人教版七年级数学下册5.3.2 命题、定理、证明 专题复习
七年级数学人教版下册命题、定理、证明
直线的基本事实：两点确定一条直线.
作用
线段的基本事实：两点间线段最短.
平行线的判定-基本事实：同位角相等，两直线平行.
平行线的基本事实：经过直线外的一点有且仅有 一条直线与已知直线平行.
定理：有些真命题它们的正确性是经过推理证实的， 也可以作为继续推理的依据.
作用 学过的定理： （1）补角的性质：同角或等角的补角相等.
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下 反例：图中，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
A
O
1 2
C
B
例题讲解
例2 如图，已知直线b//c，a⊥b. 求证a⊥c.
证明： ∵a⊥b (已知)，
b
c
∴∠1 = 90°(垂直的定义).
a
1
2
又b//c(已知)，
∴∠1 = ∠2(两直线平行，同位角相等).
（2）余角的性质：同角或等角的余角相等.
（3）对顶角的性质：对顶角相等.
（4）平行线的判定：内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断， 这个推理过程叫做证明.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题 的题设，但不满足结论就可以了.
6.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，
交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.
求证：PG∥HQ.
M P
A
证明：∵AB∥CD(已知)，
H C
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
B G
D Q
N
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
人教版数学七年级下册 5.3.2命题、定理、证明 课件(共23张PPT)
举一反三
10. (创新题)如图5-9-2，在四边形ABCD中，①AB∥CD，② ∠A＝∠C，③AD∥BC. (1)请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题 ； (2解)判：断(1这)命个题命为题如是果否A为B∥真C命D，题∠，A并＝说∠明C，理由.
第五章 相交线与平行线
第9课时 命题、定理、证明
目录
01 本课目标 02 课堂演练
1. 了解命题、定理和证明的概念. 2. 能区分命题的题设和结论，会将一个简略的命题写成“ 如果……那么……”的形式. 3. 能判断命题的真假，并能对一个命题的正确性进行说理.
知识重点
知识点一 命题的定义
____判__断__一__件__事__情______的语句，叫做命题.
对点范例
1. 下列语句中，是命题的是( A )
①若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗；
③画线段AB=CD；④如果a＞b,b＞c,那么a＞c；⑤直角都相等
.
A. ①④⑤
B. ①②④
C. ①②⑤
D. ②③④⑤
知识重点
知识点二 命题的结构
命题都可以改写成“如果……那么……”的形式，其中， “如果”后接的部分是____题__设______，“那么”后接的部 分是____结__论______.
举一反三
8. 命题“相等的角不一定是对顶角”是_____真_______(填“ 真”或“假”)命题.
典型例题
【例4】对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，小明想举一个反例
说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是( D )
人教版数学七年级下册《5-3-2命题、定理、证明 》教案
人教版数学七年级下册《5-3-2命题、定理、证明》教案一. 教材分析《5-3-2命题、定理、证明》是人教版数学七年级下册的一章内容。
本章主要介绍命题、定理和证明的概念，要求学生理解命题的真假判断，了解定理的定义和证明过程，能够运用证明方法解决一些简单的数学问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了整数、分数、代数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力。
但部分学生对于抽象的概念理解起来可能存在一定的困难，需要通过具体的例题和实践活动来加深理解。
三. 教学目标1.了解命题、定理的概念，理解命题的真假判断，掌握定理的定义和证明过程。
2.培养学生运用证明方法解决数学问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.命题、定理的概念及命题的真假判断。
2.证明方法的应用。
五. 教学方法1.讲授法：讲解命题、定理的概念，演示证明过程。
2.案例分析法：分析具体例题，引导学生运用证明方法解决问题。
3.小组合作法：分组讨论，共同完成证明任务。
六. 教学准备1.教材、PPT课件。
2.相关例题和练习题。
3.教学工具：黑板、粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示一些日常生活中的命题，如“明天会下雨”、“今天是星期天”等，引导学生思考这些命题的真假判断。
2.呈现（10分钟）讲解命题、定理的概念，解释命题的真假判断，通过PPT课件展示定理的定义和证明过程。
3.操练（10分钟）给出几个简单的例题，让学生尝试运用证明方法解决问题。
引导学生思考证明过程中的关键步骤，培养学生的逻辑思维能力。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，共同完成一个证明任务。
教师巡回指导，解答学生疑问。
5.拓展（10分钟）给出一个较复杂的证明题目，让学生独立完成。
鼓励学生运用所学知识，解决问题。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调命题、定理和证明的概念，以及证明方法的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关命题、定理和证明的练习题，要求学生回家后独立完成。
