第三章 地下水向完整井的稳定运动
承压水井
• 利用观测孔资料求参，可利用以下公式：
• 为实用目的，对上述潜水井应用Dupuit假设，认为流向井的 潜水流是近似水平的，因而等水头面仍是共轴的圆柱面，井 和过水断面一致，这一假设，在距抽水井r>1.5H0的区域是足 够准确的。同时认为，通过不同过水断面的流量处处相等， 并等于井的流量。这时，漏斗区潜水流的水头分布满足下式:
• 如以潜水含水层的底板作基准面，h=H，并用柱坐标形式表示， 则方程简化为 （3-8） • 其边界条件和承压水井相似，为h=hw , 当r = rw时，h= H0， 当r= R时，对（3-8）式进行积分，得
• 而注水井的情况正好相反，井注入的水向井外流动,速度逐 渐减小,水流携带的杂质将在一定距离内沉淀在含水层中。 • 水中的某些溶解物质可能和固体骨架或含水层中原有水起作 用,产生阻塞。某些细菌也可能在过滤器上生长。因此,在注 水井周围往往形成一个渗透性降低的地带。
3.2.3 Dupuit公式的应用
（3-17）
• 对于潜水注水井有： （3-18）
• 二式中的hw-H0为井中的水位升高值。
• 注水和抽水的不同，除了一个是发散的径向流者，一个是收 敛的径向流外,还要强调二者物理条件的区别。
• 抽水时,因井周围的过水断面小,流速大,含水层中的细颗粒 将进入井内,因而在井周围常形成一个渗透性增高的地带;
• 若将(3-3)和(3-6)联立起来，则可得到抽水井附近的 承压水水头分布方程或降落曲线方程： • （3-7） • 式中没有包含Q和K，表明水流相对稳定时，只有给定 井内水位和边界水头，抽水井附近的水头分布就确定 了，不管渗透系数和抽水量的大小。
地下水向完整井的稳定运动
抽水井
初始承压面
降落漏斗
图3-3承压完整井的径向流
Dupuit's assumption for confined flow
• the aquifer is horizontal, homogeneous or horizontally-stratified, isotropic; • the bottom plane of the aquifer is practically horizontal; • the saturated thickness is uniform and small if compared with the horizontal dimensions of the aquifer; • the diameter of the well is limited, and groundwater flow is small. • strong sinks and sources are not present.
Dupuit's assumption for free surface flow
• the aquifer is horizontal, homogeneous or horizontallystratified; • the bottom plane of the aquifer is practically horizontal; • the saturated thickness is uniform and small if compared with the horizontal dimensions of the aquifer; • if the aquifer is characterized by a variable thickness, its variations must be small compared to the average thickness; • the slope of the water table is small; if is much smaller than unity, the error in accepting the two-dimensional assumption for the groundwater flow is small. • strong sinks and sources are not present.
地下水向完整井的稳定运动-专
对微分方程
d dr
??r ?
dH dr
?? ?
?
0
进行积分，得r：dH ?
通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Qdr，
C1
所以 Q ? K(2?rM ) dH
dr
r dH ? Q
得： dr 2?KM
Q
C1 ? 2?KM
即，
dH ?
Q
1 dr
2?KM r
将上式分离变量，得：
? ? H0 dH ? Q R 1 dr
(4)井径和水井内外的水位降深
一般抽水井有三种类型：未下过滤器、下过滤器 和下过滤器并在过滤器外填砾。如图。
1) 未下过滤器的井：井的半径就是钻孔的半径， 井壁和井中的水位降深一致。
2) 下过滤器的井：井的直径为过滤器的直径，井 内水位比井壁水位低。
井损：水流流经过滤器的水头损失和在井内部水 向上运动至水泵吸水口时的水头损失统称为井损。
上二式为 Dupuit 公式。
对于无限含水层，可以当作似稳定处理， R取从抽 水井到明显观测不出水位降深处的径向距离。
但是，对于无限含水层，难以确定 R。当有一个观 测孔时，可用一个观测孔的水位或降深。
H
?
hW
?
