2014-2015学年度第一学期期中考试高三数学理科试题
2014-2015学年度第一学期期中考试高三数学理科试题
2014-2015学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合13{|()}xM y y ==，2{|log (1)}N x y x ==-，则M R N =（ ） A ．（0，1） B ．(]0,1 C ．(1,)+∞ D ．（0，+∞）2．若120a b <<<，则（ ）A ．22ab a >B ．22ab b >C ．2log ()1ab >-D ．2log ()2ab <-3．等差数列{}n a 的通项公式是12n a n =-，其前项和为n S ，则数列{}nS n的前11项和为( )A ．－44 (B)－66 C ．－55 D ．554．已知函数2()21(0)f x ax ax a =-+<，若12x x <，120x x +=，则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）A ．1()f x =2()f xB ．1()f x >2()f xC ．1()f x <2()f xD ．与a 的值有关5．抛物线22y x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．98B ．78C ．98-D ．78-6．已知向量a 与b 的夹角为o 60，3a =，13a b +=，则b 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．57．已知m 、n 是两条直线，,,αβγ是三个平面，给出下列四个命题： ①若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ； ②若,,//αγβγαβ⊥⊥则；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若,m α⊥,n β⊥m n ⊥，则αβ⊥.其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④8．设函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，且()21y f x =+的图像过点()1,2，则()131y f x -=-的图像必过点（ ）A ．()1,3B ．()3,1C ．()2,3D ．()2,19．已知(,1)AB k =，(2,4)AC =，若k 为满足||4AB ≤的一随机整数．．，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ）A ． 14B ．12C ．37 D ．3410．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）11．若AB 是过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与坐标轴不平行，1k ，2k 分别为直线AM ，BM 的斜率(其中222c a b =-)，则12k k ⋅=（ ）A ．22c a -B ．22c b -C ．22b a -D ．22a b -12．已知函数3ax y e x =+()a R ∈有大于零的极值点，则( )A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-二、填空题(4×4′=16分)：13．在（51)x 展开式中，1x 的系数是： ；14．抛物线C ：2y x x =-+与直线l ：10x y --=所围成的平面图形的面积是： ；15．过P （－1，2）的直线⎩⎨⎧-=+-=t y tx 4231（t 为参数）与双曲线22(2)1y x --=相交于A 、B 两点，若C 为AB 的中点，则=PC ；E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEABEB BECBED16．曲线2cos ρθ=关于直线4πθ=-对称的曲线方程为 ．三、解答题（满分74分）：17．(12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为,,a b c ，已知角3,A a π==B=x ，ABC ∆的周长为y ． (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求函数()y f x =的值域．18．(12分)一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，从中任取3个，用ξ表示取出的3个球中的最大编号.(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望和方差．19．(12分)直三棱柱111ABC-A B C 中，1AC CC 2,AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC ．（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小； （3）求二面角1A C B A --余弦值的大小．20．(12分)已知中心在原点的双曲线C 的左焦点为)0,2(-，而C 的右准线方程为23=x .（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点)2,0(，斜率为k 的直线与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且满足5OA OB ⋅< （其中O 为原点），求实数k 的取值范围.21．(12分)已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，0,,<∈m R n m（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3，求m 的取值范围.22．(14分)已知函数()20y x x =≥的图象上有一列点()111,P x y ，()222,P x y ，…，(),n n n P x y ，…，以点n P 为圆心的圆n P 与以点n+1P 为圆心的圆n+1P 外切，且均与x 轴相切．若11x =，且1n n x x +<．（1）求数列{}n x 的通项；（2）圆n P 的面积为n S ，n n T S =+，求证：4n T <.高三数学（理科）参考答案一、选择题BDBCD ADACA CB二、填空题13.-80; 14.43; 15.157; 16.2sin ρθ=-三、解答题17.(1)()263)0,y x x ππ=++∈;(2)(y ∈.18.(1)(2) 214E ξ=; 6380D ξ=.19.(1)略; (2)3π ;.20.(1)2213x y -=;(2)(k ∈.21.(1)36n m =+;(2)单调递减区间()()2,1,1,m -∞++∞；单调递增区间()21,1m +； (3)()43,0m ∈-.22.(1)121n x n =-;(2)1n =时，1n T T =<1n >2n ==<=()111111114223141(1)11n n n n T -⎤<+-+-++-=+-⎤⎦⎦。
2014-2015年江苏省南通一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，=．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}，则M∩N=．3．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．4．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n=．5．（5分）函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是．6．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=．7．（5分）已知=．8．（5分）要得到y=sin x的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位．9．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题q：0＜a＜1，则p 是q的．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）10．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f （x+1），则f（2+log23）=．11．（5分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．12．（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有．（填所有正确的序号）（1）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；（2）若f（x）=ax2+2x+1只有一个零点，则a=1；（3）命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；（4）对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）；（5）在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充要条件．13．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．16．（14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．17．（14分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N+，x ≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？18．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若数列{a n}满足：，，令，求数列{b n}的通项公式；（III）对于（Ⅱ）中的数列{a n}，令，求数列{c n}的前n项的和S n．20．（16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（Ⅰ）证明f（x+2kπ）﹣f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f（x0）]2=；（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，a n，…，证明＜a n+1﹣a n＜π（n=1，2，…）．21．（10分）已知函数f（x）=ln（2x﹣e），点P（e，f（e））为函数的图象上一点．（1）求导函数f′（x）的解析式；（2））求f（x）=ln（2x﹣e）在点P（e，f（e））处的切线的方程．22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切．求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值．23．（10分）（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．24．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，=﹣1．【解答】解：=．故答案为：﹣1．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}，则M∩N={x|1＜x＜2} ．