3.2.2可积的函数类
excel 函数乘法
excel 函数乘法
Excel中有多个函数与乘法有关，这些函数可用于在电子表格中执行不同类型的乘法运算。
以下是一些常见的Excel函数：
1. 乘法运算符(*)：在Excel中，使用星号(*)表示乘法运算符，它可用于将两个或多个数相乘。
例如，=2*3将返回6。
2. SUMPRODUCT函数：该函数可用于将两个或多个数列相乘并返回它们的总和。
例如，=SUMPRODUCT(A1:A5,B1:B5)将返回A1*B1 + A2*B2 + A3*B3 + A4*B4 + A5*B5的总和。
3. PRODUCT函数：该函数可用于将一系列数字相乘并返回它们的乘积。
例如，=PRODUCT(A1:A5)将返回A1*A2*A3*A4*A5的乘积。
4. MMULT函数：该函数可用于将两个矩阵相乘并返回结果矩阵。
例如，=MMULT(A1:C3,D1:F3)将返回一个3x3的矩阵，其值为两个矩阵相乘的结果。
5. VLOOKUP函数：该函数可用于在一个表格中查找一个值，并返回与该值相关的数据。
例如，=VLOOKUP(A1,B1:C5,2,FALSE)将在B1:C5中查找A1的值，并返回该行的第2列。
这些函数都可以在Excel中用于乘法运算，它们可以帮助用户在电子表格中快速准确地执行各种乘法计算。
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函数表示列数
函数表示列数函数表示列数 1函数表示列数 1函数列指的是 { S n ( x ) } \{S_n(x)\} {Sn(x)} 这样的序列，等价于数列，而函数项级数指的是将函数列 { u n ( x ) } \{u_n(x)\} {un(x)}进行累加得到的∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un(x) ，等价于数项级数。
虽然我们一般都有等式S n ( x ) = ∑ n u k ( x ) S_n(x)=\sum^n u_k(x) Sn(x)=∑nuk(x)，讨论收敛性，或者是收敛后的分析性质时，描述的东西本质上是一样的，但是在处理方法上大有区别。
比如说对于函数列的一致收敛，我们一般用β \beta β上界判别法，或者用柯西收敛原理。
对于函数项级数的一致收敛，我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定，如果判定不了，还可以对函数项级数进行求和转化成函数列（这点尤为重要）。
所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。
1.2 逐点收敛应该意识到最重要的事情：逐点收敛是数的收敛，一致收敛是函数的收敛。
但是即使这么说也要强调，收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数，也就是说描述的是逐点收敛，而不是一致收敛。
再详细的说，收敛就是逐点收敛，千万不能产生概念辨析上的困难。
要想学好这一章，最重要的就是区分这些概念的辖域。
在逐点收敛中，自变量x不再是一个自变量，而是数项级数中一个参量，就像 1 n p \frac{1}{n^p} np1 中的p一样。
对于逐点收敛的处理，其实就是对数项级数的处理，方法也是沿用数项级数的处理方法。
在逐项收敛中，有一个重要的概念就是和函数，对应的还有和函数的收敛域。
注意这两个概念都是逐点性质。
所谓的逐点，就是在一开始就给出了自变量x的值，比如求S n ( x ) = n α x e − n x S_n(x)=n^\alpha x e^{-nx} Sn(x)=nαxe−nx若要求 S ( x ) S(x) S(x) ，不能令 x = 1 n x=\frac{1}{n} x=n1 ，因为 x x x 在n之前取值，所以不能写作n的函数。
可积函数类并举例
可积函数类并举例概述可积函数类是指在某个测度空间上定义的一类函数，它们满足某种积分可定义且具有某种意义。
可积函数类广泛用于实际问题和数学理论中，是函数分析领域的一个重要研究方向。
可积函数类的定义可积函数类可以用不同的方式定义，这里介绍两种常见的定义方式。
Lp空间：Lp空间是指在某个测度空间上定义的可测函数集合，满足某种范数下的Lp范数有限。
设f为某个测度空间上的可测函数，则它的Lp范数表示为：∥f∥p=(∫|f(x)|p dx)1/p其中1≤p<∞，若p=∞则需要对极限情况单独考虑。
当f的Lp范数有限时，称f属于Lp空间，记为f∈Lp。
几乎处处有限：另一种可积函数类的定义方式是几乎处处有限的函数集合，该集合中的每个函数几乎处处有限。
在这种情况下，可积函数类可以表示为全体几乎处处有限的可测函数集合，记为L∞。
可积函数类的性质可积函数类具有一些重要的性质，下面列举其中的一些。
1. 可积函数类是线性空间。
2. 可积函数类中元素的范数满足某些三角不等式。
3. 可积函数类中元素的积分满足某些基本积分性质，如线性性、可加性、单调性等。
4. 某些可积函数类是完备的空间，即某些基本性质都可以得到证明。
可积函数类的举例以下是一些常见的可积函数类和它们的定义方式。
1. L1空间：L1空间是指在某个测度空间上定义的可测函数集合，满足L1范数有限。
在实际问题中，L1空间常用于表示可积的函数，这些函数的绝对值可积。
2. L2空间：L2空间是指在某个测度空间上定义的可测函数集合，满足L2范数有限。
由于L2空间是内积空间，因此它可以理解为带权二维欧几里得空间。
L2空间在信号处理和概率论中有广泛的应用。
3. L∞空间：L∞空间是指在某个测度空间上定义的几乎处处有界的可测函数集合。
L∞范数被定义为极本质上确界的L∞范数。
L∞空间常常用于表示有限范围的函数。
总结可积函数类是函数分析中的重要研究方向之一，它们可以用不同的方式定义。
e^(-x^2)在0到正无穷的定积分的推导过程
e^(-x^2)在0到正无穷的定积分的推导过程1. 引言1.1 概述：本文旨在推导和探讨函数e^(-x^2)在区间[0,∞)上的定积分。
e^(-x^2)函数是一种非常重要且广泛应用于数学、物理和统计学等领域的特殊函数，它具有许多独特的性质和应用。
通过详细深入地研究该函数在指定区间上的定积分求解步骤，我们将能够更好地理解和应用这个函数。
1.2 文章结构：本文将按照以下顺序组织：引言部分将提供概述、目的和文章结构；接下来的部分将介绍e^(-x^2)函数及其性质，包括函数定义与表达式、函数图像与特点以及函数的奇偶性与周期性；然后，我们将介绍定积分的基本概念与性质，包括定义与推导过程、几何意义以及性质与运算法则；随后, 我们将详细讲解e^(-x^2)在0到正无穷区间上的定积分求解步骤, 包括分析定积分区间、选取适当的变量替换以及原式转化；最后, 我们将给出结论和总结, 对结果进行总结以及探讨推广应用和展望未来的研究方向。
1.3 目的：本文的主要目的是通过推导过程，阐述e^(-x^2)在0到正无穷定积分的求解步骤。
该定积分是代数与微积分中重要的例子之一，通过研究此例我们可以深入理解定积分的概念、性质以及运算法则，并能够更准确地应用这些知识解决实际问题。
此外，通过对e^(-x^2)函数在指定区间上的定积分求解过程的详细讲解，读者们也能够更好地掌握如何选择适当的方法与技巧来求解其他类型的定积分。
以上为"1. 引言"部分内容。
2. e^(-x^2)函数及其性质:2.1 函数定义与表达式:e^(-x^2)是一个常见的数学函数，定义域为所有实数。
它的表达式可以写作f(x) = e^(-x^2)，其中e表示自然对数的底数，x表示自变量。
2.2 函数图像与特点:我们可以通过将不同的x值代入函数来绘制其图像。
由于e^(-x^2)中指数部分是-x^2，这意味着随着x增大，指数部分会变得越来越小，并趋近于零。
可积函数类并举例
可积函数类并举例
可积函数是数学中的一个重要概念，它在数学分析、微积分、概率论等领域都有广泛应用。
可积函数具有许多重要的性质，例如Lebesgue可积性、Riemann可积性等。
Lebesgue可积函数是指在Lebesgue测度下可积的函数，它是一类比较广泛的可积函数。
而Riemann可积函数则是指在Riemann积分下可积的函数，它是一类比较特殊的可积函数。
在实际应用中，Lebesgue可积函数更加常见。
下面给出一些常见的Lebesgue可积函数：
1.连续函数：对于一个定义在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，它在[a,b]上一定是可积的。
2.分段连续函数：对于一个在[a,b]上具有有限个第一类间断点的函数f(x)，它在[a,b]上一定是可积的。
3.绝对可积函数：对于一个在[a,b]上绝对可积的函数f(x)，它在[a,b]上一定是可积的。
4.Lp函数：对于一个在[a,b]上的Lp函数f(x)，它在[a,b]上一定是可积的。
其中p>1。
