初三数学中考第一轮复习时24矩形菱形正方形
初三中考第一轮复习课题24：矩形、菱形、正方形【课前热身】□1.（2018·上海）已知）ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（BC ⊥＝BD D．AB．∠A．∠A＝∠B BA＝∠C C．AC ））菱形不具备的性质是（ 2018·十堰2. （．是中心对称图形．对角线一定相等 C．是轴对称图形 DA．四条边都相等 B ） BEBC＝4，BE//DF且与DF之间的距离为3，则AE的长度是（33.（2018·兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝，7537．． B． D．A C888CDEAB（4）（6）（3）6图OEEABCDABCDACBDO中，对角线＝、相交于点4，，则为）的中点且4.如图，在菱形等于（4 D．．2 C．3 A．1 B ）和8，则这个菱形的周长是（ 2018·淮安）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6（5．48．C．40 DA．20 B．24______BCE的度数是．，使AE＝AC，连接CE，则∠)6.(2018·乐山如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E ABACBDOABCD2相交于点．，且7.（2018·柳州）如图，四边形是菱形，对角线＝，ABCD的周长；（1）求菱形BDAC的长．）若2＝，求（2ADOBCODFAFABCDBEAE中，＝相交于点，．．8（2018·湘潭）如图，在正方形与ABEDAF≌△（1）求证：△；AOD的度数．（2）求∠CDEOAFB【知识点】矩形、菱形、正方形1.矩形①概念：有一个角是直角的平行四边形叫矩形②性质：具有平行四边形的所有性质矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等且互相平分既是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，也是轴对称图形，对称轴两条，对边的垂直平分线。
．③判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形菱形2. ①概念：一组邻边相等的平行四边形叫菱形②性质：具有平行四边形的所有性质菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角既是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，也是轴对称图形，对称轴两条，对角线所在的直线对角线乘积的一半S=底×高= ③判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.正方形①概念：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形②性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角既是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，也是轴对称图形，对称轴4条③判定：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形先判定矩形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直先判定菱形，在判定一个角是直角或对角线相等 4.中点四边形①顺次连接四边形各边中点得平行四边形②顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形③顺次连接对角线相等的四边形各边中点得菱形④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点得正方形【精讲精练】EDABCABCDBDBCD的°，则∠交于点如图，将矩形纸片1.(2017·山西)2沿.折叠，得到△若∠′，1′＝与35)度数为(D35°．55° BA．20°．30° C．A DE F B C G 31 （））（（2），的中点，若菱形CDABCD的周长为8，点、（2018·宿迁）如图，菱形2．ABCD的对角线ACBD 相交于点OE为边）OCE∠BAD＝60°，则△的面积是（332 DC．A． B1 ．．42．ABCDABGBCABGAGAFGGFDC交是对折至△，的中点．将△，延长3.（2018·仙桃）如图，正方形沿中，6＝EDE的长是（，则）于点A．1 B．1.5 C．2 D．2.5ABCD，下列作法中错误的是（） 4.（2018·舟山）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCDADABCDAAEFGB的逆时针旋转，得到矩形＝1，将矩形，点5.（2018·江西改编）如图，在矩形绕点中，ECDDEEFAB的长为________．上，且＝对应点，则落在ACDFCEAABFEABAB＝4，·深圳）如图，四边形是正方形，∠三点共线，和∠，都是直角且点，则6．（2018阴影部分的面积是________．（76））（5）（ABCDEFADDCAEDFBEAFG，点与＝相交于点青岛)已知正方形的边长为5，点＝，2分别在，，上，(2018·7．HBFGHGH的长为________为．的中点，连接，则ABCDAFDBCEEEGCDAFG，落在∥边上的点处，过点于点作（82018·枣庄）如图，将矩形沿交折叠，使点DGEFDG是菱形，连接．求证：四边形□ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝如图，在2018．9（·毕节）DP，连接AP、BQ、°．180＝BQC＋∠ABP．且∠PQ．是菱形．求证：四边形ABQP【课后训练】一、选择题DOBOBDOAOCOABCDAC，添加下列条件，不能相交于点，，1.（2018·日照）如图，在四边形＝中，对角线＝，ABCD）是菱形的是（判定四边形CBO ABOBDACBDABADAC＝∠ C． D＝⊥ B．．∠＝A．（1（）（46）（5）））2．（2019?永州）下列说法正确的是（ B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形 A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于C45°）3．（2019?泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（32 D．A．8 B．12 C．16OECDABCDACBDOE的中点，则）的长是（，．4（2019?赤峰）如图，菱形周长为20，对角线是、相交于点5 4 ．2.5 B．3 C．D．A CFABCDABEFBCCDAEAFEAF°，则中，60＝1，点，＝?包头）如图，在正方形5．（2019分别在边＝和，∠上，）的长是（．﹣．A1． BD． C ACcmABCABCD）的长是（6．（2019?贵阳）如图，菱形的周长是4 ，∠＝60°，那么这个菱形的对角线cmcmcmcm D．1． B2 ． C．34 A ADECEBABCDABBCABCAC交处，折叠，使点，＝6，将△)7.(2017·衢州如图，在矩形纸片落在点中，沿＝4DFF)于点( ，则的长等于5735 B. C. D. A.5334（7）（8）（9）（10）ABCDACECDEBEBEF，使°，连接的对角线到上取一点并延长．使得∠＝20198．（?广元）如图，在正方形15DEEFHABCEBESDECDCFCBBF＝﹣；④＝；；②③+＝＝，2与相交于点若，，＝1有下列结论：＝①DEC△﹣1．则其中正确的结论有（）A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ABCDABEECECFGFGDEA移?绍兴）正方形的边过点上有一动点，以．在点为边作矩形，且边从点2019．9（BECFG的面积（动到点的过程中，矩形）．保持不变 D．一直变大C ．先变小后变大 B．先变大后变小A．BDAEBCCDEAFAFABCDEF分别交、、上的点，且∠2019?莱芜区）如图，在正方形45中，＝、°，分别是．10（EFMNEN于、有以下结论：、、，连按DFFANENAEAFNFBEDFEFE，使得﹣①③＝④存在点②当+＝＞＝时，＝2、）其中正确的个数是（4 ．A．1 B．2 C．3 D 二．填空题（共16小题）BECABCDADADE ___________．．(2018·武汉)以正方形，则∠的边的度数是作等边△1F，则点32，）OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2．（2018·咸宁）如图，将正方形．的坐标为________5）（4））（2（）（3ABCDEFABCDEFADDCBD．的周长为，的中点，若＝4，＝3．（2019?