分形科普—Fractal
fractals指标
fractals指标
Fractals（分形）指标是基于自相似性的技术分析指标，该指标最初由物理学家Mandelbrot在20世纪70年代初提出。
分形是指一种迭代生成的几何形状，该形状具有类似的结构，即整个形状的一部分与整
个形状的其余部分相似。
与其他技术指标不同，分形指标基于价格和
时间的相似性，可帮助交易员确定趋势，预测价格变动和支持/阻力水平。
Fractals指标通过画出极值点来标识趋势，同时提供支持和阻力水平。
极值点是市场价格活动中的最高价和最低价，两者在当前市场条件下
具有更高或更低的水平，被视为支持或阻力区域。
当市场价格达到支
持或阻力区域时，它们可能变得反弹或突破。
因此，交易员可以根据
这些水平点设置止损或获利目标来管理他们的风险和回报。
另外，Fractals指标也可用于识别市场趋势。
当价格在低极值点之间
跌破高极值点时，可以判断市场处于下降趋势。
相反，当价格在高极
值点之间升过低极值点时，可以判断市场处于上升趋势。
此外，Fractals指标还可以通过颜色变化来标识趋势。
通常，绿色分形表示
下跌趋势，黄色分形表示平稳市场，而红色分形表示上升趋势。
总的来说，Fractals指标是一种简单但有效的技术指标，可帮助交易
员确定趋势和支持/阻力水平。
然而，在使用指标时需要注意到其局限性。
由于该指标是基于历史数据生成的，因此必须在市场实际情况下进行验证。
此外，由于市场价格的复杂性，Fractals指标可能无法适应所有市场情况，因此建议将其与其他技术指标一起使用以增强交易决策的准确性。
分形理论（fractal
分形理论（fractal theory）分形理论是当今世界⼗分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)⾸先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论⽂。
海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种⼏乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是⾃相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公⾥长的海岸线与放⼤了的10公⾥长海岸线的两张照⽚,看上去会⼗分相似。
事实上,具有⾃相似性的形态⼴泛存在于⾃然界中,如:连绵的⼭川、飘浮的云朵、岩⽯的断裂⼝、布朗粒⼦运动的轨迹、树冠、花菜、⼤脑⽪层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种⽅式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创⽴了分形⼏何学(fractalgeometry)。
在此基础上,形成了研究分形性质及其应⽤的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
⼤⾃然的⼏何学的分形（Fractal）理论是现代数学的⼀个新分⽀，但其本质却是⼀种新的世界观和⽅法论。
它与动⼒系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在⼀定条件下。
过程中，在某⼀⽅⾯（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因⽽拓展了视野。
⾃相似原则和迭代⽣成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的⼏何变换下具有不变性,即标度⽆关性。
由⾃相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的⾃相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的⾃相似分形是数学上的抽象,迭代⽣成⽆限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
：
(
x
，
2
x
3，，
x
m
1
)
：
(
x
，
3
x
4，，
x
m
2
)
X
4
：
(
x
，
4
x5，，
x
m
3
)
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为 ， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i
分形理论概述范文
分形理论概述范文
分形（fractal）是一种多尺度的普遍几何结构，可以在物理、化学、生物学等多个学科中发现。
它的定义是“在一定范围内具有相同结构的几
何结构”。
它以极好的逼真度表示自然界的复杂结构，并具有丰富而细腻
的结构。
分形理论是一种解释复杂性和自相似性的抽象理论。
它以上帝视角试
图诠释宇宙的样式和结构，以更深层次的视角来描述自然界的秩序和复杂性，并且可以揭示宇宙的发展规律。
它为解释自然界的许多复杂问题提供
了一个新的途径和方法，从而促进了一系列学科教育、学习、研究和应用
的发展。
分形理论的主要内容主要由三部分组成，分别是：(1)分形几何学，
它探索和研究的是自然界中可以表示为无限复杂结构的几何形状。
(2)分
形演化论，它试图探讨宇宙中各种复杂系统的演化机理。
(3)分形分析理论，它研究多尺度系统的结构，并认为复杂系统在不同尺度上都具有相同
的基本结构。
分形理论的基本概念是复杂性和自相似性，也就是说，复杂的系统在
不同尺度上具有相同的性质。
它采用多尺度的视角来描述宇宙中的系统，
