苏教版数学高二《2.3 数学归纳法》 同步学案 苏教 江苏省徐州市王杰中学
苏教版选修(2-2)2.3《数学归纳法义》word学案
2.3数学归纳法导学案编写：朱家锋 校对：高二数学备课组一、课标要求了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、知识清单1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法。
可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。
2、数学归纳法证明命题的类型 与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
三、问题探究1、数学归纳法的归纳奠基中n 0一定等于1吗？2、为什么可以先假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？四、思维误区1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k 时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k 时的式子，或将n=k+1的情况用n=k 的情况表示。
2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k 变化到n=k+1“和”或“积”的情况。
五、典例分析题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n 2（n ＋1）2题型二、用数学归纳法证明不等式 例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）．题型三、用数学归纳法证明几何问题例3．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n ＋2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．题型五 归纳、猜想、证明 例5．是否存在常数a ，b ，c 使等式()()()122334111222222···…++++=+++n n n n anbn c 对一切自然数n 都成立，并证明你的结论。
高二数学 教案 2.3 数学归纳法_苏教版_选修2-2 (2)
§2.3 数学归纳法（2）编写：黄爱华 审核：赵太田一、知识要点1.不完全归纳法得出的结论是否正确需要用数学归纳法加以证明；2.对于与自然数有关的问题，关键通常归结为探寻递推关系. 二、典型例题例1.设n N ，1()5231n n f n .⑴当1,2,3,4n 时，计算()f n 的值；⑵你对()f n 有何猜想？用数学归纳法，证明你的猜想？例2.在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少个部分？三、巩固练习n提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想1～3：先计算1,2,3,4n n的和.1.求135(1)(21)n n n N能被哪些自然数整除？2.25()3.求凸n边形对角线的条数.四、课堂小结与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列以及几何问题，都可以考虑用数学归纳法。
五、课后反思六、课后作业1.根据条件，猜想结论：⑴数列n a 中，11a ，且11,,2n n S S S 成等差数列，则1234,,,S S S S 分别为 ，猜想n S = . ⑵112(),1,()(2)2n n x f x x x f x n x ≥，则234,,x x x 分别为 ，猜想n x = . 2.探寻递推关系： ⑴凸n 棱锥有()f n 个对角面，则(1)()f n f n ； ⑵平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任三条不过同一点，该n 条直线把平面分成()f n 个区域，则(1)()f n f n .⑶平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任三个圆不相交于同一点，则n 个圆分平面区域数为()f n ，则(1)()f n f n .3.设nN ，求证：22()389n f n n 是64的倍数.4.平面内有(2)n n ≥条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，证明：它们的交点数(1)()2n n f n5.对于给定的前4个等式：11,14(12),149123,14916(1 234)，由此猜想第n 个等式，并给出证明.6.已知数列n a 满足：11a ，且11429()n n n n a a a a n N .⑴求234,,a a a ；⑵由⑴猜想n a 的通项公式n a ；⑶用数学归纳法证明⑵的结果.思考题：课本P 91第7题，第9题订正栏：。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法》22
数学归纳法学案
【知识清单】
数学归纳法步骤：
〔1〕〔归纳奠基〕证明当取第一个值时命题成立．
〔2〕〔归纳递推〕假设时命题成立，证明当时命题也成立．
【适用范围】归纳法是证明与自然数有关的命题的一种重要的证明方法，也是一种完全归纳法。
它常用来解决以下几类问题：
〔1〕用于证明恒等式；〔2〕用于证明不等式；
〔3〕用于证明整除问题；〔4〕用于证明某些几何问题．
使用数学归纳法要注意证明的步骤与书写格式的标准性．
【易错点解读】
运用数学归纳法需要注意的问题主要有以下几点:
〔1〕对项数估算出错即寻找与的关系时,项数发生什么变化被弄错．
〔2〕归纳假设的漏用,归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了．
〔3〕关键步骤模糊不清〞假设时结论成立,利用此假设证明时结论也成立〞,是数学归纳法关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性,标准性．
【课前预习】
，
（1）求出其前四项，你能猜测的通项公式吗？
【方法生成】
数学归纳法可用来证明与正整数n有关的命题，其证明步骤为：
【例题选讲】
例1：用数学归纳法证明课前预习的猜测!