鞍山）如图，在菱形中，3，，分别是则菱形cmACBCcmBCEDABEABCDACBDACED，，7交（2019?铜仁市）如图，在△中，＝是于点的中点，且，⊥，，6∥＝．4cmAED．则△的周长等于OEFACADEBCFABCDABBC，，过对角线交点于点作于点5．（2019?眉山）如图，在矩形⊥中，6＝，，交交＝8DE的长是则ABCDACEFBCADEFBEAF＝5，于点＝6．（2019?广州）如图，矩形，中，对角线的垂直平分线3分别交，若，，AC的长为则（6）（7）（8）OABCOAAOC＝60，∠°，则对（4，2019?绵阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形0为菱形，）（0，0），7．（E的坐标为角线交点ABCDACBDOCEBDECEEODE，＝＝，5⊥，且，垂足为点．8（2019?朝阳）如图，在矩形，中对角线2与相交于点AD的长为则ABCDBCxBCADxBD的在在，顶点．9（2019?镇江）如图，菱形的左侧）的顶点轴上方，对角线、在、轴上（EBCPABCDFEP所在直线的距离）到，的边上运动．当点6长是，点）为（﹣2，0（的中点，点0在菱形PABABCD的边长等于的中点处，则菱形取得最大值时，点恰好落在（9）（10）ABCBACBAACDBCD上的一个动点，过点＝4，点?安顺）如图，在2019Rt△中，∠°，且＝90，＝3是斜边（10.DMABMDNACNMNMN的最小值为分别作⊥于点，⊥于点，连接，则线段．三、解答题．1. (2018·乌鲁木齐)如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．求证：四边形 AECD是菱形．ABCDBCCDBCDBADOABCDOAOBOD．∠，是四边形＝内一点，且＝2)2.(2018·南京如图，在四边形中，＝，∠＝BODBCDOBCD是菱形． (2)(1)求证：∠＝∠；四边形ABCDABBCMNACAMCNEFADBC、＝中，、＝3，上，且＝4．，、在对角线（3．2019?大庆）如图，在矩形分别是的中点．ABMCDN；）求证：△≌△（1GACEGFAG的长． 90是对角线°，求上的点，∠＝（2）点ABCDEBCFCDBEDF，连结上的一点，点延长线上的一点，且4．（2019?内江）如图，在正方形是中，点是＝AEAFEF．、、ABEADF；≌△（1）求证：△AEEF的长．，请求出）若＝5（2ABCDPBCAPEFAPDEBF，使得∠，点上的两点，连接，（5．2019?聊城）在菱形，中，点是是边上一点，连接AEDABCABFBPF．＝∠＝∠，∠ABFDAE；≌△求证：（1）△DEBFEF．）+＝ 2（ABCDACBDOEFOBODAEG，分别为?．6（2019?青岛）如图，在至中，对角线与，相交于点，点的中点，延长，EGAECG．＝，连接使ABECDF；≌△（1）求证：△ABACEGCF是矩形？请说明理由． 2（）当与满足什么数量关系时，四边形。
2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形课时1 矩 形基础过关1. (2019重庆模拟)下列关于矩形对角线的说法中，正确的是( ) A. 对角线相互垂直B. 面积等于对角线乘积的一半C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等2．(2019临沂)如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA .添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A. OM ＝12ACB. MB ＝MOC. BD ⊥ACD. ∠AMB ＝∠CND第2题图3．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E .若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°第3题图4．(2019贵阳模拟)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交边BC于点E，若ED＝5，EC＝3，则矩形ABCD的周长为()A. 11B. 14C. 22D. 28第4题图5．如图，矩形ABCD中，A(－2，0)，B(2，0)，C(2，2)，将AB绕点A旋转，使点B落在边CD上的点E处，则点E的坐标为()A. (3，2)B. (23，2)C. (1，2)D. (23－2，2)第5题图6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E.已知∠EAD ＝3∠BAE，则∠EAO的度数为()A．22.5°B．67.5°C．45°D．60°第6题图7．(2020原创)如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为()A. 10B. 8＋2 5C. 8＋213D. 14第7题图8．(2018遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为()A. 10B. 12C. 16D. 18第8题图9．(2019徐州)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若MN＝4，则AC的长为________．第9题图10．(人教八下P55练习2题)如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，△OAB是等边三角形，AB ＝4.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求四边形ABCD的面积．第10题图11．(2019怀化)已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．第11题图12．(2019连云港)如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．第12题图能力提升1．(2019台州)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm，BC＝FG＝8 cm.把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于()A. 14 B.12 C.817 D.815第1题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为________．第2题图满分冲关1．(2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①CF＝3AF；②AB＝DF；③DF＝22BC；④S四边形CDEF＝52S△ABF.其中正确的结论有()第1题图A．1个B．2个C．3个D．4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确．2．如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，对角线AC，BD交于点O，∠BCD的平分线CE分别交AB，BD于点E，H，连接OE.(1)求∠BOE的度数；(2)若BC＝1，求△BCH的面积；(3)求S△CHO∶S△BHE的值．第2题图课时2菱形(建议时间：40分钟)基础过关1．(2019玉林)菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等2．(2019河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°第2题图3．(2019襄阳)如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是()A. 正方形B. 矩形C. 梯形D. 菱形第3题图4．(2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A. 2 2B. 2 5C. 4 2D. 2105．(2019宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A. AC⊥BDB. AB＝ADC. AC＝BDD. ∠ABD＝∠CBD第5题图6．(2019赤峰)如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE 的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 5第6题图7．(2019天津)如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()第7题图A. 5B. 4 3C. 4 5D. 208．(2019永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()第8题图A. 40B. 24C. 20D. 159．