总之，可积函数是数学中一个十分重要的概念，我们需要熟练掌握它的定义和性质，并且能够灵活应用于实际问题中。
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函数类型细分辨，一目了然方法现——高中常见函数的分类
函数类型细分辨，一目了然方法现——高中常见函数的分类
高中阶段，学生们开始研究函数。
因为函数的概念难以理解，种类繁多，课本又没有系统地讲解，许多老师也只是泛泛而谈，所以很多学生更是稀里糊涂，无所适从。
因函数类型的不同，处理方式也大不一样，所以函数类型是题目的一个重要标志，找到了标志，方法、步骤大致确定。
其实，只要能分辨清楚函数的类型，则对应的方法、技巧是一目了然的。
这里就给出分类标准，以供参考：
基本初等函数：包括6种
其它的函数，基本上都是由以上基本初等函数进行有限次组合或有限次复合而成的。
组合函数：
复合函数：将基本初等函数的自变量x换成另外一个基本初等函数（自身也行）就得到一个复合函数。
通俗地说,复合函数就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。
例如：
具体函数：给出了具体的解析式的函数叫具体函数。
抽象函数：没给出具体解析式的函数就是抽象函数。
抽象函数不是没有解析式，只是说题目没有给出来，仅以一个符号y=f(x)或f(x)来体现。
我们可以理解为“有这么一个函数存在，具体的解析式是什么样子的暂时还不知道”
至于其它的一些函数类型，因为高一新生接触不到，这里先不讲了！
函数的种类不同,使用到的方法、步骤大不相同（在以后的发文中我会一一讲解）,所以要仔细区分函数的类型，必须达到一眼就能识别的程度。
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的有力工具,解析函数许多重要的性质都需要利用复积分来证明.本章主要介绍复变函数积分的定义、性质与基本计算方法，解析函数积分的基本定理——柯西-古萨定理及其推广，柯西积分公式及其推论以及解析函数与调和函数的关系.柯西-古萨定理和柯西积分公式是复变函数的理论基础，以后各章都直接地或间接地用到它们.§3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义在介绍复变函数积分的定义之前，首先介绍有向曲线的概念.设平面上光滑或分段光滑曲线C 的两个端点为A 和B .对曲线C 而言，有两个可能方向：从点A 到点B 和从点B 到点A .若规定其中一个方向(例如从点A 到点B 的方向)为正方向，则称C 为 有向曲线.此时称点A 为曲线C 的起点，点B 为曲线C 的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B 到起点A 的方向则称为曲线C 的负方向，记作C -.定义3.1 设C 为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A 为起点，B 为终点.函数f (z )在曲线C 上有定义.现沿着C 按从点A 到点B 的方向在C 上依次任取分点：A =z 0,z 1,…,z n -1,z n =B ,图3.1将曲线C 划分成 n 个小弧段.在每个小弧段1k k z z -(k =1,2,…,n )上任取一点,k ξ,并作和式1().nn k k k S f z ξ==∆∑其中1k k k z z z -∆=-.记λ为n 个小弧段长度中的最大值.当λ趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点k ξ的取法如何，n S 极限存在，则称函数f (z )沿曲线C 可积，并称这个极限值为函数f (z )沿曲线C 的积分.记作1()d lim (),nkkk Cf z z f z λξ→==∆∑⎰f (z )称为被积函数，f (z )d z 称为被积表达式.若C 为闭曲线，则函数f (z )沿曲线C 的积分记作()d Cf z z ⎰.2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f (z )沿曲线C 可积，则()d ()d .CC f z z f z z -=-⎰⎰ (3.1)性质3.2（线性性）若函数f (z )和g (z )沿曲线C 可积，则(()())d ()d ()d ,CCCf zg z z f z z g z z αβαβ+=+⎰⎰⎰ (3.2)其中αβ,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f (z )沿曲线C 可积，曲线C 由曲线段12,,,n C C C ,依次首尾相接而成，则12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰(3.3)性质3.4（积分不等式）若函数f (z )沿曲线C 可积，且对z C ∀∈,满足()f z M ≤, 曲线C 的长度为L ,则()d ()d ,CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰(3.4)其中d d s z ==, 为曲线C 的弧微分.事实上，记k s ∆为z k -1与z k 之间的弧长，有111()()().nn nkkk k k k k k k f zf z f s ξξξ===∆≤∆≤∆∑∑∑令0λ→,两端取极限，得到()d ()d .CCf z z f z s ≤⎰⎰又由于11(),nnk k k k k f s M s ML ξ==∆≤∆=∑∑所以有()d ()d .CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f (z )=u (x,y )+iv (x,y )沿曲线C 连续，则f (z )沿C 可积，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (3.5)证明：设11,,,,k k k k k k k k k k k k z x iy i x x x y y y ξζη--=+=+∆=-∆=-则11111()()()().k k k k k k k k k k k k k z z z x iy x iy x x i y y x i y -----∆=-=+-+=-+-=∆∆从而1111()((,)(,))()((,)(,))((,)(,)).nnkk k k k k k k k k nk k k k k k k nk k k k k k k f z u iv x i y u x v y i v x u y ξζηζηζηζηζηζη====∆=+∆+∆=∆-∆+∆+∆∑∑∑∑上式右端的两个和数是两个实函数的第二类曲线积分的积分和.已知f (z ) 沿C 连续，所以必有u 、v 都沿C 连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在()d Cf z z ⎰，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰注(3.5)式可以看作是f (z )=u +iv 与d z =d x +i d y 相乘后得到：()d ()(d d )d d d d d d d d d .CCCCCf z z u iv x i y u x iv x iu y v yu x v y i v x u x u y =++=++-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰定理3.1给出的条件仅仅是积分()d Cf z z ⎰存在的充分条件.该定理告诉我们，复变函数积分的计算问题可以化为其实部和虚部两个二元实函数第二类曲线积分的计算问题.下面介绍另一种计算方法--- 参数方程法.设C 为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为()()()(),z z t x t iy t a t b ==+≤≤参数t =a 时对应曲线C 的起点，t =b 时对应曲线C 的终点.设f (z )沿曲线C 连续，则(())((),())((),())()().f z t u x t y t iv x t y t u t iv t =+=+由定理3.1有()d d d d d (()()()())d (()()()())d ,CCCb baaf z z u x v y i v x u yu t x t v t y t t i u t y t v t x t t =-++''''=-++⎰⎰⎰⎰⎰容易验证Re((())())()()()(),Im((())())()()()().f z t z t u t x t v t y t f z t z t u t y t v t x t '''=-'''=+所以()d (())()d .baCf z z f z t z t t '=⎰⎰(3.6)例3.1 分别沿下列路径计算积分2d Cz z ⎰和Im()d Cz z ⎰.