含字母系数方程与绝对值方程
奥数知识点汇总初一
奥数知识点汇总（初一）第一章 整数一、整数的几种表示方法：选择适当的方法表示一个整数，是解决整数问题的基本方法之一。
它是解决整数问题的前提。
1、整数的多项式表示法：任何一个十进制的正整数N 都可表示为：12121010101010n n n n N a a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯+，这里n a 、1n a -、……2a 、1a 、0a 各取于0——9这十个数字中的任何一个。
如果N 是一个n+1位正整数，则n a ≠0。
为了方便，也可将N 简记作110N n n a a a a =-——————————————。
这种表示法称为整数的多项式表示法。
整数最左边的一位数字n a 叫做整数N 的首位数字，最右边的一位数字0a 叫做整数N 的末位数字。
2、整数的质因数连乘积表示法：（1）算术基本定理——每一个大于1的整数都能分解成质因数的乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排在一起（相同因数的积写成幂的形式），那么这种分解方法是唯一的。
这就是说，任何一个整数N （N ＞1），都能唯一地表示成下面的形式：其中1α，2α，……n α为自然数，12,,,n p p p 为质数，并且1p ＜2p ＜……＜n p 。
这种表示法称为整数的质因数连乘积表示法，又称为整数N 的标准分解式。
（2）约数个数定理——一个整数N （N ＞1），如果它的标准分解式为1212n n N p p p ααα=,那么它的约数个数为（1＋1α）（1＋2α）……（1＋n α）。
另外，如果一个正整数N 的约数个数是奇数，那么这个正整数N 是完全平方数。
3、整数的带余式表示法：如果整数a 除以正整数m 所得的商是q ，余数是r ，那么a ＝mq+r ，其中q 、r 都为整数，并且0≤r ≤m －1。
这种表示法称为整数的带余式表示法。
如果整数a 、b 分别除以正整数m 所得得余数都是r ，即a=mp+r ，b ＝mq+r(p 、q 为整数)，那么称a ，b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)。
人教版七年级数学上册 第一至第四章全册知识点归纳
人教版初一数学上册知识点归纳七年级数学上册知识点第一章有理数1.1 正数与负数①正数：大于0的数叫正数。
（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
与正数具有相反意义。
③0既不是正数也不是负数。
0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。
注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数1、有理数（1）整数:正整数、0、负整数统称整数；（2）分数;正分数和负分数统称分数；（3）有理数：整数和分数统称有理数。
2、数轴（1）定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴；（2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度；（3）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（4）数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。
3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）4、绝对值：（1）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
两个负数，绝对值大的反而小。
1.3 有理数的加减法①有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
3、一个数同0相加，仍得这个数。
加法的交换律和结合律②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
1.4 有理数的乘除法①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0；乘积是1的两个数互为倒数。
乘法交换律/结合律/分配律②有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。
含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程一.学习目标1．深刻理解一元一次方程的定义，会运用一元一次方程的定义求字母参数的值． 2．会利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值． 3.学会含绝对值的一元一次方程的解法．二.重难点分析1．利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值是重点． 2．一元一次方程与新定义是难点. 3．掌握含绝对值的一元一次方程的解法.三.要点集结四.精讲精练一元一次方程的定义当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．含参数的一元一次方程一元一次方程的定义一元一次方程的解同解方程一元一次方程与新定义含绝对值符号的一元一次方程只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x，且x的指数是1，（2）x的系数不等于0，（3）x的指数高于一次的项系数是0．例1.已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求：（1）m的值；（2）代数式的值．【答案】解：（1）由题意得，|m|﹣4＝1，m+5≠0，解得，m＝5；（2）当m＝5时，原方程化为10x+18＝0，解得，x＝﹣，∴＝＝﹣．练习1.已知关于x的方程（k﹣1）x|k|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为．【答案】-1【解析】根据一元一次方程定义可得：|k|＝1，且k﹣1≠0，再解即可．练习2.已知方程（a﹣1）x|a|+2＝﹣6是关于x的一元一次方程，则a＝【答案】﹣1【解析】根据一元一次方程的定义，得到|a|＝1和a﹣1≠0，结合绝对值的定义，解之即可．练习3.已知ax2+2x+14＝2x2﹣2x+3a是关于x的一元一次方程，则其解是（）．A、x＝﹣2B、x＝12C、x＝﹣12D、x＝2【答案】A【解析】根据一元一次方程的定义，2次方的项的系数必为零，才能满足题意要求，故解：方程整理得：(a－2）x＋4x+14－3 a＝0，由方程为一元一次方程，得到a－2＝0，即a＝2，方程为4x+14－6＝0，解得：x＝－2.小结根据定义判断含字母参数的一元一次方程，一般先将方程化为标准型，x的指数高于一次的项系数是0，x的指数为1的项的系数不等于0。
人教版初一数学上册知识点总结
人教版初一数学上册知识点总结【篇一：人教版初一数学上册知识点总结】人教版初一数学上册知识点归纳散文吧>>,>人教版初一数学上册知识点归纳七年级数学上册知识点第一章有理数1.1 正数与负数①正数：大于0的数叫正数。
（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
与正数具有相反意义。
③0既不是正数也不是负数。
0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。