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处，且DC′过点P，折痕为DE，则∠CDE的大小为()A．30°B．40°C．45°D．60°第9题图10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，则AB＝______．第10题图11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，点E为AC上一点，若∠CBE＝20°，则∠AED＝________°.第11题图12．(2019广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝________．第12题图13．(2019宿迁)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE ＝DF ＝32.(1)求证：四边形AECF 是菱形； (2)求线段EF 的长．第13题图14．(2020原创)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BD、BC于点E、F、G，连接ED、DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC的长．第14题图15．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若EF＝8，AE＝5，求四边形AECF的面积．第15题图16．(2019北京)如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF .(1)求证：AC ⊥EF ；(2)延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O .若BD ＝4，tan G ＝12，求AO 的长．第16题图能力提升1．如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E 、F 在BD 上．已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE的值为( ) A. 6＋2B. 6－2C.6－22D.6＋22第1题图2．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为4，BE ＝AF ，∠BAD ＝120°，则下列结论正确的个数为( ) ①△BEC ≌△AFC ；②△ECF 为等边三角形； ③∠AGE ＝∠AFC ；④若AF ＝1，则GF EG ＝14.A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图【错误结论纠正】请将错误结论改正确．满分冲关(2019绵阳模拟)如图，点E 、F 、G 分别在菱形ABCD 的边AB 、BC 、AD 上，2AE ＝BE ，2CF ＝BF ，AG ＝13AD ，已知△EFG 的面积等于1，则菱形ABCD 的面积等于________．题图课时3正方形(建议时间：40分钟)基础过关1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有()A. 对角线互相垂直B. 内角和为360°C. 对角线相等D. 对角线平分内角2．(2019河池)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图3．(2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 5第3题图4．如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是()A．45°B．30°C．22.5°D．20°第4题图5．(2018梧州)如图，在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是()A. (－6，2)B. (0，2)C. (2，0)D. (2，2)第5题图6．[人教八下P67第1(3)题改编]如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()第6题图A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°7．(2019兰州)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝()第7题图A. 12B.22C. 3－1D. 2－18．(2019包头)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝60°，则CF 的长是( )A. 3＋14B. 32C. 3－1D. 23第8题图9．(2019菏泽)如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是________．第9题图10．(2019扬州)如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN .若AB ＝7，BE ＝5，则MN ＝________．第10题图11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C 的坐标是________．第11题图12.(数学文化)(2019大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么(a－b)2的值是________．第12题图13．(2019黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.第13题图1．(2018天津)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是()A. ABB. DEC. BDD. AF第1题图2．(2019绍兴)正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积()A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变大D. 保持不变第2题图3．(2019乐山模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC，CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为________．第3题图(2019威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝10 cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒．(1)求证：CE＝EF；(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求△BEF面积的最大值．题图备用图参考答案课时1矩形基础过关1．D2．A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形，故选A .3．A 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，CD ∥AB ，∴∠DBA ＝∠1＝35°，∴∠CBD ＝55°，由折叠性质可知∠C ′BD ＝∠CBD ＝55°，∴∠2＝∠C ′BD －∠DBA ＝20°.4．C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∵ED ＝5，EC ＝3，∴DC 2＝DE 2－CE 2＝25－9＝16，∴DC ＝4，AB ＝4，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAE ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴BE ＝AB ＝4，∴矩形ABCD 的周长为2(4＋3＋4)＝22.5．D 【解析】∵矩形ABCD 中，A (－2，0)，B (2，0)，C (2，2)，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝2，∵将AB 绕点A 旋转，使点B 落在边CD 上的点E 处，∴AE ＝AB ＝4，∴DE ＝AE 2－AD 2＝23，∴点E 坐标为(23－2，2)．6．C 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝OB ，∵∠EAD ＝3∠BAE ，∴4∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝22.5°，∵AE ⊥BD ，∴∠ABE ＝90°－∠BAE ＝67.5°，∴∠BAO ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°.7．