试图把宇宙的复杂性抽象化，以更深层次的视角来描述宇宙的秩序和复杂性。
分形理论的详细介绍
（三）标度不变性
所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，
对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的 形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它 的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。 所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果 用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看 到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放 大镜的倍数。 所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标 度不变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的 koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它 放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很 显然，它具有标度不变性。 因此,可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关 的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。
对于“特征长度”这一名词，作一简单的说明， 自然界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一 切图形，大致可分为如下两种：具有特征长度的图形 和不具有特征长度的图形。对于特征长度，并没有严 格的定义，一般认为能代表物体的几何特征的长度， 就称之为该物体的特征长度。如一个球的半径、正方 体的边长、人的身高、汽车的长度，这些都是各个物 体的特征长度，它们很好地反映了这些物体的几何特 征。对具有特征长度的物体的形状，对它们即使稍加 简化，但只要其特征长度不变，其几何性质也不会有 太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有相同高 度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错； 如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替 身躯，以球代替头，那么就会很像人了。换句话说， 关于这类物体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统绘画中对海浪的描述
图1.3 山脉的复杂形态
fractal and fractional 水平 -回复
fractal and fractional 水平-回复问题，并提供相关的解释和例子。
[fractal and fractional 水平]是什么意思？这两个概念之间有什么联系和区别？在数学中，"fractal"（分形）是指一类具有自相似性的几何图形，而"fractional"（分数）则是指数的一种表示形式，用于表示一个数量的部分或比例。
尽管这两个术语听起来相似，但它们描述的是不同的概念。
本文将一步一步解答这些问题。
首先，我们来探讨一下"fractal"（分形）的概念。
分形是一类几何图形，它们在不同的尺度上具有相似性。
也就是说，当我们对这些图形进行放大或缩小时，总是可以发现自相似的结构。
分形图形通常都非常复杂且具有模式重复的特点。
一个著名的分形是Mandelbrot集合，它是一个由复数构成的集合。
Mandelbrot集合的特点是，当我们对其中的每个点进行迭代计算，并根据计算结果确定该点的颜色时，会产生丰富且复杂的图案。
不管我们选择放大哪个部分，我们总是可以看到类似的图案出现。
另一个著名的分形是科赫曲线（Koch curve），它是一个由连续线段组成的图形。
科赫曲线的生成过程非常简单：我们从一个等边三角形开始，然后将每条边分成三等份，并在中间一段上加上一个等边三角形。
这样的过程可以一直进行下去，生成越来越复杂的图案。
与分形相关的一个重要概念是分形维度（fractal dimension）。
分形维度是一个描述分形图形复杂程度的指标。
与传统的欧几里得维度（integer dimension）不同，分形维度可以是一个非整数，甚至是一个分数。
这是因为分形具有自相似性，可以在多个尺度上进行测量。
接下来，我们来讨论一下"fractional"（分数）的概念。
分数是用来表示部分或比例的数学概念。
它是将一个量分成若干等分的表示方法。
分数由两个整数构成，分子（numerator）和分母（denominator），用斜杠（/）来表示。
分形简介
分形的发展
波瑞(Perrir)在1913年对布朗运动的 轨迹图进行了深入的研究，明确指出 布朗运动作为运动曲线不具有导数。 他
分形的发展
在此期间，维数理论得到了进一步发展并日臻 成熟.Bouligand于1928年引入了Bouligand 维数，Poutrjagin与Schnirelman于1932年引 入覆盖维数，Kolmogorov与Tikomirov干 1959年引入摘维数.