【解答】解：∵集合M{x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N={1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．3．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．【解答】解：∵，∴，又，且（+k）∥，∴1×（2+k）+5（﹣1+k）=0，解得：k=．故答案为：．4．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n=．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+1）﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，当n=1时，2n﹣1=1≠a1，∴．答案：．5．（5分）函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，令u（x）=x2﹣2x的减区间为（﹣∞，1）∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）故答案：（﹣∞，0）6．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．7．（5分）已知=﹣．【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．8．（5分）要得到y=sin x的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位．【解答】解：将函数y=sin（）的图象向左最少平移单位，可得y=sin[（x+）﹣]=sin x的图象，故答案为：．9．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题q：0＜a＜1，则p 是q的必要不充分条件．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）【解答】解：命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R⇔a=0或⇔a=0或⇔a=0或0＜a＜4⇔0≤a＜4命题q：0＜a＜1．故p是q的必要不充分条件．答案为：必要不充分条件10．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=．【解答】解：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故应填11．（5分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以cos∠BAD==﹣，故sin∠BAD=，S ABCD=（）2×=．故答案为：．12．（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有（1）．（填所有正确的序号）（1）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；（2）若f（x）=ax2+2x+1只有一个零点，则a=1；（3）命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；（4）对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）；（5）在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充要条件．【解答】解：对于（1），命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；对于（2），当a=0时函数f（x）=ax2+2x+1也只有一个零点，命题（2）错误；对于（3），命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2或y＜3，则x+y ＜5”，命题（3）错误；对于（4），对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），说明f（x），g（x）均为偶函数，又当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0，g′（x）＜0，命题（4）错误；对于（5），在△ABC中，A＞45°不一定得到sinA＞，如A=150°，sinA=，∴“A ＞45°”不是“sinA＞”的充要条件，命题（5）错误．故答案为：（1）．13．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．【解答】解：∵不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，，∴+，当a1≠0时，化为+1=，当=﹣时，上式等号成立．∴．故答案为：．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．【解答】解：（1）由于向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．则有f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），函数的周期为T==π，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：描点得整个图象，如右．（2）函数y=f（x）的周期为π，由2k≤2x+≤2k，解得k≤x≤k；由2k≤2x+≤2k，解得k≤x≤k，则单调增区间[k，k]（k为整数）；单调减区间[k，k]（k为整数）．16．（14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．17．（14分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N+，x ≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=﹣3x2+40x．验证：x=1时，37符合f（x））=﹣3x2+40x∴f（x））=﹣3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12））（2）第x月旅游消费总额为g（x）=f（x）•q（x）==当1≤x≤6，且x∈N+时，g′（x）=18x2﹣370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=140（舍去）∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元）当7≤x≤12，且x∈N*时，g（x）=﹣48x+640是减函数，∴当x=7时，g（x）max=g（7）=304（万元），综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．18．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．【解答】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x，所以f（x）∈（1，2]，又f（0）=0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令t=f（x），则＜t≤1，g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣，①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，解得λ=±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，综上所述，λ=4．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若数列{a n}满足：，，令，求数列{b n}的通项公式；（III）对于（Ⅱ）中的数列{a n}，令，求数列{c n}的前n项的和S n．【解答】解：（I）由已知f（﹣n）=a（﹣n）2+b（﹣n）=0，f′（0）=b=n解得a=1，b=n，所以f（x）=x2+nx（3分）；（Ⅱ）由可得，（4分），即b n=2b n+1所以数列{b n}是首项为，公比q=2的等比数列，（6分）∴b n=4•2n﹣1=2n+1（8分）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知C n=n•2n+1﹣n（9分）∵S n=1•22+2•23+…+n•2n+1﹣（1+2+3+…+n）2S n=1•23+2•24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2﹣2（1+2+3+…+n）（10分）∴﹣S n=（22+23+…+2n+1）﹣n•2n+2+（1+2+3+…+n）=﹣n•2n+2+，∴S n=（n﹣1）•2n+2+4﹣（12分）20．（16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（Ⅰ）证明f（x+2kπ）﹣f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f（x0）]2=；（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，a n，…，证明＜a n+1﹣a n＜π（n=1，2，…）．【解答】解：（Ⅰ）证明：由函数f（x）的定义，对任意整数k，有f（x+2kπ）﹣f（x）=（x+2kπ）sin（x+2kπ）﹣xsinx=（x+2kπ）sinx﹣xsinx=2kπsinx．（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，f'（x）=sinx+xcosx①令f'（x）=0，得sinx+xcosx=0．显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x=﹣tanx．此方程一定有解．f（x）的极值点x0一定满足tanx0=﹣x0．由sin2x==，得sin2x0=．因此，[f（x0）]2=x02sin2x0=．（Ⅲ）证明：设x0＞0是f'（x）=0的任意正实数根，即x0=﹣tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈（+kπ，π+kπ），即x0在第二或第四象限内．由①式，f'（x）=cosx（tanx+x）在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足f'（x）=0的正根x0都为f（x）的极值点．由题设条件，a1，a2，a n，为方程x=﹣tanx的全部正实数根且满足a1＜a2＜＜a n ＜，﹣a n=﹣（tana n+1﹣tana n）=﹣（1+tana n+1•tana n）tan（a n+1那么对于n=1，2，a n+1﹣a n）．②＜π+nπ，由于+（n﹣1）π＜a n＜π+（n﹣1）π，+nπ＜a n+1则＜a n﹣a n＜，+1由于tana n+1•tana n＞0，由②式知tan（a n+1﹣a n）＜0．由此可知a n+1﹣a n必在第二象限，即a n+1﹣a n＜π．综上，＜a n+1﹣a n＜π．21．（10分）已知函数f（x）=ln（2x﹣e），点P（e，f（e））为函数的图象上一点．（1）求导函数f′（x）的解析式；（2））求f（x）=ln（2x﹣e）在点P（e，f（e））处的切线的方程．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（2x﹣e），∴f′（x）==…（4分）（2）∵f（e）=1，f′（e）=，∴切线的方程为y﹣1=（x﹣e），即2x﹣ey﹣e=0 …（10分）22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切．求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值．【解答】解：（1）由题意得，圆C的极坐标方程为ρ=2，则ρ2=4，所以圆C的直角坐标方程是：x2+y2=4…（5分）（2）因为直线l：kx+y+3=0与圆C相切，所以，解得k=…（10分）23．（10分）（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．24．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣2S n+1=0．①代入上式得S n﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