C 【解析】∵点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OE ∥AB ，∴OE ＝12CD ＝12AB ＝3，点E 为AD 中点，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求得BE ＝213.在Rt △ABC 中，利用勾股定理求得AC ＝10.∴BO ＝OC ＝12AC ＝5.△BOE 的周长为5＋3＋213＝8＋213.8．C 【解析】如解图，作PM ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，则四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ，∴S 矩形DFPM ＝S 矩形BEPN ，∴S △DFP ＝S △PBE ＝12×2×8＝8，∴S 阴影＝8＋8＝16.第8题解图9．16 【解析】∵M 、N 分别为BC 、OC 的中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴OB ＝2MN ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝2OB ＝16.10．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝OB ＝OD ，且AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵AB＝4，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝8，则BC＝43，∴S四边形ABCD＝4×43＝16 3.11．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形.12．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF，∴∠ABC＝∠DEF.∴∠DEF＝∠ACB.即△OEC为等腰三角形；(2)解：如解图，当E为BC中点时，四边形AECD为矩形．理由如下：∵AB＝AC，且E为BC的中点，∴AE ⊥BC ，BE ＝EC ， ∵△ABC 平移得到△DEF ， ∴BE ∥AD ，BE ＝AD ， ∴AD ∥EC ，AD ＝EC ， ∴四边形AECD 为平行四边形， 又∵AE ⊥BC ，∴四边形AECD 为矩形．第12题解图能力提升1．D 【解析】如解图，当B 、E 重合时，α最小，∵在△BMF 和△DMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BMF ＝∠DMC ，∠F ＝∠C ，BF ＝DC ，∴△BMF ≌△DMC (AAS)，∴BM ＝DM ，设FM ＝x ，则DM ＝BM ＝8－x ，在Rt △BFM 中，由勾股定理得22＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝154，∴tan α＝BF FM ＝2154＝815.第1题解图2．210－2 【解析】如解图，∵AE ⊥BE ，∴点E 在以AB 为直径的半圆⊙上，连接CO 交⊙O 于点E ′，∴当点E 落在OC 上时，即点E 在E ′处，线段CE 取得最小值，∵AB ＝4，∴OA ＝OB ＝OE ′＝2.∵BC＝6，∴OC ＝BC 2＋OB 2＝62＋22＝210，则CE ′＝OC －OE ′＝210－2.第2题解图满分冲关1．C 【解析】①∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC ＝AF CF ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD ＝12BC ，∴AF CF ＝12，∴CF ＝2AF ，故①错误；②如解图①，过点D 作DM ∥BE 交AC 于点N ，交BC 于点M ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF ＝DC ，∴AB ＝DF ，故②正确；③∵BE ⊥AC ，∠BAD ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，而∠BAE ＝∠ADC ＝90°，∴△BAE ∽△ADC ，∴ABAE ＝AD CD ，∴AE ×AD ＝AB ×CD ，∴12BC ×BC ＝AB 2，∴AB 2＝12BC 2，∴AB ＝22BC ，∵AB ＝DF ，∴DF ＝22BC ，故③正确；④如解图②，连接CE ，由△AEF ∽△CBF ，可得EF BF ＝AF CF ＝12，设△AEF 的面积为s ，则△ABF的面积为2s ，△CEF 的面积为2s ，∴△ACE 的面积为3s ，∵E 是AD 的中点，∴△CDE 的面积为3s ，∴四边形CDEF 的面积为5s ，∴S 四边形CDEF ＝52S △ABF ，故④正确．图①图②第1题解图2．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴∠DCE ＝∠BEC ， ∵CE 平分∠BCD ， ∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°， ∴∠BCE ＝∠BEC ＝45°， ∴BE ＝BC ，∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ， ∴∠BOC ＝60°，∠OBA ＝30°， ∵∠BOC ＝60°，BO ＝CO ， ∴△BOC 是等边三角形， ∴BC ＝BO ＝BE ，且∠OBA ＝30°， ∴∠BOE ＝75°；(2)如解图①，过点H 作FH ⊥BC 于F ， ∵△BOC 是等边三角形， ∴∠FBH ＝60°，FH ⊥BC ， ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF ， ∵∠BCE ＝45°，FH ⊥BC ， ∴CF ＝FH ＝3BF ， ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1， ∴BF ＝3－12， ∴FH ＝3－32，∴S △BCH ＝12×BC ×FH ＝3－34；第2题解图①(3)如解图②，过点C作CN⊥BO于N，∵△BOC是等边三角形，∴∠FBH＝60°，FH⊥BC，∴BH＝2BF，FH＝3BF，∵∠BCE＝45°，FH⊥BC，∴CF＝FH＝3BF，∴BC＝3BF＋BF＝BO＝BE，∴OH＝OB－BH＝3BF－BF，∵∠CBN＝60°，CN⊥BO，∴CN＝32BC＝3＋32BF，∵S△CHO∶S△BHE＝12×OH×CN∶12×BE×BF，∴S△CHO∶S△BHE＝3－32.第2题解图②课时2 菱 形基础过关1．D 【解析】菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，其对角线互相垂直且平分，但不一定相等． 2．D 【解析】根据菱形的性质可知：∠DAB ＝180°－∠D ＝30°，∠1＝12∠DAB ＝15°.3．D4．C 【解析】∵菱形的对角线互相垂直且平分，∴另一条对角线长为2×32－1＝4 2.5．C 【解析】∵四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，当AB ＝AD 或AC ⊥BD 时，均可判定四边形ABCD 是菱形；当AC ＝BD 时，可判定四边形ABCD 是矩形；当∠ABD ＝∠CBD 时，由AD ∥BC 得∠CBD ＝∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．6．A 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝5，∠COD ＝90°.在Rt △COD 中，OE 是CD 边上的中线，∴OE ＝12CD ＝2.5.7．C 【解析】∵A (2，0)，B (0，1)，∴OA ＝2，OB ＝1，在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝22＋12＝5，∵四边形ABCD 为菱形，∴菱形ABCD 的周长为4AB ＝4 5.8．B 【解析】∵AB ＝AD ，点O 是BD 的中点，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝∠DAO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO ＝12BD ＝4，∴AO ＝3，∴AC ＝6，∴四边形ABCD 的面积为12×6×8＝24.9．C 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB .∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵P 为AB 中点，∴∠ADP ＝12∠ADB ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠ADC ＝120°.∴∠CDP ＝90°.由折叠的性质可知，∠CDE ＝∠C ′DE ＝12∠CDP ＝45°.第9题解图10．4 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∠ACD ＝30°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝2∠ACD ＝60°，AB ＝AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝4.11．70 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝100°，∴∠ACD ＝12∠BCD ＝50°，在△BCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCE ＝∠DCE CE ＝CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠CDE ＝∠CBE ＝20°，∴∠AED ＝∠ACD＋∠CDE ＝70°.12.245 【解析】∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×AC ×8＝24，∴AC ＝6，∴OC ＝12AC ＝3，∴BC ＝42＋32＝5.∵BC ·AH ＝OB ·AC ，∴AH ＝245.13．(1)证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF ，AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵BE ＝DF ＝32，AB ＝4，∴AE ＝AB －BE ＝52.在Rt △BCE 中，CE 2＝BE 2＋BC 2， ∴CE 2＝(32)2＋22，∴CE ＝52，∴CE ＝AE .∴平行四边形AECF 是菱形；(2)解：如解图，连接AC ，交EF 于点O ， ∵在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝2， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝2 5. ∵AC ·EF ·12＝AE ·BC ，∴25×EF ×12＝52×2，∴EF ＝ 5.第13题解图14．解：(1)四边形EBGD 是菱形． 理由：∵EG 垂直平分BD ， ∴EB ＝ED ，GB ＝GD ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∵BD 平分∠ABC ， ∵∠EBD ＝∠DBC ， ∴∠EDF ＝∠GBF ， 在△EFD 和△GFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDF ＝∠GBF DF ＝BF ∠EFD ＝∠GFB， ∴△EFD ≌△GFB (ASA)，∴ED ＝BG ，∴BE ＝ED ＝DG ＝GB ， ∴四边形EBGD 是菱形； (2)如解图，作DH ⊥BC 于H .∵四边形EBGD 为菱形，ED ＝DG ＝2，∠ABC ＝30°，∴∠DGH ＝30°， ∴DH ＝1，GH ＝3， ∵∠C ＝45°， ∴DH ＝CH ＝1， ∴GC ＝GH ＋CH ＝1＋ 3.第14题解图15．(1)证明：∵AB ∥DC ， ∴∠FCO ＝∠EAO . 在△CFO 和△AEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FCO ＝∠EAO OC ＝OA ∠FOC ＝∠EOA， ∴△CFO ≌△AEO (ASA)， ∴OF ＝OE ， 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解：∵四边形AECF 是菱形，EF ＝8， ∴OE ＝12EF ＝12×8＝4，又∵在Rt △AEO 中，AE ＝5，∴由勾股定理得OA ＝AE 2－OE 2＝52－42＝3， ∴AC ＝2AO ＝2×3＝6，∴S 菱形AECF ＝12EF ·AC ＝12×8×6＝24.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ， ∴∠BAC ＝∠DAC . ∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴AB －BE ＝AD －DF ，即AE ＝AF . ∴△AEF 是等腰三角形． 又∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴AC ⊥EF ；(2)解：由题意作图如解图， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，OB ＝12BD ＝12×4＝2.∴∠G ＝∠AEG . 由(1)知EF ⊥AC . 又∵BD ⊥AC . ∴EF ∥BD .∴∠AEG ＝∠ABO . ∴∠G ＝∠ABO . ∵tan G ＝12，∴tan ∠ABO ＝AO OB ＝12.∴AO ＝OB ·tan ∠ABO ＝2×12＝1.第16题解图能力提升1．D 【解析】如解图，过点E 作EN ⊥AB 于点N ，连接AC ，∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E 、F 在BD 上，∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，∴∠ABD ＝30°，∠EAC ＝15°，∠BAC ＝60°，∠BAE ＝45°，设AN ＝x ，则NE ＝x ，AE ＝2x ，BN ＝NE tan 30°＝3x ，∴AB AE ＝x ＋3x2x＝6＋22.第1题解图2．C 【解析】在菱形ABCD 中，∵AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝60°.∴△BAC 为等边三角形．∴CB ＝CA ，∠CBA ＝∠CAD .又∵BE ＝AF ，∴△BEC ≌△AFC (SAS)．故①正确；由①得．CE ＝CF ，∠BCE ＝∠ACF .∴∠ECF ＝∠BCA ＝60°.∴△ECF 为等边三角形．故②正确；∴∠CFG ＝∠CAE ＝60°.∴∠CGF ＝∠AFC .又∵∠AGE ＝∠CGF ，∴∠AGE ＝∠AFC .故③正确；由③得：△AGE ∽△BEC 由△AGE ∽△BEC 可知：AE BC ＝AG BE ＝EG EC ＝34，∴EG ＝34EC ＝34EF .∴GF EG ＝13.故④错误．满分冲关92 【解析】如解图，在CD 上截取一点H ，使得CH ＝13CD ，连接AC 、BD 相交于点O ，BD 交EF 于点Q ，EG 交AC 于点P ，∵AE AB ＝AG AD ＝13，∴EG ∥BD ，同法可证：FH ∥BD ，∴EG ∥FH ，同法可证：EF ∥GH ，∴四边形EFHG 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥EG ，∴四边形EFHG 是矩形，易证点O 在线段FG 上，四边形EQOP 是矩形，∵S △EFG ＝1，∴S 矩形EQOP＝12，即OP ·OQ ＝12，∵OP ∶OA ＝BE ∶AB ＝2∶3，∴OA ＝32OP ，同法可证OB ＝3OQ ，∴S菱形ABCD＝12·AC ·BD ＝12×3OP ×6OQ ＝9OP ×OQ ＝92.解图课时3正方形基础过关1．C【解析】逐项分析如下：2.C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵BE＝CF，∠ABE＝∠BCF，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，∴∠BFC＝∠AEB.∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC＝∠AEB.∴与∠AEB相等的角有3个．3. B【解析】∵EC＝2，EB＝1，∠B＝90°，利用勾股定理可得BC＝3，则正方形ABCD的面积为(3)2＝3.4．C【解析】在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE ＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.5．B【解析】根据正方形的性质结合题图可知，点D的坐标为(－3，2)，将正方形ABCD向右平移3个单位，根据平移的规律，可得平移后点D的坐标是(0，2)．6．C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°＋15°＝60°.7．D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝∠DCM＝45°，BC＝CD＝ 2.