点到平面的距离的计算
点到平面方程的距离公式
点到平面方程的距离公式点到平面的距离是空间解析几何的重要内容之一、在解决实际问题中经常会遇到求点到平面的距离的情况，例如在建筑设计中，需要确定一根柱子与地面的距离，或者在机械制造中，需要确定一台机器与地面的距离。
本文将详细讨论点到平面的距离的公式及其推导。
平面方程的标准形式为Ax+By+Cz+D=0。
其中A、B、C为平面的法向量分量，(x,y,z)为平面上的任意一点。
为求点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。
首先，任意一点P(x0,y0,z0)到平面的距离可以看作是该点到平面上一点Q(x,y,z)的距离的最小值。
我们设距离最小值对应的点为Q(x,y,z)。
由点到平面的距离定义可知，点Q到平面Ax+By+Cz+D=0的距离等于点到平面的垂直距离。
也就是说，Q点与平面的法向量垂直。
知道了Q点与平面的法向量垂直，在解决问题中，我们经常会利用向量的内积关系来求解。
设平面的法向量为n，平面上一点为M(x,y,z)，则点P到平面的垂直距离等于两个向量nP和PQ的内积除以向量nP的模长。
表示为:d=，nP·PQ，/，nP其中，点P到平面的垂直距离就是d，向量nP是平面的法向量，向量PQ是向量nP的投影。
接下来，我们将推导点到平面的距离公式。
首先，根据平面的法向量分量，可以得到平面的法向量为n=(A,B,C)。
设平面上任一点为M(x,y,z)，点P为P(x0,y0,z0)。
平面的法向量与向量PQ垂直，可以得到两个向量的内积为0，即:nP·P Q=0将向量nP和PQ展开，可以得到:(A,B,C)·(x-x0,y-y0,z-z0)=0展开后整理得到:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0通过整理，可以得到:Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0由平面的标准形式可知:Ax+By+Cz+D=0其中D=-(Ax0+By0+Cz0)将其代入上式中，可以得到:Ax+By+Cz=D这是平面的方程。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本）中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离,求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ,作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ，易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝，ＰＮ＝,由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ,得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ—ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ,交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，Ａ求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题,概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离,延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ，作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ,则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ,易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝,ＰＮ＝，由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ，得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．(１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α,Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ,易知ＢＰ＝,这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２,ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/,于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝· ＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ,易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝,ＥＢ＝２,所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝（１/４）Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ,求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ,Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ,交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关,所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝,Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２３，得ｄ＝为所求之距离．。
点到平面的距离公式高等数学
点到平面的距离公式高等数学点到平面的距离公式是高等数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍点到平面的距离公式的定义、推导过程和应用，并深入探讨其背后的数学原理和几何意义。
一、点到平面的距离公式的定义点到平面的距离公式是指，给定一个点P和一个平面Π，求点P 到平面Π的距离d。
这个距离可以看作是点P到平面Π上最近点的距离。
点到平面的距离公式可以用下面的公式表示：d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a + b + c)其中，(x0, y0, z0)是平面上的一个点，a、b、c是平面的法向量的三个分量，d是平面的截距。