2014-2015学年第一学期期中测试卷(高三理科)
2014-2015学年第一学期期中测试卷高三数学(理科)试题1.A b a ,0,0>>是b a ,的等差中项，G 是b a ,的正的等比中项，G A ,大小关系是（ ） A.G A ≥ B.G A ≤ C.G A = D.G A ,大小不能确定2为了得到函数x x y 2cos 2sin -=的图象，只需把函数x x y 2cos 2sin +=的图象（ ）A ．向左平移4π个长度单位B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位3已知函数,)(xax x f +=则“9=a ”是“函数)(x f 在)3(∞+，上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若843S S =，则128SS 等于 ( ) A ．2 B.73 C.83D ．35、已知→→b a ,是单位向量，且(2)a b a →→→-⊥，则→→b a 与的夹角是（ ）。
A 、3π B 、2π C 、4π D 、32π 6、若三角形的三个内角成等差数列，对应三边成等比数列，则三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 7、若方程042=-+x x 的解为0x ，则满足n x <0的最小的整数n 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.已知数列}{n a 满足2321232n na a a a n =++++ ，则2599是数列}{n a 中的第（ ）项. A.20 B.25 C.50 D.100 9.已知函数()sin()f x x ωφ=+（其中0,2πωφ><），若将函数()f x 的图像向左平移12π个单位后所得图像关于y 轴对称，若将函数()f x 的图像向右平移6π个单位后所得图像关于原点对称，则ω的取值不可能．．．是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D. 10 10. 函数b x A x f ++=)sin()(ϕω 的图象如图，则)(x f 的解析式和)2013()2()1()0(f f f f S +++=的值分别为（ ）A ．201312sin 21)(=+=S x x f ，π B. 21201312sin 21)(=+=S x x f ，πC ．201412sin 21)(=+=S x x f ，πD.21201412sin 21)(=+=S x x f ，π 11、已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝A ．0B ．－100C ．100D ．10 20012、已知两线段2a =，22b =，若以,a b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ） A ．(0,)2πB ．(0,]4πC ．(,)63ππD ．(0,]6π13、定义在R 上的函数)(x f y =，满足)()4(x f x f =-，0)()2(>'-x f x ，若21x x <，且421>+x x ，则有（ ）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．不确定 14在数列}{n a 中，若k k a a a a nn n n (112=--+++为常数）则称 }{n a 为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无穷多项为0.其中判断正确的个数为（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个15．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________． 16．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.17.如图，CD 是一座铁塔，线段AB 和塔底D 在同一水平地面上，在B A , 两点测得塔顶C 的仰角分别为030和045，又测得030,12=∠=ADB m AB 则此铁塔的高度为 m .ACDB18．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．19.已知数列}{n a 的通项公式为n n n a 2)12(⨯-=，我们用错位相减法求其前n 项和n S 过程如下：由此得到启发：若数列}{n b 的通项公式为n n n b 22⨯=，则其前n 项和n T = .20. （本小题12分）在ABC ∆中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,且满足0cos cos )2(=-⋅-A b B a c . (1)若84=+=c a b ，,求ABC ∆的面积;(2)求)6sin(sin 3π-+C A 的取值范围.21、某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．由n n n S 2)12(25232132⨯-++⨯+⨯+⨯= 得n S 2= 1322)12(2)32(2321+-+⨯-++⨯+⨯n n n n两式相减得1322)12(2222222+⨯--⨯++⨯+⨯+=-n n n n S 求得 62)32(1+⨯-=+n n n S(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22（本小题满分14分） 已知R a ∈,函数x ax x f ln 21)(2-=. (1)当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线的斜率； (2)讨论)(x f 的单调性；(3)是否存在a 的值，使得方程2)(=x f 有两个不等的实数根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.23、（本题满分14分）已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ． (1）若函数()f x 在2x =处取得极值，求m 的值；(2）当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性；(3）求证：当 2m =-时，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有2121()()1f x f x x x ->--．。
2014-2015年山东省青岛三中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年山东省青岛三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|y=}，则∁U A=（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1]2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）向量，，且∥，则cos2α=（）A．B．C．D．4．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．5．（5分）定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2] 6．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥8．（5分）下列命题中正确的是（）A．y=x+的最小值是2B．y=的最小值是2C．y=sin2x+的最小值是4D．y=2﹣3x﹣（x＜0）的最小值是2﹣49．（5分）已知，则=（）A．B．C．﹣1 D．±110．（5分）已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=．12．（5分）曲线y=sinx（0）与y轴、直线y=1围成的封闭图形的面积为．13．（5分）已知0＜＜β＜π，且cos，sin（α+β）=，则sinα=．14．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则f（2013）+f（2014）=．15．（5分）有以下四个命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②已知a＞0，b＞0，则＞是a＞b的充要条件；③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题；④命题“∀∈R，|x+4|﹣|x﹣1|＜k”是真命题，则k＞5．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）用数学归纳法证明：l3+23+33+…+n3=（n∈N﹡）．17．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx（a≠0）（Ⅰ）a=﹣2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域内有无极值，若有，求之．18．（12分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2x+b（b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c（c＞0）的解集为（k，k+6）（k∈R），求c的值；（Ⅱ）当b=0时，m为常数，且0＜m＜1，1﹣m≤t≤m+1，求的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．2014-2015学年山东省青岛三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|y=}，则∁U A=（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1]【解答】解：A={x|y=}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U A={x|x≥1}，故选：A．2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）向量，，且∥，则cos2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，且∥，∴，即，化简得sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=故选：D．4．