数学模型与数学建模

数学模型与数学建模
《经济数学基础》是电大财经与管理类专科学生的一门必修课程，也是学习其它技术基础课和专业课的必要基础课程，无论学生和教师都非常重视这门课程的教学。

但是现在的经济数学教材，多数只注重理论和计算，对应用性不够重视，即使有个别的应用也是限于较少的几何方面以及经济方面的简单应用。

很多学生都有这样的认识：数学很重要，但很枯燥，学了半天除了知道能在几何等方面的应用外，不知道还能有什么用，但又不得不学。

学生学习数学的目的不明确、缺少自觉学习的动力。

归于一点，就是学生不知道学了数学有什么用。

在今后的学习和工作中数学到底有什么作用呢？学生很茫然，但数学又是非常重要的课程。

因此，很多学生都是怀着不得不学的态度来学习数学的，缺乏自觉学习的动力。

这就要求我们数学教师进行课程内容和教学方法的大胆改革，让学生明白数学除了在几何以及经济上应用以外，还有很多用处，可以说我们的生活中、工作中无时无刻的充满着数学，只是你没有认识它，不知道该怎样用它。

近20年来发展起来的数学建模正是为数学的应用性提供了展示的舞台，也为大学生们提供了一个很好的学习机会。

一、数学模型
什么是数学模型呢？
1、模型
所谓模型是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩，提炼而成的原型替代物。

这里的原型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

模型可以分为形象模型与抽象模型，前者包括直观模型（如机械模型，玩具等）和物理模型（如核爆炸反应模拟设备等），后者包括思维模型（如个人凭经验行事的思维模式及习惯等）和符号模型（如地图，电路图，化学分子结构式等）。

模型的特征：目的性、应用性、功能性、抽象性是一般模型所普遍具有的特征。

这里特别强调模型的目的性，模型的基本特征是由模型的目的决定的。

一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。

例如，为了制定大型企业的生产管理计划，模型就不必反映各生产装置的动态特性，但必须反映产品的产量、销售量和库存原料等变化情况。

也就是说，各装置的动态特性对这种模型来说是非本质的。

相反，为了实现各生产装置的最佳运行，模型就必须详细地描述各装置内部状态变化的生产过程动态特性。

这时，各装置的动态待性就变成了本质的。

可见，模型所反映的内容将因其使用的目的的不同而不同。

模型的分类：模型一般分为具体模型（物质模型）和抽象模型（理想模型）两大类。

具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。

2、数学模型
数学模型是一种符号模型，它是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律（相依关系）的数学公式、图像、图表或算法，是一种数学结构。

更确切地说，所谓数学模型是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，做一些必要的简化，假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

这个数学结构可以是方程（组）、不等式（组）、图像、图表或者算法等。

数学模型的特征：数学模型除具有一般模型所普遍具有的四个特征外，定义中的“运用适当的数学工具”得到“数学结构”表明数学模型还具有数量性特征，这是数学模型区别于其它模型的最显著特性。

“数学工具”不言而喻是我们已有的数学各分支的理论、方法。

“数学结构”可以是数学公式、算法、表格、图示等。

它们体现了数学模型不同于其它各种思维模型，是一种用数学语言表达的定量化的模型。

用数学语言的描述往往比其它模型更概括、更精炼、更为准确，也更能抓住事物的本质。

重要的是建立了数学模型以后，对对象的研究可以完全转化在数学演绎的范畴进行。

3、数学模型的分类
（1）按照建模所用的数学方法的不同，可分为初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。

（2）按照数学模型应用领域的不同，可分为人口模型、交通模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生态模型、企业管理模型、城镇规划模型等等。

（3）按照对建模机理了解的程度不同，可分为白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
白箱模型主要指物理、力学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这些方面的数学模型大多已经建立起来，还需要深入研究的主要是针对具体问题的特定目的进行修正与完善，或者是进行优化设计与控制等。

