整式的加减知识点总结与典型例题(人教版初中数学)
人教版初中七年级数学上册第二单元《整式的加减》知识点复习(含答案解析)
一、选择题1．下列代数式的书写，正确的是（ ）A ．5nB ．n5C ．1500÷tD ．114x 2y 2．有一组单项式如下：﹣2x ，3x 2，﹣4x 3，5x 4……，则第100个单项式是（ ） A ．100x 100B ．﹣100x 100C ．101x 100D ．﹣101x 100 3．已知2a ﹣b ＝3，则代数式3b ﹣6a+5的值为( ) A ．﹣4B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣7 4．已知－25a 2m b 和7b 3－n a 4是同类项，则m ＋n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 5．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）A ．64B ．77C ．80D ．856．1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则,,a b c 的值分别为（ ）1111211464115101051331151161a b c A ．1,6,15a b c === B ．6,15,20a b c ===C ．15,20,15a b c ===D ．20,15,6a b c === 7．设a 是最小的非负数，b 是最小的正整数，c ，d 分别是单项式﹣x 3y 的系数和次数，则a ，b ，c ，d 四个数的和是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．下列变形中，正确的是（ ）A ．()x z y x z y --=--B ．如果22x y -=-，那么x y =C ．()x y z x y z -+=+-D ．如果||||x y =，那么x y =9．若252A x x =-+，256B x x =--，则A 与B 的大小关系是（ ）A ．AB >B ．A B =C ．A B <D ．无法确定 10．下列说法正确的是（ ） A ．0不是单项式B ．25R π的系数是5C ．322a 是5次单项式D ．多项式2ax +的次数是2 11．在3a ，x+1，-2，3b -，0.72xy ，2π，314x -中单项式的个数有（ ） A ．2个B ．8个C ．4个D ．5个 12．张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a 元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b 元的价格购进了30件乙种小商品（a>b ）．根据市场行情，他将这两种小商品都以2a b +元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为( ) A ．赚了（25a+25b ）元 B ．亏了（20a+30b ）元C ．赚了（5a-5b ）元D ．亏了（5a-5b ）元 13．多项式33x y xy +-是（ ）A ．三次三项式B ．四次二项式C ．三次二项式D ．四次三项式 14．下列说法错误的是（ ）A ．23-2x y 的系数是32- B ．数字0也是单项式 C ．-x π是二次单项式 D ．23xy π的系数是23π 15．如果m ，n 都是正整数，那么多项式x m +y n +3m+n 的次数是（ ） A ．2m +2n B ．mC ．m +nD ．m ，n 中的较大数 二、填空题16．与22m m +-的和是22m m -的多项式为__________．17．单项式2335x yz -的系数是___________，次数是___________． 18．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有 4 个点，第2个图中共有 10 个点，第3个图中共有 19 个点， 按此规律第4个图中共有点的个数比第3个图中共有点的个数多 ________________ 个；第20个图中共有点的个数为________________ 个．19．有一列数：12，1，54，75，…，依照此规律，则第n 个数表示为____． 20．将下列代数式的序号填入相应的横线上．①223a b ab b ++；②2a b +；③23xy -；④0；⑤3y x -+；⑥2xy a ；⑦223x y +；⑧2x ；⑨2x ． （1）单项式：_______________；（2）多项式：_______________；（3）整式：_________________；（4）二项式：_______________．21．若212m m a b -是一个六次单项式，则m 的值是______． 22．在括号内填上恰当的项：22222x xy y -+-=-(_____________________)． 23．已知|a|=-a ，bb =-1，|c|=c ，化简 |a+b| + |a-c| - |b-c| = _________.24．如果关于x 的多项式42142mx x +-与多项式35n x x +的次数相同，则2234n n -+-=_________.25．如图，有一种飞镖游戏，将飞镖圆盘八等分，每个区域内各有一个单项式，现假设你的每支飞镖均能投中目标区域，如果只提供给你四支飞镖且都要投出，那么要使你投中的目标区域内的单项式之和为a+2b ，共有_____种方式（不考虑投中目标的顺序）．26．一个长方形的周长为68a b +，其一边长为23a b +，则另一边长为______.三、解答题27．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下：+3（x ﹣1）=x 2﹣5x +1．（1）求所挡的二次三项式；（2）若x =﹣2，求所挡的二次三项式的值．28．已知a+b ＝2，ab ＝2，求32231122a b a b ab ++的值． 29．某校利用二维码进行学生学号统一编排．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a ，b ，c ，d ，那么利用公式 321222a b c d ⨯+⨯+⨯+计算出每一行的数据．第一行表示年级，第二行表示班级，第三行表示班级学号的十位数，第四行表示班级学号的个位数．如图1所示，第一行数字从左往右依次是1，0，0，1，则表示的数据为1×23+0×22+0×21+1=9，计作09，第二行数字从左往右依次是1，0，1，0，则表示的数据为1×23+0×22+1×21=10，计作10，以此类推，图1代表的统一学号为091034，表示9年级10班34号．小明所对应的二维码如图2所示，则他的统一学号为________．==，等腰直角三角形BED的边30．如图，已知等腰直角三角形ACB的边AC BC a<，点C、B、E放置在一条直线上，联结AD.BE DE b==，且a b（1）求三角形ABD的面积；（2）如果点P是线段CE的中点，联结AP、DP得到三角形APD，求三角形APD的面积；（3）第（2）小题中的三角形APD与三角形ABD面积哪个较大？大多少？（结果都可用a、b代数式表示，并化简）。
人教版初中数学七年级上册第二章 整式的加减(第3课时)
巩固练习
2.2 整式的加减/
一块地共有(6a+14b)亩，其中有(4a+8b)亩种粮食，种蔬菜
的亩数是种粮食的
1， 2
剩下的地种果树，求种果树的地有
多少亩.
解：由题意知，种蔬菜的亩数是
1 4a
2
8b，
则种果树的地有：6a 14b - 4a 8b - 1 (4a 8b)
2
=6a+14b–4a–8b–2a–4b=2b（亩）.
结论：这些和都是11的倍数.