2022至2023年年初中数学人教版初一下册 5.3.2命题、定理、证明
选择题下列句子中，属于命题的是（）A. 直线AB和CD垂直吗B. 作线段AB的垂直平分线C. 同位角相等，两直线平行D. 画∠【答案】C【解析】分别根据命题的定义进行判断．A、直线AB和CD垂直吗？这是疑问句，不是命题，所以A选项错误；B、作线段AB的垂直平分线，这是描叙性语言，不是命题，所以B 选项错误；C. 同位角相等，两直线平行是命题，所以C选项正确；D、画∠，这是描叙性语言，不是命题，所以D选项错误．故选C选择题下列句子是命题的是( )A. 画∠AOB=45°B. 小于直角的角是锐角吗？C. 连结CDD. 三角形内角和等于180°【答案】D【解析】对于选项A、C，由于不能判断其正误，所以不是命题；对于选项B，由于不是陈述句，所以不是命题；对于选项D，根据命题的定义可得D中的句子是命题.故选D.选择题下列语句中，不是命题的是()A. 所有的平角都相等B. 锐角小于90°C. 两点确定一条直线D. 过一点作已知直线的平行线【答案】D【解析】根据命题的定义：判断一件事情的语句叫命题，进行选择.、平角都相等，判断一件事情，故是命题；、锐角小于，判断一件事情，故是命题；、两点确定一条直线，判断一件事情，故是命题；、没判断一件事情，只是叙述一件事情，故不是命题.故选：.选择题下列命题是真命题的是( )A. 同旁内角相等，两直线平行B. 若，则C. 如果，那么D. 平行于同一直线的两直线平行【答案】D【解析】分析: 分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.详解: A. ∠ 同旁内角互补，两直线平行，故是假命题；B. ∠若，则，故是假命题；C. ∠-1>-2满足，但，故是假命题；D. ∠平行于同一直线的两直线平行，故是真命题；故选D.选择题下列命题中，属于真命题的是（）A. 互补的角是邻补角B. 在同一平面内，如果a∠b，b∠c，则a∠c。
人教版数学七年级下册5.3.2《 命题、定理、证明》同步练习 (含答案)
人教版数学七下5.3.2《命题、定理、证明》同步练习一、选择题1.下列命题中是假命题的是( )A.同旁内角互补，两直线平行B.直线a⊥b，则a与b的夹角为直角C.如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角D.若a∥b，a⊥c，那么b⊥c2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）A.垂直B.两条直线C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线3.下列命题中，真命题的个数为（）.①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；③两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线平行；④两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线平行；⑤两条直线被第三条直线所截，形成4对同位角、2对内错角和2对同旁内角.A.4B.3C.2D.14.下列命题中，属于真命题的是（）A.两个锐角之和为钝角B.同位角相等C.钝角大于它的补角D.相等的两个角是对顶角5.下列说法中，正确的是（）A.一个角的补角一定比这个角大B.一个角的余角一定比这个角小C.一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上D.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。
6.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③两点之间，直线最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离.其中是真命题的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个7.下列命题中，真命题是（）A.相等的角是直角B.不相交的两条线段平行C.两直线平行，同位角互补D.经过两点有具只有一条直线8.已知下列命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；•③相等的角是对顶角；④同位角相等，其中假命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角；③同旁内角互补；④垂线段最短；⑤同角或等角的余角相等；⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.其中假命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.下列语句不是命题的是（）A.过直线外一点作直线的垂线B.三角形的外角大于内角C.邻补角互补D.两直线平行，内错角相等11.下列命题是假命题的是（）A.同角的余角相等B.同旁内角互补C.对顶角相等D.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行12.下列四个命题中：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交②有且只有一条直线垂直于已知直线③两条直线被第三条直线所截，同位角相等④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离.其中真命题的个数为（）A.1个B.2 个C.3个D.4个二、填空题13.下列命题中：①若∣a∣=∣b∣，则a=b；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行.是真命题的是.（填写所有真命题的序号）14.把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_______________.15.把命题“同角的补角相等”改成“如果...那么....”的形式16.