分形的发展
在此期间，Levy在下面两个方面的工作极为重要 一其一，他第一个系统地研究了自相似集，我们现 今研究的许多自相似集的性质可追溯到他的工作. 其二，他建立了分式布朗运动的理论，实际上，他 是随机分形理论系统研究的最重要的先驱者之一
分形的发展
曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维 数》发表了他的划时代的专著，第一次系统性的 阐述了分形几何的思想内容、意义和方法。 此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学 科正式诞生，从而把分形理论推进到一个更为迅 猛发展的新阶段
分形简介
目录
序言
分形的发展
分形维度
分形理论的应用
序言
一切的一切都要从
海岸线的长度 说起
序言
序言
序言
“你要了解大千世界的奥秘，首先需要懂得
它的语言，它的语言是用数学、三角形、圆 及其他几何图形所书写的。你若不掌握这种 语言，你就什么也不会知道，你只能在黑暗 的迷宫中徘徊。” ——《哲学原理》，伽利略
序言
“云团不是球，山岳不是锥 体，海岸线不是圆，树皮不 是光滑的，闪电也不是沿直 线传播。 ——曼德尔布罗特
分形的发展
“分形”(fractal)一词由美籍法国数学家曼德尔布 罗特(Benoit B.mandelbrot)教授在1975年首次提 出，其源于拉丁文fractus，原意为“分数的，不 规则的，破碎的”。
分形(fractal)方法
分形(fractal)方法分形(fractal)方法是一种数学和计算机科学中常用的分析和模拟方法。
它通过重复应用一些简单的规则，构建出复杂的结构。
分形方法的优点在于可以表达自然界中的许多复杂现象，并且能够以较简洁的方式进行描述和计算。
分形方法最早由法国数学家勒让德在20世纪初提出。
勒让德研究了一种称为科赫曲线的分形图形，它通过将线段分成三等分，并在中间的一段上构造一个等边三角形，然后重复这个过程。
通过不断重复这个过程，可以得到越来越接近科赫曲线的图形。
这个过程可以无限地进行下去，因为每次分割都会产生越来越多的线段。
科赫曲线是分形方法的一个经典例子，它展示了分形的重复性和自相似性。
自相似性是指分形图形的一部分和整体之间存在相似的结构。
科赫曲线的每一段都和整条曲线具有相似的形状，这种特性使得分形图形具有无限的细节和复杂性。
除了科赫曲线，分形方法还可以用来构造其他各种形状和图案。
例如，分形树是通过将一条线段分成若干部分，并在每个部分上再生长出一条线段，通过不断重复这个过程，可以得到树状的分形图形。
分形树可以模拟自然界中树木的分枝结构。
分形方法还可以应用于图像压缩和信号处理等领域。
通过分析图像或信号的分形特性，可以将其压缩为较小的文件大小，并且能够保留原始数据的重要信息。
这种方法在计算机图像处理和通信领域有着广泛的应用。
分形方法的研究不仅仅局限于数学和计算机科学领域，它还对其他学科的研究产生了很大的影响。
例如，在物理学中，分形方法可以用来研究复杂结构的形成和演化规律。
在生物学中，分形方法可以用来模拟生物体的形态和生长过程。
在经济学中，分形方法可以用来分析金融市场的波动性和不确定性。
分形方法是一种强大而灵活的分析和模拟工具。
它通过简单的规则和重复的过程，可以构建出复杂的结构，并且能够准确地描述和计算自然界中的复杂现象。
分形方法的应用范围广泛，不仅仅局限于数学和计算机科学领域，还对其他学科的研究产生了深远的影响。
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三角形谢尔宾斯基地毯构图演示
正方形谢尔宾斯基地毯
1.将一个正方形九等 分，去掉中间部分；
2.继续将剩余正方形九等分， 去掉中间部分。。。。。。
谢尔宾斯基地毯应用
如同二维码一般的正方形谢尔宾斯基地毯由于其特殊的结构， 可以响应各种频段的电磁信号，因此用它来做手机天线，可以 把天线做的很小。
谢尔宾斯基海绵——三维分形体
类似二维，将一个正方体平均分成27份，取走中间的7个小正 方体，剩余部分继续依此规律操作，直至无穷，得到一块类似 海绵的分形体。
其他三维分形体
不可能三维分形体
分形树
一种分形树的构图过程
分形体的周长、面积
周长：每次迭代周长变为原 周长的4/3倍，故无穷次迭 代后雪花的周长趋近无穷大。
面积：小于原三角形外接圆， 无穷迭代后面积趋近一个定 值若原三角形边长为a，雪 花无穷次迭代后面积为 0.4√3a²。
。 。 。 。 。 。
柯赫曲线
柯赫曲线构图演示———海岸线