探究新知
试一试
2.2 整式的加减/
任意写一个三位数
交换它的百位数字与个位数 字，又得到一个数
两个数相减
你又发现什么了规律？
探究新知
2.2 整式的加减/
举例：原三位数728，百位与个位交换后的数为827， 由728 –827= – 99.你能看出什么规律并验证它吗？
任意一个三位数可 以表示100a+10b+c
探究新知
2.2 整式的加减/
验证：设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为 100c+10b+a,它们的差为
(100a+10b+c) –( 100c+10b+a) = 100a+10b+c–100c–10b–a =99a–99c =99(a–c).
探究新知
2.2 整式的加减/
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？ 说说你是如何运算的？
12 2
课堂检测
拓广探索题
2.2 整式的加减/
某公司计划砌一个形状如下图(1)的喷水池，后有人建议改为如 下图(2)的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不 够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多(即比较两个图形 的周长)？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？
人教版初中七年级数学上册第二章《整式的加减》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)下面用数学语言叙述代数式1a ﹣b ，其中表达正确的是（ ） A ．a 与b 差的倒数B ．b 与a 的倒数的差C ．a 的倒数与b 的差D ．1除以a 与b 的差C 解析：C【分析】根据代数式的意义，可得答案．【详解】 用数学语言叙述代数式1a ﹣b 为a 的倒数与b 的差， 故选：C ．【点睛】此题考查了代数式，解决问题的关键是结合实际，根据代数式的特点解答．2．(0分)下列对代数式1a b -的描述，正确的是（ ） A ．a 与b 的相反数的差B ．a 与b 的差的倒数C ．a 与b 的倒数的差D ．a 的相反数与b 的差的倒数C解析：C【分析】根据代数式的意义逐项判断即可．【详解】解：A. a 与b 的相反数的差：()a b --，该选项错误；B. a 与b 的差的倒数：1a b-，该选项错误； C. a 与b 的倒数的差：1a b-；该选项正确； D. a 的相反数与b 的差的倒数：1a b --，该选项错误． 故选：C ．【点睛】此题主要考查列代数式，注意掌握代数式的意义．3．(0分)如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）A ．y=2n+1B ．y=2n +nC ．y=2n+1+nD ．y=2n +n+1B解析：B【详解】 ∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n ，右边三角形的数字规律为：2，22，…，2n ，下边三角形的数字规律为：1+2，222+，…，2n n +，∴最后一个三角形中y 与n 之间的关系式是y=2n +n.故选B ．【点睛】考点：规律型：数字的变化类．4．(0分)某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x ，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ）A ．100（1+x ）B ．100（1+x ）2C ．100（1+x 2）D ．100（1+2x ）B 解析：B【解析】试题分析：设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100（1+x ），五月份的产量是100（1+x ）2．故答案选B.考点：列代数式.5．(0分)已知－25a 2m b 和7b 3－n a 4是同类项，则m ＋n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6C 解析：C【分析】本题根据同类项的性质求解出m 和n 的值，代入求解即可．【详解】由已知得：2431m n =⎧⎨-=⎩，求解得：22m n =⎧⎨=⎩， 故224m n +=+=；故选：C ．【点睛】本题考查同类项的性质，按照对应字母指数相同原则列式求解即可，注意计算仔细． 6．(0分)一列数123,,n a a a a ⋅⋅⋅，其中11a =-，2111a a =- ，3211a a =- ，……，111n n a a -=- ，则1232020a a a a ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（ ）A ．1B ．-1C ．2020D ．2020- A解析：A【分析】 首先根据11a =-，可得()21111,1112a a ===---32112,1112a a ===--43111112a a ===---，…，所以这列数是-1、12、2、−1、12、2…，每3个数是一个循环；然后用2020除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，从而可得答案．【详解】 解： 11a =-，()21111,1112a a ===--- 32112,1112a a ===-- 43111112a a ===---， 所以这列数是-1、12、2、−1、12、2…，发现这列数每三个循环， 由202036731,÷= 且()1231121,2a a a ⨯⨯=-⨯⨯=- 所以：()()123206732011 1.a a a a =-⨯-⨯⨯⋅⨯=⋅⋅故选A ．【点睛】 本题主要考查了探寻数列规律问题，同时考查了有理数的加减乘除乘方的运算，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数是-1、12、2、−1、12、2…，每3个数是一个循环． 7．(0分)已知单项式2x 3y 1+2m 与3x n +1y 3的和是单项式，则m ﹣n 的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．1D ．﹣1D 解析：D【分析】根据同类项的概念，首先求出m 与n 的值，然后求出m n -的值．【详解】 解：单项式3122m x y +与133n x y +的和是单项式，3122m x y +∴与133n x y +是同类项，则13123n m +=⎧⎨+=⎩∴12m n =⎧⎨=⎩， 121m n ∴-=-=-故选：D ．【点睛】本题主要考查同类项，掌握同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，从而得出m ，n 的值是解题的关键．8．(0分)下列各式中，符合代数书写规则的是（ ）A ．273x B ．14a ⨯ C ．126p - D ．2y z ÷ A解析：A 【分析】 根据代数式的书写要求判断各项．【详解】A 、273x 符合代数书写规则，故选项A 正确． B 、应为14a ，故选项B 错误； C 、应为136p -，故选项C 错误； D 、应为2y z，故选项D 错误； 故选：A ．【点睛】此题考查代数式，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．9．(0分)若关于x ，y 的多项式2237654x y mxy xy -++化简后不含二次项，则m ＝（ ）A ．17B ．67C ．-67D ．0B解析：B【分析】将原式合并同类项，可得知二次项系数为6-7m ，令其等于0，即可解决问题．【详解】解：∵原式＝()2236754x y m xy +-+， ∵不含二次项，∴6﹣7m ＝0， 解得m ＝67． 故选：B ．【点睛】 本题考查了多项式的系数，解题的关键是若不含二次项，则二次项系数6-7m=0． 10．(0分)一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，___，___，___这串数是由小能按照一定规则写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次按着写“2，3”，第三次接着写“6，7”第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数的最后三个数可能是下面的 A ．31，63，64B ．31，32，33C ．31，62，63D ．31，45，46C解析：C【分析】本题通过观察可知下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的两倍，在同一组数中的前后两个数相差1．由此可写出最后的3个数．【详解】解：本题通过观察可知下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的两倍，在同一组数中的前后两个数相差1，所以这串数最后的三个数为31，62，63．