(1) C 为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2) C 为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解： (1) C 的参数方程为：z =(1+i )t, t 从0到1 .11222033310d ((1))d((1))(1)((1))d (1)(1).33Cz z i t i t i i t t t i i =++=++⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰(2) 这两直线段分别记为C 1和C 2,C 1的参数方程为：y =0, x 从0到1; C 2的参数方程为：x =1, y 从0到1.1122203312103d d (1)d(1)33122(1)1.3333Cz z x x iy iy x y i y iy i i i i =+++⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭-+=+--==⎰⎰⎰ ()111000Im()d 0d d 1i d .2Ciz z x y y i y y =++==⎰⎰⎰⎰ 例3.2 计算积分d Czz z⎰,其中C 为图3.2所示半圆环区域的正向边界.图3.2解：积分路径可分为四段，方程分别是：C 1:z =t (-2≤ t ≤ -1); C 2:z =,i e θθ从π到0; C 3:z =t (1≤ t ≤ 2);C 4:z =2,i e θθe 从0到π.于是有123412π2π10d d d d d e 2e d e d d 2d e 2e24411.333CC C C C i i i i i i z z z z z z z z z z z z z z zt t t i t ie t t θθθθθθθθ----=+++=+++=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例3.3 计算积分101d ()n Cz z z +-⎰,其中C 为以z 0为中心，r 为半径的正向圆周，n 为整数.解：曲线C 的方程为：0(02π)i z z re θθ=+≤≤.从而有2π11(1)002π2πd e ()e d ed .e i n n i n Cin n in nzir I z z r i i r r θθθθθθ+++-==-==⎰⎰⎰⎰图3.3当n =0时，2πd 2πI i i θ==⎰当n ≠0时，2π(cos sin )d 0niI n i n rθθθ=-=⎰.所以有0102π,0;d 0,0.()n z z ri n zn z z +-==⎧=⎨≠-⎩⎰ (3.7) 由此可见，该积分与积分路线圆周的中心和半径无关，在后面还要多次用到这个结果，需记住.§3.2 柯西-古萨定理(C auchy-Gour s at)及其推广1.柯西-古萨定理首先我们来看看上一节所举的例题，例3.1中被积函数f (z )=z 2在z 平面上处处解析，它沿连接起点与终点的任何路径的积分值相同，也就是说，该积分与路径无关.即沿z 平面上任何闭曲线的积分为零.而例3.1中另一被积函数()Im()f z z =在z 平面上处处不解析，其积分值依赖于连接起点与终点的路径.由例3.3得积分1d 2π0Cz i z z =≠-⎰,曲线C 表示圆周：|z -z 0|=r >0.其中被积函数01()f z z z =-在z 平面上除去点z 0外处处解析，但这个区域是复连通区域.由此可见，积分值与路径是否无关，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关.其实，在实函数的第二类曲线积分中就有积分值与路径无关的问题.由于复变函数的积分可以用相应的两个实函数的第二类曲线积分表示，因此对于复积分与路径无关的问题，我们很自然地会想到将其转化为实函数积分与路径无关的问题来讨论.假设函数f (z )=u +iv 在单连通域D 内处处解析，f '(z )在D 内连续,由第二章2.3节中的(2.9)式知u,v 对x,y 的偏导数在D 内连续.设z =x +iy ，C 为D 内任一条简单闭曲线.则由(3.5)式，有()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰记G 为C 所围区域，由格林(Green)公式有d d d d ,G Cv u u x v y x y x y ⎛⎫∂∂-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 由于f (z )=u +iv 在D 内解析，所以u 、v 在D 内处处都满足柯西-黎曼方程,即,.u v v ux y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 因此d d d d 0.CCu x v y v x u y -=-=⎰⎰从而()d 0.Cf z z =⎰下面的定理告诉我们去掉条件“f '(z )在D 内连续”条件，这个结论也成立.这是复变函数中最基本的定理之一.定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f (z )是单连通域D 内的解析函数，则f (z )沿D 内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0.Cf z z =⎰注：其中曲线C 不一定要求是简单曲线.事实上，对于任意一条闭曲线，它都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的，如图3.4.图3.4这个定理是由柯西提出来的，后来由古萨给出证明.由于证明过程较复杂，我们略去其证明.由柯西-古萨定理可以得到如下两个推论：推论3.1 设C 为z 平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D ,若函数f (z )在D D C=上解析，则()d 0.Cf z z =⎰推论3.2 设函数f (z )在单连通域D 解析,则f (z )在D 内积分与路径无关.即积分()d Cf z z⎰不依赖于连接起点z 0与终点z 1的曲线C ,而只与z 0、z 1的位置有关.证明：图3.5设C 1和C 2为D 内连接z 0 与z 1的任意两条曲线.显然C 1和2C -连接成D 内一条闭曲线C .于是由柯西-古萨定理，有12()d ()d ()d 0.CC C f z z f z z f z z -=+=⎰⎰⎰即12()d ()d .C C f z z f z z =⎰⎰2.原函数由推论\re f {cor2可知，解析函数在单连通域D 内的积分只与起点z 0 和终点z 1有关，而与积分路径无关.因此，函数f (z )沿曲线C 1和C 2的积分又可以表示为1212()d ()d ()d .z z C C f z z f z z f z z ==⎰⎰⎰固定下限z 0，让上限z 1在区域D 内变动，并令z 1=z ,则确定了一个关于上限z 的单值函数()()d .zz F z f ξξ=⎰ (3.8)并称F (z )为定义在区域D 内的积分上限函数或变上限函数.定理3.3 若函数f (z )在单连通域D 内解析，则函数F (z )必在D 内解析，且有F '(z )=f (z ). 证明：若D 内任取一点z ,以z 为中心作一个含于D 内的小圆B ，在B 内取点(0)z z z +∆∆≠,则由(3.8)式有()()()d ()d .z zzz z F z z F z f f ξξξξ+∆+∆-=-⎰⎰因为积分与路径无关，所以()d z zz f ξξ+∆⎰的积分路径可取从z 0到z 再从z 到z z +∆，其中从z 0到z 取与()d zz f ξξ⎰的积分路径相同.于是有()()()d .z zzF z z F z f ξξ+∆+∆-=⎰由于f (z )是与积分变量ξ无关的值，故()d ()d ().z zz zzzf z f z f z z ξξ+∆+∆==∆⎰⎰从而()()1()()d()1(()())d .z zz z zzF z z F z f z f f z z zf f z zξξξξ+∆+∆+∆--=-∆∆=-∆⎰⎰又f (z )在D 内解析，显然f (z )在D 内连续.所以对于任给的0ε>,必存在0δ>,使得当z ξδ-<(且ξ落在圆B 内)，即当z δ∆<时，总有()()<f f z ξε-.图3.6由复积分的性质\re f {ji f e n xi n g z hi4，有()()1()(()())d 1()()d 1.z zzz zzF z z F z f z f f z z zf f z z z zξξξξεε+∆+∆+∆--=-∆∆≤-∆≤∆=∆⎰⎰即0()()lim()z F z z F z f z z ∆→+∆-=∆,也就是()()F z f z '=.