高中数学知识要点重温之曲线与方程,圆的方程

x y O B A M高中数学知识要点重温之曲线与方程,圆的方程江苏 郑邦锁1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0⇔曲线C 上任意一点P 〔x 0,y 0〕的坐标满足方程f(x,y)=0，即f 〔x 0,y 0〕=0；且以f(x,y)=0的任意一组解〔x 0,y 0〕为坐标的点P 〔x 0,y 0〕在曲线C 上。

依据该定义：点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。

求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程〔等式〕。

求动点轨迹方程的步骤：①建系，写〔设〕出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一样设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标差不多上方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。

[举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： 〔 〕A B C D 解析：原方程等价于：⎩⎨⎧≥+=--40122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，现在它表示直线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。

选D 。

[举例2] 点A 〔－1，0〕，B 〔2，0〕，动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。

解析：如何表达动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA是解决此题的关键。

用动点M 的坐标表达2∠MAB=∠MBA 的最正确载体是直线MA 、MB 的斜率。

设M 〔x ，y 〕，∠MAB=α，那么∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角依旧倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 依旧下方有关；以下讨论：① 假设点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α现在，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α，,2)2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα 〔2090≠α〕 ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(112222+-+•=--∴x y x yx y得： 1322=-y x ，∵1,>∴>x MB MA ． 当2090=α时, α=450，MAB ∆为等腰直角三角形,现在点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程． ②当点M 在x 轴的下方时, y ＜０，同理可得点M 的轨迹方程为)1(1322≥=-x y x , ③当点M 在线段AB 上时,也满足2∠MAB=∠MBA,现在y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为)21(0)1(1322<<-=≥=-x y x y x 或． [巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，那么它的方程是A ．〔21y x -+〕·〔21x y -+〕=0B ．〔21y x --〕·〔21x y --〕=0C ．〔21y x -+〕·〔21x y --〕=0D ．〔21y x --〕·〔21x y -+〕=0[巩固2]点R 〔-3，0〕，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足·PM =，2PM +3=，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。

[迁移]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱AB 的中点，点P 是平面ABCD 上的一动点，且点P 到直线A 1D 1的距离两倍的平方比到点M 的距离的平方大4，那么点P 的轨迹为： A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点〔圆心与半径〕，圆的一样方程反映了圆的代数特点〔二元二次方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0⇔A=B ≠0，C=0,且D 2+E 2-4AF>0〕。

判定点P 〔x 0,y 0〕与⊙M ：(x-a)2+(y-b)2= r 2的位置关系，用|PM|与r 的大小，即：|PM|>r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2> r 2⇔P 在⊙M 外；|PM|<r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2< r 2⇔P 在⊙M 内；|PM|=r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2= r 2⇔P 在⊙M 上。

过两个定点A 、B 的圆,圆心在线段AB 的中垂线上。

[举例1]一圆通过A 〔4，2〕，B 〔-1，3〕两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，那么圆的方程为 。

解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一样方程〔因为与圆心、半径没有直截了当联系〕，设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A 、B ，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，圆在x 轴上的截距即圆与x 轴交点的横坐标，当y=0时，x 2+Dx+F=0，x 1+x 2=-D圆在y 轴上的截距即圆与y 轴交点的纵坐标，当x=0时，y 2+Ey+F=0，y 1+y 2=-E由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。

[举例2]假设存在实数k 使得直线l ：kx-y-k+2=0与圆C ：x 2+2ax+y 2-a+2=0无公共点，那么实数a 的取值范畴是： 。

解析：此题看似直线远的位置关系咨询题，事实上不然。

注意到直线l 对任意的实数k 恒过定点M 〔1，2〕，要存在实数k 使得直线l 与⊙C 相离，当且仅当M 点在圆外；方程x 2+2ax+y 2-a+2=0变形为：(x+a)2+y 2= a 2+a -2, M 点在⊙C 外⇔(1+a)2+4>a 2+a -2>0，解得：-7<a<-2或a>1. 注：此题中a 2+a -2>0是极易疏漏的一个潜在要求。

[巩固1]过点A 〔3，-2〕，B 〔2，1〕且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。

[巩固2]定点M(x 0,y 0)在第一象限，过M 点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分不为r 1， r 2,那么r 1r 2= 。