二、点到平面的距离公式的推导过程点到平面的距离公式的推导过程比较复杂，需要使用向量的知识和线性代数的基本概念。
下面我们来简单介绍一下推导的过程。
首先，我们可以将点P到平面Π的距离d看作是点P到平面Π上的某个点Q的距离。
因此，我们需要求出平面Π上的点Q，然后再计算点P到点Q的距离。
为了求出平面Π上的点Q，我们可以使用平面的法向量a、b、c。
假设点Q的坐标为(x, y, z)，那么点Q到平面Π的距离为：d = |ax + by + cz + d| / √(a + b + c)为了使d最小，我们需要让点Q到点P的向量和平面的法向量垂直，即：(PQ)·(a, b, c) = 0其中，(PQ)表示向量PQ的点乘积。
将向量PQ表示为(x-x0, y-y0, z-z0)，并代入上式，我们可以得到：a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0将这个式子化简一下，得到：ax + by + cz + d = 0这个式子就是平面Π的方程。
因此，平面Π上的点Q的坐标为： x = x0 - (ad + bx0 + cy0 + dz0) / (a + b + c)y = y0 - (bd + ay0 + cz0 + dz0) / (a + b + c)z = z0 - (cd + az0 + by0 + dz0) / (a + b + c) 将这个点代入点P到点Q的距离公式中，我们就可以得到点到平面的距离公式。
点到平面的距离公式立体几何
点到平面的距离公式立体几何
点到平面的距离公式是立体几何中常用的公式之一，用于计
算点与平面之间的最短距离。
在三维空间中，假设平面的方程
为Ax+By+Cz+D=0，点的坐标为P(x1,y1,z1)。
点到平面的距离公式可以通过以下步骤来推导：
1.首先，我们需要计算点P在平面上的投影点Q的坐标。
平面上的任意一点Q(x2,y2,z2)满足方程Ax2+By2+Cz2+D=0。
通过代入点P的坐标，我们可以求解出平面上的投影点Q的坐标。
2.接下来，我们可以计算点P与投影点Q的距离。
两点之间的距离计算公式为：
距离=√((x1x2)²+(y1y2)²+(z1z2)²)
将点P和投影点Q的坐标代入该公式，即可计算出点P到平面的最短距离。
请注意，如果平面方程中的系数A、B、C已经是单位向量，则方程可以简化为D=AxByCz，此时点到平面的距离公式为：
距离=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)
这就是点到平面的距离公式的推导过程。
这个公式在计算点
与平面的距离时非常有用，可以在立体几何问题中发挥重要作用。
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法点到平面的距离是空间几何中一个重要的概念，它对于解决一些实际问题以及理论研究都有着重要的意义。
在本文中，我将介绍点到平面距离的基本方法，包括数学公式的推导、几何解法、向量法和线代法等。
首先，我们考虑三维空间中的一个平面，假设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C和D为常数，并且平面上有一点P(x0,y0,z0)。
我们的目标是求点P到平面的距离。
一、数学公式的推导为了推导出点到平面距离的公式，我们可以利用向量的知识。
首先，设平面上任意一点Q(x,y,z)，则该点到平面的距离为点PQ的长度。
由于平面上的点Q一定满足平面方程，将Q的坐标代入平面方程可得：Ax+By+Cz+D=0然后，我们用向量表示点P到点Q的向量为向量v=PQ=(x-x0,y-y0,z-z0)。
由向量的点积定义可知，点积v·(A, B, C) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ，其中，v，表示向量v的长度，(A, B, C)，表示向量(A, B, C)的长度，θ表示二者之间的夹角。
将向量v和(A,B,C)的定义代入点积公式可得：(A, B, C)·(x - x0, y - y0, z - z0) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ化简上式得：Ax - Ax0 + By - By0 + Cz - Cz0 = ，v， * (A^2 + B^2 + C^2) * cosθ由于点P和点Q都在平面上，点P到平面的距离与平面的法向量垂直，即θ = 90°，cosθ = 0。
因此，上式最后一项为0。
进一步得到点P到平面的距离公式为：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这就是点到平面的距离的数学公式。
二、几何解法除了数学公式，我们还可以利用几何的方法来求点到平面的距离。
首先，我们可以将平面方程转化为点法式方程，即n·(P-P0)=0，其中n为平面的法向量，P为平面上任意一点的坐标，P0为平面上已知的一点的坐标。
点到空间平面的距离公式
点到空间平面的距离公式
点到空间平面的距离公式是指求一个点到一个平面的最短距离
所使用的公式。
这个公式的推导基于向量的内积和向量的长度，它是： d = |(P - A) · n| / |n|
其中，d 表示点 P 到平面的最短距离，P 是点的坐标，A 是平面上的一点的坐标，n 是平面的法向量。
具体而言，将点 P 到平面的距离向量表示为 h = P - A，那么点 P 到平面的最短距离就是向量 h 在平面法向量上的投影长度。
由于向量的内积公式是 a · b = |a| · |b| · cosθ，其中θ是 a 与 b 的夹角，那么向量 h 在平面法向量上的投影长度就是
|h| · cosθ，其中 cosθ = (h · n) / (|h| · |n|)。
- 1 -。
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
在实际应用中，点到面的距离计算常常用于计算三维模型的碰撞检测、物体运动轨迹的计算等方面。
本文将介绍几种常用的点到面距离计算方法。
一、点到平面的距离公式点到平面的距离公式是最基本的点到面距离计算方法。
假设点P(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有：d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|.|表示绝对值，sqrt(.)表示开方运算。
这个公式的推导可以通过向量的方法得到，具体可以参考相关的线性代数教材。
二、点到三角形的距离计算点到三角形的距离计算是点到面距离计算的一个特例，因为三角形是一个平面图形。
假设点P(x,y,z)到三角形ABC的距离为d，则有：d = |(P-A)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n为三角形ABC的法向量，|.|表示向量的模长。
