主应力大于 0 时，使用莫尔理论。当最大主应力小于等于 0 时，使用第三或第四强度 理论。
强度条件：
相当应力表达式：
σ1
−
[σ [σ
+ −
] ]
σ
3
≤
[σ
]
(8.8)
σ rm
= σ1
−
[σ [σ
+ −
] ]
σ
3
≤ [σ
]
(8.9)
分析：莫尔强度理论考虑了材料抗拉和抗压能力不等的情况，这符合脆性材料(如岩石
混凝土等)的破坏特点，但未考虑中间主应力σ 2 的影响是其不足之处。对于 [σ + ] 和 [σ − ] 相
综合分析材料破坏的现象，认为构件由于强度不足将引发两种失效形式： (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于 最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于断裂的强度理论为：最大拉应 力理论和最大伸长线应变理论。 (2) 塑性屈服(流动)：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发 生在最大切应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于屈服的强度理论为最大切应力理 论和形状改变比能理论。 为此，对强度破坏提出了各种不同的假说。各种假说尽管各有差异，但它们都认为： 材料之所以按某种方式破坏(屈服或断裂)，是由于应力、应变和应变能等诸因素中的某一 因素引起的。按照这类假说，无论单向应力状态还是复杂应力状态，造成破坏原因是相同 的，即引起破坏的因素是相同的。强度理论就是关于材料破坏现象主要原因的假设。即认 为不论是简单应力状态还是复杂应力状态，材料某一类型的破坏是由于某一种因素引起 的。据此，可以利用简单应力状态的实验结果，来建立复杂应力状态的强度条件。我们称 其为强度理论(strength theories)。
材料力学课件 第八章 强度理论
3
8
复杂应力状态下：单元体的三个主应力有无穷多个组合， 直接由试验得出的破坏条件一般不适应。
强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。
4
8
二、材料的破坏形式
铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验的破坏现象 P M 低碳钢 铸铁拉伸 铸铁压缩 P
铸铁
r1
Wt
r 2 1
r 3 2
r 4 3
29
30
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ux 6E
1、破坏判据： 2、强度准则
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 s 2
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
13
18
一、两个概念：1、极限应力圆：
2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。
s极限应力圆
极限应力圆的包络线
s3
O
s2
s1
近似包络线
14
20
二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，
则材料即将屈服或剪断。 M P [ y] O2 3 N o O3 O1
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
16
§8–3
莫尔强度理论及其相当应力
莫尔认为：最大剪应力 是使物体破坏的主要因素， 但滑移面上的摩擦力也不可 忽略（莫尔摩擦定律）。综 合最大剪应力及最大正应力
的因素，莫尔得出了他自己
的强度理论。
¢ Ð Ä û °Í • ¶ (O.Mohr),1835¡ 1918 ª «
第8章 强度理论
2.均方根切应力理论（形状改变比能理论）（第四强度理论）
根据:只要危险点处的均方根切应力达到了材料在单向拉伸
下塑性屈服时的极限均方根切应力jx值时，材料就会发生屈服
失效.
基本假说:均方根切应力123是引起材料屈服的因素.
由第7章知，复杂应力状态下三个应力圆中的最大切应力：
12
1 2
(s 1
s
2)
均方根切应力：
8.1 强度理论的概念
2.强度理论的概念 是关于“构件发生强度失效起因”的假说
. 根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行 分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在 单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态下的 强度条件.
基本观点
构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何 复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能 是某一个共同因素所引起的.