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=log a x，的图象过（1，0），A选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，a＞1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；B选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；C选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，符合题意；D选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＞1，不符合题意；观察图象知，只有C正确．故选：C．5．（5分）定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2]【解答】解：∵，∴=（x﹣1）（x+3）﹣2×（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），∵函数在（﹣∞，m）上单调递减，∴（﹣∞，m）⊆（﹣∞，﹣2），即m≤﹣2，∴实数m的取值范围是m≤﹣2．故选：D．6．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：目标函数的几何意义为动点P（x，y）到点M（﹣1，﹣1）的斜率，即k．作出不等式对应的平面区域如图（阴影部分），由图象可知当点P位于点B（，0）时，目标函数有最小值，即，解得a=2，故选：A．7．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥【解答】解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，C项中向量向量、的方向相同，D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A．8．（5分）下列命题中正确的是（）A．y=x+的最小值是2B．y=的最小值是2C．y=sin2x+的最小值是4D．y=2﹣3x﹣（x＜0）的最小值是2﹣4【解答】解：A．x＜0时，y＜0，因此最小值不是2；B．∵≥2，当且仅当x=1时取等号，其最小值为2；C．∵0＜sin2x≤1，∴y＞4，因此不正确；D．∵x＜0，∴﹣x＞0．∴y=2﹣3x﹣==2+4，当且仅当时取等号．其最小值为：2+4，因此不正确．综上可得：只有B正确．故选：B．9．（5分）已知，则=（）A．B．C．﹣1 D．±1【解答】解：∵cos（x﹣）=﹣，∴cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x﹣）=﹣1．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）【解答】解：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B，0﹣B＜A，∴0＜sin（﹣B）＜sinA＜1，0＜cosB＜sinA＜1f（sinA）＞f（sin（﹣B）），即f（sinA）＞f（cosB）故选：D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）曲线y=sinx（0）与y轴、直线y=1围成的封闭图形的面积为﹣1．【解答】解：y=sinx（0）与y轴、直线y=1的交点分别为（0，0），（，1），故曲线y=sinx（0）与y轴、直线y=1围成的封闭图形的面积为S=（1﹣sinx）dx=（x+cosx）|=﹣1，故答案为：﹣1，13．（5分）已知0＜＜β＜π，且cos，sin（α+β）=，则sinα=．【解答】解：由于0＜＜β＜π，cos，则sinβ==．由于，则cos（α+β）=﹣=﹣，则有sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×（﹣）﹣（﹣）×=．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则f（2013）+f（2014）=﹣1．【解答】解：∵f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（x）=f（2﹣x），又f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（x）=﹣f（x﹣2），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），即4为f（x）的周期，∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1），f（2014）=f（4×503+2）=f（2），由x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，得f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，由f（x）=f（2﹣x），得f（2）=f（0）=0，∴f（2013）+f（2014）=﹣1+0=﹣1，故答案为：﹣1．15．（5分）有以下四个命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②已知a＞0，b＞0，则＞是a＞b的充要条件；③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题；④命题“∀∈R，|x+4|﹣|x﹣1|＜k”是真命题，则k＞5．其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；②已知a＞0，b＞0，则＞是a＞b的充要条件，正确；③若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题；④令f（x）=|x+4|﹣|x﹣1|，则f（x）=，可得﹣5≤f（x）≤5，因此命题“∀∈R，|x+4|﹣|x﹣1|＜k”是真命题，则k＞5，正确．其中正确命题的序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）用数学归纳法证明：l3+23+33+…+n3=（n∈N﹡）．【解答】证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即13+23+33++k3+（k+1）3=∴n=k+1时，等式成立．综合①、②原等式获证．17．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx（a≠0）（Ⅰ）a=﹣2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域内有无极值，若有，求之．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x﹣=，令f′（x）=0，解得x=1，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴函数的单调递增区间为（1，∞）；递减区间为（0，1]．（2）∵f（x）=x2+alnx，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+=，①当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，②当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=时，函数f（x）取得极小值，f（）=﹣+ln（﹣）18．（12分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵﹣x2﹣2x+8＞0，∴解得A=（﹣4，2）．∵，∴B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；所以A∩B=（﹣4，﹣3]∪[1，2）；（2）∵C R A=（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），C⊆C R A，若a＜0，则不等式的解集只能是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞），故定有≥2得解得﹣≤a＜0若a＞0，则不等式的解集[﹣4，]，但C⊆C R A，故a∈∅．∴a的范围为＜0．19．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2x+b（b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c（c＞0）的解集为（k，k+6）（k∈R），求c的值；（Ⅱ）当b=0时，m为常数，且0＜m＜1，1﹣m≤t≤m+1，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由值域为[0，+∞），当x2+2x+b=0时有△=4﹣4b=0，即b=1．则f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，由已知f（x）=（x+1）2＜c解得，，∵不等式f（x）＜c的解集为（k，k+6），∴，解得c=9．（Ⅱ）当b=0时，f（x）=x2+2x，∴．∵0＜m＜1，1﹣m≤t≤m+1，∴0＜1﹣m≤t≤m+1＜2．令，则，当0＜t＜1时，g'（t）＞0，g（t）单调增，当1＜t＜2时，g'（t）＜0，g（t）单调减，∴当t=1时，g（t）取最大值，．∵=，∴g（1﹣m）＜g（1+m）．∴的范围为．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣x﹣a，∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=e x﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即e x﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣x恒成立．设h（x）=e x﹣x，则h′（x）=e x﹣1．当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=e x﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=e x﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=e x﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），∴e x﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2当时，方程（*）不成立则，令，则由p′（x）=0得：当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；当时，方程（*）若有两个解，则所以，．。
北京市海淀区2014-2015学年度高三第一学期期中试卷(理)-含答案