Q
2? KM
ln
r rW
或
Qr
sw ? s ? 2?KM ln rW
同理得，有两个观测孔时
2) 抽水前的地下水面是水平的，并视为稳定的；
3) 含水层中的水流服从 Darcy定律，并在水头下降 的瞬间水就释放出来。如有弱透水层，则忽略其弹 性释水量。
3.2 地下水向承压水井和潜水井的稳定运动
3.2.1承压井的Dupuit公式
第三章 地下水向完整井的稳定运动
第三章地下水向完整井的稳定运动一、填空题1．根据揭露含水层的厚度和进水条件，抽水井可分为_____和_____两类。
2．承压水井和潜水井是根据___________________来划分的。
3．从井中抽水时，水位降深在_______处最大，而在________处最小。
4．对于潜水井，抽出的水量主要等于_________。
而对于承压水井，抽出的水量则等于_____________________。
5．填砾的承压完整抽水井，其井管外面的测压水头要______井管里面的测压水头。
6．在承压含水层中进行稳定流抽水时,通过距井轴不同距离的过水断面上流量_____，且都等于______。
7．影响半径R是指________________；而引用影响半径R0是指。
8．对有侧向补给的含水层，引用影响半径是_____________；而对无限含水层，引用影响半径则是______________。
9．在应用Q～S w的经验公式时，必须有足够的数据，至少要有____次不同降深的抽水试验。
10．常见的Q～S w曲线类型有______、______、_______和______四种。
11．确定Q～S w关系式中待定系数的常用方法是______和______。
12．最小二乘法的原理是要使直线拟合得最好，应使________最小。
13．在均质各向同性含水层中，如果抽水前地下水面水平，抽水后形成______的降落漏斗；如果地下水面有一定的坡度, 抽水后则形成_______的降落漏斗。
14．对均匀流中的完整抽水井来说，当抽水稳定后，水井的抽水量等于。
15．驻点是指______________。
16．在均匀流中单井抽水时，驻点位于____________，而注水时，驻点位于____________。
17．通常假定井径的大小对抽水井的降深影响不大，这主要是对_________而言的，而对井损常数C来说_________。
18．确定井损和有效井半径的抽水试验方法，主要有_______和_______。
《地下水动力学》课程总结
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
第3章 地下水向完整井的稳定运动
H 0 2 hw2 (2H 0 sw )sw h hw
2 2
Q r ln K rw
得潜水位分布方程（浸润曲线方程）：
h 2 hw 2 ( H 0 2
r ln rw 2 hw ) R ln rw
说明：潜水位的分布，同样由边界水位决定，而与流量和
在径向距离a以外为承压水区：
H0 M
承压-潜水井
Q R ln 2 KM a
K (2 H 0 M M 2 hw 2 ) Q 1.366 R 两式相消得承压-潜水井公式： lg rw
第 3 章
3) 注水井或补给井
地下向完整井的稳定运动
(注水井与抽水井相反，只要把抽水井的水位降深换成水位升高。) 承压水注水井：
s1 (2H 0 s1 )lg r2 s2 (2 H 0 s2 )lg r1 (2H 0 s1 s2 )(s1 s2 )
这样求得的R值，既可用于条件类似地区只有单井实验的计 算中，又可作为设计合理井距的依据。
第 3 章
地下向完整井的稳定运动
2) 预报流量或降深。 根据Dupuit公式，在已知含水层厚度和参数的情况下，只 要给出设计的降深值，即可预报井的开采量；也可按需要的流 量，预报开采后的可能降深值。但要注意，利用本章公式预报 时，含水层必须有补给源，且能和抽水量平衡，真正达到稳定 流；否则，不可能出现稳定流，利用稳定流公式预报，会得出 错误的结果。
第 3 章
对于承压水井
地下向完整井的稳定运动
Q R ln 如利用观测孔1，则有： s1 2 KM r1
r2 Q ln 如利用观测孔1和2，则有： s1 s2 2 KM r1
s1 lg r2 s2 lg r1 联立求解以上两式，得： lg R s1 s2
3-3 越流含水层中地下水向承压水井的稳定运动
越 流 含 水 层 中 的 基 本 微分 方 程 为：
2H x 2
2H y 2
H1 H B12
H2 H B2 2
T
H t
（B1 极坐标：
T M1） K1
1 r
r
(r
H ) r
1 r2
2H
2
Hi H Bi 2
T
H t
（i＝1，2）
在 前 面 稳 定 的 情 况 下：H t
如 图 示：B2
（四）有界的越流含水层的地下水运动
1. 补 给 边 界 ， 当r R时，H H0 , s 0
s
Q
2T
r [K0 ( B )