这个公式的推导也可以通过向量的方法得到。
三、点到网格模型的距离计算在实际应用中，我们通常需要计算点到网格模型的距离，而不是单个平面或三角形的距离。
这个问题可以通过以下步骤解决：1. 遍历网格模型的所有三角形，计算每个三角形到点的距离。
2. 找到距离最小的三角形，将其距离作为点到网格模型的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要遍历整个网格模型，计算量较大。
四、点到包围盒的距离计算包围盒是一个能够完全包含三维模型的最小立方体或最小球体。
点到包围盒的距离计算可以通过以下步骤解决：1. 判断点是否在包围盒内部，如果是，则距离为0。
2. 如果点在包围盒外部，计算点到包围盒各个面的距离。
3. 找到距离最小的面，将其距离作为点到包围盒的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要先计算包围盒，然后再计算点到包围盒的距离。
总结点到面的距离计算是计算机图形学中的一个重要问题，涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
点到平面的距离公式
点到平面的距离公式引言在三维空间中，我们经常会遇到计算点到平面的距离的问题。
这个问题在计算几何、图形学和物理学等领域都有重要的应用。
本文将介绍点到平面的距离公式及其推导过程，并给出常见的应用场景。
点到平面的距离公式推导在三维空间中，平面可以用一个点和与其垂直的法向量来表示。
假设平面上的一个点为P(x1, y1, z1)，平面的法向量为N(n1, n2, n3)，我们要计算点P与平面之间的距离。
首先，我们可以在平面上选取一点A(x, y, z)，它到平面的距离与点P到平面的距离相等。
我们可以通过向量运算得到点A和点P之间的向量PA：PA = P - A = (x1 - x, y1 - y, z1 - z)由于向量PA与平面的法向量N垂直，根据向量的点积运算，我们可以得到：PA · N = 0即：(x1 - x, y1 - y, z1 - z) · (n1, n2, n3) = 0展开上式得到：(n1 * (x1 - x)) + (n2 * (y1 - y)) + (n3 * (z1 - z)) = 0进一步整理得到：n1 * x1 + n2 * y1 + n3 * z1 = n1 * x + n2 * y + n3 * z这个方程描述了平面上任意一点A的坐标满足的条件。
点P到平面的距离可以定义为点P到平面上任意一点A的距离，即：d = |PA|将向量PA代入上式并展开得到：d = |(x1 - x, y1 - y, z1 - z)|根据向量的模运算的定义，可以得到：d = sqrt((x1 - x)^2 + (y1 - y)^2 + (z1 - z)^2)这就是点到平面的距离公式。
应用场景点到平面的距离公式在三维几何计算中有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景。
1. 三维坐标系中的点投影在三维坐标系中，我们经常需要计算一个点在某个平面上的投影。
通过点到平面的距离公式，我们可以计算出距离最近的平面上的点，从而得到点在该平面上的投影坐标。
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预备知识
(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P 向平面α引垂线，垂足为P '，则点P '叫做点P 在平面α上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP '叫作点P 与平面α的垂线段。
图1
(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式
13
V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。
如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面
角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。
在很多时候为了简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。
图2
1 、定义法求点到平面距离(直接法)
定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:
(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
2、转化法求点到平面距离
有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。
转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。
转化法依据主要有以下两点：
(1)若直线l//平面α，则直线l上所有点到平面α的距离均相等。
(2)若直线AB与平面α交于点M，则点A、B到平面α的距离之比为:
AM BM。
特别地，当M为AB中点时，A、B到平面α的距离相等。
3、等体积法求点到平面距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。
先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式13
V Sh 求出点到平面的距离h 。
在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。
特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。
下面用等体积法求解上面例子.
4、利用二面角求点到平面距离
如图8所示，l 为二面角l αβ--的的棱，AOB ∠为二面角l αβ--的一个平面角。
下面考虑点B 到平面α的距离。
作BH OA ⊥，垂足为H ，下面证明BH ⊥平面α。
图8
AOB ∠为二面角l αβ--的一个平面角
∴OA l ⊥、OB l ⊥
又 OA OB O = ∴l ⊥平面AOB
又 BH ⊂平面AOB
∴BH l ⊥
又 BH OA ⊥，=OA l O ，OA ⊂平面α，l ⊂平面α
∴BH ⊥平面α
在Rt OBH ∆中，有
sin BH OB BOH =∠ .....................①
这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。
从而如果能将点与平面置于一个二面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。