最大拉应变:
e1
1 E
[σ1
(σ2
σ3 )]
σ1 (σ2 σ3) sb
强度条件: sr2 σ1 (σ2 σ3) [σ]
sr2——第二强度理论的相当应力
8.2 四种常用强度理论及其相当应力
8.2.2 关于塑性屈服的强度理论 1.最大切应力理论 （第三强度理论）
根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就
1s
6
s
屈服条件：123=jx
强度条件:
1 2
[(σ1
σ2
)2
(σ2
σ3
)2
(σ3
σ1)2]
s
s
sr4
1 2
[(σ1
σ2
)2
(σ2
材料力学课件：强度理论-
r2 1 (2 3) []
§ 8 . 3 屈服准则
问题2 B点（正应力和剪应力均较大）处应力该如何校核？
梁弯曲的强度条件：
max
M max Wz
,
max
Fs
S
* max
Iz bBiblioteka .qzC
D
B
B
B
y y
它的强度条件是：
x
x
σx≤[σ] 、 σy≤[σ] 吗 ？ τx≤[τ]、τy≤[τ]
不是！ 实 践 证 明 ： (1)强度与σ、τ 均有关，相互影响
例：
§ 8 . 1 强度理论的概念
易剪断
不易剪断
易动
不易动
§ 8 . 1 强度理论的概念
（2）强度与σx、σy、σz 、τx、τy和τz 间的比例有关
max 0
max －构件危险点的最大切应力 max (13)/ 2
0 －极限切应力，由单向拉伸实验测得 0 / 2 s
屈服条件
s1 - s3 = ss
强度条件
1 3
s
ns
实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较
为满意的解释。
§ 8 . 3 屈服准则
4. 形状改变比能理论（第四强度理论）
强度理论
§8.1 强度理论的概念 §8.2 断裂准则——第一、第二强度理论 §8.3 屈服准则——第三、第四强度理论
§8.1 强度理论的概念
§ 8 . 1 强度理论的概念
1、基本变形下强度条件的建立
max
FN,max A
[] （拉压）
max
M max Wz
[]
（弯曲）
（正应力强度条件）
max
1 0
§ 8 . 3 屈服准则
问题2 B点（正应力和剪应力均较大）处应力该如何校核？
梁弯曲的强度条件：
max
M max Wz
,
max
Fs
S
* max
Iz bBiblioteka .qzC
D
B
B
B
y y
它的强度条件是：
x
x
σx≤[σ] 、 σy≤[σ] 吗 ？ τx≤[τ]、τy≤[τ]
不是！ 实 践 证 明 ： (1)强度与σ、τ 均有关，相互影响
例：
§ 8 . 1 强度理论的概念
易剪断
不易剪断
易动
不易动
§ 8 . 1 强度理论的概念
（2）强度与σx、σy、σz 、τx、τy和τz 间的比例有关
max 0
max －构件危险点的最大切应力 max (13)/ 2
0 －极限切应力，由单向拉伸实验测得 0 / 2 s
屈服条件
s1 - s3 = ss
强度条件
1 3
s
ns
实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较
为满意的解释。
§ 8 . 3 屈服准则
4. 形状改变比能理论（第四强度理论）
强度理论
§8.1 强度理论的概念 §8.2 断裂准则——第一、第二强度理论 §8.3 屈服准则——第三、第四强度理论
§8.1 强度理论的概念
§ 8 . 1 强度理论的概念
1、基本变形下强度条件的建立
max
FN,max A
[] （拉压）
max
M max Wz
[]
（弯曲）
（正应力强度条件）
max
1 0
第八章复杂应力状态强度理论
2
外表面
1
薄壁圆筒筒壁任意点的应力状态如图， 三个主应力为：
pD pD ， 3＝0 1 ，2 4 2
2
一般薄壁圆筒是用塑性材料制作， 应按第三或第四强度理论进行强度计算， 相应的强度条件分别为：
r3
r4
pD 1 3 2
1 3 pD 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 4
§8–1 引
言
§8–2 关于断裂的强度理论
§8–3 关于屈服的强度理论 §8-4 弯扭组合，弯拉（压）扭组合
§8-5 承压薄壁圆筒的强度计算
§8–１ 引 一、引子：
言
1、简单应力状态是根据试验现象和试验结果建立强度条件。 P P M
P
2、杆件危险点处于复杂应力 状态时，将发生怎样的破 坏？怎样建立强度条件？
1、断裂条件： 1 2 3 b 2、强度条件： 1 2 3
1 1 1 2 3 ， E
1u
b
E
n 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。例如，某
＝
b
些脆材在二向拉－压应力状态下，且压应力值大于拉应力值 时。砖、石、水泥预制件压缩时。
T 120N m
③强度计算: x x
Mn (Nm) T （Nm）
120 Mn
r3
M 2 T2 W
(N m) M (Nm) M
Mmax 71.3
40.6
5.5 x X
32 71.32 1202 3.14 0.033 (10.84 )
97.5MPa
安全
二、圆轴弯拉(压)扭组合强度计算 P ① 判定组合变形的类型 属弯拉扭组合变形 ②画每个基本变形内力图， 确定危险截面（忽略剪力）。
第八章强度理论
σ1
O1N O3O1 代入 = O2F O3O2
[σt ] σ3 ≤ [σt ] 强度条件 σ1 − [σc ]
三、 各种强度理论的适用范围及其应用
1.适用范围 1.适用范围 （1）脆性材料:当最小主应力大于等于0时，选用第一强度 脆性材料:当最小主应力大于等于0 理论; 当最小主应力小于0而最大主应力大于0 使用莫尔理论； 理论; 当最小主应力小于0而最大主应力大于0时，使用莫尔理论； 当最大主应力小于等于0 当最大主应力小于等于0时，选用第三或第四强度理论。 选用第三或第四强度理论。 （2）塑性材料：当最小主应力大于等于0时，选用第一 塑性材料：当最小主应力大于等于0 强度理论;其他应力状态时，选用第三或第四强度理论; 强度理论;其他应力状态时，选用第三或第四强度理论; （3）简单变形时：一律用与其相对应的强度准则。 简单变形时：一律用与其相对应的强度准则。 （4）破坏形式还与温度、变形速度有关。 破坏形式还与温度、变形速度有关。
基本观点
构件受外力作用而发生破坏时, 构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复 杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某 其破坏形式总不外乎几种类型, 一个共同因素所引起的. 一个共同因素所引起的.