K
0
(
R B
)
I
0
(
R B
)
r I0( B)]
当R＞＞B，即
R B
，K0 (
R) B
0
s
Q
2T
K
0
(
r B
)与
无
限
含
水
层
的
计
算
公式
相
同。
2.隔 水 边 界，即r R, QR 0
)
B
s B2
( r )2 B
s r2
所 以 将 其 代 入 上 面 的 模型 可 以 得 出 ：
1 2s 1 s s ( r )2 0 两 边 同 乘 以 r2得 ：
B2 ( r )2 r B ( r ) r 2 B
B
B
( r )2 2s ( r ) s ( r )2 s 0 称 为 零 阶 虚 宗 Besesl方 程。
[r
],
[
K0
(
地下水动力学习题及答案(1)
18.在同一条流线上其流函数等于_常数_，单宽流量等于_零_，流函数的量纲为__ __。
19.在流场中，二元流函数对坐标的导数与渗流分速度的关系式为_ _。
20.在各向同性的含水层中流线与等水头线_除奇点外处处正交_，故网格为_正交网格_。
3．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
4.地下水过水断面包括_空隙_和_固体颗粒_所占据的面积.渗透流速是_过水断面_上的平均速度，而实际速度是_空隙面积上__的平均速度。
在渗流中，水头一般是指测压管水头，不同数值的等水头面(线)永远不会相交。
5.在渗流场中，把大小等于_水头梯度值_，方向沿着_等水头面_的法线，并指向水头_降低_方向的矢量，称为水力坡度。水力坡度在空间直角坐标系中的三个分量分别为_ _、 _和_ _。
31.在均质各向同性的介质中，任何部位的流线和等水头线都正交。(×)
32.地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。(√)
33.潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。(√)
34.在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。(×)
27.沿流线的方向势函数逐渐减小，而同一条等势线上各处的流函数都相等。(×)
28.根据流函数和势函数的定义知，二者只是空间坐标的函数，因此可以说流函数和势函数只适用于稳定流场。(×)
29.在渗流场中，一般认为流线能起隔水边界作用，而等水头线能起透水边界的作用。(√)
30.在同一渗流场中，流线在某一特定点上有时候也可以相交。(√)
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第三章地下水向完整井的稳定运动§3-1 概述一、水井的类型根据水井井径的大小和开凿方法，分为管井和筒井两类。
管井：直径通常小于0.5m，深度大，常用钻机开凿。
筒井：直径大于1m，深度浅，通常用人工开挖。
根据水井揭露的地下水类型，水井分为潜水井和承压水井两类。
根据揭露含水层的程度和进水条件不同，可分为完整井和不完整井两类。
完整井：水井贯穿整个含水层，在全部含水层厚度上都安装有过滤器，并能全面进水的井。
不完整井：水井没有贯穿整个含水层，只有井底和含水层的部分厚度上能进水的井。
如图。
二、井附近的水位降深1. 水位降深水位降深：初始水头减去抽水t时间后的水头，也简称降深。
用s表示。
降落漏斗：抽水时，井中心降深最大，离井越远，降深越小，总体上形成的漏斗状水头下降区。
2. 抽水时，地下水能达到稳定运动的水文地质条件(1) 在有侧向补给的有限含水层中，当降落漏斗扩展到补给边界后，侧向补给量和抽水量平衡时，地下水向井的运动便可达到稳定状态。
(2) 在有垂向补给的无限含水层中，随着降落漏斗的扩大，垂向补给量不断增大。
当它增大到与抽水量相等时，将形成稳定的降落漏斗，地下水向井的运动也进入稳是状态。
(3) 在没有补给的无限含水层中，随着抽水时间的延长，水位降深的速率会越来越小，降落漏斗的扩展越来越慢，在短时间内观测不到明显的水位下降，这种情况称为似稳定状态，也称似稳定。
3. 井径和水井内外的水位降深一般抽水井有三种类型：未下过滤器、下过滤器和下过滤器并在过滤器外填砾。
如图。
(1) 未下过滤器的井：井的半径就是钻孔的半径，井壁和井中的水位降深一致。
(2) 下过滤器的井：井的直径为过滤器的直径，井内水位比井壁水位低。
井损：水流流经过滤器的水头损失和在井内部水向上运动至水泵吸水口时的水头损失统称为井损。
(3) 过滤器周围填砾的井：井周围的渗透性增大，水力坡度变小，所以降深变小。
但是，井损还存在。
这种条件下，井的半径应用有效井半径。
有效井半径：是由井轴到井管外壁某一点的水平距离。
在该点，按稳定流计算的理论降深正好等于过滤器外壁的实际降深。