故选：C ．【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 二、填空题11．(0分)在同一平面中，两条直线相交有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，四条直线两两相交最多有6个交点……由此猜想，当相交直线的条数为n 时，最多可有的交点数m 与直线条数n 之间的关系式为：m =_____.（用含n 的代数式填空）【分析】根据题意3条直线相交最多有3个交点4条直线相交最多有6个交点5条直线相交最多有10个交点而3=1+26=1+2+310=1+2+3+4故可猜想n 条直线相交最多有1+2+3+…+（n-1）=个解析：()12n n - 【分析】根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=()12n n-个交点．【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，∴可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=()12 n n-个交点．即()12n nm-=故答案为：()12n n-．【点睛】本题主要考查了相交线，图形的规律探索，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．12．(0分)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第4个图中共有点的个数比第3个图中共有点的个数多 ________________ 个；第20个图中共有点的个数为________________ 个．【分析】根据图形的变化发现每个图形比前一个图形多序号×3个点从而得出结论【详解】解：第2个图形比第1个图形多2×3个点第3个图形比第2个图形多3×3个点…即每个图形比前一个图形多序号×3个点∴第4个解析：12631【分析】根据图形的变化发现每个图形比前一个图形多序号×3个点，从而得出结论．【详解】解：第2个图形比第1个图形多2×3个点，第3个图形比第2个图形多3×3个点，…，即每个图形比前一个图形多序号×3个点．∴第4个图中共有点的个数比第3个图中共有点的个数多4×3=12个点．第20个图形共有4+2×3+3×3+…+19×3+20×3=4+3×（2+3+…+19+20）=4+627=631（个）．故答案为：12；631．【点睛】本题考查了图形的变化，解题的关键是：发现“每个图形比前一个图形多序号×3个点”．本题属于中档题型，解决形如此类题型时，将射线上的点算到同一方向，即可发现规律． 13．(0分)用代数式表示：(1)甲数与乙数的和为10，设甲数为y ，则乙数为____；(2)甲数比乙数的2倍多4，设甲数为x ，则乙数为____；(3)大华身高为a (cm)，小亮身高为b (cm)，他们俩的平均身高为____cm ；(4)把a (g)盐放进b (g)水中溶化成盐水，这时盐水的含盐率为____%；(5)某船在一条河中逆流行驶的速度为5 km/h ，顺流行驶速度是y km/h ，则这条河的水流速度是______km/h ．(1)10－y(2)(3)(4)(5)【分析】(1)乙数=和-甲数y 据此解答；(2)甲数x=2个乙数+4从而得出乙数；(3)平均身高=（大华的身高a+小亮的身高b ）÷2据此解答；(4)利用：含盐率=解析：(1)10－y (2)42x - (3)2a b + (4)100a a b + (5)52y - 【分析】(1)乙数=和-甲数y ，据此解答；(2)甲数x=2个乙数+4，从而得出乙数；(3)平均身高=（大华的身高a+小亮的身高b ）÷2，据此解答；(4)利用：含盐率=100%⨯盐的质量盐水的质量，据此解答， (5) 利用顺行速度-逆水速度=12水流速度列出式子即可． 【详解】(1) 甲数与乙数的和为10，设甲数为y ，则乙数为：10y －；(2)甲数比乙数的2倍多4，设甲数为x ，则乙数为：42x -； (3)大华身高为a (cm)，小亮身高为b (cm)，他们俩的平均身高为：2a b +cm ； (4)把a (g)盐放进b (g)水中溶化成盐水，这时盐水的含盐率为：100a a b+%； (5)某船在一条河中逆流行驶的速度为5 km/h ，顺流行驶速度是y km/h ，则这条河的水流速度是：52y - km/h ． 故答案为：(1)1?0y －； (2) 42x -； (3) 2a b + ；(4) 100a a b +； (5) 52y -．本题考查了列代数式，比较简单，列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，并注意书写的规范性．14．(0分)观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；…可猜想第2 019个式子为__________．（32019－2）×32019＋1＝（32019－1）2【分析】观察等式两边的数的特点用n 表示其规律代入n ＝2016即可求解【详解】解：观察发现第n 个等式可以表示为：（3n-2）×3n ＋1＝（3n-解析：（32 019－2）×32019＋1＝（32 019－1）2【分析】观察等式两边的数的特点，用n 表示其规律，代入n ＝2016即可求解．【详解】解：观察发现，第n 个等式可以表示为：（3n -2）×3n ＋1＝（3n -1）2，当n ＝2019时，（32019－2）×32019＋1＝（32019－1）2，故答案为：（32019－2）×32019＋1＝（32019－1）2．【点睛】此题主要考查数的规律探索，观察发现等式中的每一个数与序数n 之间的关系是解题的关键．15．(0分)观察下面的单项式：234,2,4,8,,a a a a 根据你发现的规律，第8个式子是____．【分析】根据题意给出的规律即可求出答案【详解】由题意可知：第n 个式子为2n-1an ∴第8个式子为：27a8=128a8故答案为：128a8【点睛】本题考查单项式解题的关键是正确找出题中的规律本题属于解析：8128a【分析】根据题意给出的规律即可求出答案．【详解】由题意可知：第n 个式子为2n-1a n ，∴第8个式子为：27a 8=128a 8，故答案为：128a 8．【点睛】本题考查单项式，解题的关键是正确找出题中的规律，本题属于基础题型．16．(0分)如果关于x 的多项式42142mx x +-与多项式35n x x +的次数相同，则2234n n -+-=_________.【分析】根据多项式的次数的定义先求出n 的值然后代入计算即可得到答案【详解】解：∵多项式与多项式的次数相同∴∴；故答案为：【点睛】本题考查了求代数式的值以及多项式次数的定义解题的关键是正确求出n 的值解析：24-【分析】根据多项式的次数的定义，先求出n 的值，然后代入计算，即可得到答案.【详解】解：∵多项式42142mx x +-与多项式35n x x +的次数相同， ∴4n =，∴22234243443212424n n -+-=-⨯+⨯-=-+-=-；故答案为：24-.【点睛】本题考查了求代数式的值，以及多项式次数的定义，解题的关键是正确求出n 的值. 17．(0分)如图，有一种飞镖游戏，将飞镖圆盘八等分，每个区域内各有一个单项式，现假设你的每支飞镖均能投中目标区域，如果只提供给你四支飞镖且都要投出，那么要使你投中的目标区域内的单项式之和为a+2b ，共有_____种方式（不考虑投中目标的顺序）． 2【分析】根据整式的加减尝试进行即可求解【详解】解：当投中的目标区域内的单项式为ab ﹣b2b 时a+b ﹣b+2b ＝a+2b ；当投中的目标区域内的单项式为﹣a2a02b 时﹣a+2a+0+2b ＝a+2b 故解析：2【分析】根据整式的加减尝试进行即可求解．【详解】解：当投中的目标区域内的单项式为a 、b 、﹣b 、2b 时，a+b ﹣b+2b ＝a+2b ；当投中的目标区域内的单项式为﹣a 、2a 、0、2b 时，﹣a+2a+0+2b ＝a+2b ．故答案为2．【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是尝试进行整式的加减.18．(0分)已知()()2420b k k a k =--≠，用含有b 、k 的代数式表示a ，则a =______.【分析】将已给的式子作恒等式进行变形表示a由于k≠0先将式子左右同时除以（-4k）再移项系数化1即可表示出a【详解】∵k≠0∴原式两边同时除以（-4x）得∴∴故答案为【点睛】本题考查的是代数式的表示解析：2248b kk+【分析】将已给的式子作恒等式进行变形表示a，由于k≠0，先将式子左右同时除以（-4k），再移项、系数化1，即可表示出a.【详解】∵k≠0，∴原式两边同时除以（-4x）得，22 4bk a k=--∴224ba kk=+，∴2224828b k b kak k+=+=，故答案为2248b kk+.【点睛】本题考查的是代数式的表示，能够进行合理变形是解题的关键.19．