把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：.17.命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是，结论是18.把命题“平行于同一直线的两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式________.三、解答题19.已知命题：“如图，点B，F，C，E在同一条直线上，则AB∥DE.”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并说明理由.20.如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性.①结论：（1）________（2）________（3）________（4）________②选择结论（1），说明理由.参考答案1.答案为：C2.答案为：D.3.答案为：B4.答案为：C5.答案为：C6.答案为：A.7.答案为：D.8.答案为：C9.答案为：B10.答案为：A11.答案为：B12.答案为：A.13.答案为：②③④14.答案为：如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直15.答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．16.答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.17.答案为：同位角相等；两直线平行.18.答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行19.解：这个命题是假命题.添加条件∠B=∠E使其成为真命题.理由：内错角相等，两直线平行.(添加条件不唯一)20.∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；∠APC=∠PAB+∠PCD；∠PCD=∠APC+∠PAB；∠PAB=∠APC+∠PCD。
人教版七年级数学下册 5.3.2 命题、定理、证明 训练(含答案)
人教版七年级数学下册5.3.2《命题、定理、证明》训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列语句中，是命题的是()A．连接A，B两点B．画一个角的平分线C．过点C作直线AB的平行线D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直2．下列语句：①两点之间，线段最短；②画线段AB＝3 cm；③直角都相等；④如果a＝b，那么a2＝b2；⑤同旁内角互补，两直线平行吗？其中是命题的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．命题“对顶角相等”的“题设”是()A．两个角是对顶角B．角是对顶角C．对顶角D．以上都不正确4．命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列命题可以作为定理的有()①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的余角相等；④对顶角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列命题中，是真命题的是()A．同位角相等B．相等的角是直角C．若|y|＝2，则y＝±2 D．若ab＝0，则a＝07．给出以下命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中( )A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错9．下列说法正确的是( )A ．互补的两个角是邻补角B ．两直线平行，内错角互补C ．“平行于同一条直线的两直线平行”不是命题D ．“相等的两个角是对顶角”是假命题10. 判断命题“如果n ＜1，那么n 2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为( )A ．－2B ．－12C ．0D ．12二．填空题（共8小题，3*8=24）11．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是_________________________12．结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵_________________________，∴a ∥b.13．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场)，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是________.14．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③希望明天下雨；④作AD ⊥BC ；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是__________(填序号)15．下列命题：①若|a|＞|b|，那么a 2＞b 2；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等．其中真命题的是__________(填序号)16．“两直线平行，内错角相等”的题设是______________，结论是______________．17．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．(1)“如果ac ＝bc ，那么a ＝b”是一个假命题．反例：___________________.(2)“如果a 2＝b 2，则a ＝b”是一个假命题．反例：___________________.18．如图，从①∠1＝∠2；②∠C ＝∠D ；③∠A ＝∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为_______.三．解答题（共6小题，46分）19．(6分) 把下列命题写成“如果……那么……”的形式．