∴AC＝BD＝2.∴OC ＝1.由折叠的性质知，DE＝CD＝2，CF＝EF，∴BE＝2－2，∠DFC＝90°，∴∠CDM＋∠DCE＝90°.又∠BCE＋∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠CDM.∴△BCE≌△CDM.∴BE＝CM＝2－ 2.∴OM＝OC－CM＝1－(2－2)＝2－1.8．C【解析】如解图，连接EF.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠ABE＝∠ADF＝90°，又∵AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌△Rt △ADF (HL)．∴BE ＝DF ，∴EC ＝FC ，设EC ＝FC ＝x ，则BE ＝1－x ，∴AE ＝AF ＝1＋（1－x ）2＝x 2－2x ＋2.∵∠EAF ＝60°，AE ＝AF ，∴△EAF 为等边三角形，∴EF ＝AE ＝AF ＝x 2－2x ＋2.∴EF EC ＝x 2－2x ＋2x＝2，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去)．∴CF 的长为3－1.第8题解图9．85 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴CD ＝AD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°，BD ⊥AC .∵AE ＝CF , ∴△DAE ≌△DCF (SAS), ∴DE ＝DF ，同理可证：DE ＝BE ，BE ＝BF ，∴四边形BEDF 是菱形，∵AC ＝8，AO ＝OD ，AE ＝2，∴OE ＝2，OD ＝4，∴DE ＝OD 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∴四边形BEDF 的周长为4DE ＝8 5.第9题解图10.132 【解析】 如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG ＝5＋7＝12，∴CF＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第10题解图11．(1，－1) 【解析】如解图，连接AC .∵四边形OABC 是正方形，∴点A 、C 关于x 轴对称，∴AC 所在直线为OB 的垂直平分线，即A 、C 的横坐标均为1，根据正方形对角线相等的性质，AC ＝BO ＝2，又∵A 、C 关于x 轴对称，∴A 点纵坐标为1，C 点纵坐标为－1，故C 点坐标(1，－1)，第11题解图12．1 【解析】设大正方形的边长为c ，∵大正方形的面积是13，∴c 2＝13，∴a 2＋b 2＝c 2＝13，∵直角三角形的面积是13－14＝3，又∵直角三角形的面积是12ab ＝3，∴ab ＝6，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2ab ＝13－2×6＝1.13．证明：∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝AFB ＝90°，∠ABF ＋∠F AB ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AB ＋∠DAG ＝90° ，AB ＝AD ， ∴∠DAG ＝∠ABF ，∠DGA ＝∠AFB . 在△DAG 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠AFB ∠DAG ＝∠ABF ，AD ＝AB∴△DAG ≌△ABF (AAS)， ∴AF ＝DG , BF ＝AG ， ∴FG ＝AG －AF ＝BF －DG ， ∴BF －DG ＝FG .能力提升1．D 【解析】如解图，连接CE 交BD 于点P ，则P 即为所求点. ∵四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，∴点A 关于BD 的对称点为C ，AP ＋EP 的最小值为CE . 又∵AD ∥BC ，AE ＝CF ，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝CE , ∴AP ＋EP 的最小值为AF .第1题解图2．D 【解析】如解图，连接DE ，∵在正方形ABCD 中，S △DEC ＝12AD ·CD ＝12S 正方形ABCD ，在矩形ECFG中，S △DEC ＝12EC ·GE ＝12S 矩形ECFG .而点E 从点A 移动到点B 的过程中，△DEC 的面积保持不变，∴矩形ECFG的面积保持不变．第2题解图3．6－25 【解析】如解图，延长AF 交DC 的延长线于点H .∵点E 是CD 的中点，∴CE ＝DE ＝12×4＝2，由勾股定理得AE ＝42＋22＝2 5.∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝∠EAF .∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠H ，∴∠EAF ＝∠H ，∴EH ＝AE ，∴CH ＝25－2.∵AB ∥CD ，∴△HCF ∽△ABF ，∴CF BF ＝CH BA ，即CF BC －CF ＝CHBA ，∴CF4－CF＝25－24，解得CF ＝6－2 5.第3题解图4.5－1 【解析】在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABC ＝∠BCD BE ＝CF，∴△ABE ≌△BCF (SAS)，∴∠BAE ＝∠CBF ，∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∴点G在以AB为直径的圆上，如解图，连接OG，当O、G、D在同一直线上时，DG有最小值，∵在正方形ABCD中，AD＝BC＝2，∴AO＝1＝OG，∴OD＝AD2＋AO2＝22＋12＝5，∴DG＝5－1.第4题解图满分冲关(1)证明：如解图，过点E分别作AB、BC的垂线，垂足分别为点G、H，则四边形GBHE为矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC.∵BD是对角线，∴BD所在直线是正方形的对称轴，∴CE＝AE，EG＝EH，∴四边形GBHE为正方形．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠GEH＝90°.∵∠AEG＋∠GEF＝90°，∠FEH＋∠GEF＝90°，∴∠AEG＝∠FEH.∵∠AGE＝∠FHE＝90°，∴△AGE≌△FHE(ASA)，∴AE＝EF，∴CE＝EF；解图(2)解：∵EF ＝EC ，EH ⊥BC ， ∴FH ＝HC .∵△EHB 是等腰直角三角形，BE ＝2x ， ∴EH ＝BH ＝2x ，∴HC ＝10－2x ， ∴FH ＝HC ＝10－2x ， ∴FB ＝10－22x ，∴y ＝12×(10－22x )×2x ＝－2x 2＋52x (0≤x ≤52)；(3)解：∵y ＝－2x 2＋52x ＝－2(x －524)＋254(0≤x ≤52)，a ＝－2＜0，∵x ＝524<52，∴当x ＝524时，y 有最大值，y 的最大值为0－（52）24×（－2）＝254，即△BEF 面积的最大值为254cm 2.。
2020届中考数学一轮复习新突破(人教通用版)第24课时 矩形、菱形
矩形、菱形
1
考点聚焦
考边形叫做矩形 (1)矩形具有平行四边形的所有性质 (2)矩形的四个角都是② 直角 ,对角线互相平分并且③ 相等 (3)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;又是中心对称图形,它的对称中 心就是④ 对角线的交点
2
(1)定义法 判定 (2)有三个角是直角的四边形是矩形
∵AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
13
1. [2019·云南]如图24-6,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC, BO=OD,且∠AOB=2∠OAD. (2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.
(2)设∠AOB=4x,则∠ODC=3x,∠ODC=∠OCD=3x. 在△ODC中,∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°, ∴4x+3x+3x=180°,解得x=18°. ∴∠ODC=3×18°=54°. ∴∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°.
所以 AC=AB=6 m.BD=2 62-32=6 3(m).
(3)菱形花坛 ABCD 的面积是1AC·BD=1×6×6 3=18 3(m2).