例2、用数学归纳法证明：当时，
小结：
例3：，求证：．
小结：
课堂练习1：用数学归纳法证明：
在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是_________________课堂练习2:，那么_______________________
思考题：，求证：．【课堂小结】
【课后作业】
数学归纳法学案课后检测。
苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法 教案
第1课时数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果①当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．(2)数学归纳法的框图表示类型一从n＝k到n＝k＋1左边增加的项例1 用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 反思与感悟 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项，除此之外，多了哪些项都要分析清楚．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)解析 当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 类型二 用数学归纳法证明恒等式例2 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12. 左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *等式成立．反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1时命题成立”，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1 ＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝2k 2＋2k ＋1＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②知，对任意n ∈N *，等式都成立．1．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_______________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为________．答案 1＋a ＋a 2＋a 3解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9，那么可以通过求a 2，a 3，a 4的值猜想出a n ＝________.答案 6n －52n －14．请观察以下三个式子：(1)1×3＝1×2×96； (2)1×3＋2×4＝2×3×116； (3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6. 证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6， 则当n ＝k ＋1时，1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k ＋16(2k 2＋7k ＋6k ＋18) ＝k ＋16(2k 2＋13k ＋18) ＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6， 所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．应用数学归纳法证题时的注意点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．课时作业一、填空题1．设n ∈N *，用数学归纳法证明2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 时，第一步应证明：左边＝________. 答案 22．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，n 所取的第一个值n 0为________．答案 3解析 由题意知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证________．①n ＝k ＋1时等式成立②n ＝k ＋2时等式成立③n ＝2k ＋2时等式成立④n ＝2(k ＋2)时等式成立答案 ②解析 因为n 为正偶数，n ＝k 时等式成立，即n 为第k 个偶数时命题成立，所以需假设n 为下一个偶数，即n ＝k ＋2时等式成立．4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (2)的表达式为________． 答案 f (2)＝12＋13＋14解析 代入表达式可得．5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳得出a n 的通项表达式为________．答案 26n －5解析 由a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5.6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1； ③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任意的n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤错误的是________．(填序号)答案 ③解析 ③中没有用到归纳假设．7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．答案 1－12＝128．用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_________________________________________． 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)29．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案 12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 10．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，则当n ＝k ＋1时，2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为____________________．答案 缺少步骤归纳奠基二、解答题11．用数学归纳法证明(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1n 2)＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)＝k ＋12k，那么当n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k [1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n －1)(n ＋1)4. 证明 ①当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0， 所以等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k －1)(k ＋1)4. 那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k )＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)] ＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4. 所以当n ＝k ＋1时等式成立．由①②知，对任意n ∈N *等式成立．三、探究与拓展13．证明1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *)，假设当n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数为________．答案 2k解析 当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1， 所以增加的项数为2k ＋1－1－(2k －1)＝2k .14．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．(1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a n >0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1， 将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a n >0)．同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．。
高中数学教案选修2-2《2.3数学归纳法》
教课目的：1．理解数学概括法的观点 ,掌握数学概括法的证明步骤．2．经过数学概括法的学习 ,领会用不完好概括法发现规律 ,用数学概括法证明规律的门路．教课要点：1．能用数学概括法证明一些简单的数学命题．2．难点：概括 →猜想 →证明．教课过程：一、预习1．思虑并证明：平面内有 n(n ≥2)条直线 ,此中任何两条不平行 ,任何三条可是同一点 ,证明交点的个数为 f(n)＝ n(n －1)．22．小结：数学概括法是一种证明与正整数相关的数学命题的重要方法．主要有两个步骤、一个结论：（ 1）证明当 n 取第一个值 n 0（如 n 0＝1 或 2 等）时结论正确．（ 2）假定 n ＝k 时,结论正确 ,证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确（用上假定 ,递推才真）．（ 3）由（ 1）,（2）得出结论（结论写明 ,才算完好）．此中第一步是递推的基础 ,解决了特别性；第二步是递推的依照 ,解决了从有限到无穷的过渡．这两步缺一不行．只有第一步 ,属不完好概括法；只有第二步 ,假定就失掉了基础．二、讲堂训练例 1 设 n ∈ N *,F(n)＝5n＋2×3n ＿ 1＋1,（ 1）当 n ＝1,2,3,4 时 ,计算 f(n)的值．（ 2）你对 f(n)的值有何猜想？用数学概括法证明你的猜想．例 2 在平面上画 n 条直线 ,且任何两条直线都订交 ,此中任何三条直线不共点．问：这 n 条直线将平面分红多少个部分？1．用数学法明： 1＋2＋22＋⋯＋ 2n＿1＝ 2n－1 (n∈N* )．2．下边是某同学用数学法明命 1 ＋ 1＋＋1＝n的12 23n( n＋1)n＋1程,上 ,原命建立．3．求： (n＋ 1)(n＋2)⋯ (n＋n)＝2n·1·3·⋯·（2n－ 1）（ n∈N*）．四、堂小① 法：由特别到一般,是数学的重要方法；②数学法的科学性：基正确；可；③数学法程序化步：两个步,一个；④数学法点：战胜了完好法的繁、不行行的弊端,又战胜了不完全法不行靠的不足,是一种科学方法 ,使我到事情由到繁、由特别到一般、由有限到无．五、作本 P94 第 6,7,8 ．。
