一元一次方程(知识点完整版)

第三章：一元一次方程

本章板块

1.定义

2.等式的基本性质

一元一次方程 3.解方程

4.方程的解

5.实际问题与一元一次方 程

知识梳理

【知识点一：方程的定义】

方程： 含有未知数的等式就叫做方程。

注意未知数的理解， x, m, n 等，都可以作为未知数。 题型： 判断给出的代数式、等式是否为方程 方法： 定义法

例 1、判定下列式子中，哪些是方程？

（1） x

y 4 （ 2） x 2 （ 3） 2 4 6 （4） x

2

9 （5）

1

1

x 2

【知识点二：一元一次方程的定义】 一元一次方程 ：①只含有一个未知数

( 元 ) ；

②并且未知数的次数都是 1(次)；

③这样的整式方程叫做一元一次方程。

题型一 ：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程

方法： 定义法

例 2、判定下列哪些是一元一次方程？

2( x

2

x) x 0 ， 2

x 1

7 ， x

0 ， x

y 1， x

1 3 ， x 3x ， a 3

x

题型二 ：形如一元一次方程，求参数的值

方法： x 2 的系数为 0； x 的次数等于 1； x 的系数不能为 0。 例 3、如果

m 1 x m 5 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值

例 4、若方程 2a 1 x 2 ax 5 0是关于 x 的一元一次方程，求

a 的值

【知识点三：等式的基本性质】

等式的性质 1：等式两边都加上 ( 或减去 ) 同个数 ( 或式子 ) ，结果仍相等。即：若 a=b ，则 a

± c =b ± c

等式的性质 2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。即：

若 a

b ，则 a

c bc ；若 a b ， c 0且

a

b

c

c

例 5、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）

A 、如果 a=b ，那么 a-c=b-c

B 、如果 a=b ，那么 a+c=b+c

C 、如果 a=b ，那么

a

b D

、如果 a=b ，那么 ac=bc

c

c

【知识点四：解方程】

方程的一般式是： ax

b 0 a 0

题型一 ：不含参数，求一元一次方程的解 方法：

步骤

1. 去分母

2. 去括号

3. 移项

4. 合并同类 项

5. 化系数为 1

具体做法

依据 注意事项

在方程两边都乘以各分

等式基本性质

防止漏乘（尤其整数项） ，

母的最小公倍数

2

注意添括号；

括号前面是“ +”号，括

先去小括号，再去中括

去括号法则、

号可以直接去， 括号前面 号，最后去大括号

分配律

是“ - ”号，括号里的每

一项都要变号

把含有未知数的项都移

到方程的一边，其他项 等式基本性质

移项要变号，不移不变

都移到方程的另一边 1

号；

( 移项一定要变号 )

将方程化简成

合并同类项法

计算要仔细

ax b a 0

则

方程两边同时除以未知

数的系数 a ，得到方程 等式基本性质

计算要仔细， 分子分母勿

2

颠倒

的解

例 7、解方程

x 3

2 3x

5 4

8 2

练习 1、 2 x 5 x 4 3 2x 1 5x 3

练习 2、 0.2x 0.1 0.5x 0.1

1

练习 3、

3

2 1 1 2 2 x 0.6 0.4

2 3 4

题型二： 解方程的题中，有相同的含 x 的代数式

方法： 利用整体思想解方程，将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简，

并求值。再将得到的值与该代数式相等，求解原未知数。 例 8、 2x 1 2 2x 1 5 2x 1

4 0

2

3 6

思路点拨： 因为含有 x 的项均在“ 2x 1 ”中，所以我们可以将作为“ 2x 1 ”一个整体，

先求出整体的值，进而再求

x 的值。 题型三： 方程含参数，分析方程解的情况

方法： 分情况讨论，① a 0 时，方程有唯一解 x

b ；

a

② a 0 , b 0时，方程有无穷解；

③ a 0 , b

0 时，方程无解。

例 9、探讨关于 x 的方程 ax

b x 3 0 解的情况

【知识点五：方程的解】

方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解。 题型一： 问 x 的值是否是方程的解

方法： 将 x 的值代入方程的左、右两边，看等式是否成立。 例 10、检验 x

5 和 x 5 是不是方程

2x

1

x 2 的解

3

题型二： 给出的方程含参数，已知解，求参数

方法： 将解代入原方程，从而得到关于参数的方程，解方程求参数

例 11、若 x

3 是方程 k x

4 2k x 5的解，求 k 的值

题型三： 方程中含参数， 但在解方程过程中将式子中某一项看错了， 从而得到错误的解， 求