1.3.3函数的最值 课件
三、例题选讲
例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大 值与最小值.
y 4 x 3 4 x. 解:
令 y 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表： x y′ y -4 (-4,-3) + 20 -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 0 0 + 0 76 27 -5
比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=－5
练习:
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:
2 3
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
导数的应用-----求函数最值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其 中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例2、函数 y = x³ 3 x² + －9x在 [－4 , 4 ]上的最大值 为 ,最小值为 .
分析: (1) 由 f ´(x)=3x² +6x－9=0, 得x1=－3，x2=1
函数值为f (－3)=27, f (1)=－5
(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
(1) f ( x) 2 x 6 x 18x 7 , x 2 , 4
3 2
最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61
五、小结
1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值. 2.求函数的最值时,应注意以下几点: (1)要正确区分极值与最值这两个概念. (2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值. (3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较.
一、复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f ( x) 0 右侧 f ( x) 0 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x) 0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).
二、新课——函数的最值
y
ห้องสมุดไป่ตู้
观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值，_________是极 f(b) 大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值 f(x3) 是_______。
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
栏 目 链 接
(2)若 a<0，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况见下表：
x f′(x) f (x )
(－,2) ＋ ↗
栏 目 链 接
∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值 f(0)＝b＝－29.
又 f(2)＝－16a－29， f(－1)＝－7a－29<f(2)， ∴当 x＝2 时， f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，∴a＝－2.
栏 目 链 接
π π 可知[f(x)]max＝ ，[f(x)]min＝－ . 2 2
题型2
由函数的最值确定参数
例2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
栏 目 链 接
解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
a＝2， a＝－2， 综上所述， 或 b＝3 b＝－29.
栏 目 链 接
点评：解决此类问题的关键在于确定函数最大值、最小值 对应的自变量的值(即最值点)，然后列方程或不等式解得参数 的值或范围，若所含参数对单调性有影响时常需分类讨论．
跟 踪 训 练
3 2 2． 如果函数 f(x)＝x － x ＋a 在[－1,1]上的最大值是 2， 2
28 4 ，最小值为－ . 3 3
点评：(1)求 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②计算出 f(a)，f(b)的值； ③比较 f(a)，f(b)与各极值的大小，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值． (2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法： ①对比极值点及端点值； ②利用单调性．
(2)若 a<0，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况见下表：
x f′(x) f (x )
(－,2) ＋ ↗
栏 目 链 接
∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值 f(0)＝b＝－29.
又 f(2)＝－16a－29， f(－1)＝－7a－29<f(2)， ∴当 x＝2 时， f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，∴a＝－2.
栏 目 链 接
π π 可知[f(x)]max＝ ，[f(x)]min＝－ . 2 2
题型2
由函数的最值确定参数
例2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
栏 目 链 接
解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
a＝2， a＝－2， 综上所述， 或 b＝3 b＝－29.
栏 目 链 接
点评：解决此类问题的关键在于确定函数最大值、最小值 对应的自变量的值(即最值点)，然后列方程或不等式解得参数 的值或范围，若所含参数对单调性有影响时常需分类讨论．
跟 踪 训 练
3 2 2． 如果函数 f(x)＝x － x ＋a 在[－1,1]上的最大值是 2， 2
28 4 ，最小值为－ . 3 3
点评：(1)求 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②计算出 f(a)，f(b)的值； ③比较 f(a)，f(b)与各极值的大小，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值． (2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法： ①对比极值点及端点值； ②利用单调性．
1.3.3 函数的最值与导数(2)
课堂练习：
1 ．已知 f(x) ＝ 2x3 － 6x2 ＋ m(m 是常数 ) 在 [ － 2,2] 上有最 大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( A ) A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 [解析] f′(x)＝6x2－12x＝6(x2－2x)＝6x(x－2)． 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2 ∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m. ∴f(0)>f(2)>f(－2) ∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37，故应选A.
分析:由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a； ②在a确定的情况下，求切线方程； ③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最大值． 解答本题可先对函数求导，然后根据 a 的不同取值范围， 讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．
解:(1) f ′(x)＝3x2－2ax. 因为f′(1)＝3－2a＝3， 所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f ′(1)＝3， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3x－y－2＝0.
，
2.函数y x 2 cos x在0， 上取最大值时， 2 x的值为（B ） A.0 B.
6
C.
3
D.
2
π π 3>2> ，∴当 x＝ 时取最大值，故应选 B. 2 6
ππ π π π π π 时，y＝ ＋ 3 3>2> π π ∵ ＋π 3>2> ，x ∴ 当时取最大值，故应选 x＝ 时取最大值，故应选 ∵ ＋ ， ∴ 当 ＝ B. 6 6 2 6 ∵ ＋ 3>2> ， ∴ 当 x ＝ 时取最大值，故应选 B. 66 22 66
1.3.3二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)ppt课件
(t<0)
(0≤t ≤1) (t>1)
34
例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1，1]上的最值。
分析
解：f(x)=(x- a )2+a- a2 ，对称轴为x= a
2
4
2
(1)若 a 1，即a≤-2时，
2
f(x)min=f(-1)=1+2a，f(x)max=f(1)=1;
(2)若-1< a 2
y
y
-3 o 1 a 5 x -3 o 1
5a x
(2)当1 a < 5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(-3)=12
(3)当a 5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(a)= a2-2a-3 33
例题讲解：
例1 设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的最小值 为g(t)，求g(t)的解析式。
y
y
y
O -1 1 x
O
O
-1 1
x
-1 1
当a<-2时 当-2≤a<2时
f(x)min=f(1)=4+a
fmin
f
a 2
3
a2 4
当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
x
22
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O -1 1 x
（3）若x∈[ 1
,
5
6
],求函数f(x)的最值；
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
【精品课件】1.3.3函数的最大(小)值与导数
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小 值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则 一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值.