(0分)随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌的电脑按原价降低m 元后，又降价25%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为______.【分析】根据题意列出代数式解答即可【详解】解：该电脑的原售价故填：【点睛】此题考查了列代数式关键是读懂题意找出题目中的数量关系列出代数式解析：43n m+【分析】根据题意列出代数式解答即可．【详解】解：该电脑的原售价4125%3nm n m+=+-，故填：43n m+．【点睛】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．20．(0分)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7；则上图中m+n+p＝_________；4【分析】根据约定的方法求出mnp 即可【详解】解：根据约定的方法可得：；∴；∴∴故答案为4【点睛】本题考查了列代数式和代数式求值解题的关键是掌握列代数式的约定方法解析：4【分析】根据约定的方法求出m ，n ，p 即可．【详解】解：根据约定的方法可得：18n -+= ，81m +=- ；∴7n = ，9m =- ；∴()716p =+-=∴9764m n p ++=-++=故答案为4．【点睛】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．三、解答题21．(0分)已知31A B x ，且3223A x x ，求代数式B ．解析：2322x x -++【分析】将A 代入A-B=x 3+1中计算即可求出B ．【详解】解：∵A-B=x 3+1，且A=-2x 3+2x+3，∴B=A-（x 3+1）=-2x 3+2x+3-x 3-1=-3x 3+2x+2．【点睛】本题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键．22．(0分)观察下列单项式：x -，23x ，35x -，47x ，…1937x -，2039x ，…写出第n 个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．()1这组单项式的系数的符号，绝对值规律是什么？()2这组单项式的次数的规律是什么？()3根据上面的归纳，你可以猜想出第n 个单项式是什么？()4请你根据猜想，请写出第2014个，第2015个单项式．解析：()1 (1)n -（或：负号正号依次出现；），21n -（或：从1开始的连续奇数）；()2从1开始的连续自然数；()3第n 个单项式是：()(1)21n n n x --；()4?2014个单项式是20144027x ；第2015个单项式是20154029x -．【分析】(1)根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；(2)根据已知数据次数得出变化规律；(3)根据(1)和(2)中数据规律得出即可；(4)利用(3)中所求即可得出答案.【详解】()1数字为1-，3，5-，7，9-，11，…，为奇数且奇次项为负数，可得规律：()(1)21n n --；故单项式的系数的符号是：(1)n-（或：负号正号依次出现；），绝对值规律是：21n -（或：从1开始的连续奇数）； ()2字母因数为：x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，…，可得规律：n x ，这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．()3第n 个单项式是：()(1)21n n n x --．()4把2014n =、2015n =直接代入解析式即可得到：第2014个单项式是20144027x ；第2015个单项式是20154029x -．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，得出次数与系数的变化规律是解题关键.23．(0分)已知多项式－13x 2y m ＋1＋12xy 2－3x 3＋6是六次四项式，单项式3x 2n y 2的次数与这个多项式的次数相同，求m 2＋n 2的值．解析：13【解析】 试题分析：根据多项式次数的定义，可得2+m+1=6，从而可求出m 的值，根据单项式的次数的定义结合题意可得2n+2=6，求解即可得到n 的值，把m ，n 的值代入到m 2+n 2中，计算即可得到求解.试题根据题意得2＋m ＋1＝6，2n ＋2＝6解得：m ＝3， n ＝2，所以m 2＋n 2＝13.点睛：此题考查多项式，解题的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，还要弄清有几项.24．(0分)已知a+b ＝2，ab ＝2，求32231122a b a b ab ++的值． 解析：4根据因式分解，首先将整式提取公因式12ab ，在采用完全平方公式合,在代入计算即可. 【详解】 解：原式＝12a 3b +a 2b 2+12ab 3 ＝12ab （a 2+2ab +b 2） ＝12ab （a +b ）2， ∵a +b ＝2，ab ＝2， ∴原式＝12×2×4＝4． 【点睛】本题主要考查因式分解的代数计算，关键在于整式的因式分解.25．(0分)已知多项式2x 2+4xy ﹣3y 2+x 2+kxy+5y 2，当k 为何值时，它与多项式3x 2+6xy+2y 2是相等的多项式．解析：k=2．【分析】根据两个多项式是相同的多项式，可以直接列等式根据各项前对应系数相等直接列式计算.【详解】解：2x 2+4xy ﹣3y 2+x 2+kxy+5y 2，=3x 2+（4+k ）xy+2y 2，因为它与多项式3x 2+6xy+2y 2是相等的多项式，所以4+k=6，解得：k=2．【点睛】本题考查了带系数多项式与已知多项式相等求未知系数，掌握多项式的概念是解决此题的关键.26．(0分)已知2223,A x xy y B x xy()1若()2230x y ++-=，求2A B -的值()2若2A B -的值与y 的值无关，求x 的值解析：（1）-9；（2）x=-1【分析】（1）根据去括号，合并同类项，可得答案；（2）根据多项式的值与y 无关，可得y 的系数等于零，根据解方程，可得答案．【详解】（1）A-2B=（2x 2+xy+3y ）-2（x 2-xy ）=2x 2+xy+3y-2x 2+2xy∵（x+2）2+|y-3|=0，∴x=-2，y=3．A-2B=3×（-2）×3+3×3=-18+9=-9．（2）∵A-2B 的值与y 的值无关，即（3x+3）y 与y 的值无关，∴3x+3=0．解得x=-1．【点睛】此题考查整式的加减，解题关键在于掌握去括号，括号前是正数去括号不变号，括号前是负数去括号都变号．27．(0分)化简下列各式：（1）32476x y y -+--+；（2）4(32)3(52)x y y x ----．解析：（1）352x y --+；（2）67x y --【分析】（1）根据合并同类项的法则解答即可；（2）先去括号，再合并同类项．【详解】解：（1）原式3(27)(46)352x y x y =-+-+-+=--+；（2）原式12815667x y y x x y =-+-+=--．【点睛】本题考查了整式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握整式加减运算的法则是关键． 28．(0分)如图，已知等腰直角三角形ACB 的边AC BC a ==，等腰直角三角形BED 的边BE DE b ==，且a b <，点C 、B 、E 放置在一条直线上，联结AD .（1）求三角形ABD 的面积；（2）如果点P 是线段CE 的中点，联结AP 、DP 得到三角形APD ，求三角形APD 的面积；（3）第（2）小题中的三角形APD 与三角形ABD 面积哪个较大？大多少？（结果都可用a 、b 代数式表示，并化简）解析：（1）ab （2）()24a b +（3）三角形APD 的面积比三角形ABD 的面积大，大()24b a -.【分析】（1）由题意知//AC DE （同旁内角互补，两条直线平行），所以四边形ACED 是梯形，再由梯形面积减去两个等腰直角三角形面积即可求得；（2）与题（1）思路完全一样，由梯形面积减去两个直角三角形面积即可求得； （3）将所求的两个面积作差，化简并与0比较大小即可.【详解】（1）()()22111222ABD ABC BDE ACED S S S S a b a b a b ab ∆∆∆=--=++--=四边形 （2）()()()2111222224APD APC PDE ACED a b a b a b S S S S a b a b a b ∆∆∆+++=--=++-⨯-⨯=四边形（3）()()2244APD ABDa b b a S S ab ∆∆+--=-=，∵b a >，∴()204APD ABD b a S S ∆∆--=>，即三角形APD 的面积比三角形ABD 的面积大，大()24b a -.【点睛】 本题是一道综合题，考查了三角形的面积公式12S =⨯底⨯高，多项式的化简.。
