第三节 多种投入要素的最优组合

第三节多种投入要素的最优组合在产品的生产过程中，往往需要有多种投入要素，而且各种投入要素之间有可能在一定限度内互相替代。

因而同一产量的某种产品就可以通过不同比例的投入要素来生产。

在这种情况下，企业将面临以下两种选择：一是在资源（如资金）既定情况下，如何优化投入组合，才能实现产量最大化。

二是在保持一定的产量水平下，如何通过优化投入组合，才能使成本达到最小。

一、等产量曲线的类型和特征１、等产量曲线定义用来表示在一定技术条件下，生产出某一固定产量所需两种生产要素之各种可能的组合的曲线。

例如，有两种投入要素：Ｘ和Ｙ（如Ｌ和Ｋ）。

如果Ｘ＝3，Ｙ＝8；Ｘ＝4，Ｙ＝6；Ｘ＝6，Ｙ＝4；Ｘ＝8，Ｙ＝3等等组合都可以生产出20件某种产品，那么把这些点联接起来的曲线就是产量为20件的等产量曲线。

YXQ=20O ••••34688643图4-2２、等产量曲线的类型(1) 投入要素之间完全可以替代。

例如，在发电生产中，如果发电厂的锅炉燃料既可全部用煤气又可全部用石油（当然也可以部分用煤气、部分用石油），我们就称这两种投入要素是完全可以替代的。

这种等产量曲线的形状是一条直线。

石油煤气OABA 1B 1Q 1Q 2图4-3(2) 投入要素之间完全不能替代。

如生产自行车，在投入要素车架和车轮之间是完全不能替代的。

这种等产量曲线的形状是一条直角线。

车架车轮O Q=1Q=21242图4-4(3) 投入要素之间的替代是不完全的。

例如，在生产中，设备能够替代劳力，但设备不可能替代所有的劳力，就属于这种情况。

这种等产量曲线的形状一般为向原点凸出的曲线。

３、等产量曲线的特征(1) 在同一平面内，可以有无数条等产量曲线。

同一条等产量曲线代表同样的产量，不同的等产量曲线代表不同的产量。

离原点越远（或处于较高位置）的等产量曲线所代表的产量越高，反之则越低。

Q=10Q=20YX O图4-5(2) 在同一平面上，任意两条等产量曲线不能相交。

YXO Q 1Q 2•••a b c图4-6(3) 在等产量曲线上，产出维持不变，但投入要素的比例不断变化，没有一处相同。

(4) 等产量曲线的斜率可以为正、负、０或趋于无穷大。

在投入要素有效替代范围内，等产量曲线的斜率为负。

(5) 等产量曲线是一条凸向原点的曲线。

①边际技术替代率(MRTS)：指在维持产出量固定不变条件下，每增加一单位的Ｘ所能减少Ｙ的数量。

边际技术替代率用来衡量产出不变下，一种投入要素的一个单位能替代另一种投入要素的多少个单位。

②数学表达式：ＭＲＴＳ＝ΔＹ／ΔＸ＝ＭＰX／ＭＰY在投入要素之间的替代是不完全的情况下（指有效替代范围内），因为ΔＹ／ΔＸ呈反方向变动，所以ＭＲＴＳ总是负数。

因为：ΔＱ＝ＭＰY ΔＹ（ＭＰY＝ΔＱ／ΔＹ）；ΔＱ＝ＭＰX ΔＸ（ＭＰX＝ΔＱ／ΔＸ）在产出维持不变的情况下（ΔＱ＝０），因此有：ＭＰY ΔＹ＝ＭＰXΔＸ即：ΔＹ／ΔＸ＝ＭＰX ／ＭＰYYXO∆Y∆X产量Q 维持不变，∆Q=0ab ••图4-7案例：家具厂生产家具是多雇工人还是多买电工具？家具厂生产居民用的家具它可以使用两种方法，既可以多雇工人进行生产，也可以少雇人多买电的工具。