3
4 小值为 3
.
练习
P31 (1)----(4)
小结
] 1. 求 f ( x )在 [a, b 上的最大值与最小值的步骤 :
①求函数 f ( x )在 (a , b) 内的极值；
) f (a )、f (b)的值； ②求函数 f ( x 在区间端点
③将函数 f ( x )在各极值与 f (a )、f (b) 比较，其中最大的一
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是: ①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 两侧的导数异号时取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
个是最大值，最小的一个是最小值． 2.求函数最值的一般方法： ①.是利用函数性质 ②.是利用不等式 ③.是利用导数
作业
P31
6
y y=f(x) o y y=f(x)
人教版高一数学必修一函数的基本性质最大(小)值课件PPT
●你是否曾遇到过这种情形,离下课还有一点时间时,你对学生 说:“如果你们保持安静,我就不会再布置更多的任务了。”学生 会有哪些反应? 你是否曾发现自己预先安排的内容已经讲完了,却还没到下课时 间,于是决定给学生布置课堂任务来填补这段空白,此时学生有哪 些反应?
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
第二十三页，共42页。
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
重大社2024《高等数学》教学课件第三章 1、2、3节
令f′(x)=0，得驻点x1=1，x2=3
x
( ，1)
1
(1，3)
3
(3, )
f x
＋
0
－
0
＋
f x
↗
4
↘
0
↗
知，f(1)=4为函数f(x)的极大值。
f(3)=0为f(x)的极小值。
第二节 函数的极值
解法2
因为该函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
（4）列表讨论：
x
(, 0)
(0, )
f x
0
－0＋ຫໍສະໝຸດ f x↘-5
↗
所以，当
x 0时， y极小值 = 5
例2 求
1 3
f ( x) x 4 x 4 的极值.
3
解（1）函数的定义域为 ,
（2）求导数 f ( x) x 4
2
（3）令 f ( x) 0，得驻点 x1 2, x2 2 （将定义域分成三个区间）
y 2x 3
y 2 0
引入2
导数与单调性的关系
1
y x 1
2
1
y 0
2
3.1
函数单调性的判别法
3.1.1单调性的判定定理
定
设函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导，
理 (1)如果在 (a, b) 内， f ( x) 0 则函数 f ( x)在 (a, b)内单调增加，
于是，当
即，当
x0
x0
时，有
时，有
f ( x) f (0) 0
sin x x
x
( ，1)
1
(1，3)
3
(3, )
f x
＋
0
－
0
＋
f x
↗
4
↘
0
↗
知，f(1)=4为函数f(x)的极大值。
f(3)=0为f(x)的极小值。
第二节 函数的极值
解法2
因为该函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
（4）列表讨论：
x
(, 0)
(0, )
f x
0
－0＋ຫໍສະໝຸດ f x↘-5
↗
所以，当
x 0时， y极小值 = 5
例2 求
1 3
f ( x) x 4 x 4 的极值.
3
解（1）函数的定义域为 ,
（2）求导数 f ( x) x 4
2
（3）令 f ( x) 0，得驻点 x1 2, x2 2 （将定义域分成三个区间）
y 2x 3
y 2 0
引入2
导数与单调性的关系
1
y x 1
2
1
y 0
2
3.1
函数单调性的判别法
3.1.1单调性的判定定理
定
设函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导，
理 (1)如果在 (a, b) 内， f ( x) 0 则函数 f ( x)在 (a, b)内单调增加，
于是，当
即，当
x0
x0
时，有
时，有
f ( x) f (0) 0
sin x x
【数学】1.3.3《函数的最值》
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表： x y′ y -4 (-4,-3) + 20 -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 0 0 + 0 76 27 -5
比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=－5
练习:
求下列函在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
导数的应用-----求函数最值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其 中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(1) f ( x) 2 x 6 x 18x 7 , x 2 , 4
3 2
最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61
二、新课——函数的最值
y
观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值，_________是极 f(b) 大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值 f(x3) 是_______。
例2、函数 y = x³ 3 x² + －9x在 [－4 , 4 ]上的最大值 为 ,最小值为 .
分析: (1) 由 f ´(x)=3x² +6x－9=0, 得x1=－3，x2=1
函数值为f (－3)=27, f (1)=－5
(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
【人教A版】数学《优化方案》选修2-2课件第1章1.3.3
x f′(x)
f(x)
(－1,0)
0
(0,2)
＋
0
－
↗ 最大值3 ↘
∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3. 又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3， f(－1)＝－7a＋3>f(2)， ∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29， ∴a＝2， ∴a＝2，b＝3.
【思维总结】 本题属于逆向探究题型．解这 类问题的基本方法是待定系数法．从逆向思维 出发，实现由已知向未知的转化，最终落脚在 比较极值与端点值大小上，从而解决问题．
【解】 ∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2. 令 f′(x)＝0，即 3x2－x－2＝0，
∴x＝1，或 x＝－23. 列表：
x －1
(－1，－23) －23
(－23，1)
1
(1,2) 2
f′(x)
f(x)
11
2
＋
↗
0
157 27
－
↘
0
7 2
＋
↗
7
∴当 x＝－23时，f(x)取得极大值 f－23＝52227；
值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注
意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点 函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要 利用作差或作商，甚至要分类讨论．
变式训练1 求下列各函数的最值． (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数． 解：(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1或x＝0或x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0,1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．