注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数1、有理数（1）整数:正整数、0、负整数统称整数；（2）分数;正分数和负分数统称分数；（3）有理数：整数和分数统称有理数。
2、数轴（1）定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴；（2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度；（3）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（4）数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。
3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）4、绝对值：（1）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
两个负数，绝对值大的反而小。
1.3 有理数的加减法①有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
3、一个数同0相加，仍得这个数。
加法的交换律和结合律②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
1.4 有理数的乘除法①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0；乘积是1的两个数互为倒数。
几种类型的一元一次方程的解法
几种类型的一元一次方程的解法一、含字母系数的一元一次方程例1、解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c --=---+≠.例2、解关于x 的方程：. 同步练习：1、解关于x 的方程.2 解关于x 的方程()()m x n x m -=-413 二、一元一次方程的整数解1、若方程139125325+=-x m x 有一个正整数解，则m 取的最小正数是多少？并求出相应的解 2、 已知关于x 的方程：17834-=-x m x ，当m 为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m 的最大值。
三、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1、已知|31|2x -=，则x =（ ）.例2.若||,x a =则||x a -=（ ）.例3.若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.同步练习：1、解方程：4213)1(=-x (2)、|5|25x x -+=- 3213)3(+=-x x 3、已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（ ）.4、方程|56|65x x +=-的解是_________.5、方程 |x|=ax+1有一负根而无正根, 则a 的取值范围是_________.（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例1.解方程|3||1|1x x x +--=+同步练习：1.若0a <，则200011||a a +等于_________.2.方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（ ）个解.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.2371022331-1x x x x x ---=+-例1、适合|27||21|8a a ++-=的整数的值的个数有_________.例2、若0,0a b ><则使||||x a x b a b -+-=-成立的的取值范围是_______.同步练习：1、适合关系式|34||32|6x x -++=的整数的值是_____.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）大于2的自然数2、解方程|1||5|4x x -+-=：. 四、特殊方程1、方程2001200220013221=⨯++⨯+⨯x x x 的解是_________. 2、方程⎪⎭⎫ ⎝⎛≠++=--+--+--01113c b a c b a x b a c x a c b x 其中的解为 五、不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
人教版七年级数学上册目录及知识点汇总
人教版七年级数学上册目录及知识点汇总集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）人教版新课标七年级上册数学教材目录第一章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.3 有理数的加减法1.4 有理数的乘除法1.5 有理数的乘方第二章整式的加减2.1 整式2.2 整式的加减第三章一元一次方程3.1 从算式到方程3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3.4 实际问题与一元一次方程第四章几何图形初步4.1 几何图形4.2 直线、射线、线段4.3 角4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒第一章有理数1.1 正数与负数①正数：大于0的数叫正数。
（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
与正数具有相反意义。
③0既不是正数也不是负数。
0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。
注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数1、有理数（1）整数:正整数、0、负整数统称整数；（2）分数;正分数和负分数统称分数；（3）有理数：整数和分数统称有理数。
2、数轴（1）定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴；（2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度；（3）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（4）数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。
3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）4、绝对值：（1）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
两个负数，绝对值大的反而小。
解含绝对值的方程讲解学习
解含绝对值的方程“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。
解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。
下面举例说明解这类方程的几种常用方法。
. 运用基本公式：若，则解方程例1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2. 解方程解：因为所以解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4或4 以上所以所以方程的解有无数个，故选（D）。