与实函数相似，复变函数也有原函数的概念及类似于牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式的积分计算公式.定义3.2 若在区域D 内，()z ϕ的导数等于f (z )，则称()z ϕ为f (z )在D 内的原函数. 由定理定理3.3可知，变上限函数0()()d zz F z f ξξ=⎰为f (z )的一个原函数.那么函数f (z )的全体原函数可以表示为()()z F z C ϕ=+,其中C 为任意常数.事实上，因为(()())()()()()0z F z z F z f z f z ϕϕ'''-=-=-=，所以()()z F z C ϕ-=，即()()z F z C ϕ=+.这说明了f (z )的任何两个原函数仅相差一个常数.利用这一性质我们可以得到解析函数的积分计算公式.定理3.4 若函数f (z )在单连通域D 内处处解析，()z ϕ为f (z )的一个原函数， 则11010()d ()()()z zz z f z z z z z ϕϕϕ=-=⎰, (3.9)其中z 0、z 1为D 内的点.证明：由于0()()d zz F z f ξξ=⎰为f (z )的一个原函数.所以()()d ().zz F z f z C ξξϕ==+⎰当z =z 0时，根据柯西-古萨定理可知0()C z ϕ=-,于是()d ()()zz f z z ξξϕϕ=-⎰.需要特别注意的是这个公式仅适用于定义在单连通域内的解析函数.例3.4 求积分π2sin 2d i z z ⎰的值.解：因为sin2z 在复平面上解析，所以积分与路径无关.可利用（3.9）式来计算.容易验证1cos 22z -是sin2z 的一个原函数, ππ2200ππππ11sin 2d (cos πcos 0)cos 22211e e .12242i iz z i z e e --=-=--+⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭⎰例3.5 求积分0(1)e d iz z z --⎰的值.解：因为(z -1)e -z 在复平面上解析，所以积分与路径无关.可利用(3.9)式来计算.(1)e d e d e d iiizzzz z z z z ----=-⎰⎰⎰, 上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法，第二个积分可用凑微分法，得(1)e d e d e d esin1cos1.iiiizzz z i z z z zz ie i ------=+--=-=--⎰⎰⎰例3.6 设D 为直线3,2z t t ⎛=+-∞<<∞+ ⎝ 和直线4,55z t t i ⎛=+-∞<<∞-+ ⎝⎭所围成的区域. 求积分23d 2izz z +-⎰的值. 解： 尽管212z z +-在复平面上存在两个奇点1和-2，但是单连通域D 包含点3和i ，又不含奇点1和-2，因此212z z+-在区域D内解析，这样就可以用(3.9)式来计算.233311d dd2312i i iz zzz z z z⎛⎫=-⎪+--+⎝⎭⎰⎰⎰函数ln(z-1)和ln(z+2)在单连通域D内可以分解为单值的解析分支，ln(z-1)的各分支导数都为11z-,ln(z+2)的各个分支的导数都为12z+.我们可以应用任何一个分支来计算积分值，在这里我们都取主支. 所以()23311d ln(1)ln(2)231153π1ln arctan3224215π1ln arctan.62432iiz z zz zii i=--++-⎛⎫⎛⎫=++⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++⎰3.复合闭路定理柯西-古萨定理定理可推广到多连通域.设有n+1条简单闭曲线C0、C1、C2、…、C n,其中C1、C2、…、C n互不相交也互不包含，并且都含于C0的内部.这n+1条曲线围成了一个多连通区域D, D的边界C称作复闭路，它的正向为C0取逆时针方向，其它曲线都取顺时针方向.因此复闭路记作012nC C C C C---=++++.沿复闭路的积分通常取的是沿它的正向.定理 3.5若f(z)在复闭路012nC C C C C---=++++及其所围成的多连通区域内解析，则012()d()d()d()dnC C C Cf z z f z z f z z f z z=+++⎰⎰⎰⎰, (3.10) 也就是()d0Cf z z=⎰.为了叙述的简便，我们仅对n=2的情形进行说明.图3.7在图3.7中，做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来，从而把多连通区域D划分为两个单连通区域D1及D2，并分别用1Γ及2Γ表示这两个区域的边界，由柯西-古萨定理有12()d 0, ()d 0.f z z f z z ΓΓ==⎰⎰于是12()d ()d 0.f z z f z z ΓΓ+=⎰⎰上式左端，沿辅助线l 1、l 2和l 3的积分，恰好沿相反方向各取了一次，从而相互抵消.因此上式左端为沿曲线C 0、1C -及2C -上的积分，即有：12()d ()d ()d 0.C C C f z z f z z f z z --=⎰⎰⎰也就是12()d ()d ()d .C C C f z z f z z f z z =+⎰⎰⎰例3.7 计算2d2Czz +⎰的值,C 为包含圆周|z |=1在内的 任何正向简单闭曲线. 解：显然z =0和z =-1是函数21z z+的两个奇点，由于C 为包含圆周|z |=1在内的任何正向简单闭曲线，因此也包含了这两个奇点.在C 的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C 1和C 2，其中C 1的内部只包含奇点z =-1，C 2的内部只包含奇点z =0.图3.8因为21z z+在由C 、C 2、C 2所围成的复连通域内解析，所以由定理3.5、定理3.2及(3.7)式，得1211222222d d d d d d d 1102π2π00.CCC C C C C z z zz z z z z z z z z zz z z z i i =++++=-+-++=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ §3.3 柯西(C auchy)积分公式及其推论1.柯西积分公式利用复合闭路定理我们可以导出解析函数的积分表达式，即柯西积分公式.定理3.6 若f (z )是区域D 内的解析函数，C 为D 内的简单闭曲线，C 所围内部全含于D 内，z 为C 内部任一点，则1()()d 2πCf f z iz ξξξ=-⎰, (3.11) 其中积分沿曲线C 的正向.证明：取定C 内部一点z .因为f (z )在D 内解析，所以f (z )在点z 连续.即对任给的0ε∀>,必存在0δ>,当|z δξ<-时，有()()f f z εξ<-.令()()f F zξξξ=-,则()F ξ在D 内除去点z 外处处解析.现以z 为中心，r 为半径作圆周:B r z ξ=-(见图3.9),使圆B 的内部及边界全含于C 的内部.图3.9根据复合闭路定理有()()d d .C Bf f z z ξξξξξξ=--⎰⎰ 上式右端积分与圆B 的半径r 无关.令0r →，只需证明()d 2π()Bf if z z ξξξ→-⎰ 即可.由例3.3可知，1d 2πBi z ξξ=-⎰,而f (z )与ξ无关.于是 ()()()()()d 2π()d d d ()()d 2πd BB BBBBf f f z f f z if z z z z zf f z si rzξξξξξξξξξξξξξξ---==-----≤≤=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而定理得证.公式(3.11)称为 柯西积分公式.在柯西积分公式中,等式左端表示函数f (z )在C 内部任一点处的函数值，而等式右端积分号内的()f ξ表示f (z )在C 上的函数值.所以，柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处值之间的关系：函数f (z )在曲线C 内部任一点的值可用它在边界上的值来表示，或者说f (z )在边界曲线C 上的值一旦确定，则它在C 内部任一点处的值也随之确定.这是解析函数的重要特征.例如，若函数f (z )在曲线C 上恒为常数K ,z 0为C 内部任一点，则根据柯西积分公式有0001()1()d d 2π.2π2π2πC Cf KKf z i K iz i z i ξξξξξ===⋅=--⎰⎰ 即f (z )在曲线C 的内部也恒为常数K .