灰箱模型主要指生态、经济等领域中遇到的模型，人们对其机理虽有所了解，但还不清楚，故称为灰箱模型。

在建立和改进模型方面还有不少工作要做。

黑箱模型主要指生命科学、社会科学等领域中遇到的模型。

人们对其机理知之甚少，甚至完全不清楚，故称为黑箱模型。

在工程技术和现代化管理中，有时会遇到这样一类问题：由于因素众多、关系复杂以及观测困难等原因，人们也常常将它作为灰箱或黑箱模型问题来处理。

应该指出的是，这三者之间并没有严格的界限，而且随着科学技术的发展，情况也是不断变化的。

（4）按照模型表现特性的不同，可分为确定性模型与随机性模型、静态模型与动态模型、离散模型与连续模型。

确定性模型不考虑随机因素的影响，随机性模型则考虑了随机因素的影响。

静态模型与动态模型两者的区别在于是否考虑时间因素引起的变化。

离散模型与连续模型两者的区别在于描述系统状态的变量是离散的还是连续的。

二、数学建模
什么是数学建模呢？
数学建模，概括而言，是指包括建立、求解、检验和评价数学模型的一系列过程。

具体是指：在实验、观察和分析的基础上，对实际问题的主要方面作出合理的假设和简化，将实际问题“翻译”成数学语言；明确变量和参数；根据分析得出问题的数量相依关系，用数学的语言和方法形成一个明确的数学结构，也称为这一阶段的一个数学模型；用数学或计算的方法（包括用计算机及数学软件）精确或近似求解该数学模型；检验结果是否能说明实际问题的主要现象，能否进行预测；结论的优缺点及模型改进的方向等；这样的过程反复进行，直到能解决或较好地解决问题，这就是数学建模的全过程。

一般地，数学建模过程和步骤可用如下框图表示：
模型准备：了解实际问题的背景，明确建模的目的，搜集有关的信息资料，掌握对象的特征。

模型假设：针对问题的特点和建模的目的，作出合理的、简化的假设。

注意要在合理和简化之间进行折中处理。

模型构成：用数学的语言、符号来表述问题。

模型求解：使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行求解。

模型分析：计算结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析等。

模型检验：与实际现象、数据进行比对，检验模型的合理性、适用性。

如果与实际现象、
数据差别加大，则需重新进行模型假设。

模型应用：将该模型应用于实践。

应当强调指出的是，并不是所有的数学建模过程都要按上述步骤进行。

上述步骤只是数学建模过程的一个大概的描述，实际建模时可以灵活应用。

三、数学建模案例——椅子能在不平的地面上放稳吗？
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。

让我们来建立数学模型来证明它。

1、模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

（3）对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

2、模型构成
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示
的竖直距离，当这个距离为0时，表示
椅脚着地了。

椅子要挪动位置说明这个
距离是位置变量的函数。

由于正方形的中心对称性，只要设
两个距离函数就行了，记A、C两脚与地
面距离之和为f(θ)，B、D两脚与地面距
离之和为g(θ)，显然f(θ)、g(θ)≥0，
由假设(2)知f、g都是连续函数，再由假设(3)知f(θ)、g(θ)至少有一个为0。

当θ=0时，不妨设f(θ)>0、g(θ)=0，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题已知f(θ)、g(θ)是θ的连续函数，对任意θ，f(θ)•g(θ)=0，且f(0)>0、g(0)=0，则存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0。

3、模型求解
将椅子旋转90度，对角线AC和BD互换，由f(0)>0、g(0)=0可知f(π/2)=0、g(π/2)>0。

令h(θ)=f(θ)-g(θ)，则h(0)>0、h(π/2)<0，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在θ0(0<θ0<π/2)使h(θ0)=0，即f(θ0)=g(θ0)，由f(θ)•g(θ)=0，所以f(θ0)=g(θ0)=0。

4、模型评注
模型巧妙在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。

利用正方形的中心对称性及旋转90度并不是必需的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形。