(1)对顶角相等；(2)不相等的角不是对顶角；(3)相等的角是内错角．20．(6分) 举反例说明下列命题是假命题：(1)互补的两个角一个是钝角，一个是锐角；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)内错角相等.21．(6分) 分别指出下列命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例说明．(1)同旁内角互补，两直线平行；(2)如果a2＝b2，那么a＝b；(3)如果ac＝bc，那么a＝b；(4)互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角．22．(6分) 如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，交AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，∠DBF＝∠F，求证：EC∥DF.23．(6分) 在下面的括号内，填上推理的根据：(1)如图①，已知AB∥CD，BE∥CF，求证：∠B＋∠C＝180°.证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠B＝∠BGC(____________________________).∵BE∥CF(已知)，∴∠BGC＋∠C＝180°(____________________________)，∴∠B＋∠C＝180°(__________).(2)如图②，已知AD⊥BC于点D，DE∥AB，∠1＝∠3，求证：FG⊥BC.证明：∵DE∥AB(已知)，∴∠1＝∠2(________________________).又∵∠1＝∠3(已知)，∴∠2＝∠3(_______________)，∴AD∥FG(______________________________)，∴∠BGF＝∠BDA(_______________________).∵AD⊥BC(已知)，∴∠BDA＝90°(_________________)，∴∠BGF＝90°(____________)，∴FG⊥BC(______________).24．(8分) 命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．25．(8分) 已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行”．(1)写出命题的题设和结论；(2)画出符合命题的几何图形；(3)用几何符号表述这个命题；(4)说明这个命题是真命题的理由．参考答案1-5DCAAC 6-10 CBBDA11．两条直线平行于同一条直线12. ∠1＋∠3＝180°13．014．①②⑤15. ①②③16. 两直线平行，内错角相等17. 3×0＝(－2)×0 ，32＝(－3)218．319. 解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．(2)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．(3)如果两个角相等，那么这两个角是内错角．20. 解：(1)∠A ＝90°，∠B ＝90°，∠A 与∠B 互补，但∠A 与∠B 为两个直角．(2)|－3|＝|3|，但－3≠3.(答案不唯一)(3)如图，∠1与∠2是内错角，但∠1≠∠2.21. 解：(1)题设：同旁内角互补，结论：两直线平行，是真命题(2)题设：a2＝b2，结论：a ＝b ，是假命题．例如：(－2)2＝22，但－2≠2(3)题设：ac ＝bc ，结论：a ＝b ，是假命题．例如：3×0＝2×0，但3≠2(4)题设：两个角互补，结论：一个为锐角，一个为钝角，是假命题．例如：两个直角互补22. 解：∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠DBF ＝12 ∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB. ∵∠ABC ＝∠ACB ，∴∠DBF ＝∠ECB.∵∠DBF ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF23. 解：(1)两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补等量代换(2)两直线平行，内错角相等等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等垂直的定义等量代换垂直的定义24. 解：是真命题，证明如下：已知：AB ∥CD ，BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD.求证：BE ∥CF.证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠BCD.∵BE ，CF 分别是∠ABC ，∠BCD 的平分线，∴∠2＝12∠ABC ，∠3＝12∠BCD. ∴∠2＝∠3.∴BE ∥CF.25. 解：(1)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行(2)如图：(3)如图，已知AB ∥CD ，GH ，MN 分别平分∠BGF 和∠EMC ，则GH ∥MN(4)∵GH ，MN 分别平分∠BGF 和∠EMC ，∴∠HGF ＝12 ∠BGF ，∠NME ＝12∠EMC ， 又∵AB ∥CD ，∴∠BGF ＝∠CME ，∴∠HGF ＝∠NME ，∴GH ∥MN。
人教版数学七年下册第五章5.3.2《命题,定理,证明》精选题高频考点(含答案)-2
乙中的 0 都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“ 3 ”表示它的周围八个广块 中仅有 3 个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有 4 个方块已确定是雷（方块上
（3）如果 a b ，那么 ab 0 ；
（4）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条直线垂直． 48．如图，在△ABC 中，∠B≠∠C.求证：AB≠AC.