又如，若C 为圆周:0z R ξ-=,即0Re i z θξ=+(02π)θ≤≤,则d Re d i i θξθ=,从而2π00002π00(Re )Re 1()1()d d 2π2πRe 1(Re )d .2πi i i Ci f z i f f z iz i f z θθθθξξθξθ+⋅==-=+⎰⎰⎰即解析函数在圆心z 0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理.若f (z )在简单闭曲线C 所围成的区域内解析，且在C 上连续，则柯西积分公式仍然成立. 柯西积分公式可以改写成()d 2π()Cf if z z ξξξ=-⎰. (3.12) 此公式可以用来计算某些复变函数沿闭路积分.例3.8 计算积分221d z z z z =+⎰的值. 解：因为{z ^2+1在|z |=2内解析，由柯西积分公式(3.12)有22021d 2π2π.(1)z zz z i i z z ==+=⋅=+⎰ 例3.9 计算积分2πsin6d 1Czz z -⎰的值，其中C 为: 33(1)1;(2)1;(3) 3.22z z z ===-+ 解： (1) 被积函数πsin61zz +在312z =-的内部解析，由(3.12)式有， 21ππsinsinπ11πsin 66d d 2π2π.6111421CCz zzz i z z i i z z z z =⎛⎫ ⎪=⋅==⋅=-+- ⎪⎝+⎭⎰⎰(2) 被积函数πsin61zz -在312z =+的内部解析，由(3.12)式有 21ππsinsinπ11πsin 66d d 2π2π.6111421CCz zzz i z z i i z z z z =-⎛⎫ ⎪=⋅==⋅=--+ ⎪⎝-⎭⎰⎰(3) 被积函数2πsin61zz -在|z |=3的内部有两个奇点1z =±.在C 的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C 1和C 2，其中C 1的内部只包含奇点z =1，C 2的内部只包含奇点z =-1.由定理3.5的（3.10）式及(3.12)式，有12222πππsinsin sinππ666d d d π.11122CC C z z zi i z z z i z z z =+=+=---⎰⎰⎰例3.10 求积分42d 1z zz =-⎰的值, 其中C 为:|z |=2为正向. 解：因为z 4-1=0之解为z 1=1, z 2=i, z 3=-1, z 4=-i,分别作简单正向闭路C j 包围z j ,使C j (j =1, 2, 3, 4)互不包含，互不相交，均位于｜z ｜=2内，则由复合闭路定理有4441d d 11jj CCz zz z ==--∑⎰⎰ 又由Cauchy 积分公式得()()()()()()()()()1141213121121312d 1d 112121i 111i πi πiπi2C Cz zz z z z z z z z z z z z z z z =⋅-----=---==-++⎰⎰同理可得234444d d d ,,1212π2π1πi C CC z z z z z z =-=-=---⎰⎰⎰. 所以 44412d d 011j j z C z zz z ====--∑⎰⎰.2.高阶导数公式 我们知道，一个实函数在某一区间上可导，并不能保证该函数在这个区间上二阶导数存在.但在复变函数中，如果一个函数在某一区域内解析，那么根据3.3节中的柯西积分公式推知，该解析函数是无穷次可微的.定理3.7 定义在区域D 的解析函数f (z )有各阶导数，且有()1!()()d (1,2,),2π()n n Cn f f z n iz ξξξ+==-⎰(3.13)其中C 为区域D 内围绕z 的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C 的正向.证明：用数学归纳法证明. 当n =1时，即证明21()()d .2π()Cf f z iz ξξξ'=-⎰也就是要证明2()1()limd .2π()z Cf z z f z iz ξξξ∆→+∆=∆-⎰由柯西积分公式(3.11)有1()()d ,2π1()()d .2πCCf f z i z f f z z iz z ξξξξξξ=-+∆=--∆⎰⎰于是22222()()1()d 2π()()()11()d d d 2π2π()1()1()d d 2π()()2π()()()()1d d ()()()()2πCC C CCCCC f z z f z f z iz f f f z z z i z i z f f i z z z z iz zf f f z z z z z ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ+∆--∆-⎛⎫--= ⎪--∆-∆-⎝⎭-=∆--∆--∆+-=--∆---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d .Cξ⎰令上式为Q,显然2()1d .()()2πCzf Q z z z ξξξξ∆=--∆-⎰根据积分不等式(3. 4)有2()1d .2πCf z Q z z zξξξξ∆≤--∆-⎰因为f (z )在区域D 内解析，所以在闭曲线C 上解析并连续，从而在C 上是有界的. 即对于z C ∀∈,一定存在一个正数M ,使得|f (z )|≤M .设d 为从z 到C 上各点的最短距离，取z ∆充分小，满足2dz <∆.那么 ,.2d d z z z z z ξξξ≥≥->---∆-∆因此33212d ,d 2π2πd πd d 2CM M ML z z Q s L z ∆∆<=⋅=∆⋅⎰这里L 为C 的长度. 令0z ∆→,则0Q →,于是有()()1()()lim.2π()z Cf z z f z f f z d z iz ξξξ∆→+∆-'==∆-⎰假设n =k 时的情形成立，证明n =k +1时的情形成立.证明方法与n =1时的情形相似，但证明过程稍微复杂，这里就不证明了.这个定理实际上说明了解析函数具有无穷可微性.即 定理3.8 若f (z )为定义在区域D 内的解析函数，则在D 内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数.由解析函数的无穷可微性，我们可以得到判断函数在区域内解析的又一个充要条件.定理3.9 函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内解析的充要条件是(1),,,x y x y u u v v 在D 内连续；(2)(,),(,)u x y v x y 在D 内满足柯西-黎曼方程.证明：充分性即是定理2.8.下面证明必要性. 条件(2)的必要性由定理2.7给出.再来看条件(1)，由于解析函数的导数仍然是解析函数，所以f '(z )在D 内解析，从而在D 内连续.而()x x y y f z u iv v iu '=+=-,所以,,,x y x y u u v v 在D 内连续.下面我们来看高阶导数公式的应用.高阶导数公式(3.13)可改写为()1()2πd ().()!n n Cf i f z z n ξξξ+=-⎰(3.14)可通过此式计算某些复变函数的积分.例3.11 求积分的1e d ()zn Cz ξξ+-⎰值, 其中C 为: 226x y y +=. 解：226x y y +=可化为22(3)9x y +-=，即|z -3i|=3. 被积函数2e π2z i z ⎛⎫- ⎪⎝⎭在C 的内部有一个奇点π2iz =,由(3.14)式有 π/22π/2e 2πe 2π2π.2π(e )π2zi z z i Ci i i i i z ====⋅=-'⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰例3.12 求积分32cos πd (1)Czz z z -⎰的值，其中C 为: |z |=2.解 被积函数32cos π(1)zz z -在C 的内部有两个奇点z =0和z =1,作两条闭曲线C 1和C 2互不相交且互不包含，分别包围奇点z =0和z =1，且两曲线所围区域全含于C 的内部，则根据复合闭路定理3.5和高阶导数公式(3.14)，有1212323232233223022cos πcos πcos πd d d (1)(1)(1)cos π1cos π1d d (1)(1)2πcos πcos π2π2π32!(1)(6π)π6π(12π)π.CC C C C z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z i z z i i z z i i i ===+---=⋅+⋅--'''⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰§3.4 解析函数与调和函数的关系根据解析函数的导数仍是解析函数这个结论，我们来讨论解析函数与调和函数的关系. 