数 学（理） 2014.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则A B =（ ）（A ）[1,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）[1,1)-（2）已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3⋅=a b ，则x =（ ） （A ）6（B ）5（C ）4（D ）3（3）若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25（4）要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向右平移6π个单位 （5）设131()2a =，21log 3b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a b c >>（B ）c a b >>（C ）a c b >>（D ）c b a >>（6） 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1[,)2+∞（B ）(0,)+∞ （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值（D ）当3n =时，n S 取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014-2015理朝阳高三期中理科试题
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2014.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}2+20,0A x x x B x x =-<=>,则集合AB 等于A.{}2x x >-B.{}01x x << C. {}1x x < D.{}21x x -<< 2.已知命题p ：0x ∀>，44x x+≥；命题q ：0x ∃∈R ，021x =-.则下列判断正确的是 A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ⌝∧是真命题 D ．()p q ⌝∧是真命题 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是A.120B.105C.15D.54.曲线xy 1=与直线21,e x x ==及x 轴所围成的图形的面积是 A. 2e B. 2e 1- C. e D. 2开始 k=1,i =1 结束 i =i +2 i>5?输出k 是否 k=k×i 第3题图5.设,a b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是① 若0×a b =，则有+=-a b a b ； ② ⋅=a b a b ；③ 若存在实数λ，使得a ＝λb ，则+=+a b a b ； ④若+=-a b a b ，则存在实数λ，使得a ＝λb . A. ①③ B. ①④ C.②③ D. ②④6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 A. 3000 B.3300 C.3500 D.40007.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数()b x A y ++=ϕωsin （其中 0ω>，2ϕπ<<π），则估计中午12时的温度近似为（ ）A. 30 ℃B. 27 ℃C.25 ℃D.24 ℃ 8.设函数(),()f x g x 满足下列条件：（1）对任意实数12,x x 都有121212()()()()()f x f x g x g x g x x ⋅+⋅=-； （2）(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =. 下列四个命题：①(0)1g =； ②(2)1g =； ③22()()1f x g x +=；④当2n >，n *∈N 时，[][]()()n nf xg x+的最大值为1. 其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④30 20 10 Ot/hT /℃ 68 10 12 14第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量,a b 满足1=a ，(1,1)=b ，且a b ，则向量a 的坐标是_______.10.已知1tan()=47απ+， (,)2απ∈π，则tan α的值是_______;cos α的值是_______. 11.若23,0()0,0,0x x f x x ax b x +>⎧⎪==⎨⎪+<⎩，， 是奇函数，则+a b 的值是_______.12.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和.若13574a a a a +++=-，816S =-, 则公差d =_______；数列{}n a 的前______项和最大.13.已知x ，y 满足条件3260,20,20.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(2,0)处取得最大值，则a 的取值范围是 .14.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔1AA 和1BB .已知从塔1AA 的底部看塔1BB 顶部的仰角是从塔1BB 的底部看塔1AA 顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔1BB 的底部看塔1AA 顶部的仰角的正切值为 ；塔1BB 的高为 m.A 1ABB 1C第14题图三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数()3sin cos f x x a x =-（x ∈R ）的图象经过点(,1)3π. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间.16. （本小题满分13分）如图，在△ABC 中，ACB ∠为钝角，π2,2,6AB BC A ===．D 为AC 延长线上一点，且31CD =+． （Ⅰ）求BCD ∠的大小；（Ⅱ）求BD 的长及△ABC 的面积．17. （本小题满分13分）在递减的等比数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，已知214a =，378S =. (Ⅰ)求n a ，n S ；（Ⅱ）设2log n n b S =，试比较22n n b b ++与1n b +的大小关系，并说明理由. 18. （本小题满分14分）已知函数2(),x f x a x aR =-. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若()f x 在(1,2)上是单调函数，求a 的取值范围.DCBA19.（本小题满分14分）已知函数()y f x =，若在区间(2,2)-内有且仅有一个0x ，使得0()1f x =成立，则称函数()f x 具有性质M .(Ⅰ)若()sin 2f x x =+，判断()f x 是否具有性质M ，说明理由；（Ⅱ）若函数2()221f x x mx m =+++具有性质M ，试求实数m 的取值范围.20. （本小题满分13分）对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记123m a x {,,,,}(1,2,3,,)k k b a a a a k m ==，即k b 为123,,,,k a a a a 中的最大值，则称{}n b 是{}n a 的“控制数列”，{}n b 各项中不同数值的个数称为{}n a 的“控制阶数”.(Ⅰ)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列{}n b 为1,3,3,5，写出所有的{}n a ； （Ⅱ）若100m =，2n a tn n =-，其中11(,)42t ∈，{}n b 是{}n a 的控制数列，试用t 表示112233100100()()()()b a b a b a b a -+-+-++-的值；(Ⅲ)在1,2,3,4,5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和.。
2014-2015学年山东省德州市高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2014-2015学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=}，B={x|＜2x＜4}，则（∁U A）∩B 等于（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|x＜1}D．{x|﹣2＜x＜0} 2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x=1则x2=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”B．命题“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”C．“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件D．“命题p，q中至少有一个为真命题”是“p或q为真命题”的充分不必要条件3．（5分）在△ABC中，若sinA+cosA=，则tanA=（）A．B．C．﹣ D．﹣4．（5分）已知=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）⊥，则k=（）A．B．﹣2 C．2 D．5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n＞0，a n+12﹣a n2=1（n∈N+），那么使a n＜3成立的n的最大值为（）A．3 B．4 C．8 D．96．（5分）若关于实数x的不等式|x+1|+|x﹣2|＞a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）7．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log8（x+1），则f（﹣2013）+f（2014）=（）A．0 B．C．1 D．28．（5分）函数f（x）=cosx•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且f（0）•f（1）＞0，a+b+c=0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则x12+x22的取值范围为（）A．[]B．（）C．[]D．（）10．（5分）已知函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]﹣零点个数的四个判断：（1）当k＞0时，有3个零点；（2）当k＜0时，有2个零点；（3）当k＞0时，有4个零点；（4）当k＜0时，有1个零点则正确的判断是（）A．（1）（4）B．（2）（3）C．（1）（2）D．（3）（4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）如果实数x，y满足条件，那么z=2x﹣y的最大值为．12．（5分）已知函数f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a）（a＞0）．则a=．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．14．（5分）在△ABC中，边a，b，c与角A，B，C分别成等差数列，且△ABC的面积为，那么b=．15．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成．若对∀x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），其中a＞0，0＜φ＜，则φ的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点F（0，1），与x轴交于B，C两点，M为图象的最高点，且△MBC的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及单调增区间；（Ⅱ）若f（a﹣）=，求cos2（a﹣）的值．