人教版初中七年级数学上册第二单元《整式的加减》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．若8m x y 与36n x y 的和是单项式，则()3m n +的平方根为（ ）． A ．4B ．8C ．±4D ．±82．某养殖场2018年年底的生猪出栏价格是每千克a 元．受市场影响，2019年第一季度出栏价格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均每千克比第一季度又上升了20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克( ) A ．(1-15%)(1＋20%)a 元 B ．(1-15%)20%a 元C ．(1＋15%)(1-20%)a元D ．(1＋20%)15%a 元3．与(－b)－(－a)相等的式子是( )A ．(＋b)－(－a)B ．(－b)＋aC ．(－b)＋(－a)D ．(－b)－(＋a)4．如果,A B 两个整式进行加法运算的结果为3724x x -+-，则,A B 这两个整式不可能是（ ）A ．3251x x +-和3933x x ---B ．358x x ++和31212x x -+-C ．335x x -++和341x x -+-D ．3732x x -+-和2x --5．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）A ．y=2n+1B ．y=2n +nC ．y=2n+1+nD ．y=2n +n+1 6．若 3x m y 3 与﹣2x 2y n 是同类项，则（ ） A ．m=1，n=1B ．m=2，n=3C ．m=﹣2，n=3D ．m=3，n=27．如图，阴影部分的面积为（ ）A ．228ab a π-B ．222ab a π-C ．22ab a π-D ．224ab a π-8．已知整数1234,,,a a a a ……满足下列条件：12132430,1,2,3a a a a a a a ==-+=-+=-+……，依次类推，则2019a 的值为（ ）A ．2018B ．2018-C ．1009-D ．10099．如下图所示：用火柴棍摆“金鱼”按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ．2＋6nB ．8＋6nC ．4＋4nD ．8n10．下列去括号运算正确的是（ ） A ．()x y z x y z --+=--- B ．()x y z x y z --=--C ．()222x x y x x y -+=-+D ．()()a b c d a b c d -----=-+++11．下列判断中错误的个数有（ ）（1）23a bc 与2bca -不是同类项； （2）25m n不是整式；（3）单项式32x y -的系数是-1； （4）2235x y xy -+是二次三项式.A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．已知多项式()210mx m x +--是二次三项式，m 为常数，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．2±D ．3±13．有20个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是2，这20个数的和是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．0 D ．4 14．﹣（a ﹣b +c ）变形后的结果是（ ） A ．﹣a +b +cB ．﹣a +b ﹣cC ．﹣a ﹣b +cD ．﹣a ﹣b ﹣c15．下列说法错误的是（ ） A ．23-2x y 的系数是32-B ．数字0也是单项式C ．-x π是二次单项式D ．23xy π的系数是23π 二、填空题16．如果多项式32242(176)x x kx x +-+-中不含2x 的项，则k 的值为__． 17．观察下面的一列单项式：2342,4,8,16,,x x x x --根据你发现的规律，第n 个单项式为__________．18．如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是（a+b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．若（1+x ）45的展开式按x 的升幂排列得：（1+x ）45＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 45x 45，则a 2＝_____．19．m ，n 互为相反数，则（3m –2n ）–（2m –3n ）=__________．20．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照这样的规律，摆第n 个图，需用火柴棒的根数为_______________．21．观察下列图形它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 20 个图形共有________________ 个★．22．将一列数1,2,3,4,5,6---，…，按如图所示的规律有序排列．根据图中排列规律可知，“峰1”中峰顶位置（C 的位置）是4，那么“峰206”中C 的位置的有理数是______．23．如果关于x 的多项式42142mx x +-与多项式35n x x +的次数相同，则2234n n -+-=_________.24．已知在没有标明原点的数轴上有四个点，且它们表示的数分别为a 、b 、c 、d ．若|a ﹣c |=10，|a ﹣d |=12，|b ﹣d |=9，则|b ﹣c |=___．25．在x y +，0，21>，2a b -，210x +=中，代数式有______个.26．关于a ，b 的多项式-7ab-5a 4b+2ab 3+9为______次_______项式.其次数最高项的系数是__________.三、解答题27．已知多项式22622452x mxyy xy x中不含xy 项，求代数式32322125m m m m m m 的值．28．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．（1） 图②有 个三角形；图③有 个三角形；（2） 按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形（用n 的代数式表示结论）．29． 1+2+3++100⋯=？经过研究，这个问题的一般性结论是()1123n n n 12+++⋯+=+，其中n 是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：()122334n n 1⨯+⨯+⨯+⋯+=？观察下面三个特殊的等式：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯ 将这三个等式的两边相加，可以得到1122334345203⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯=．读完这段材料，请你思考后回答：（1）直接写出下列各式的计算结果：1223341011⨯+⨯+⨯+⋯⨯=① ______()122334n n 1⨯+⨯+⨯+⋯+=② ______（2）探究并计算：()()123234345n n 1n 2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+++= ______ （3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：123234345101112⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+⨯⨯= ______ ．30．有这样一道题，计算()()4322433222422x x y x yxx y y x y -----+的值，其中0.25x =，1y =-；甲同学把“0.25x =”，错抄成“0.25x =-”，但他的计算结果也是正确的，你说这是为什么？。
《整式的加减》(二)—去括号与添括号 配套知识讲解2022人教七年级上册专练