2
2
18
| 考向精练 |
1. [2019·泸州]一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之
和为 ( )
A.8
B.12
C.16
D.32
19
图23-10
∴AE=ED=EG,∠EGC=∠D=90°,又 EC=EC,∴△EGC≌△EDC,∴GC=CD=AB=3 6,
设 AF=GF=x,∴FB=3 6-x,在 Rt△FBC 中,FB2+BC2=FC2,即(3 6-x)2+122=(x+3 6)2,
中考数学一轮复习 第24课 矩形、菱形与正方形课件
解解 ((11))证证明明：：∵∵四四边边形形AABBCCDD为为正正方方形形，，
∴∴∠∠BB＝＝∠∠DD＝＝9900°°，，AABB＝＝AADD，，
∵∵△△AAEEFF是是等等边边三三角角形形，，∴∴AAEE＝＝AAFF，，
∴∴RRtt△△AABBEE≌≌RRtt△△AADDFF((HHLL))，，∴∴BBEE＝＝DDFF，，
∵∵BBCC＝＝CCDD，，∴∴CCEE＝＝CCFF..
((22))在在RRtt△△AAGGEE中中，，CCEE＝＝CCFF＝＝22××ssiinn4455°°＝＝ 22..
解 (1)证明：在正方形 ABCD 中OB：C＝在4正5°方.形 ABCD 中，
A∵O∠＝BAOO，E＋∠∠AOEOBB＝＝9090°°，，∠∠OABBO＝F＋∠∠OEBOCB＝＝4950°°.，
∵ ∴∠ ∠AAOOEE＋ ＝∠ ∠EBOOBF＝. 90°，∠BOF＋∠EOB＝90°，
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一个防范
在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形” 还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判 定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条 件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法．
三种联系
(1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对 角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需 有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形．
解 (1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∵AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°， ∵在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点， ∴AM＝12AD，CN＝12BC，∴AM＝CN，
AB＝CD， 在△MAB≌△NCD 中，∠A＝∠C＝90°，
数学初三中考(浙教版)教材基础复习篇 第24课
∴∠DEF=90°, ∴∠DEM+∠FEN=90°,∴∠EDM=∠FEN, 在△DME和△ENF中,
EDM FEN, DM EN, DME ENF,
∴△DME≌△ENF(ASA),∴EF=DE;
(2)由(1)知,△DME≌△ENF,∴ME=NF,
∵四边形MNBC是矩形,∴MC=BN,
又∵ME=MC,AB=4,AF=2,∴BN=MC=NF=1,∵∠EMC=90°2,∴CE= ,
A.2 B. 5 C.3 D.4
2
3.(2020·广东)如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于 1 AB的长为半径,分别
2
以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图
所示),连接BE,BD,则∠EBD的度数为___4_5_°____.
4.(2020·江苏)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件: ___A_B_=_B_C_(_答__案__不__唯__一__)___,使▱ABCD是菱形.
8
矩1 形ABCD的面积,
8
变式2.(2020·广州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O 作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,求OE+EF的值.
【解析】∵四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8, ∴AC=BD,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°, AD=BC=8,DC=AB=6, ∴AC= AB2 B=C120,BD=10, ∴OA=1 AC=5,
∵AF∥CD,∴△DGC∽△FGA, CD CG ,
AF AG
∴ 4 CG ,
2 AG
∵AB=BC=4,∠B=90°,∴AC=42 ,
2025年广西九年级中考数学一轮复习考点过关课件：矩形、菱形和正方形
3
①连接EF，则EF的长为___；
②连接DF，则DF的长为_____；
3 3
18 3
(4)菱形ABCD的面积为_____.
知识点3
正方形的性质及判定(广西2024.12；2023.18；北部湾2022.18)
定义 有一个角是⑳______，且有一组邻边
直角
相等
(理解) ㉑______的平行四边形叫做正方形
(运用)
对角
线
相等
对角线㉕______且互相垂直平
AC⊥BD，OA＝OC，
分，每一条对角线平分一组㉖
OB＝OD，∠DAC＝
对角
______
∠BAC，∠DCA＝
∠BCA，∠ADB＝
∠CDB，∠ABD＝∠CBD
它既是中心对称图形，也是轴对称图形，有㉗___
4
对称性
性质
条对称轴，两条对称轴是两条对角线所在的直
角
直角
四个角都是③______
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA
＝∠DAB＝90°
∵四边形ABCD是矩形，
相等
对角线 对角线④______，且互相平分
∴AC＝BD，OA＝OC＝OB
＝OD
既是轴对称图形，也是中心对称图形，
对称性
2
矩形(不含正方形)有⑤___条对称轴，
－
其对称轴为两组对边的垂直平分线，
对称中心是两条对角线的交点
【判定依据】__________________________________________.
∠BAD＝90 °(答案不唯一)
(3)若四边形ABCD为菱形，请添加一个条件：______________________，
中考数学复习 第一部分 考点研究 第五单元 四边形 第24课时 矩形、菱形、正方形课件
正
方 形
性 质
对 角
线
互相16 垂__直___平__分_
且相等，即
AC⊥BD AC平分BD,BD平分AC
AC=BD
平分一组对 ∠DAC=∠CAB=45°,∠DCA=∠ACB=45°
角，即
∠ADB=∠BDC=45°,∠ABD=∠DBC=45°
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有17__4_条
对称轴
菱判
形 定 对角线12__互__相__垂__直___ 平行四边形ABCD 四边形ABCD
的平行四边形是菱形，
13
__A_C_⊥__B__D_
是菱形
即
1
面积：S＝ 14 __2__m_n__(m,n分别表示两条对角线的长)
边：四条边 15 _相__等___，即AB=BC=CD=AD；对边平行，即
AB∥CD,AD∥BC 角：四个角都是直角，即∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°
BG⊥AE于点G，延长BG至点F使∠CFB＝45°.
(1)求证：AG＝FG；
【思维教练】过点C作CH⊥FB，要证明AG＝FG，
可通过证明△AGB≌△BHC，得AG＝BH，
再通过等腰直角三角形的性质及等量代换
得BG＝FH，最终得到AG＝FG.