无论他用什么方法都可以生产出家具。

作为家具厂的厂长在用什么方法进行生产时他要作出选择。

如果劳动力价值很低，而电工具又很贵，厂长会选择多雇工人少用资本。

在生产家具的过程中劳动和资本这两种生产要素是完全可以替代的。

这就是本节讲的边际技术替代率。

即用一种生产要素替代另一种生产要素技术上的比例。

二、等成本曲线（预算线）1、定义表示在既定成本（经费）之下，可以购买的各种生产要素（或投入要素）的数量的最大组合。

设：生产要素：Ｘ，Ｙ；价格：ＰX，ＰY；总成本：Ｃ则：ＰX·Ｘ＋ＰY·Ｙ＝Ｃ或XPPCPYYXY⋅-⋅=1YPPCPXXYY⋅-⋅=1只要两种生产要素的价格不随购买量的变动而变动时，等成本线必定是一条直线。

而且，在不同的成本之下，移动也是平行移动。

如果投入要素的价格发生变化，则成本线的斜率发生变化。

YXOa••bX P P C P Y Y X Y ⋅-⋅=1预算空间AB 图4-82、预算线的移动（1）从Y = C / P Y -（P X / P Y）X可以看出：当P X 、P Y不变时，若成本（C）增加，预算线向右上方平移，这时预算空间的范围扩大了。

当P X 、P Y不变时，若成本（C）减少，预算线向左下方平移，这时预算空间的范围缩小了。

XO YA 1AA 2B 2B B 1C 增加C 减少图4-9（2）当C 、P Y 不变时，若P X 提高，导致P X /P Y 增加（斜率变大），预算线向顺时针方向移动。

当C 、P Y 不变时，若P X 降低，导致P X /P Y 减少（斜率变小），预算线向逆时针方向移动。

X O YABB 1（3）当C 不变，P X 和P Y 同比变化，则预算线平移。

因为P X / P Y 不变。

P 同比下降，预算线右移，P 同比上升，预算线左移。

（4）当C 不变，P X 不变而P Y 变化（或P Y 不变而P X 变化）时，不仅预算线的斜率P X / P Y 会发生变化，而且预算线的截距也发生变化。

（5）当C和两种要素的价格都同比例同方向变化时，预算线不发生变化。

这是因为，此时预算线的斜率不会发生变化，其截距也不会发生变化。

这说明用既定经费用来购买其中任何一种要素的数量都是不变的。

三、多种投入要素最优组合的原则（或条件）（经费既定之下，优化组合，使产量最大）YX O Q 2Y 1X 1a •b c ••dQ 1Q 3•1、图解法。

等产量曲线斜率──边际技术替代率（ＭＲＴＳ＝ΔＹ／ΔＸ＝ＭＰX ／ＭＰY ）与等成本线的斜率（ＰX ／ＰY ）相等。

因此平衡条件：ＭＰX ／ＭＰY ＝ＰX ／ＰY约束条件：ＰX ·Ｘ＋ＰY ·Ｙ＝Ｃ或量单位投入要素的边际产==YY X X P MP P MP推广：结论：只有当所有投入要素每增加１元的边际产量相等时，投入要素的组合才是最优的。

凡是ＭＰX 对ＰX 的比值小的要减少投入量；凡是ＭＰX 对ＰX 的比值大的要增加投入量，这样可以保证用最低成本生产同样数量的产量。

Λ===ZZ Y Y X X P MP P MP P MP２、数学法。

设生产函数为Ｑ＝ｆ(Ｘ，Ｙ)，若其各偏导数都存在且连续，则由全微分理论可以得到，在某一点上Ｑ的增量为：①等成本线的方程为：Ｃ＝ＰX ·Ｘ＋ＰY ·Ｙ成本的增量为：ｄＣ＝ＰX ·ｄＸ＋ＰY ·ｄＹ为维持成本不变，则有：ＰX ·ｄＸ＋ＰY ·ｄＹ＝０即：ＰY ·ｄＹ＝－ＰX ·ｄＸ或ｄＹ＝(－ＰX ／ＰY ) ·ｄＸ②dY Y Q dX X Q dQ ⋅∂∂+⋅∂∂=将②代入①式得：在产出最大之下，，故有：整理得：dX Y Q P P X Q dX Y Q P P dX X Q dQ Y X Y X ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂=⋅∂∂⋅-⋅∂∂=YQ P P X Q Y X ∂∂⋅=∂∂YX P P Y Q X Q =∂∂∂∂//0/=dX dQ因为∂Ｑ／∂Ｘ＝ＭＰX；∂Ｑ／∂Ｙ＝ＭＰY所以（ＭＲＴＳ＝ΔＹ／ΔＸ＝）ＭＰX／ＭＰY＝ＰX／ＰY结论:投入价格比等于边际技术替代率时生产效率最高。