定义3.3 在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220x yϕϕ∂∂+=∂∂ 的二元实函数(,)x y ϕ称为在D 内的调和函数.调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇到的一类重要函数.定理3.10 任何在区域D 内解析的函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，它的实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )都是D 内的调和函数.证明 由柯西-黎曼方程有,.v u v x y y xϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 于是222222,.u v u v x y x y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂ 由定理3.8可知，u (x ,y )与v (x ,y )具有任意阶连续偏导，所以22.v vy x x y∂∂=∂∂∂∂ 从而22220.u vx y ∂∂+=∂∂ 同理可证22220.v vx y∂∂+=∂∂ 即u (x ,y )与v (x ,y )都是调和函数.使u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内构成解析函数的调和函数v (x ,y )称为u (x ,y )的共轭调和函数.或者说，在区域D 内满足柯西-黎曼方程u x =v y ,v x =-u y 的两个调和函数u 和v 中，v 称为u 的共轭调和函数.注意：u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u +iv 不一定就是解析函数.例如，f (z )=z 2=x 2-y 2+2xyi ,其中实部u =x 2-y 2,虚部v =2xy .由于f (z )=z 2解析，显然v =2xy 是u =x 2-y 2的共轭调和函数.但是v x =2y ,u y =-2y .因此以v 作为实部、u 作为虚部的函数g (z )=v +iu 不解析.下面介绍已知单连通域D 内的解析函数f (z )=u +iv 的实部或虚部，求f (z )的方法. 这里仅对已知实部的情形进行说明,关于已知虚部求f (z )的方法可以类似得到. (1) 偏积分法利用柯西-黎曼方程(2.5)先求得v 对y 的偏导v y =u x ,此式关于y 积分得d ()uv y g x x ∂=+∂⎰,然后两边对x 求偏导,由v x =-u y ,于是有d ().y uu y g x x x∂∂'-=+∂∂⎰ 从而()d .-d u u g x x C y x x x ∂∂∂⎛⎫=+- ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰故d d .-d u u u v y x C y x x x x ∂∂∂∂⎛⎫=++- ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 例3.13 已知u (x ,y )=2(x -1)y , f (2)=-i ,求其共轭调和函数，并写出f (z )的形式.解 由柯西－黎曼方程(2.5)，有v y =u x =2y ,此式两边关于y 积分：2d ()().uv y g x y g x x∂=+=+∂⎰而(),x v g x '=又2(1),x y v u x =-=-所以2()2(1)d 2,g x x x x x C =-=-+⎰其中C 为实常数. 于是222.v y x x C =-++从而22()2(1)(2).f z x y i y x x C =-+-++由条件 f (2)=-i ,得C =-1,故22222()2(1)(21)(22()1)(1).f z x y i y x x i x y ixy x iy i z =-+-+-=--+-++=-- (2) 线积分法利用柯西-黎曼方程(2.5)有d d d d d x y y x v v x v y u x u y =+=-+,故00(,)(,)d d .x y y x x y v u x u y C =-++⎰由于该积分与积分路径无关，因此可选取简单路径(如折线)进行计算.其中(x 0,y 0)为区域D 中的点.以例3.13进行说明，u x =2y , u y =2x -2 .取(x 0,y 0)=(0,0),路径为从(0,0)到(x ,0)的直线段再从(x ,0)到(x ,y )的直线段.于是(,)(0,0)22(22)d 2d (22)d 2d 2.x y yxv x x y y Cx x y x C x x y C =-++=-++=-++⎰⎰⎰以下同前.(3) 不定积分法根据柯西-黎曼方程(2.5)及解析函数的导数公式(2.9)有().x x x y f z u iv u iu '=+=-.将x y u iu -表示成z 的函数h (z ),于是()()d .f z h z z C =+⎰还是以例3.13进行说明，2,2 2.x y u y u x ==-()2(22)2(1)2(1).f z y i x i x iy i z '=--=-+-=--从而2()2(1)d 2.f z i z z C iz iz C =--+=-++⎰由条件 f (2)=-i ,得C =-i ,故2()(1).f z i z =--小 结复变函数的积分定义与微积分中定积分的定义在形式上十分相似，只是被积函数由后者的一元实函数换成了前者的复变函数，积分区间[a ,b ]换成了平面区域内的一条光滑有向曲线.复变函数的积分值不仅与积分曲线的起点和终点有关，而且一般也与积分路径有关.这些特点与微积分中第二类曲线积分相似，因而具有与第二类曲线积分类似的性质.计算复变函数的积分有两个基本方法：(1) 若被积函数为f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ),积分曲线为C ,则()d d d d d .C C Cf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (2) 参数方程法. 设积分曲线C 的参数方程为()()z z t a t b =≤≤,则()d (())()d .bC af z z f z t z t t '=⎰⎰ 解析函数积分的基本定理主要包括柯西－古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式及它们的一些推论.柯西－古萨定理指在单连通域D 内解析的函数f (z )沿该区域内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0C f z z =⎰.由此定理可以得到一个重要推论：在单连通域D 内解析的函数f (z )沿该区域内任一条曲线积分与路径无关.复变函数与实函数一样也有原函数的概念，并且任何两个原函数之间仅相差一个常数.基于此，对于单连通域内的解析函数有类似于实函数的牛顿－莱布尼兹公式.即1010()d ()()z z f z z z z ϕϕ=-⎰,其中f (z )为单连通域D 内的解析函数，()z ϕ为f (z )的一个原函数，01,z z D ∈分别为积分曲线的起点和终点.复合闭路定理是柯西－古萨定理的推广，即若函数f (z )在复闭路C =C 0+C 1-+C 2-+…+C n-及其所围成的多连通区域内解析，则 01()d ()d ,k nk C C f z z f z z ==∑⎰⎰ 也就是0()d 0C f z z =⎰.柯西积分公式1()()d 2πf f z i z ξξξ=-⎰ 与高阶导数公式1!()()d , 1,2,2π()n n n f z f z n i z ξξ+==-⎰是复变函数两个十分重要的公式，它们都是计算积分的重要工具.柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处之间的密切关系，而高阶导数公式表明解析函数的导数仍是解析函数，即解析函数具有无穷可微性.这是解析函数与实函数的本质区别.下面归纳复变函数积分的计算方法.(1)如果被积函数不是解析函数，那么不论积分路径是否封闭，只能运用上面提到的两种基本计算方法，即化为二元实函数的线积分和参数方程法.(2)如果被积函数是解析函数(包括含有有限个奇点的情形)，并且积分路径封闭，那么可以考虑柯西积分公式、高阶导数公式,并常常需要联合运用柯西－古萨定理、复合闭路定理，有时还需将被积函数作变形化为公式中的相应形式.若积分路径不封闭，那么只要被积函数在单连通域内解析，就可用定理3.4进行计算.