三.运用绝对值的非负性解方程例4. 方程的图像是（）A. 三条直线：B. 两条直C. 一点和一条直线：（0，0），D. 两个点：（0，1），（-1，0）解：因为所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。
四.运用绝对值的几何意义解方程例5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。
五.运用方程的图象研究方程的解例6. 若关于x 的方程有三个整数解，则a的值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：作的图象，如图1 所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x 轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。
故选（B）。
同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4 个解。
中考数学试题分类解析汇编专题1：实数、选择题1.（2012 广东省3 分）﹣5 的绝对值是【】A ．5 B．5 C ．D．﹣答案】A。
考点】绝对值。
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得| ﹣5|=5 。
故选A。
2.（2012 广东省3 分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【】A ．0.64 ×107B．6.4 ×106C．64 ×54105 D．640 ×104【答案】B。
人教版初一数学上册一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由题意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系数化为1得710x=．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x=-．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-．【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x-+=-．再去中括号得：1112224433x x x-+=-．移项，合并得：5111212x-=-．系数化为1，得：115x=．解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-．去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=．解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-．去中括号，得1112(1)(1)(1) 2243x x x-+--=-．移项、合并，得51(1)122x--=-．解得115x=．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭．去大括号111110 16842x----=．移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--=⎪⎝⎭．移项，得111722x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得11142x-=．移项，得1152x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程11111641 2345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642 345x⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项、合并同类项，得111162 345x⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边同乘以3，得11166 45x⎛⎫--=-⎪⎝⎭．移项、合并同类项，得1110 45x⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边同乘以4，得110 5x-=．移项，得115x=，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程4．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【答案与解析】解：原方程可化为6x﹣=，两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移项合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y =． 类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值． 【答案与解析】解：原方程可化为：223x = ． 当x ≥0时，得223x =，解得：13x =， 当x ＜0时，得223x -=，解得：13x =-，所以原方程的解是x ＝13或x ＝13-．【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再根据（ax b +）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣）， 解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -= 【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k-≠原方程的解为：64xk=-为正整数，∴4k-应为6的正约数，即4k-可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x 2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.【解析】解：①x 2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a bc c =++. C ．在等式b ca a=两边都除以a ，可得b ＝c.D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。
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含字母系数方程与绝对值方程
【知识要点】
1.关于x 的方程ax=b ，我们有：
（1） 当a ≠0时，方程有唯一解；
（2） 当a=0,b ≠0时，方程无解；
（3） 当a=0,b=0时，方程有无数多个解，且解为任意数.
反过来，结论也是正确的,即对方程ax=b,我们有：
（1） 若方程有唯一解，则a ≠0；
（2） 若方程无解，则a=0且b ≠0；
（3） 若方程有无数多个解，则a=0且b=0.
2.关于x 的方程a x =:
（1） 当a>0时，方程有两个解:a x a x -==,;
（2） 当a=0时，方程有一个解:0=x ；
（3） 当a<0时，方程无解;
注: (1) 绝对值方程不是一元一次方程.
(2) 解绝对值方程的关键:
根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，化为一般方程，从而解决问题．
【典型例题】
例1．已知关于x 的方程 23()ax a x -=+ 的根是2，求a 的值.