4. 假设条件本章以后几节中共有的假设条件：(1) 含水层均质、各向同性，产状水平，厚度不变，分布面积很大，可视为无限延伸；(2) 抽水前的地下水面是水平的，并视为稳定的；(3) 含水层中的水流服从Darcy 定律，并在水头下降的瞬间水就释放出来。
如有弱透水层，则忽略其弹性释水量。
§3-2 地下水向承压水井和潜水井的稳定运动一、承压井的Dupuit 公式在上假设条件的基础上，将含水层视为半径为R 的圆形岛状含水层，在R 处为定水头H 0。
这时，水流有如下特征：① 水流为水平径向流，即流线为指向井轴的径向直线，等水头面为以井为共轴的圆柱面，并和过水断面一致；② 通过各过水断面的流量处处相等，并等于井的流量。
上述条件下，给出的数学模型为：求解模型：对微分方程进行积分，得：通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Q ，所以得：即，将上式分离变量，得：W r r R r h H H Hdr dH r dr d w===⎪⎭⎫ ⎝⎛==000=⎪⎭⎫ ⎝⎛dr dH r dr d 1C dr dHr =drdHrM K Q )2(π=KMQdr dHr π2=KMQ C π21=按给出的定解条件取定积分：积分得：整理，得或式中：s w ——井中水位降深；Q ——抽水井流量；M ——含水层厚度；K ——渗透系数；r w ——井的半径；R ——影响半径。
上二式为Dupuit 公式。
对于无限含水层，可以当作似稳定处理，R 取从抽水井到明显观测不出水位降深处的径向距离。
但是，对于无限含水层，难以确定R 。
当有一个观测孔时，可用一个观测孔的水位或降深。
或同理得，有两个观测孔时或此式为Thiem 公式。
水头方程：联立方程drr KM Q dH 12π=⎰⎰=R r H h W W drr KM Q dH 120πWW r RKM Q h H ln 20π=-W w r R KM Q s ln 2π=ww r R KMs Q lg 73.2=WW r rKM Q h H ln 2π=-Ww r rKM Q s s ln 2π=-1212ln 2r r KM Q H H π=-1221ln 2r r KM Q s s π=-WW r RKM Q h H ln 20π=-(2)/(1) 解得：此式为稳定井流井附近的承压水水头分布方程。
与流量和渗透系数无关。
二、潜水井的Dupuit 公式1. 假设条件：在第一节假设条件的基础上，再做如下假设：(1) 流向井的潜水流是近似水平的；(2) 通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井的流量。
2. 数学模型及其解求解模型：对微分方程进行积分，得：通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Q ，所以得：即，将上式分离变量，得：WW r rKM Q h H ln 2π=-()ww w w r Rr r h H h H ln ln0-+=W r r R r h h H hdr dh r dr d w===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==02002=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dr dh r dr d 12C dr dhr =dr dhrK dr dhrh K Q 2)2(ππ==KQdr dhr π=2KQ C π=1按给出的定解条件取定积分：积分得：整理，得：或上二式为潜水井的Dupuit 公式。
当有一个观测孔时：当有两个观测孔时：此式为潜水井的Thiem 公式。
水头方程：联立方程(2)/(1) 解得：此式为潜水位的分布方程。
与流量和渗透系数无关其他条件下，Dupuit 公式的推广：（1）巨厚含水层中的潜水井这时井的降深仅是含水层厚度的一小部分，将Dupuit 公式改为：由于含水层比较厚，所以h w 的微小变化（即Δh w ）相对于H 0+h w 很小，可忽略不计，H 0+h w = 常数当井中降深H 0－h w = s w ＜＜H 0时，可视H 0≈h w 上式变为：dr rK Q dh 12π=⎰⎰=R r H h w w drr K Q dh 12πw w r RK Q h H ln 220π=-()w w w r R K Q s s H ln 20π=-()ww w r R s s H K Q lg 2366.10-=w w r r K Q h h ln 22π=-122122ln r r K Q h h π=-ww r RK Q h H ln 220π=-ww r rK Q h h ln 22π=-()w w w w r Rr r h H h h lnln 22022-+=()()ww w r RK Q h H h H ln 00π=+-()ww w r R h H K Q h H ln 00+=-π表明：当含水层很厚而降深相对较小时，潜水含水层可近似地按承压含水层处理。