整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）知识讲解【学习目标】1．掌握去括号与添括号法则，注意变号法则的应用；2. 熟练运用整式的加减运算法则，并进行整式的化简与求值．【要点梳理】要点一、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．要点诠释：(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．要点二、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．要点诠释：(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号的关系如下：如：()a b c a b c +-+-添括号去括号， ()a b c a b c -+--添括号去括号要点三、整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．要点诠释：（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．【典型例题】类型一、去括号1．（2020•泰安模拟）化简m ﹣n ﹣（m+n ）的结果是（ ）A ． 0B ． 2mC ． ﹣2nD ． 2m ﹣2n【答案】C【解析】解：原式=m ﹣n ﹣m ﹣n=﹣2n ．故选C ．【总结升华】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，及熟练运用合并同类项的法则，其是各地中考的常考点．注意去括号法则为：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．类型二、添括号2．按要求把多项式321a b c -+-添上括号：(1)把含a 、b 的项放到前面带有“+”号的括号里，不含a 、b 的项放到前面带有“-”号的括号里；(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里．【答案与解析】解：(1)321(32)(1)a b c a b c -+-=---+；(2)321(3)(21)a b c a c b -+-=+-+．【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．举一反三：【变式】添括号：（1）22()101025()10()25x y x y x y +--+=+-+．（2）()()[(_______)][(_______)]a b c d a b c d a a -+-+-+=-+．【答案】(1)x y +； (2),b c d b c d -+-+ ．类型三、整式的加减3． 3243245348x x x x x x -+--+-一个多项式加上得，求这个多项式．【答案与解析】解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．43232(348)(45)x x x x x x --+---+ 4323243348453813.x x x x x x x x x =--+--+-=-+- 答：所求多项式为433813x x x -+-．【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．举一反三：【变式】化简：(1)15+3(1-x )-(1-x+x 2)+(1-x+x 2-x 3).(2)3x 2y -[2x 2z -(2xyz -x 2z+4x 2y )].(3)-3[(a 2+1)-16(2a 2+a )+13(a -5)]. (4)ab -{4a 2b -[3a 2b -(2ab -a 2b )+3ab ]}.【答案】解： (1) 15+3(1-x )-(1-x+x 2)+(1-x+x 2-x 3)＝15+3(1-x )-(1-x+x 2)+(1-x+x 2)-x 3＝18-3x -x 3.. ……整体合并，巧去括号(2) 3x 2y -[2x 2z -(2xyz -x 2z+4x 2y )]＝3x 2y -2x 2z+(2xy -x 2z+4x 2y ) ……由外向里，巧去括号＝3x 2y -2x 2z+2xyz -x 2z+4x 2y＝7x 2y -3x 2z+2xyz .(3) 22113[(1)(2)(5)]63a a a a -+-++- 2213(1)(2)(5)2a a a a =-+++-- 2213352a a a a =--++-+ 21222a a =--+. (4)ab -{4a 2b -[3a 2b -(2ab -a 2b )+3ab ]}＝ab -4a 2b+3a 2b -2ab+a 2b+3ab ……一举多得，括号全脱＝2ab .类型四、化简求值4. 先化简，再求各式的值：(){}123225,,12x y x x y x y x y --+-++==-⎡⎤⎣⎦其中． 【答案与解析】解：原式[2(3245)][2(3)]x y x x y x y x y x x y =--+--+=--+-+(23)(43)43444().x y x x y x y x x y x x y x y =---+=--=-+=-=- 将1,12x y ==-代入，得：134[(1)]4622--=⨯=. 【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当……时，原式=？举一反三：【变式】（2020春•万州区期末）先化简，再求值：﹣2x 2﹣[3y 2﹣2（x 2﹣y 2）+6]，其中x=﹣1，y=﹣．【答案】解：原式=﹣2x 2﹣y 2+x 2﹣y 2﹣3=﹣x 2﹣y 2﹣3，当x=﹣1，y=﹣时，原式=﹣1﹣﹣3=﹣4．5. 已知3a 2-4b 2＝5，2a 2+3b 2＝10．求：(1)-15a 2+3b 2的值；(2)2a 2-14b 2的值．【答案与解析】显然，由条件不能求出a 、b 的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．解：(1)-15a 2+3b 2＝-3(5a 2-b 2)＝-3[(3a 2+2a 2)+(-4b 2+3b 2)]＝-3[(3a 2-4b 2)+(2a 2+3b 2)]＝-3×(5+10)＝-45；(2)2a 2-14b 2＝2(a 2-7b 2)＝2[(3a 2-2a 2)+(-4b 2-3b 2)]＝2×[(3a 2-4b 2)-(2a 2+3b 2)]＝2×(5-10)＝-10．【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便． 举一反三：【变式】当2m π=时，多项式31am bm ++的值是0，则多项式3145_____2a b ππ++=． 【答案】∵ 3(2)210a b ππ++=， ∴ 338212(4)10a b a b ππππ++=++=，即3142a b ππ+=-． ∴31114555222a b ππ++=-+=． 6. .已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 无关，求代数式：22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值．【答案与解析】解：222(363)(1)(3)7(3)x ax y b bx x y b x a x y b +-+--+-=-++-++.由于多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 无关，可知： 10b -=，30a +=，即有1,3b a ==-.又2222223(2)(4)74a ab b a ab b a ab b ---++=---,将1,3b a ==-代入可得：22(3)7(3)1418---⨯-⨯-⨯=.【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母x 无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x ”的项，所以合并同类项后，让含x 的项的系数为0即可．类型五、整式加减运算的应用7. (湖南益阳)有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n (n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) ．A ．60n 厘米B ．50n 厘米C ．(50n+10)厘米D ．(60n -10)厘米【答案】C .【解析】观察上图，可知n 块石棉瓦重叠的部分有(n -1)处，则n 块石棉瓦覆盖的宽度为：60n -10(n -1)＝（50n+10）厘米．【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米这一已知条件，一不小心就可能弄错．举一反三：【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a 2(a ＞0)．那么阴影部分的面积为________．【答案】3a-a2提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积29--，而长方形的长为3+a，宽为3，从而使问a题获解．第二课时【学习目标】1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；3．会根据实际问题列方程解应用题．【知识网络】【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.【典型例题】类型一、一元一次方程的相关概念1．