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n+1=4a n，数列{b n}满足（）=a n2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量=（1，），=（sinA，2+cosA），且∥，边AC长为2．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若=3，求边AB的长．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，f′（x）为其导函数，若f′（x）为偶函数且f（x）在x=2处取得极值d﹣16（I）求a，b，c的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值20，求f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值．20．（13分）某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=x2+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+﹣1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．21．（14分）已知函数f（x）=（ex+1）（lnx﹣1）（e为自然对数的底数）．（I）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若点P（e，f（e）），且点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足条件：（1﹣lnx1）（1﹣lnx2）=1（x1≠x2）．判断A，B，P三点是否可以构成直角∠APB？请说明理由．2014-2015学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=}，B={x|＜2x＜4}，则（∁U A）∩B 等于（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|x＜1}D．{x|﹣2＜x＜0}【解答】解：由＜2x＜4得，2﹣1＜2x＜22，解得﹣1＜x＜2，则集合B={x|﹣1＜x＜2}，又集合A={x|y=}={x|x≥0}，则∁U A={x|x＜0}，所以（∁U A）∩B={x|﹣1＜x＜0}，故选：B．2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x=1则x2=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”B．命题“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”C．“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件D．“命题p，q中至少有一个为真命题”是“p或q为真命题”的充分不必要条件【解答】解：对于A：命题“若x=1则x2=1”的否命题为“若x≠1，则x2≠1”，故A 错误；对于B：命题“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1≥0”，故B错误；对于C：x=y⇒sinx=siny，充分性成立，反之不可，因此“x=y”“sinx=siny”的充分不必要条件，故C正确；对于D：“命题p，q中至少有一个为真命题”是“p或q为真命题”的充分必要条件，故D错误．故选：C．3．（5分）在△ABC中，若sinA+cosA=，则tanA=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：在△ABC中，若sinA+cosA=，①所以：整理得：，即：sinAcosA=﹣②，sinA＞0，cosA＜0，由①②得：tanA=﹣，故选：D．4．（5分）已知=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）⊥，则k=（）A．B．﹣2 C．2 D．【解答】解：=（1，2）+2（0，1）=（1，4），∵（+2）⊥，∴﹣2+4k=0，解得k=．故选：D．5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n＞0，a n+12﹣a n2=1（n∈N+），那么使a n＜3成立的n的最大值为（）A．3 B．4 C．8 D．9【解答】解：由题意a n+12﹣an2=1，∴a n2为首项为1，公差为1的等差数列，∴a n2=1+（n﹣1）×1=n，又a n＞0，则a n=，由a n＜3得＜3，∴n＜9．那么使a n＜3成立的n的最大值为8．故选：C．6．（5分）若关于实数x的不等式|x+1|+|x﹣2|＞a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【解答】解：已知不等式|x+1|+|x﹣2|＞a2﹣2a恒成立，即需要a2﹣2a小于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：a2﹣2a＜3解得﹣1＜a＜3．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log8（x+1），则f（﹣2013）+f（2014）=（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：∵数f（x）是R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵对于x≥0都有f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），∴周期为4，∵当x∈[0，2）时，f（x）=log8（x+1），∴f（﹣2013）+f（2014）=f（1）﹣f（0）=，故选：B．8．（5分）函数f（x）=cosx•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=cosx是偶函数，y=ln|x|是偶函数，且x≠0，∴y=cosx•ln|x|是定义域为{x∈R|x≠0}的偶函数，∴图象应关于y轴对称，∴排除B，又∵当x取非常小的正数时，cosx＞0，ln|x|＜0，∴y＜0，∴排除C∴只能在AD中选，f（1）=cos1×ln1=0，f（）=cos ln=0，1与是函数的两个零点，当x∈（0，1）时，cosx＞0，ln|x|＜0，故f（x）＜0；当x∈（1，）时，cosx＞0，ln|x|＞0，故f（x）＞0；此时选项AD都符合，但当x取正值且很小时，cosx∈（0，1），而ln|x|=lnx趋向于﹣∞，故f（x）取负值且绝对值很大，应是A的图象故选：A．9．（5分）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且f（0）•f（1）＞0，a+b+c=0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则x12+x22的取值范围为（）A．[]B．（）C．[]D．（）【解答】解：∵g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=﹣，x1x2=，∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣=，又a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b代入上式，得x12+x22===[+3•+3]=（+）2+又∵f（0）•f（1）＞0，∴c（3a+2b+c）＞0即（a+b）（2a+b）＜0，∵a≠0，两边同除以a2得，∴（）（+2）＜0，∴﹣2＜＜﹣1，∴＜（+）2+＜∴x12+x22的取值范围为（，）故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]﹣零点个数的四个判断：（1）当k＞0时，有3个零点；（2）当k＜0时，有2个零点；（3）当k＞0时，有4个零点；（4）当k＜0时，有1个零点则正确的判断是（）A．（1）（4）B．（2）（3）C．（1）（2）D．（3）（4）【解答】解：函数f（x）=的图象如右图所示：结合图象分析：当k＞0时，若y=f[f（x）]﹣=0，则f[f（x）]=，则f（x）=a∈（﹣，0）或f（x）=b∈（1，+∞），对于f（x）=a，存在两个零点；对于f（x）=b，存在一个零点，综上所述，k＞0时，函数y=f[f（x）]﹣零点个数为3个；当k＜0时，若y=f[f（x）]﹣=0，则f[f（x）]=，则由右图可知，f（x）=c∈（1，+∞），对于f（x）=c，存在两个零点，当k＜0时，有2个零点．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）如果实数x，y满足条件，那么z=2x﹣y的最大值为5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过C（2，﹣1）时直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=2×2﹣（﹣1）=5．故答案为：5．12．（5分）已知函数f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a）（a＞0）．则a=．【解答】解：f（x）dx=（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|=4，∴2f（a）=2（3a2+2a+1）=4解得a=，a=﹣1（舍去），故答案为：13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．14．（5分）在△ABC中，边a，b，c与角A，B，C分别成等差数列，且△ABC的面积为，那么b=．【解答】解：∵在△ABC中，边a，b，c与角A，B，C分别成等差数列，∴2b=a+c，2B=A+C，又∵A+B+C=π，∴B=，∴△ABC的面积S=acsinB=ac=，解得ac=2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴b2=（a+c）2﹣2ac﹣ac，∴b2=（2b）2﹣6解得b=，故答案为：．15．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成．若对∀x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），其中a＞0，0＜φ＜，则φ的最小值为．【解答】解：∵0＜φ＜，∴sinφ∈（0，1），又a＞0，则﹣12asinφ∈（﹣12a，0），∴x＞x﹣12asinφ，∵对∀x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），∴x﹣（x﹣12asinφ）≥4a﹣（﹣2a）=6a，即sinφ，∴φ．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点F（0，1），与x轴交于B，C两点，M为图象的最高点，且△MBC的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及单调增区间；（Ⅱ）若f（a﹣）=，求cos2（a﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵S=×；△ABC∴周期T=π，又∵，∴ω=2由f（0）=2sinφ=1，得sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=．