49．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假． （1）60°角的余角是 30°； （2）等边三角形是轴对称图形；
B．直角三角形有一个锐角大于 45°
C．直角三角形的每个锐角都大于 45°
D．直角三角形有一个锐角小于 45°
17．17．下列判断正确的个数是( )
①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③锐角和钝角互补；
④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．
试卷第 2页，总 7页
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
D．三角形的三条高都在三角形内部
20．下列命题中,是假命题的是：（ ）
A．对顶角相等
B．同位角相等
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距
离相等
二、填空题 21．相等的角是直角的逆命题是______．
22．命题：“如果 a b ，那么 a b ”的逆命题为______，逆命题是______（填“真”或
试卷第 5页，总 7页
人教版七年下册第五章5.3.2《命题,定理,证明》精选题高频考点(含答案)-2
人教版七年下册第五章5.3.2《命题，定理，证明》精选综合题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题中，真命题是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行D ．同旁内角互补2．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；B ．一个三角形中至少有两个锐角；C ．两直线平行，同位角相等；D ．相等的角是对顶角3．下列命题是真命题的是（ ）A ．π是单项式B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．两点之间，直线最短D ．同位角相等 4．下列命题中，真命题的是（ ）A ．同旁内角互补；B ．平行于同一条直线的两条直线平行；C ．三角形的一个外角等于它的两个内角之和；D ．若函数()231m y m x -=+是正比例函数，且图象在第二、四象限，则2m =. 5．下列选项中，可以用来证明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b “是假命题的反例是（ ） A ．a ＝﹣2，b ＝1 B ．a ＝3，b ＝﹣2 C ．a ＝0，b ＝1 D ．a ＝2，b ＝1 6．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( ) A ．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠αB ．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠αC ．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠αD ．两个角互为邻补角7．命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0.其中为真命题的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．反证法证明命题：“在△ABC 中，若∠B ≠∠C ，则AB ≠AC ”应先假设A ．AB=ACB ．∠B =∠C C ．AB >ACD ．AB <AC 9．下列命题是真命题的是（ ）A ．两直线被第三条直线所截，同位角相等B ．有一个角是60°的三角形是等边三角形C ．三个角分别相等的两个三角形全等D ．到角两边距离相等的点在角平分线上 10．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ） A ．三角形中有一个内角小于或等于60° B ．三角形中有两个内角小于或等于60° C ．三角形中有三个内角小于或等于60° D ．三角形中没有一个内角小于或等于60° 11．判断命题“如果n ＜1，那么n 2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ）A ．﹣2B ．﹣12C ．0D ．1212．下列选项中，可以用来证明命题“若2a 4>，则a 2>”是假命题的反例是( ) A ．a 3=- B ．a 2=- C ．a 2= D ．a 3=13．下列语句不是命题的是（ ）A ．连结ABB ．对顶角相等C ．相等的角是对顶角D ．同角的余角相等 14．下列命题正确的是（ ）A ．菱形的对角线相等B ．矩形的对角线互相垂直C ．平行四边形的对角线相等且互相平分D ．正方形的对角线相等且互相垂直平分 15．下列说法中，正确的是( )A ．所有的命题都有逆命题B ．所有的定理都有逆定理C ．真命题的逆命题一定是真命题D ．假命题的逆命题一定是假命题 16．用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ） A ．直角三角形的每个锐角都小于45°B ．直角三角形有一个锐角大于45°C ．直角三角形的每个锐角都大于45°D ．直角三角形有一个锐角小于45°17．17．下列判断正确的个数是( )①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③锐角和钝角互补； ④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．下列命题是真命题的是（ ）A ．如果|a |＝|b |，那么a ＝bB ．平行四边形对角线相等C ．两直线平行，同旁内角互补D ．如果a ＞b ，那么a 2＞b 219．下列命题中，正确的是（ ）A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等C ．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形D ．三角形的三条高都在三角形内部20．下列命题中,是假命题的是：（ ）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．两点确定一条直线D ．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等二、填空题21．相等的角是直角的逆命题是______．22．命题：“如果a b =，那么a b =”的逆命题为______，逆命题是______（填“真”或“假”）命题．23．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个广块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（请填入方块上的字母）24．把命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为_____________________________________________________．25．命题“若(1)0x x -=，则0x =”是_____命题(填“真”、假)，证明时可举出的反例是______________.26．命题“如果ab ＝0，那么a ＝0”是______命题(填“真”或“假”)27．命题“等角的余角相等”的逆命题是：___________.28．用反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设_____．29．通过观察、猜测得到的结论一定正确吗？