例4题图
(1)证明：如解图①，过C点CH⊥BF于H点， ∵∠CFB＝45° ∴CH＝HF， ∵∠ABG＋∠BAG＝90°，∠FBE＋∠ABG＝90° ∴∠BAG＝∠FBE， ∵AG⊥BF，CH⊥BF， ∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
解：如解图，∵CH⊥GF，∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，∴CH＝12
GM，∴BG＝
1 2
GM，
2024年数学九年级一轮复习矩形、菱形、正方形课件
若四边形ABCD是菱形,请完成下列问题:
3
3
(1)若AB=3,则BC=
,CD=
;
2 ;
2
(2)若AC=4,则AO=
,OC=
(3)若∠ABD=30°,则∠CBD= 30° ,∠BAD= 120° ,∠BAO= 60° ;
是
是
(4)菱形
中心对称图形,
轴对称图形(选填“是”
或“不是”);
(5)若菱形的边长为2,∠ABC=60°,则对角线AC的长是 2 ;
[例4] 如图所示,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD
沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则
DP的长度为 2 .
本题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理,解决
本题的关键是掌握翻折的性质.
[变式] 如图所示,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 BC,CD 的
且△GFH与△AFH等高,
∴GH∶AH=2∶3.
由题意,知AG=GH+AH=AB=20,
∴GH=8,AH=12.∴AD=AH=12.
(3)求tan∠GFH的值.
(3)利用勾股定理列出方程,便可求出HF的值,最后解直
角三角形计算出tan∠GFH的值.
(3)解:在 Rt△ADG 中,DG= -= - =16.
个选项中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已
知条件,使▱ABCD为矩形.
本题考查矩形的判定,全等三角形的判定和性质,掌握平
行四边形的性质和矩形的判定方法(有一个角是直角的平行四边形是
矩形)是解题关键.
(1)你添加的条件是
2024年九年级中考数学一轮复习课件 第5章 第2节 矩形、菱形与正方形
(2)解：∵四边形 ADBF 是菱形，∴菱形 ADBF 的面积＝2△ABD 的 面积．∵点 D 是 BC 的中点，∴△ABC 的面积＝2△ABD 的面积，∴菱 形 ADBF 的面积＝△ABC 的面积＝40，∴12AB·AC＝40，∴12×8·AC＝40， ∴AC＝10，∴AC 的长为 10.
考点 与正方形有关的证明与计算 9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个
矩 正方形的性 形、 质及判定
面积计算公式：S＝边长2＝12×对角线2，
菱 形 与 正
即S＝a2＝12n2（其中a为正方形的边长，
n为正方形的对角线长）
方
形 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：
当堂练习：
1．如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度
数是 A．40°
( C)
(D ) A．当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B．当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD＝PM时，t＝4 s D．当CD＝PM时，t＝4 s或6 s
4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P 处，折痕为EF.
(1)求证：△PDE≌△CDF； (2)若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长．
2．在下列条件中，能够判定□ABCD为矩形的是
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
(D )
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC ＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出 发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点 同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是
2024年湖南省中考数学第一轮复习课件第二十二讲矩形菱形正方形
BC=4,AB=3,则OB的长为____2 __.
【思路点拨】根据勾股定理得出AC,进而利用矩形的性质解答即可.
【方法技巧】 应用转化思想解决矩形问题
以矩形为背景的题目,易出现全等三角形、等腰三角形以及直角三角形,要充分 应用转化思想,根据三角形的有关知识解决问题. 提醒:矩形一条对角线分得一对全等的直角三角形,两条对角线分得两对全等的 等腰三角形.
【对点练习】 2.(1)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是 ( B )
A.AB∥DC
B.AB=BD
C.AC⊥BD
(2)下列条件中,能判定四边形是菱形的是 ( C )
A.对角线相等的平行四边形
B.对角线互相垂直且相等的四边形
C.对角线互相平分且垂直的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
(1)有一组邻边___相__等_____并且有一个角是___直__角_____的平行四边形. 判 (2)有一组邻边___相__等_____的矩形. 定 (3)有一个角是___直__角_____的菱形.
(4)对角线相等且垂直的平行四边形.
【对点练习】
3.(1)如图,在正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,连接AE,
CE,∠BCE=70°,则∠EAD为 ( C)
A.10°
B.15°
C.20°
D.30°
(2)已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是
正方形,那么这个条件可以是___A__B_=_A__D_或__A_C__⊥__B_D_等_____.
高频考点·释疑难 考点1 矩形的性质与判定 【例1】(2023·株洲模拟)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知
2024河南中考数学一轮知识点复习专题 矩形、菱形和正方形 课件
角
对称性
面积和周长
既是中心对 面积 = ⑭____ =
称图形，又 ⑮____，周长
=
是轴对称图 ⑯____（
表示边
4 长, 表示对角线的
形,有⑬___
条对称轴.
长）.
考点2 矩形、菱形和正方形的判定 重点
1.矩形的判定
直角
相等
直角
2.菱形的判定
相等
垂直
相等
3.正方形的判定
【思路点拨】 当 = 时，点 与点 重合，此时点 与点 也重合，
不合题意，故可分 = ， = 两种情况讨论.
例3 如图，在矩形 中， = 8 ， = 5 ，点
平行四边形
（1）四边形 的形状为____________；
菱形
（2）若四边形 是矩形，则四边形 的形状为______；
矩形
（3）若四边形 是菱形，则四边形 的形状为______；
正方形
（4）若四边形 是正方形，则四边形 的形状为________.
是轴对称图
（ ， 分别表示
2
形,有③___
矩形的长和宽）.
条对称轴.
续表
名称
图形
边
角
对边
两条对角
平
线互相垂
行、 对
菱形
对角线
四条 角
边都 相
等.
⑥
相
____
__.
等
对称性
面积和周长
既是中心对 面积 = 底×高 =
直⑦
称图形，又 ⑨______（