∴f（x）=2sin（2x+）．由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得k（k∈Z），所以函数f（x）的调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）由f（α﹣）=2sin2α=，得sin2α=，cos2（α﹣）===．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n+1=4a n，数列{b n}满足（）=a n2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，2S n+1=4a n，当n=1时，2S1+1=4a1，解得a1=，当n≥2时，2S n+1=4a n，2S n﹣1+1=4a n﹣1，两式相减得，2a n=4a n﹣4a n﹣1，得a n=2a n﹣1，即，所以数列{a n}是以为首项、2为公比的等比数列，则a n==2n﹣2，因为（）=a n2，所以，则b n=﹣2n+4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c n==，所以T n=+①，T n=+②，①﹣②得，T n=4﹣2[]﹣=4﹣2×﹣===，所以T n=．18．（12分）已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量=（1，），=（sinA，2+cosA），且∥，边AC长为2．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若=3，求边AB的长．【解答】解：（Ⅰ）已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量=（1，），=（sinA，2+cosA），且∥，所以：进一步求得：所以：∵0＜A＜π求得：A=（Ⅱ）已知：所以：4sinB=2cosB解得：tanB=进一步解得：sinB=，cosB=sinC=sin（）=利用正弦定理：解得：19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，f′（x）为其导函数，若f′（x）为偶函数且f（x）在x=2处取得极值d﹣16（I）求a，b，c的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值20，求f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3ax2+2bx+c，∵f′（x）为偶函数，∴b=0，∵f（x）在x=2处取得极值d﹣16，∴∴解得：，∴a=1，b=0，c=﹣12，（Ⅱ）f（x）=x3﹣12x+d，f′（x）=3x2﹣12，∵f′（x）=3x2﹣12=0，x=2或x=﹣2，∴当x∈（2，+∞）（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）=x3﹣12x+d，在x=﹣2处取得极大值，在x=2处取得极小值，∴f（﹣2）=16+d=20，d=4，f（﹣3）=13，f（2）=﹣12，∴f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值为﹣12．20．（13分）某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=x2+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+﹣1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．【解答】解：（Ⅰ）当每件商品售价为0.05万元时，x千件销售额0.05×1000x=50x （万元）当0＜x＜80时，L（x）=50x﹣（x2+10x）﹣250=﹣x2+40x﹣250；当x≥80时，L（x）=50x﹣（51x+﹣1450）﹣250=1200﹣（x+）；故L（x）=；（Ⅱ）当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250；当x=60时，L（x）有最大值为950；当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）；当且仅当x=，即x=100时，L（x）有最大值为1000；∴年产量为100千件时该厂的利润最大．21．（14分）已知函数f（x）=（ex+1）（lnx﹣1）（e为自然对数的底数）．（I）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若点P（e，f（e）），且点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足条件：（1﹣lnx1）（1﹣lnx2）=1（x1≠x2）．判断A，B，P三点是否可以构成直角∠APB？请说明理由．【解答】解：（I）f（x）=（ex+1）（lnx﹣1），f′（x）=e（lnx﹣1）+=elnx+= (1)分f′（1）=1，又f（1）=﹣（e+1），所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：y+（e+1）=x﹣1，即x﹣y﹣e﹣2=0 (3)分（Ⅱ）由（I）令g（x）=exlnx+1（x＞0），则g′（x）=e（lnx+1），令g′（x）=0，得x=…5分当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；故x＞0时，g（x）≥0，即f′（x）≥0恒成立．所以函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；（Ⅲ）若x1=e，则（1﹣lnx1）（1﹣lnx2）=0，与条件（1﹣lnx1）（1﹣lnx2）=1不符，从而x1≠e，同理可得x2≠e．由上可得点A，B不与P重合…10分•=（x1﹣e，f（x1））•（x2﹣e，f（x2））=（x1﹣e）（x2﹣e）+（ex1+1）（ex2+1）（lnx1﹣1）（lnx2﹣1）=（e2+1）（x1x2+1）…13分因为x1，x2＞0，所以•＞0，故点A，B，P三点构成锐角∠APB，所以点A，B，P三点不能构成直角∠APB， (14)分。
2014-2015年河南省名校高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣65．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．37．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．39．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．10．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣5，﹣1]D．[﹣2，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．14．（5分）图中阴影部分的面积等于．15．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|y=lg}，，解得：0＜x＜1，M={x|0＜x＜1}，∴∁R M={x|x≤0或x≥1}N={y|y=x2+2x+3}={y|y≥2}，（∁R M）∩N=[2，+∞）故选：C．3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（﹣，0），∴sinα+cosα＞0，∴（sinα+cosα）2=1+sin2α=，∴sinα+cosα=，故选：A．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣6【解答】解：∵当x＜0时，f （x）=x﹣e﹣x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6﹣e ln6=﹣ln6﹣6，又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6+6故选：A．5．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．3【解答】解：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．9．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，所以a1+a2015=a1003+a1013=π，b7•b8=b6•b9=2，所以tan=tan=．故选：D．10．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣5，﹣1]D．[﹣2，1]【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，可得出函数图象关于x=1对称，且函数在（﹣∞，1）上减，由此得出自变量离1越近，函数值越小，综合考虑四个选项，四个选项中的集合中都有﹣1，0不存在于A，C两个选项的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通过验证a的值取0与1时两种情况得出正确选项．当a=0时，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）变为f（2）≤f（x﹣1），有函数f（x）图象特征可得出|2﹣1|≤|x﹣1﹣1|，解得x≥3或x≤1，满足，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，由此排除A，C两个选项．当a=1时，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）变为f（x+2）≤f（x﹣1），有函数f（x）图象特征可得出|x+2﹣1|≤|x﹣1﹣1|，解得x≤，不满足不等式f（ax+2）≤f （x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，由此排除D选项．综上可知，B选项是正确的．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3=+3=+3=+3=，故答案为．14．（5分）图中阴影部分的面积等于1．【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：115．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．【解答】解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）．【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，f （x ）max =f （1）=21﹣1=20=1，f （x ）min =f （0）=20﹣1=，故（3）错误； （4）当x ∈（3，4）时，x ﹣4∈（﹣1，0），4﹣x ∈（0，1）， ∴f （4﹣x ）=（）1﹣（4﹣x ）=，又f （x ）是周期为2的偶函数，∴f （4﹣x ）=f （x ）=，（4）正确．综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4）， 故答案为：（1）（2）（4）．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f （x ）的最大值，并写出使f （x ）取最大值是x 的集合； （Ⅱ）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若．