______．要判断一件事情或一个结论正确与否，必须进行有根有据地______．30．将命题“等边对等角”改写成“如果......那么......”的形式___________31．用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设_____________________．32．下列语句：①今天上午第几节课是数学课？②取线段AB 的中点．③如果a b >，那么33a b >．④这两条直线平行吗？⑤凡是直角都相等．其中______是命题．（填序号）33．（1）命题“如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是非负数”的条件是______，结论是______；（2）命题“在同一平面内，如果a b ⊥r r，a c ⊥，b 、c 不重合，那么b c ∥”，这个命题的条件是______，结论是______，这个命题是______命题；（3）命题“同角的补角相等”是______命题，这个命题可以改写为：如果______，那么______．34．如图，已知∠1和∠2互为补角，∠A=∠D ．求证：AB ∥CD ．证明：∵∠1与∠CGD 是对顶角，∴∠1=∠CGD （______）.又∠1和∠2互为补角（已知），∴∠CGD 和∠2互为补角，∴AE ∥FD （_________），∴∠A=∠BFD （_______）.∵∠A=∠D(已知），∴∠BFD=∠D （_______），AB ∥CD （______）.35．用反证法证明“若2a <，则24a <”时，应假设_____．36．命题“全等三角形的对应边都相等”的逆命题是___命题．（填“真”或“假”）37．对顶角相等，这个命题的题设是：___________________；结论是：________________． 38．“邻补角的角的平分线互相垂直”的逆命题是：_____，它是_____命题．39．命题“如果a≠b ，则a ，b 的绝对值一定不相等”是_____命题．（填“真”或“假”） 40．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：已知：_______________________________求证：_______________ ．三、解答题41．当1n =、2、3、4时，()()222121n n +--的值有什么特征？当n 是任意整数时，这个结论成立吗？用一句话概括这个结论．42．甲、乙、丙三名同学中有一名做了一件好事，李老师问他们：“谁做了好事？”他们调皮地说了下面的几句话：甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”丙说：“我没有做这件事，也不知谁做的这件事．”当李老师追问时，他们承认上面每人讲的话中都有一句真话，一句假话．根据这些条件，你能分析出到底是谁做了好事吗？43．如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？44．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件是什么？结论是什么？（1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（2）对顶角相等．45．下列命题的条件是什么？结论是什么？并指出真假．（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）相等的角是对顶角；（3）直角三角形的两个锐角互余．46．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）末位数字是0的数，一定能被5整除；（3）直角都相等；（4）同角的余角相等．47．指出下列命题中的条件和结论：（l ）任意两个奇数之和是偶数；（2）互余的两个角不一定相等；（3）如果a b >，那么0ab >；（4）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条直线垂直． 48．如图，在△ABC 中，∠B ≠∠C .求证：AB ≠AC .49．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．（1）60°角的余角是30°；（2）等边三角形是轴对称图形；（3）点(1,2)在函数1y x =-的图象上；（4）垂线段最短．50．命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举一反例．参考答案1．C2．D3．A4．B5．A6．C7．B8．A9．D10．D11．A12．A13．A14．D15．A16．A17．B18．C19．C20．B21．直角都相等22．如果a b =，那么a b = 真23．A 、C 、E B 、D 、F 、G.24．如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形.25．假 x=126．假27．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．28．“内错角相等，两直线不平行”29．不一定 推理证明30．如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等.31．三角形的三个内角都小于60°32．③⑤33．一个数的绝对值等于它本身 这个数是非负数 在同一平面内，a b ⊥r r，a c ⊥，b 、c 不重合 b c ∥ 真 真 两个角是同一个角的补角 这两个角相等 34．对顶角相等； 同旁内角互补，两直线平行； 两直线平行，同位角相等； 等量代换； 内错角相等，两直线平行.35．24a …36．真37．两个角是对顶角 这两个角相等38．如果两个角的角平分线互相垂直，那么这两个角是邻补角． 假39．假40．已知：△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线 求证：AD 平分∠BAC. 41．是8的倍数，当n 是任意整数时这个结论成立，概括为两个连续奇数的平方差是8的倍数．42．乙43．不正确44．（1）详见解析；（2）详见解析45．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.46．（1）如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，那么这两条直线平行． （2）如果一个数的末位数字为0，那么这个数一定能被5整除．（3）如果一些角是直角，那么这些角都相等．（4）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．47．（1）条件：任意两个奇数相加，结论：和是偶数．（2）条件：任意两个角互余，结论：这两个角不一定相等．（3）条件：a b >，结论：0ab >．（4）条件：一条直线和两条平行线中的一条垂直，结论：这条直线也和另一条直线垂直． 48．见解析49．（1）如果一个角是60°角的余角，那么这个角是30°，是真命题；（2）如果一个图形是本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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5.3.2 命题、定理、证明专题复习
[命题角度1] 命题的判断与识别
看一句话是不是命题,关键是看它是不是做出了明确的判断,是不是一个完整的句子.如果一个句子对某一件事情没有做出任何判断,那么它就不是命题.这里强调了“判断”这个条件,也就是说命题是带有肯定或否定语气、完整的陈述语句,其他形式的句子,如疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题.