或者：经费既定之下，优化组合，使产量实现最大化。

生产者在既定经费C之下只能购买两种产品X和Y两种生产要素，则：目标函数：max Q= f（X,Y）①约束条件：s.t：PX X + PYY = C ②由②式得：③将③代入①：Q =f [ X ，（C –P X X ）/ P Y ]④为求得Q 最大，令式④的一阶导数为0，根据全微分理论，则有：⑤Y X P X P C Y ⋅-=0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂=Y X P P Y f X f dX dQ或因为，∂f / ∂X =MP X ，∂f / ∂Y =MP Y 所以，0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂Y X P P Y f X f YX P P Y f X f =∂∂∂∂//YX P Y f P X f ∂∂=∂∂//YY X XP MP P MP =例1：某车间男工和女工各一半。

在男工和女工之间可以互相替代。

假定男工每增加1人可增产10件；女工每增加1人可增产8件。

男工每小时工资为4元，女工每小时工资为2.5元。

问该车间男工和女工的组合比例是否最优？如果不是最优，应向什么方向变动为好？解：MP 男=10件，P 男=4元，MP 男/P 男=10/4=2.5（件）MP 女=10件，P 女=2.5元，MP 女/P 女=8/2.5=3.2（件）由于2.5 ≠3.2，说明此时男工和女工的组合比例不是最优。

由于女工支出每增加1元的边际产量大于男工（3.2 >2.5 ），所以，变动的方向，应是减少男工，增加女工。

例２、假设等产量曲线的方程为Ｑ＝ＫａＬｂ，其中Ｋ为资金数量，Ｌ为劳力数量，ａ、ｂ为常数。

又假定Ｋ的价格（即借入单位资金所付的利息）为ＰK，Ｌ的价格（即工资）为ＰL。

请求出这两种投入要素的最优组合比例。

解：先求出这两种投入要素的边际产量：Ｌ的边际产量：ＭＰL ＝ｂＫａＬｂ-1Ｋ的边际产量：ＭＰK ＝ａＬｂＫａ-1根据最优组合的一般原理，最优组合的条件是：ＭＰL ／ＰL ＝ＭＰK ／ＰK即：ｂＫａＬｂ-1／ＰL ＝ａＬｂＫａ-1／ＰK 或：ｂＫ／ＰL ＝ａＬ／ＰK ；Ｋ／Ｌ＝ａＰL ／ｂＰK所以，Ｋ和Ｌ两种投入要素的最优组合比例为：ａＰL ／ｂＰK四、价格变动对投入要素最优组合的影响如果投入要素的价格比例发生变化，人们就会更多低使用比以前便宜的投入要素，少使用比以前昂贵的投入要素。

下图中，劳力价格提高，或资金价格（指利率）下降，会导致最优组合的比例发生变化（由Ａ点→Ｂ点），即人工投入减少，使资金投入增加。

KLK 2L 2K 1L 1B A QK BK A L B L A O ••这种现象说明，从纯经济观点看，对工业化国家来说是适宜的先进技术，对发展中国家来说，则不一定合适。

因为发展中国家工人工资水平低，采用一般技术反而更经济。

这种现象也可以用来解释为什么有些国家的农业主要采取广种薄收的方针，而另一些国家则采取精耕细作的方针。

因为有些国家土地便宜而劳力昂贵，而另一些国家则是土地昂贵，劳力相对便宜。