初中数学弧长及扇形的面积教学设计

初中数学弧长及扇形的面积教学设计
课时安排
1课时
从容说课
本节课的内容为弧长及扇形的面积，是在学习了圆的有关性质后，利用圆的性质探索推导弧长及扇形的面积，并能运用得出的结论进行有关计算，实质上是圆的有关性质的运用．本节的重点和难点是学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积，并能应用公式解决问题．在教学中，教师不要急于给出学生公式，而要引导学生自己根据已有的知识推导公式．如果学生有困难，可以采取小组合作的形式解决．这样既能使学生有成就感，又能培养他们的探索能力，还能使所学知识掌握得比较牢固，那么运用公式进行计算来解决问题就比较容易了．
课题
§ 3．7 弧长及扇形的面积
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．
2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题．让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．
教学重点
1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．
2．了解弧长及扇形面积计算公式．
3．会用公式解决问题．
教学难点
1．探索弧长及扇形面积计算公式．
2．用公式解决实际问题．
教学方法
学生互相交流探索法
教具准备
2．投影片四张
第一张：(记作§ 3．7 A)
第二张：(记作§ 3．7 B)
第三张：(记作§ 3．7 C)
第四张：(记作§ 3．7 D)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．
Ⅱ．新课讲解
一、复习
1．圆的周长如何汁算?
2，圆的面积如何计算?
3．圆的圆心角是多少度?
[生]若圆的半径为r ，则周长l ＝2πr ，面积S ＝πr 2，圆的圆心角是360°．
二、探索弧长的计算公式
投影片(§ 3．7 A)
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm ．
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米?
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米?
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A 被传送多少厘米?
[师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送圆周长的360
1；转动轮转n°，传送带上的物品A 被传送转l°时传送距离的n 倍．
[生]解：(1)转动轮转一周．传送带上的物品A 被传送2π×10＝20πcm ；
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送
18
36020ππ=cm ； (3)转动轮转n°，传送带上的物品A 被传送n×1836020ππn =cm ． [师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．
[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR ，那么1°的圆心角对应的弧长为
180
3602R R ππ=，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n 倍，即n×180180R n R ππ=. [师]表述得非常棒．
在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为： l=180
R n π. 下面我们看弧长公式的运用．
三、例题讲解
投影片(§3．7 B)
制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB 的长(结果精确到0．1 mm)．
分析：要求管道的展直长度．即求弧AB 的长，根据弧长公式l ＝
180R n π可求得弧AB 的长，其中n 为圆心角，R 为半径．
解：R ＝40mm ，n=110．
∴弧AB 的长= 180n πR=弧180
110×40π≈76．8 mm ． 因此．管道的展直长度约为76．8 mm ．
四、想一想
投影片(§3．7 C)
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． (1)这只狗的最大活动区域有多大？
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?
[师]请大家互相交流．
[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；
(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的弧3601，即3602R π×9π=40
n ，n°的圆心角对应的圆面积为n×40n =40
πn ． [师]清大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．
[生]如果圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2
，1°的圆心角对应的扇形面积为3602
R π，n°
的圆心角对应的扇形面积为n·3602R π=3602R n π．因此扇形面积的计算公式为S 扇形＝360
n πR 2， 其中R 为扇形的半径，n 为圆心角．
五、弧长与扇形面积的关系 [师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝180n πR ，n°的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360
n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n ．半径R 有关系，因此l 和S 之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．
[生]∵l=
180n πR ，S 扇形=360
n πR 2， ∴360n πR 2=21R·180n πR ．∴S 扇形=21lR ． 六、扇形面积的应用
投影片(§3．7 D)
扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求弧AB 的长(结果精确到0．1 cm)和扇形AOB
的面积(结果精确到0．1 cm 2)
分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径尺和圆心角n 即可，本题中这些 条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．
解：弧AB 的长=
180120π×12≈25．1cm ： S 扇形=360
120π×122≈150．7 cm 2． 因此，弧AB 的长约为25．1 cm ，扇形AOB 的面积约为150．7 cm 2．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容：
1．探索弧长的计算公式l ＝
180
n πR ，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S ＝360n πR 2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长l 及扇形的面积S 之间的关系，并能已知一方求另一方．
Ⅴ．课后作业
习题3．10
Ⅵ．活动与探究
如图，两个同心圆
被两条半径截得的弧AB
的长为6πcm ，弧CD 的 长为10πcm ，又AC ＝ 12 c m ，求阴影部分ABDC 的面积． 分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD 的面积与扇形AOB 的面积之差．根据扇形面
积S ＝2
1lR ，l 已知，则需要求两个半径OC 与OA ，因为OC ＝OA+AC ，AC 已知，所以只要能求出OA 即可．
解：设OA ＝R ，OC ＝R+12，∠O ＝n°，根据已知条件有： 6π=
180n πR ①
10π=180
n π(R+12) ② 由①/② 得12
53+=R R . ∴3(R+12)=5R ，∴R＝18．
∴OC ＝18+12＝30．
∴S ＝S 扇形COD -S 扇形AOB ＝21×10π× 30-2
1×6π×18＝96πcm 2． 所以阴影部分的面积为96πcm 2．
板书设计
§3．7 弧长及扇形的面积
一、1. 复习圆的周长和面积计算公式；
2．探索弧长的计算公式；
3．例题讲解；
4．想一想；
5．弧长及扇形面积的关系；
6．扇形面积的应用．
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
备课资料
一、参考例题
[例]如图，已知正三角形ABC 的边长为a ，分别以A 、B 、C 为圆心，以2
a 为半径的圆相切于点O 1、O 2、O 3．求弧O 1O 2，弧O 2O 3，弧O 3O 1,围成的图形面积S(图中阴影部分)．
分析：阴影部分的面积等于△ABC 的面积减去三个扇形AO 1O 3、BO 1O 2、CO 2O 3的面积，而
这三个扇形面积相等． 解：∵S △ABC =2
1a·4323=a a 2， S 扇形AO1O3=24
360)2(602
2a a ππ=⋅a 2， ∴S 阴影＝S △ABC -3S 扇形AO1O3 =8322434322ππ-=⨯-a a a 2。