(3)若被积函数是解析函数(含有有限个或无限个奇点)，积分路径封闭，而被积函数不能表示为柯西积分公式和高阶导数公式中所要求的形式，那么就只能用到第五章中的留数方法.解析函数f (z )=u +iv 的虚部v 为实部u 的共轭调和函数，u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u+iv 不一定是解析函数.已知单连通域D 内的解析函数f (z )的实部或虚部求f (z )的方法要求掌握，前面已经详细介绍了三种方法，这里不再赘述.重要术语及主题复积分 柯西－古萨定理 复合闭路定理 原函数柯西积分公式 高阶导数公式 调和函数习题三1. 计算积分2()d C x y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2. 计算积分(1)d C z z -⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2，从点0到点1+i 的弧段.3. 计算积分d C z z ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周，从点-i 到点i ;(3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周，从点-i 到点i .4. 计算积分23d Cz z z -⎰，其中积分路径C 为 (1) 从z =-2到z =2沿圆周|z |=2的上半圆周;(2) 从z =-2到z =2沿圆周|z |=2的下半圆周;(3) 沿圆周|z |=2的正向.5. 计算积分1d (31)C z z z +⎰，其中C 为16z =. 6. 计算积分(e sin )d z C z z z -⎰，其中C 为0a z =>. 7. 计算积分，其中积分路径C 为：12341(1):;23(2):;21(3):;23(4):.2C z C z C z i C z i ===+=-8.利用1d 0,:12C z C z z ==+⎰,证明： π12cos d 0.54cos θθθ+=+⎰ 9. 计算积分1d (1)2C z i z z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰，其中C 为|z |=2. 10. 利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. π200π211(1)cos d ;(2)e d ;2ln(1)(3)(2)d ;(4)d ;1iz i ii z z z z iz z z z +--+++⎰⎰⎰⎰ 12011tan (5)sin d ;(6)d cos i z z z z z z +⎰⎰ (沿1到i 的直线段) . 11. 求积分2e d 1z C z z +⎰，其中C 为： 12. 计算积分221d 1C z z z z -+-⎰，其中C 为|z |=2. 13. 计算积分41d 1Cz z +⎰，其中C 为222x y x +=.14. 求积分2sin d 9r zz z z =+⎰，其中C 为|z -2i |=2. 15. 求积分()33d d (1)1C z z z z +-⎰，其中r ≠1. 16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1. 53020e cos (1)d ;(2)d ;tan /21(3)d ,.()2z C CC z z z z z z z z z z <-⎰⎰⎰17. 计算积分33d d (1)(1)C z z z z -+⎰，其中C 为: (1) 中心位于点z =1，半径为R <2的正向圆周;(2) 中心位于点z =-1，半径为R <2的正向圆周;(3) 中心位于点z =1，半径为R >2的正向圆周;(4) 中心位于点z =-1，半径为R >2的正向圆周.18. 设函数3223()d f z ax bx y cxy y =+++是调和函数，其中a,b,c 为常数.问a,b,c 之间应满足什么关系？19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x x x x y xy y y i y ωω=--+=+++ 20. 证明：函数2222,x u x y v x y =-=+都是调和函数，但f (z )=u +iv 不是解析函数. 21. 设u 是调和函数，且不恒为常数，问：(1) u 2是否是调和函数?(2) 对怎样的f ，函数f (u )为调和函数?22. 由下列各已知调和函数，求解析函数f (z )=u +iv ：2222(1);(2),(1)0;(3)e (cos sin ),(0)2;(4)arctan ,0.x u x y xy y u f x y v y y x y x y f y v x x=-+==+=+++==> 23.设12()()()()n p z z a z a z a =---,其中(1,2,,)i a i n =各不相同，闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ 等于位于C 内的p(z )的零点的个数.24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则 (),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i zξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.。
数学分析 零测集与可求面积集
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要: 零测集;内容提要:零测集;Lebesgue定理;内容提要:零测集;Lebesgue定理; 可求面积集;内容提要:零测集;Lebesgue定理;可求面积集;可求面积集上的积分.设A⊂R2为平面点集.如果任给ε>0,存在至多可数个闭矩形{I i},使得A⊂i≥1I i,且i≥1σ(I i)<ε,则称A为零测集.设A⊂R2为平面点集.如果任给ε>0,存在至多可数个闭矩形{I i},使得A⊂i≥1I i,且i≥1σ(I i)<ε,则称A为零测集.有限点集为零测集;零测集的子集仍为零测集;可数个零测集之并仍为零测集;设A⊂R2为平面点集.如果任给ε>0,存在至多可数个闭矩形{I i},使得A⊂i≥1I i,且i≥1σ(I i)<ε,则称A为零测集.有限点集为零测集;零测集的子集仍为零测集;可数个零测集之并仍为零测集; 平面上的直线是零测集;设A⊂R2为平面点集.如果任给ε>0,存在至多可数个闭矩形{I i},使得A⊂i≥1I i,且i≥1σ(I i)<ε,则称A为零测集.有限点集为零测集;零测集的子集仍为零测集;可数个零测集之并仍为零测集; 平面上的直线是零测集;设φ为[a,b]中的一元可积函数,则其图像graph(φ)={(x,φ(x))∈R2|x∈[a,b]}为零测集.设f:A→R为有界函数,x∈A.f在x处的振幅定义为ω(f,x)=limsup{|f(x1)−f(x2)|:x1,x2∈B r(x)∩A}.r→0+易见,f在x处连续当且仅当ω(f,x)=0.设f:A→R为有界函数,x∈A.f在x处的振幅定义为ω(f,x)=limr→0+sup{|f(x1)−f(x2)|:x1,x2∈B r(x)∩A}.易见,f在x处连续当且仅当ω(f,x)=0.设δ>0,记Dδ={x∈A|ω(f,x)≥δ},则f的间断点(不连续点)全体为D f=∞n=1D1n.设f:A→R为有界函数,x∈A.f在x处的振幅定义为ω(f,x)=limr→0+sup{|f(x1)−f(x2)|:x1,x2∈B r(x)∩A}.易见,f在x处连续当且仅当ω(f,x)=0.设δ>0,记Dδ={x∈A|ω(f,x)≥δ},则f的间断点(不连续点)全体为D f=∞n=1D1n.有了这些铺垫,我们就有一元函数相对应的Lebesgue定理:设f:A→R为有界函数,x∈A.f在x处的振幅定义为ω(f,x)=limr→0+sup{|f(x1)−f(x2)|:x1,x2∈B r(x)∩A}.易见,f在x处连续当且仅当ω(f,x)=0.设δ>0,记Dδ={x∈A|ω(f,x)≥δ},则f的间断点(不连续点)全体为D f=∞n=1D1n.有了这些铺垫,我们就有一元函数相对应的Lebesgue定理:设f为矩形I中定义的有界函数.则f可积当且仅当f的间断点集D f为零测集.为了研究函数在一般集合(不必为矩形)中的可积性问题,我们先引进可求面积集的概念.为了研究函数在一般集合(不必为矩形)中的可积性问题,我们先引进可求面积集的概念.设A⊂R2为平面点集,特征函数χA:R2→R定义为χA(x)=1,x∈A, 0,x/∈A.为了研究函数在一般集合(不必为矩形)中的可积性问题,我们先引进可求面积集的概念.设A⊂R2为平面点集,特征函数χA:R2→R定义为χA(x)=1,x∈A, 0,x/∈A.