已知方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值．【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．【答案与解析】 解：因为方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，所以3m -4＝0且5-3m ≠0．由3m -4＝0解得43m =，又43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43． 将43m =代入原方程，则原方程变为485333x ⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，解得83x =-． 所以43m =，83x =-． 【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m -4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件．举一反三：【变式】下面方程变形中，错在哪里：(1)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.（2）3721223x xx-+=+，去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.【答案】（1）答：错在第二步，方程两边都除以x-y.（2）答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.2.如果5(x+2)＝2a+3与(31)(53)35a x a x+-=的解相同，那么a的值是________．【答案】7 11【解析】由5(x+2)＝2a+3，解得275ax-=．由(31)(53)35a x a x+-=，解得95x a=-．所以27955aa-=-，解得711a=．【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a 的一元一次方程．举一反三：【变式】（2020•温州模拟）已知3x=4y，则=．【答案】．解：根据等式性质2，等式3x=4y两边同时除以3y，得：=．类型二、一元一次方程的解法3．解方程：4621132x x-+-=．【答案与解析】解：去分母，得：2(4-6x)-6＝3(2x+1)．去括号，得：8-12x-6＝6x+3．移项，合并同类项，得：-18x＝1．系数化为1，得：118x=-．【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．举一反三：【变式1】解方程26752254436z z z zz+---++=-【答案】解：把方程两边含有分母的项化整为零，得267522544443366z z z z z +++-=--+． 移项，合并同类项得：1122z =，系数化为1得：z ＝1． 【变式2】解方程： 0.10.050.20.05500.20.54x x +--+=. 【答案】 解：把方程可化为：0.520.550254x x +--+=， 再去分母得：232x =-解得：16x =-4．解方程3{2x -1-[3(2x -1)+3]}＝5．【答案与解析】解：把2x -1看做一个整体．去括号，得：3(2x -1)-9(2x -1)-9＝5．合并同类项，得-6(2x -1)＝14． 系数化为1得：7213x -=-，解得23x =-． 【总结升华】把题目中的2x -1看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x -1＝a ，则原方程化为3[a -(3a+3)]＝5．类型三、特殊的一元一次方程的解法1．解含字母系数的方程5.解关于x 的方程：11()(2)34m x n x m -=+ 【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系．【答案与解析】解：原方程可化为：(43)462(23)m x mn m m n -=+=+当34m ≠时，原方程有唯一解：4643mn m x m +=-； 当33,42m n ==-时，原方程无数个解； 当33,42m n =≠-时，原方程无解； 【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式ax b =，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．2．解含绝对值的方程6. 解方程|x -2|＝3．【答案与解析】解：当x -2≥0时，原方程可化为x -2＝3，得x ＝5．当x -2＜0时，原方程可化为-(x -2)＝3，得 x ＝-1．所以x ＝5和x ＝-1都是方程|x -2|＝3的解．【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x -2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x -2|＝3的解为x ＝-1和x ＝5．举一反三：【变式1】若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解， 则,,m n k 的大小关系为： ( )A . m n k >> B.n k m >> C.k m n >> D.m k n >>【答案】A【变式2】若9x =是方程123x m -=的解，则__m =；又若当1n =时，则方程123x n -=的解是 ． 【答案】1； 9或3． 类型四、一元一次方程的应用7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．【答案与解析】解：设李伟从家到火车站的路程为y 千米，则有：151530601860y y +=-，解得：452y = 由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为4515213060+=(小时)． 李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x 千米/时, 则有：452271010116060y x ===--(千米/时) 答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．8. （2020春•万州区校级月考）一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？【答案与解析】解：设乙还需x 天完成，由题意得4×（+）+=1，解得x=5．答：乙还需5天完成．【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．举一反三：【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？【答案】解：设售货员可以打x折出售此商品，得：x⨯=+40000.12000(120%),x=解得： 6.答：售货员最低可以打六折出售此商品．。
人教版七年级数学上第2章 整式的加减知识点总结及题型汇总
整式的加减知识点总结及题型汇总整式知识点1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2+bx+c 和x 2+px+q 是常见的两个二次三项式.5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类为：⎩⎨⎧多项式单项式整式 .6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.11. 列代数式列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.12.代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值.13. 列代数式要注意①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式；③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。
人教版七年级数学上册整式的加减知识点总结及题型汇总(无答案)
人教版七年级数学上册整式的加减知识点总结及题型汇总(无答案)整式的加减知识点总结及题型汇总整式知识点1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2+bx+c 和x 2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：⎩⎨⎧多项式单项式整式 .6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.11. 列代数式列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.12.代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值. 13. 列代数式要注意①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略； ②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式； ③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。