[迁移] 关于曲线42:1C x y +=给出以下讲法：①关于直线0y =对称；②关于直线0x =对称；③关于点(0,0)对称；④关于直线y x =对称；⑤是封闭图形，面积小于π；⑥是封闭图形，面积大于π；那么其中正确讲法的序号是3．涉及直线与圆的位置关系的咨询题，宜用圆心到直线的距离d 来研究。

d =r 〔r 为圆的半径〕⇔直线与圆相切；过圆x 2+y 2=r 2上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y=r 2；过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线，那么两切点A 、B 连线的直线方程为x 0x+y 0y=r 2。

过⊙A 外一点P 作圆的切线PQ 〔Q 为切点〕，那么|PQ|=22||r PA -。

d <r ⇔直线与圆相交，弦长|AB|=222d r -;过直线A x +B y +C =0与圆：F Ey Dx y x ++++22=0的交点的圆系方程：F Ey Dx y x ++++22+λ〔A x +B y +C 〕=0 。

d >r ⇔直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为d -r ，最大值为d +r 。

[举例1] 从直线x -y+3=0上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线，那么切线长的最小值是 A.223 B.214 C.423 D. 223-1 解析：圆1)2()2(22=+++y x 的圆心A 〔-2，-2〕，直线x -y+3=0上任一点P ，过引圆的切线PQ 〔Q 为切点〕，那么|PQ|=1||2-PA ，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最小值即A 到直线x -y+3=0的距离，为223，现在|PQ|=214，选B 。

[举例2] 能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为：A ．2 C ．3 D ．解析：此题假如设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是专门苦恼的。

注意到圆心M 〔1，-2〕，半径r =2，结合图形容易明白，当且仅当M 到直线l ：20x y c ++=的距离d ∈〔1，3〕时，⊙M 上恰有两个点到直线l 的距离等于1，由d =5||c ∈〔1，3〕得：)53,5()5,53(⋃--∈c ，选C 。

[巩固1] 假设直线(1+a)x +y +1=0与圆x 2+y 2－2x =0相切，那么a 的值为 〔 〕 〔A 〕1，－1 〔B 〕2，－2 〔C 〕1 〔D 〕－1[巩固2]直线l 1：y=kx +1与圆C ：x 2+y 2+2kx+2my=0的两个交点A 、B 关于直线l 2：x+y=0对称，那么CB CA ⋅= 。

[迁移]实数x ,y 满足24,012222--=+--+x y y x y x 则的取值范畴为 〔 〕A ．),34[+∞ B ．]34,0[ C ．]34,(--∞ D ．)0,34[- 4．判定两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。

⊙M 、⊙N 的半径分不为1r 、2r ， |MN|>1r +2r ⇔外离，|MN|=1r +2r ⇔外切，|1r -2r |<|MN|<1r +2r ⇔相交，现在，假设⊙M ：011122=++++F y E x D y x ，⊙N ：022222=++++F y E x D y x ，过两圆交点的圆〔系〕的方程为：11122F y E x D y x +++++λ〔22222F y E x D y x ++++〕=0〔⊙N 除外〕。

专门地：当λ= -1时，该方程表示两圆的公共弦。

连心线垂直平分公共弦。

|MN|=|1r -2r |⇔内切，|MN|<|1r -2r |⇔内含。

[举例1]两圆O 1：x 2+y 2=16，O 2：(x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O 1O 2于M 点，那么O 1分有向线段MO 2所成的比λ= 〔 〕A ．56B ．65C ．-56D ．-65 解析：直线O 1 O 2：y= -2x ，两圆公共弦：x-2y=6，因此有：M 〔56，512-〕，有定比分点坐标公式不难得到λ的值，选C 。

[举例2] 假设,}1)2(|),{(},16|),{(2222B B A a y x y x B y x y x A =-≤-+=≤+= 且那么a 的取值范畴是 〔 〕A ．1≤aB ．5≥aC ．51≤≤aD ．5≤a解析：集合A 、B 分不表示两个圆面〔a=1时集B 表示一个点〕，A ∩B=B ⇔B ⊂A ，即两圆内含；有两圆圆心分不为原点和〔0，2〕，半径分不为4和1-a ，因此有：2≤4-1-a ,解得：51≤≤a ，选C 。