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） 材料破坏的两种类型（常温、静载荷）
§8-3 莫尔强度理论
一、引言
莫尔认为: 莫尔认为:最大切应力是使 物体破坏的主要因素, 物体破坏的主要因素,但滑移面 上的摩擦力也不可忽略（莫尔 上的摩擦力也不可忽略（ 摩擦定律）.综合最大切应力及 摩擦定律） 最大正应力的因素, 最大正应力的因素,莫尔得出了 他自己的强度理论. 他自己的强度理论.
1. 塑性屈服 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.
第八章-2强度理论.
且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受 拉、扭，低温脆断等。
(2)
剪切破坏—— 塑性屈服（流动）和剪断：最大切应力引起的破坏，
例如低碳钢拉、扭，铸铁受压。
强度理论：构件失效的原因的假说。 意义：无论何种应力状态，也无论何种材料，只要失效形式相同， 则失效原因就相同的，从而可由简单应力状态的实验结果，来建立复杂 应力状态的强度条件。 关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。 关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论。
莫尔强度理论强度条件：
1
[ ] [ ]
3 [ ]
试验表明，这一理论适用于脆性材料的剪断破坏。 若[][]莫尔强度理论强度即为第三强度理论
强度理论的适用条件： 1. 脆性材料多发生脆性断裂，因而应选用第一、第二强度理
论或莫尔强度理论； 2.塑性材料多发生屈服，应选用第三或第四强度理论。
1 [ ]
铸铁拉伸
铸铁扭转
5
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）
最大拉应变是材料发生脆性断裂的破坏因素。无论材料处于什么应力 状态,只要构件内一点处的e1达到极限值eu , 材料发生脆性断裂。
eu——极限拉应变，由单向拉伸实验测得。
断裂条件
e1 e u
许用拉应变
[e ]
b eu E e u b [ ]
一、 问题的提出 1. 杆件基本变形下的强度条件 拉压 max
FN max [ ] A
正应力强度条件
M max [ ] 弯曲 max W
剪切 扭转
max [ ]
max k
max
FQ A
[ ]
切应力强度条件
(2)
剪切破坏—— 塑性屈服（流动）和剪断：最大切应力引起的破坏，
例如低碳钢拉、扭，铸铁受压。
强度理论：构件失效的原因的假说。 意义：无论何种应力状态，也无论何种材料，只要失效形式相同， 则失效原因就相同的，从而可由简单应力状态的实验结果，来建立复杂 应力状态的强度条件。 关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。 关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论。
莫尔强度理论强度条件：
1
[ ] [ ]
3 [ ]
试验表明，这一理论适用于脆性材料的剪断破坏。 若[][]莫尔强度理论强度即为第三强度理论
强度理论的适用条件： 1. 脆性材料多发生脆性断裂，因而应选用第一、第二强度理
论或莫尔强度理论； 2.塑性材料多发生屈服，应选用第三或第四强度理论。
1 [ ]
铸铁拉伸
铸铁扭转
5
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）
最大拉应变是材料发生脆性断裂的破坏因素。无论材料处于什么应力 状态,只要构件内一点处的e1达到极限值eu , 材料发生脆性断裂。
eu——极限拉应变，由单向拉伸实验测得。
断裂条件
e1 e u
许用拉应变
[e ]
b eu E e u b [ ]
一、 问题的提出 1. 杆件基本变形下的强度条件 拉压 max
FN max [ ] A
正应力强度条件
M max [ ] 弯曲 max W
剪切 扭转
max [ ]
max k
max
FQ A
[ ]
切应力强度条件
强度理论
Mmax 56kN m
⑴ 最大弯曲正应力强度校核
max
Mmax 56 103 0.25 133.3MPa 5 Wz 2 5.25 10
⑵ 最大弯曲切应力强度校核 根据第三强度理论
0.5 80MPa
0.5 80MPa