求a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=cos （2x ﹣）+2cos 2x=（cos2xcos +sin2xsin）+（1+cos2x ）=cos2x ﹣sin2x +1=cos （2x +）+1，（3分）∵﹣1≤cos （2x +）≤1，即cos （2x +）最大值为1，∴f （x ）的最大值为2，（4分） 要使f （x ）取最大值，cos （2x +）=1，即2x +=2kπ（k ∈Z ），解得：x=kπ﹣（k ∈Z ），则x 的集合为{x |x=kπ﹣（k ∈Z ）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f （B +C ）=cos [2（B +C ）+]+1=，即cos （2π﹣2A +）=，化简得：cos （2A ﹣）=，（8分）∵A ∈（0，π），∴2A ﹣∈（﹣，），则有2A﹣=，即A=，（10分）在△ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，∴a2≥4﹣3=1，则a取最小值1．（14分）18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，∴．（2）∵b n=log2a n==n，∴c n==．∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，∴，化为=．∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．∴，∴．∴实数k的取值范围是．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC．…（2分）因为AA1=AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1．…（5分）（Ⅱ）以OC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，）．=（2，2，0），=（0，1，），设=（x，y，z）是面ABB1的一个法向量，则•=0，•=0，即，取x=，得=（，﹣，1）．同理面CBB1的一个法向量为=（0，﹣，1）．…（10分）因为cos＜＞=．二面角A﹣BB 1﹣C是锐二面角，所以二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．…（12分）20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．【解答】（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，设，g′（x）=+，则g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0；综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0．（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，当a＞e（e﹣1）2或时，＜0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；当时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．综上所述，∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，∴∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．∴△BEC∽△CBD，∴，∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a ﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．。
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2014-2015学年度第一学期期中考试
高三数学试卷（理科）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合13{|()}
x
M y y ==，2{|log (1)}N x y x ==-，则M R N =（ ） A ．（0，1） B ．(]0,1 C ．(1,)+∞ D ．（0，+∞）
2．若120a b <<<，则（ ）
A ．22ab a >
B ．22ab b >
C ．2log ()1ab >-
D ．2log ()2ab <-
3．等差数列{}n a 的通项公式是12n a n =-，其前项和为n S ，则数列
{}n
S n
的前
11项和为( )
A ．－44 (B)－66 C ．－55 D ．55
4．已知函数2()21(0)f x ax ax a =-+<，若12x x <，120x x +=，则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）
A ．1()f x =2()f x
B ．1()f x >2()f x
C ．1()f x <2()f x
D ．与a 的值有关
5．抛物线22y x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
A ．98
B ．78
C ．9
8-
D ．78-
6．已知向量a 与b 的夹角为o 60，3a =，13a b +=，则b 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5
7．已知m 、n 是两条直线，,,αβγ是三个平面，给出下列四个命题： ①若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ； ②若,,//αγβγαβ⊥⊥则；
③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若,m α⊥,n β⊥m n ⊥，则αβ⊥.
其中真命题是（ ）
A ．①和②
B ．①和③
C ．③和④
D ．①和④
8．设函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，且()21y f x =+的图像过点()1,2，则()131y f x -=-的图像必过点（ ）
A ．()1,3
B ．()3,1
C ．()2,3
D ．()2,1
9．已知(,1)AB k =，(2,4)AC =，若k 为满足||4AB ≤的一随机整数．．，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ）
A ． 14
B ．12
C ．3
7 D ．34
10．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
11．若AB 是过椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一
点，且AM ，BM 与坐标轴不平行，1k ，2k 分别为直线AM ，BM 的斜率(其中222c a b =-)，则12k k ⋅=（ ）
A ．22c a -
B ．22c b -
C ．22b a -
D ．2
2a b -
12．已知函数3ax y e x =+()a R ∈有大于零的极值点，则( )
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．13a >-
D ．1
3a <-
二、填空题(4×4′=16分)：
13
．在（51
)x 展开式中，1x 的系数是： ；
14．抛物线C ：2y x x =-+与直线l ：10x y --=所围成的平面图形的面积是： ；
15．过P （－1，2）的直线⎩⎨⎧-=+-=t y t
x 4231（t 为参数）与双曲线22(2)1y x --=相
交于A 、B 两点，若C 为AB 的中点，则=PC ；
E F D
I
A H G
B
C E
F D A
B C
侧视 图1
图2 B
E
A
B
E
B B
E
C
B
E
D
16．曲线2cos ρθ=关于直线4
π
θ=-对称的曲线方程为 ．
三、解答题（满分74分）：
17．(12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为,,a b c ，已知角
3,A a π==B=x ，ABC ∆的周长为y ． (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求函数()y f x =的值域．
18．(12分)一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，从中任取3个，用ξ表示取出的3个球中的最大编号.
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望和方差．
19．(12分)直三棱柱111ABC-A B C 中，1AC CC 2,AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC ．
（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；
（2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小； （3）求二面角1A C B A --余弦值的大小．
20．(12分)已知中心在原点的双曲线C 的左焦点为)0,2(-，而C 的右准线方程为2
3=x .
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若过点)2,0(，斜率为k 的直线与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，
且满足5OA OB ⋅< （其中O 为原点），求实数k 的取值范围.
21．(12分)已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，0,,<∈m R n m
（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求函数)(x f 的单调区间；
（3）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3，求m 的取值范围.
22．(14分)已知函数()20y x x =≥的图象上有一列点()111,P x y ，()222,P x y ，
…，(),n n n P x y ，…，以点n P 为圆心的圆n P 与以点n+1P 为圆心的圆n+1P 外切，且均与x 轴相切．若11x =，且1n n x x +<．
（1）求数列{}n x 的通项；
（2）圆n P 的面积为n S ，n n T S =+，求证：4
n T <
.
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
BDBCD ADACA CB
二、填空题
13.-80; 14.43; 15.157; 16.2sin ρθ=-
三、解答题
17.(1)()2
63)0,y x x ππ=++∈;
(2)(
y ∈.
18.(1)
(2) 214
E ξ=; 63
80D ξ=.
19.(1)略; (2)3
π ;
.
20.(1)2
213
x y -=;
(2)(k ∈.
21.(1)36n m =+;
(2)单调递减区间()()2,1,1,m -∞++∞；单调递增区间()2
1,1m +； (3)()43,0m ∈-.
22.(1)1
21
n x n =-;
(2)1n =
时，1n T T =<
1n >
2n ==<=
()1111
1111
42231
41(1)11n n n n T -⎤<+-+-+
+-=+-⎤⎦⎦。