苏教版数学高二- 选修2-2学案 2.3数学归纳法
2.3数学归纳法【回归教材】1．设1111()()(1)()1232f n n N f n f n n n n n*=++++∈+-=+++有_____________ 2．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是____________________3．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是__________________4．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得当n=________时该命题不成立【知识回顾】1.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n=k(k ∈N *，且k≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.【经典例题】例1 已知*N n ∈,证明: (1) n n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-n n n 212111+⋅⋅⋅++++=. (2) n n n +≤++++≤+21213121121例2 已知*N n ∈,证明：)(53*∈+N n n n 能被6 整除例3 已知*N n ∈，试比较n 2与2n 的大小例4 是否存在常数使 a 、b 、c ，等式： c bn an n n n n n ++=-⋅+⋯+-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1对一切正整数n 成立？证明你的结论【巩固练习】1．若f （n ）=1+1213121++⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n=1时，f （n ）=______ 2．用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112（a≠1，n ∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是____________3.),,3,2,1(21312111 =+++++++=k kk k k S k 则S k+1 = S k + ____________ (A) S k +)1(21+k (B) S k + 11221+-+k k (C) S k + 221121+-+k k (D) S k + 221121+++k k 4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ⨯1⨯2⨯3⨯…(2n─1)(n ∈N),从“k 到k+1”左端应增乘的代数式为 .5. 求证：212131211n n >-++++（*∈N n ）。
苏教版数学高二-备课参考数学苏教版选修2-2教案 2.3 数学归纳法(2)
数学归纳法(2)一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程： 【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。
（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。
【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-能被9整除。
法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。
例2：数列{a n }中，1n n a a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++= （1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +, (1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式； （2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。
高中数学新苏教版精品教案《2.3 数学归纳法》
数学归纳法〔第一课时〕教学设计1 上课背景探究教学是指通过设置问题情境，由教师启发引导，促使学生积极主动参与到发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、形成方法、应用方法的过程中，以培养学生探究兴趣和解决问题能力的一种教学活动。
笔者有幸执教了一节以“启发提问，探究教学，教学生学会思考〞为主题的公开课，课题是?数学归纳法?第一课时，所用教材是普通高中课程标准实验教科书〔苏教版〕?数学选修2-2?，现将教学过程简录及每一个环节的教学设计意图分享给大家，如有不当之处，敬请指正！2教学目标〔1〕知识与技能目标：学生能理解数学归纳法的原理；能掌握用数学归纳法证明问题的两步骤一总结环节；能用数学归纳法证明一些简单的数学问题。
〔2〕过程与方法目标：在教学过程中通过设置问题情境，注重培养学生探究解决问题的能力以及提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养；让学生能领悟数学思想方法、感受数学研究的一般方法。
〔3〕情感、态度与价值观：通过多米诺骨牌游戏，让学生亲身感受数学好玩；课堂上共同探究问题，感受数学归纳法的实质——一种以数学归纳原理〔即自然数归纳公理〕为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，提升学生学习数学兴趣，到达好玩数学的目的，最后应用数学归纳法，用学生间的问难和质疑，实现知识内化吸收，到达玩好数学。
3 教学重点难点：能理解数学归纳法根本思想和实质，能用数学归纳法解决相关问题。
4教学过程简录4．1 创设情境，引入新课情境一：从前有个财主,请来一位先生教儿子识字。
先生写一横，告诉他的儿子是“一〞字；写两横,告诉是个“二〞字；写三横，告诉是个“三〞字。
学到这里，儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。
〞财主很快乐，就把先生给辞退了。
有一天，这位财主准备请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖……情境二：12－1＋11=11，2 2－2＋11=13，3 2－3＋11=17，4 2－4＋11=23，5 2－5＋11=31，都是质数，于是有人用归纳推理提出猜测：任何形如n2－n＋11n∈N*的数都是质数。
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例1：以知数列{an}的公差为d，求证：
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。
②数学归纳法证明的基本形式；
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。
三、练习检测与拓展延伸
1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
An=1Bn=2Cn=3Dn=4
2．用数学归纳法证明 第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )A. B C D
3．若n为大于1的自然数，求证
4．用数学归纳法证明
难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
本课时教学资源的使用
导学案
学 习 过 程
一、自学准备与知识导学
1.创设情境
(1)华罗庚的“摸球实验”。
(2)“多米诺骨牌实验”。
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。
2.探索研究
(1)数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
(2)数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
练习: 1.判断下列推证是否正确。
P88 2,3
2.用数学归纳法证明
例2：用数学归纳法证明 (n∈N,n≥2)
说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。
练习：数学归纳法证明
(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；
四、课后反思
数学归纳法导学案
章节与课题
第二章第2.3节数学归纳法
课时安排
6课时
主备人
常丽雅
审核人
梁龙云使用人使用源自期或周次第一周本课时学习目标或学习任务
了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。掌握数学归纳法证明问题的方法。能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
本课时重点难点或学习建议
重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；
(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?
变题: 用数学归纳法证明 (n∈N+)
例3：设f(n)=1+ ,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2)