116.7 2 3 46.32 141.6MPa
所以无论采用第三强度理论或第四强度理论进行强度校核， 危险点的强度满足要求
例：试按强度理论确定塑性材料的许用切应力。 解：纯剪切应力状态的主应力 3 1 2 0 第三强度理论的强度条件 r3 1 3 2 第四强度理论的强度条件 1 r4 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 3 2 剪切强度条件 按第三强度理论确定塑性材料的许用切应力 0.5 按第四强度理论确定塑性材料的许用切应力 3 0.6
⑴ 应用：材料的屈服失效形式。
⑵ 局限：与第三强度理论相比更符合实际，但公式过 于复杂。
五、强度理论的应用
1. 各强度理论的适用范围
·断裂失效
第一强度理论（脆性材料的单、二向应力状态，塑 性材料的三向应力状态）。
·屈服失效
第三、四强度度理论（脆性材料的三向应力状态， 塑性材料的单、二向应力状态）。
三、最大切应力理论（第三强度理论）
材料发生屈服是最大切应力引起，即最大切应力达到某 一极限值时材料发生屈服。 1．第三强度理论的计算准则 单向应力状态 s (材料屈服失效)
max
2
s
2
max
1 3
2
⑴ 最大弯曲正应力强度校核
max
Mmax 56 103 0.25 133.3MPa 5 Wz 2 5.25 10
⑵ 最大弯曲切应力强度校核 根据第三强度理论
0.5 80MPa
0.5 80MPa
116.7 2 3 46.32 141.6MPa
所以无论采用第三强度理论或第四强度理论进行强度校核， 危险点的强度满足要求
例：试按强度理论确定塑性材料的许用切应力。 解：纯剪切应力状态的主应力 3 1 2 0 第三强度理论的强度条件 r3 1 3 2 第四强度理论的强度条件 1 r4 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 3 2 剪切强度条件 按第三强度理论确定塑性材料的许用切应力 0.5 按第四强度理论确定塑性材料的许用切应力 3 0.6
⑴ 应用：材料的屈服失效形式。
⑵ 局限：与第三强度理论相比更符合实际，但公式过 于复杂。
五、强度理论的应用
1. 各强度理论的适用范围
·断裂失效
第一强度理论（脆性材料的单、二向应力状态，塑 性材料的三向应力状态）。
·屈服失效
第三、四强度度理论（脆性材料的三向应力状态， 塑性材料的单、二向应力状态）。
三、最大切应力理论（第三强度理论）
材料发生屈服是最大切应力引起，即最大切应力达到某 一极限值时材料发生屈服。 1．第三强度理论的计算准则 单向应力状态 s (材料屈服失效)
max
2
s
2
max
1 3
2
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最大切应力是材料发生屈服的破坏因素。无论材料处于什么应力状态,
只要构件内一点处的τmax达到极限值τu , 材料发生屈服。
u——极限切应力，由塑性材料单向拉伸实验测得。 u
s
2
屈服条件 max u
构件危险点的最大切应力
许用切应力 [ ] s [ ] 2n 2
max (1 3) / 2
]
]
3
[
]
试验表明，这一理论适用于脆性材料的剪断破坏。
若[][]莫尔强度理论强度即为第三强度理论
强度理论的适用条件： 1. 脆性材料多发生脆性断裂，因而应选用第一、第二强度理
论或莫尔强度理论； 2.塑性材料多发生屈服，应选用第三或第四强度理论。
9
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 最大拉应力是材料发生脆性断裂的破坏因素。
max [ ]
（2）许用应力可通过简单实验确定。
2
2. 杆件复杂变形下建立强度条件遇到的问题
x
E
x
满足 x [ ] 强度安全？ x [ ]
强度理论:研究构件在复杂应力状态下如何建立强度效形式 (1) 脆性断裂—— 材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，
截面和过轴线的纵向截面，从锅炉中
截取一部分作为研究对象
Fy 0 pd 1 2 "d 1 0
" pd 2d
1 " , 2 ' , 3 0
內,外壁的內压力和大气压力近似为零。 12
(2)设计壁厚d 采用第三强度理论
pd 0 [ ] 2d d pd 3.61000 mm 11.25mm 2[ ] 2160
铸铁拉伸
铸铁扭转 5
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）