（2）承压—潜水井在承压含水层中，进行大降深抽水可能产生无压区。
应分段计算。
在无压区用潜水Dupuit 公式：在承压区用承压水Dupuit 公式：从二式中消去lna ，得承压—潜水井流量公式：水头预报：无压区用潜水公式，承压区用承压水公式。
（3）注水井和补给井承压水井：潜水井：三、Dupuit 公式的应用（1）求含水层参数无观测孔时，需已知Q 、s w 、R承压井：潜水井：有一个观测孔时，需已知Q 、s w 、s 1、r 1承压井：潜水井：ww r R KH Q h H ln 200π=-ww r aK Q h M ln 22π=-aRKM Q M H ln 20π=-()w w r Rh MM H K Q lg 2366.1220--=()wwr RH h KM Q lg 73.20-=()w w r RHh K Q lg 366.1202-=ww r R Ms QK lg 366.0=()w ww r Rs s H Q K lg 2732.00-=()ww r r s s M QK lg 366.0-=有两个观测孔时，需已知Q 、s 1、s 2、r 1 、r 2承压井：潜水井：(2) 预报流量或降深利用Dupuit 公式.四、Dupuit 公式的讨论1. 井径和流量的关系按Dupuit 公式，流量与井径呈半对数关系，井径对流量的影响不太大。
如井径增大一倍，流量约增加10％，井径增大10倍，流量仅增加40％左右。
但实际上，井径对流量的影响比Dupuit 公式反映的关系要大得多。
如冶金工业部勘察总公司在北京南苑试验场进行了井径和流量关系的对比试验，三种井径100mm 、150mm 、200mm 的Q-s w 关系曲线如图。
得出如下认识；① 当降深s w 相同时，井径增加同样的幅度，强透水岩层中井的流量增加得比弱透水层中的井多；② 对于同一岩层，井径增加同样的幅度，大降深抽水的流量增加得多，小降深抽水时流量增加得少；③ 对于同样的岩层和降深，小井径时，由井径增加所引起的流量增长率大；中等井径时，增长率减小；大井径时，流量随井径的增加就不明显了。
2. 渗出面（水跃）及其对Dupuit 公式计算结果的影响渗出面：在潜水的出口处，潜水位高于地表水位，高出的面为渗出面。
渗出面的作用：（1）为井壁和井中提供水头差，使井附近（阴影部分）的水进入井内。
（2）保持了适当高度的过水断面，以保证含水层内的水流入井内。
说明：Dupuit 公式中未考虑渗出面。
那么利用Dupuit 公式算出的q 与实际的相符；算出的h 在r ≥H 0时与实际相符，在r ≤H 0时比与实际的低。
§3-3 非线性流情况下的地下水向完整井的稳定运动当R e ＞1–10时，水流不服从Dupuit 定律，是非线性流。
描述非线性流运动的方程有Chezy 公式：和Forchheimer 公式：一、承压水井（1）地下水服从Chezy 公式时，有分离变量，并积分得：()ww w r r s s s H QK lg 2732.00--=()1221lg 366r r s s M QK -()()1221210lg 2732.0r r s s s H Q --=21KJ v =2bv av J +=212⎪⎭⎫ ⎝⎛=dr dH rMK Q π当r=R 时，H=H 0，代入上式，得因为：H 0-h w =s w ，且R ＞＞r w ，所以：上式变为：即此式为地下水运动服从Chezy 公式的承压井流流量公式。
（2）地下水服从Forchheimer 公式时，有J=av+bv 2因为：所以：分离变量，并积分，得：§3-4 越流含水层中地下水的承压水井的稳定流动一、数学模型及其解微分方程为：（柱坐标）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r r KM Q h H w w 1122π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-R r KM Q h H w w11220πww w r R r r R 11111≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<故w wr KM Q s 122⎪⎭⎫ ⎝⎛=πww s r KM Q π2=rM Q v drdHJ π2==222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=rM Q b rM Q a dr dH ππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-r r M bQ r rM aQ h H w w w 114ln 2222ππ化成由降深表示的方程：H 0－H=s所以： dH=-ds代入得：或模型为：该模型的解为：为Bessel 函数，可查表得。