E0 线段三等分，中间部 分用等边三角形替代， 三角形方向扔硬币确
定。 E1
E2
E3
F
……
三角形谢尔宾斯基地毯
1.将一个等边三角形 四等分，去掉中间 部分；
2.继续将剩余等边三角形四 等分，去掉中间部 分。。。。。。
1976~2010
2010~
▪ 分形出现 ▪ 试图用经典几何学描述分形 ▪ 出现大量处处连续不可微图形
▪ 成为独立学科 ▪ 曼德尔布莱特出版里程碑专著
柯赫曲线构图
1.画一条线；
2.三等分，中间部分用等边三 角形替代；
3.继续将所有线段三等分，中 间部分用等边三角形替代；
柯赫曲线构图
4.继续将所有线段三等分，中 间部分用等边三角形替代；
diF m lo22 g1 diFm lo24 g2
分形体的维度
若一个分形含有n个相似的部分，每一个部分的线度是整体的 1
m
则分形维度定义为：
dim F lom gnllnnm n
分形体的维度
柯赫曲线：因为其全长是无 穷大，所以若使用一维来度 量结果是无穷大；若使用二 维来度量，由于曲线没有宽 度，结果是0。所以，该曲 线维度介于一维和二维之间。
朱丽亚图谱
J(C ) { Z 0|n ， Z n Z n 2 1 C 有 }界
曼德勃罗集图
M (Z 0 ) { C |n ， Z n Z n 2 1 C 有 }界
广义曼德勃罗集图
M (Z 0 ) { C |n ， Z n Z n k 1 C 有 }界
k=3
k=4
曼德勃罗集图逐步放大
分形艺术图鉴赏
梦
奔月
沙浪
神州
菊
大地之光
DNA
生命
分 形 画
分 形 画
谢谢！
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分形 Fractal
2017年4月20日
银河系
险峻的山川
连绵的海岸线
河流分布图
狂暴的雷电
雪花与冰晶
人体结构
海洋生物
普通树木
蕨 类 植 物 西兰花和多肉植物
金融·美元指数分析图
梦幻般的图
分形
花椰菜、树木、山 川、云朵、脑电图、材料断 口、闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶 簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……
1.事物的外形，存在着整体和局部相似的特点。局部放大 后与整体形状类似；
2.事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展 的状况；
3.事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相 似的情况。
测量海岸线
在测量海岸线长度时，采用不同的尺子得到的结果也不相同，采用更大的红 色尺子测出的结果要小于绿色尺子结果，尺子越小，测得长度越长，如果把 海岸线放在显微镜下测量长度可能是无限长。
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图“峡谷地带”放大
分形的应用
数学中的动力系统等; 物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等; 生物中细胞的生长等; 地质学中的地质构造等; 天文学中土星光环的模拟等; 其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
分形的功能
柯赫曲线维度为：dimF llnn341.2618595
分形体的维度
谢尔宾斯基地毯维度为：
dimF llnn231.58496
分形体的维度
谢尔宾斯基海绵维度为：
dimF llnn2302.72683
分形体的维度
分形体的维度一般不是整数。
闵可夫斯基香肠
四方内生树
龙曲线
股票走势分形
洛伦茨曲线
这一切都与一个熟悉又陌生的名字有关
——分形
分形
两大特点： 1.自相似，即局部与整体相似； 2.无限细分。
分形发展简史
▪ 研究分形维数 ▪ 分形集的局部性质 ▪分形集的结构 ▪ S-集分析与几何性质
▪ 计算机图形学发展 ▪ 分形构图软件大量出现 ▪ 计算机进行分形研究兴起
1875~1925
1926~1975
无限长的线围成有限的面积。
分形体的表面积、体积
体积：每次迭代体积都更小， 无穷次迭代后体积趋近0。 表面积：无穷次迭代后表面 积趋近无穷大。 怪异体，只有表面没有内容。
维度的计算
若将一个物体沿线分成m部分，它变成n个，则维度定义为：
lnn dim F lom gnlnm
线度分成2部分，变成2段，维度为： 线度分成2部分，变成4块，维度为：