最大拉应变是材料发生脆性断裂的破坏因素。无论材料处于什么应力
状态,只要构件内一点处的e1达到极限值eu , 材料发生脆性断裂。
eu——极限拉应变，由单向拉伸实验测得。
eu
b
E
断裂条件 e1 eu
许用拉应变 [e] eu b [ ] n En E
r1 1 [ ]
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 最大拉应变是材料发生脆性断裂的破坏因素。
r2 1 ( 2 3) [ ]
3. 最大切应力理论（第三强度理论） 最大切应力是材料发生屈服的破坏因素。
r3 1 3 [ ]
4. 形状改变比能理论（第四强度理论） 最大形状改变比能是材料发生屈服的破坏因素。
4
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 最大拉应力是材料发生脆性断裂的破坏因素，无论在何种复杂的应力
状态下，只要构件内一点处的1达到极限值u , 材料就会发生脆断。
u——极限拉应力，由单向拉伸实验测得。 u = b
断裂条件 1 = b
许用拉应力 [] =b/n
第一强度理论强度条件： 1 [ ]
第八章 杆类构件静力学设计
第五节 复杂应力状态下的强度理论 和设计准则
第六节 组合变形状态的强度刚度计 算和综合举例
第七节 提高杆件承载能力的措施
本章重点
1.基本变形状态下杆件强度、刚度计算 2.压杆稳定性计算 3.强度理论和设计准则 4.组合变形状态的强度计算
1
第五节 复杂应力状态下的强度理论和设计准则
构件危险点的最大伸长线应变
e1 [1 ( 2 3)] / E e1 [e]
第二强度理论强度条件： 1 ( 2 3) [ ]
混凝土或石料等脆性材料轴向受压时，如在试验机与试块的接触面 上添加润滑剂，则试块沿垂直于压力的方向开裂，与这一理论相符。
6
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
采用第四强度理论
1 2
(
pd
2d
pd
4d
)2
( pd
4d
)2
( pd
2d
)2
[ ]
d 3pd 3 3.61000 mm 9.74mm
4[ ]
4 160
按第三强度理论所需壁厚厚，即第三比第四强度理论保守。
1
6E
(2 s2 )
屈服条件 vmax vu
vmax－构件危险点的形状改变比能
第四强度理论强度条件：
8
5. 莫尔强度理论
材料发生剪切破坏的因素主要是切应力，但也和同一截面上
的正应力有关。如材料沿某一截面有错动趋势时，该截面上将产
生内摩擦力阻止这一错动。
莫尔强度理论强度条件：
1
[ [
10
已知一锅炉的平均直径d=1000mm ，蒸汽压力的压强 p=3.6MPa ，
设材料的许用应力[]=160MPa ，试按第三、第四强度理论设计锅炉的 壁厚d 。
11
解：(1)应力分析。
取左半圆筒为研究对象
Fx 0
' dd
d2
p
0
4
' pd 4d
用相距为一个长度单位的两个横
且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受 拉、扭，低温脆断等。 (2) 剪切破坏—— 塑性屈服（流动）和剪断：最大切应力引起的破坏， 例如低碳钢拉、扭，铸铁受压。 强度理论：构件失效的原因的假说。 意义：无论何种应力状态，也无论何种材料，只要失效形式相同， 则失效原因就相同的，从而可由简单应力状态的实验结果，来建立复杂 应力状态的强度条件。 关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。 关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论。
max [ ]
第三强度理论强度条件： 1 3 [ ]
低碳钢拉伸
低碳钢扭转
7
4. 形状改变比能理论（第四强度理论）
最大形状改变比能是材料发生屈服的破坏因素，无论材料处于什么应力
状态,只要最大形状改变比能vmax 达到极限值vu ,材料发生屈服。
vu—极限形状改变比能
，由塑性材料单向拉伸实验测得。 vu
一、 问题的提出
1. 杆件基本变形下的强度条件
拉压
max
FN max A
[ ]
弯曲
max
Mmax W
[ ]
正应力强度条件 max [ ]
剪切
max
k
FQ A
[ ]
切应力强度条件
扭转
max
M xmax Wp
[ ]
杆件基本变形下应力的特点：（1）应力状态简单；