例判断下列语句是不是命题.
(1)延长线段AB;( )
(2)两条直线相交,只有一个交点;( )
(3)画线段AB的中点;( )
(4)若|x|=2,则x=2;( )
(5)角平分线是一条射线.( )
[解析] (1)延长线段AB只是文字叙述,没有做出判断,不是命题;(2)两条直线相交,只有一个交点做出了判断,是命题;(3)画线段AB的中点,也只是文字叙述,没有做出判断,不是命题;(4)若|x|=2,则x=2,做出了判断,虽然此判断是错误的,但此语句仍是命题;(5)角平分线是一条射线做出了判断,是一个命题.
[答案:(1)不是(2)是(3)不是(4)是(5)是]
[命题角度2] 确定命题的题设和结论
确定一个命题的题设和结论时,若命题是“如果……那么……”的形式,则“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.如果命题不是“如果……那么……”的形式,那么先将命题改写成“如果……那么……”的形式,再来确定命题的题设和结论.改写要求:(1)改写后的命题与改写前的命题的内容要一致;(2)改写后的命题的句子要完整、语句要通顺,必要时,要对原命题加一些修饰,并且补上原来省略的部分.
例分别指出下列各命题的题设和结论.
(1)两点确定一条直线;
(2)等角的补角相等.
解:(1)改写成“如果过两点作直线,那么能够作而且只能作一条直线.”
条件是过两点作直线;结论是能够作而且只能作一条直线.
(2)改写成“如果两个角是相等的角的补角,那么这两个角相等.”
条件是两个角是相等的角的补角;结论是这两个角相等.
[命题角度3] 确定命题的真假
要判定一个命题是真命题,需要利用学过的定义、公理、定理进行说明;要判定一个命题是假命题,只要举一个反例即可.判断时不能认为肯定的命题就是真命题,否定的命题就是假命题.
例下列命题中,哪些是真命题,哪些是假命题?
(1)如果a>0,b>0,那么a+b>0;
(2)能被3整除的数,一定能被6整除.
解:(1)是真命题.因为两个正数的和仍是正数.
(2)是假命题.能被3整除的数,不一定能被6整除.反例:如15是能被3整除的数,但不能被6整除.
5.3.2 命题、定理、证明
1. 下列语句：①直角都相等；②等角的补角相等吗；③画两个相等的角；④同旁内角的平
分线互相垂直.其中是命题的有（）
A. ①④
B. ①③④
C. ②③④
D. ①③
2. 下面说法错误的是（）
A. 定理一定是真命题
B. 真命题一定是定理
C. 不是真命题一定不是定理
D. 经过推理证明的真命题是定理
3. 已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中是真命题的是___________（填写所有真命题的序号）.
4. （2013•佛山）命题“对顶角相等”的条件是____________________．
5. 甲、乙、丙、丁四位老师分别教数学、物理、化学、英语，甲老师可以教物理、化学；
乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、物理、化学；丁老师只能教化学，为了使每人都能胜任工作，那么教数学的是________老师．
答案
1. A
2. B
3. ①②④
4. 两个角是对顶角
5. 丙。