设A为有界集合,I为包含A的矩形.如果A的特征函数χA在I中可积,则称A 为可求面积集,其面积σ(A)定义为χA在I中的积分.为了研究函数在一般集合(不必为矩形)中的可积性问题,我们先引进可求面积集的概念.设A⊂R2为平面点集,特征函数χA:R2→R定义为χA(x)=1,x∈A, 0,x/∈A.设A为有界集合,I为包含A的矩形.如果A的特征函数χA在I中可积,则称A 为可求面积集,其面积σ(A)定义为χA在I中的积分.有界集合A是否可求面积以及面积的大小与定义中矩形I的选取无关.如果A 本身就是一个矩形,则按此定义给出的面积和矩形的面积公式给出的面积相同.为了研究一个有界集合是否可求面积,我们用Lebesgue定理时需要研究特征函数的间断点.为了研究一个有界集合是否可求面积,我们用Lebesgue定理时需要研究特征函数的间断点.为此我们引进集合的内点、外点、边界点等概念.为了研究一个有界集合是否可求面积,我们用Lebesgue定理时需要研究特征函数的间断点.为此我们引进集合的内点、外点、边界点等概念.设A⊂R n,x0∈R n.如果存在开球B r(x0)⊂A,则称x0为A的内点,内点的全体记为int A或˚A,称为A的内部;为了研究一个有界集合是否可求面积,我们用Lebesgue定理时需要研究特征函数的间断点.为此我们引进集合的内点、外点、边界点等概念.设A⊂R n,x0∈R n.如果存在开球B r(x0)⊂A,则称x0为A的内点,内点的全体记为int A或˚A,称为A的内部;如果存在开球B r(x0)⊂A c,则称x0为A的外点;为了研究一个有界集合是否可求面积,我们用Lebesgue定理时需要研究特征函数的间断点.为此我们引进集合的内点、外点、边界点等概念.设A⊂R n,x0∈R n.如果存在开球B r(x0)⊂A,则称x0为A的内点,内点的全体记为int A或˚A,称为A的内部;如果存在开球B r(x0)⊂A c,则称x0为A的外点;如果每一个开球B r(x0)中都既有A中的点,也有不属于A中的点,则称x0为A 的边界点,边界点的全体记为∂A,称为A的边界.为了研究一个有界集合是否可求面积,我们用Lebesgue定理时需要研究特征函数的间断点.为此我们引进集合的内点、外点、边界点等概念.设A⊂R n,x0∈R n.如果存在开球B r(x0)⊂A,则称x0为A的内点,内点的全体记为int A或˚A,称为A的内部;如果存在开球B r(x0)⊂A c,则称x0为A的外点;如果每一个开球B r(x0)中都既有A中的点,也有不属于A中的点,则称x0为A 的边界点,边界点的全体记为∂A,称为A的边界.int A∪∂A是闭集,记为¯A,称为A的闭包.设A⊂R2,容易看到特征函数χA的间断点集就是A的边界∂A.设A⊂R2,容易看到特征函数χA的间断点集就是A的边界∂A.因此,设A有界集合,则A可求面积当且仅当其边界∂A为零测集.特别地,当A 可求面积时,其闭包¯A也可求面积.设A⊂R2,容易看到特征函数χA的间断点集就是A的边界∂A.因此,设A有界集合,则A可求面积当且仅当其边界∂A为零测集.特别地,当A 可求面积时,其闭包¯A也可求面积.设A是可求面积的有界集合,f:A→R为A中定义的有界函数,将f零延拓为R2中的函数f A,如果f A在包含A的I中可积,则称f在A中可积,其积分定义为f A在I中的积分,即A f=If A.设A⊂R2,容易看到特征函数χA的间断点集就是A的边界∂A.因此,设A有界集合,则A可求面积当且仅当其边界∂A为零测集.特别地,当A 可求面积时,其闭包¯A也可求面积.设A是可求面积的有界集合,f:A→R为A中定义的有界函数,将f零延拓为R2中的函数f A,如果f A在包含A的I中可积,则称f在A中可积,其积分定义为f A在I中的积分,即A f=If A.这个定义也和矩形I的选取无关.当A本身就是矩形时,这个定义和矩形中积分的定义是一致的.设A⊂R2,容易看到特征函数χA的间断点集就是A的边界∂A.因此,设A有界集合,则A可求面积当且仅当其边界∂A为零测集.特别地,当A 可求面积时,其闭包¯A也可求面积.设A是可求面积的有界集合,f:A→R为A中定义的有界函数,将f零延拓为R2中的函数f A,如果f A在包含A的I中可积,则称f在A中可积,其积分定义为f A在I中的积分,即A f=If A.这个定义也和矩形I的选取无关.当A本身就是矩形时,这个定义和矩形中积分的定义是一致的.f可积当且仅当f在A中的间断点集为零测集.。
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3.2.2 可积函数类
数学分析
在证明可积性问题时,
n
有多种方法可使 ixi . i 1
常见的有三种方法,下面分别作出介绍.
第一种方法: 每个
i
ba
,
从而
n
i Δxi
i 1
b
a
n
i 1
Δxi
.
例如, 在 [a, b] 上一致连续的 f ,便属于这种情形.
定理10.4（连续必可积） 若 f 在 [a, b] 上 连续，则 f 在 [a , b] 上 可积.
若f 在 [a, b] 上有界，且只有有限多个间断点，则 f 在 [a, b] 上可积.
证 不妨设 f 在 [a, b] 上 只有一个间断点, 且为 b. 0, 取 满足 0 ( b a). 2( M m)
其中 M 与 m 分别为 f 在 [a ,b ] 上的上确界与下确界.
数学分析
22
.
由可积准则, f 在 [a,b] 上可积.
数学分析
例1 证明黎曼函数
R(
x)
1 q
,
x
p q
( p, q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R(x) dx
0.
0
证
0,
在[0,1]中满足 1 q2
的有理数 r
p q
只有有限多个, 设它们为 r1 ,r2 ,,rk .
对[0,1]作分割 T : 0 x0 x1 x n 1,
使
T
2k
.
T 中含 {r1,
r2 ,,rk}
的小区间至多有
2k 个,记为 i.
数学分析
因此这些小区间长度之和为
Δ xi
2k
2k
.
T 中不含 { r1, r2,,r k } 的区间记为{ i}.
由于在
i
上
0
R( x)
, 2
于是
i
n
n
于是 i f (xi ) f (xi 1) f (b) f (a).
i 1
i 1
因此, 若
T
f (b)
,则 f (a)
n
n
iΔ xi T i
i 1
i 1
f (b)
f (b)
f (a)
f (a)
.
数学分析
第三种方法：若 iΔxi iΔxi iΔxi,
在 iΔxi 中 ,
i
2(b a)
,
而在 iΔxi中，
xi
2( M
m)
,
其中 M m 是 f 在 [a ,b ] 上的振幅.
从而 i M m , i 1, 2,,n.
于是
i xi ixi ixi
(b
2(b a)
a)
2( M m)
(M
m)
.
数学分析
若 f 在 [a, b] 上 有界,且只有有限多个不连续点， 此时可用第三种方法证明 f 可积. 定理10.6（有限个间断点的有界函数必可积）
设 f 在[b ,b]上的振幅为, 则
(
M
m
)
2(
M
m)
2
.
由于 f 在 [a , b ] 上连续, 则存在分割
T : a x0 x1 ... x n1 b ,
使
T
i xi
. 2
令 T : a x0 x1 ... x n b, 则
ixi
T
T
i xi
2
.
从而
数学分析
ixi
i
x
i
i
x
i
1 2
明了 R( x) 的可积性.
由于已证得 R( x) 可积, 而且无理数具有稠密性, 因此可取 i [ xi 1, xi ] (i 1, 2, , n) 皆为无理数, 从而
1
R( x ) d x
0
lim
T 0
n
R( i) Δx i
i 1
0.
数学分析
,
ba
从而
n
i Δxi
i 1
ba
n i 1
Δxi
.
数学分析
n
第二种方法：若 i 有界，即M , 对任意分割，
i 1
n
i M,
i 1
则当 || T || 时,
M
n
i xi T
i 1
n
i
i 1
M
M
.
n
例如, f 在 [a, b] 上单调时,有 i f (b) f (a) , i 1
数学分析
证 f 在 [a, b] 上连续， 从而在[a, b]上一致连续.
于是 0, 0, x, x[a, b],
若 x x , 则
f ( x) f ( x) .
ba
因此当 [a ,b] 上的分割 T 满足 T 时,
i Mi mi
sup{
f ( x) f ( x) ，x, x[ x i1, x i] }
从而可证 f 在 [a, b] 上可积.
定理10.5（单调必可积）
若 f 是 [a, b] 上的单调函数,则 f 在[a, b] 上可积.
数学分析
证 不妨设 f 是非常值的增函数，则对任意分割
T : a x0 x1 ... x n b,
i f ( xi ) f ( xi 1), i 1, 2, , n,