整式的加减知识点总结及题型汇总
整式的加减整式知识点1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若 a、 b、 c、p、 q 是常数） ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式.5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类为：整式单项式. 多项式6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“ - ”号，括号里的各项都要变号 .9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列） . 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列 .11.列代数式列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等. 抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了 .12.代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值 .13.列代数式要注意①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式；③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。
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整式的加减知识点总结与典型例题
一、整式——单项式
1、单项式的定义：
由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.
2、单项式的系数：
单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
说明：⑴单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。
⑵单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号。
⑶对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1。
⑷表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作
为系数的一部分，而不能当成字母。
如2πxy 的系数就是2π.
3、单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
说明：⑴计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1
的情况。
如单项式z y x 242
⑵单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。
⑶单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式
是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；
4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“∙ ”或者省略不写。
例如：t ⨯100可以写成t ∙100或t 100
5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 考向1：单项式
1、代数式
中，单项式的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2、单项式2ab 2π-的系数和次数分别是（ ）
A ．-2π、3
B ．-2、2
C ．-2、4
D ．-2π、2 3、设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c ，d 分别是单项式2xy -的系数和次数，
则a ，b ，c ，d 四个数的和是（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．3
二、整式——多项式
1、多项式的定义：
几个单项式的和叫多项式.
2、多项式的项：
多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
3、多项式的次数：
多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
4、多项式的项数：
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
5、常数项：
多项式里，不含字母的项叫做常数项.
6、整式：
单项式与多项式统称整式.
考向2：多项式
1、多项式12++xy xy 是（ ）
A ．二次二项式
B ．二次三项式
C ．三次二项式
D ．三次三项式
2、多项式21xy xy -+的次数及最高次项的系数分别是（ ）
A ．2，1
B ．2，-1
C ．3，-1
D ．5，-1
3、下列说法正确的是（ ）
A ．-2不是单项式
B ．-a 的次数是0 C.53ab 的系数是3 D.3
24-x 是多项式 4、代数式
中是整式的共有（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
5、若m ，n 为自然数，则多项式n m n m y x +--4的次数应当是（ ）
A ．m
B ．n
C ．m+n
D ．m ，n 中较大的数
6、多项式是关于x 的二次三项式，则m 的值是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．2或-2
D ．3
三、整式的加减——合并同类项
1、同类项的概念：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
说明：⑴同类项必须具备两个条件：所含字母相同；相同字母的指数也分别相同。
二
者缺一不可；
⑵同类项与系数、字母的排列顺序无关；
⑶所有的常数项都是同类项，单独的一项不能说是同类项，同类项至少针对两
项而言.
2、合并同类项的概念：
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3、合并同类项的方法：
⑴将同类项的系数相加，结果作为所得项的系数；
⑵字母连同它的指数不变.
说明：①系数相加时，一定要带上各项前面的符号；
②只有是同类项才能合并；
③如果两个同类项的系数互为相反数，那么它们合并的结果是0；
④多项式合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项；
⑤结果通常按照某个字母的指数降幂或者升幂的顺序排列.
考向3：同类项的概念
1、下列各题中的两个项，不属于同类项的是（ ）
A.y x 22和22
1yx -
B.1与23-
C.b a 2与22105ba ⨯
D.n m 231与m n 2 2、如果单项式是同类项，那么a 、b 的值分别为（ ）
A ．a=1，b=3
B ．a=1，b=2
C ．a=2，b=3
D ．a=2，b=2 考向4：合并同类项 ⑶
⑷ ⑸
⑹ 3、单项式
和单项式的和是单项式，求这两个单项式的和． 4、已知
的和是单项式，求|x+5y|的值． 5、求k 为多少时，代数式
中不含xy 项． 6、已知x 和y 的多项式合并后不含二次项，求3a-4b 的值． 四、整式的加减——去括号
1、去括号法则：
①括号外是“+”号，去括号后符号不变；
②括号外是“-”号，去括号后符号改变.
2、去括号法则的理论依据是乘法分配律.
3、整式加减的运算法则：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
考向5：去括号
1、代数式-{-[x-（y-z ）]}去括号后的结果是（ ）
A ．x+y+z
B ．x-y+z
C ．-x+y-z
D ．x-y-z 2、 设=（ ）
A ．15
B ．7
C ．-39
D ．47
3、已知a ＞0，ab ＜0，abc ＜0，化简|a-2b|-[-|a|+（|2a+c|+|-3b|）-|c-b|]的结果
为（ ）
A ．2a
B ．0
C ．2b
D ．2c
⑶ ⑸。