例2．关于x 的方程n x mx -=+34，分别求m ，n 为何值时原方程：
（1）有惟一解； （2）有无数多解； （3）无解．
例3．解关于x 的方程nx mx =-1．
例4．解关于x 的方程),0,0(b a b a a b
a b
x b a
x ≠≠≠=---
例5．若1x =是关于x 的方程(0)ax b c a +=≠的解，求：
（1）2001)(c b a -+的值； （2）b
a c +的值； （3）1c a
b ---的值.
例6．（1）解关于x 的程4(1)(5)2a x a x b -=-+有无数多个解，试求b
a , （2）当k 取什么整数时，方程24kx kx +=的解是正整数？
例7. 先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：｜x+3｜=2
解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=-1
当x+3＜0时，原方程可化为：x+3=-2，解得x=-5
所以原方程的解是x=-1，x=-5
（1）解方程：｜3x-2｜-4=0
（2）探究：当b 为何值时，方程｜x-2｜=b+1 ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解.
例8. 解方程：
（1）123=-x （2）
2173
x -=
*（3）45x -= *（4）310x x --+=
* 思考题:
当a 为何值时,关于x 的方程a x =--32恰有三个解?
【初试锋芒】
1. 若方程()0122=++-c bx x a 是关于x 的一元一次方程,则( ) A.为任意数c b a ,0,21== B.0,0,21=≠≠c b a C.0,0,21≠≠=c b a D.为任意数c b a ,0,2
1≠= 2. 要使方程a ax =有唯一的解1=x ,必须满足条件( )
A. a 任意
B. a>0
C. a<0
D. a ≠0
3．已知1x =是方程12()23
m x x --=的解，那么方程(3)2(25)m x m x --=-的解是（ ） A ．10x = B ．0x = C ．x=1 D ．以上答案都不对
4．如果a 、b 互为相反数，（a ≠0）,则ax +b =0的根为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．－1或1
D ．任意数
5. 方程 x x -=|| 的解是 ( )
A.1-
B.负整数
C.所有负有理数
D. 所有非正有理数
* 6. 若k 为整数,则使得方程x x k 20002001)1999(-=-的解也是整数的k 的值 有( )个.
A.4
B.8
C.12
D.16
7. 关于x 的方程357x a bx -+=+有唯一解，那么a 、b 应满足条件为（ ）
A ．a 、b 是不为0的数；
B ．a b ≠
C ．1a ≠
D ．3b ≠
8. 若2=a ,且02=+b a ,则b=
9. 关于x 的方程)(b a a bx b ax ≠+=+的解为 .
10. 若15.0=x 与方程ax a x =+3的解相同,则=a .
11．已知12
x =是关于x 的方程432ax ax +=-的解，那么a = . 12．已知方程1(2)40a a x
--+=是一元一次方程,求a 与x 的值.
13. 已知12
x =
是方程23)2(6+=+x m x 的解，求关于x 的方程)21(2x m mx -=+的解.
14. 已知3x =是方程45(1)8(2)ax x a x x a a x -+=++--+的解，
0y =是方程232()yb ab y ab y b +-=++的解，求22()()a b a b --+的值.
15．m 为何值时方程(1)72m x x -+=的解为：（1）3； （2）
12
； （3）零.
【大展身手】
1．当a 时，方程b ax =的解为a b x =
2．方程2=x 的解为 ．
3．（1）已知1=x 是方程x k x k 3)2(+=-的解．求k 的值；
（2）已知-4适合方程0623=-kx ，求2001
k 的值.
4. 当k 取何值时，方程 k x x k -=-4)1(的解为2-=x ？
5．解关于x 的方程x n m x n m m )()(2-=+-.
6.若1-=y 是方程)(76)(34y a y y a y --=--的解，求a a 1
+的值.
7.解关于x 的方程，13)21
(2-=---x x k ),2(为有理数且k k -≠
8．已知03242=--+-x y ax y ，问a 为何值时x 为负值？
9．已知关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多解，试求b a ,的值．
* 10．()()()()112120k k x k k +--++=
* 11．如果m 、n 为常数，关于x 的方程()2232x km kx n -+-=
无论k 取何值， 方程的根总是
12，试求m 、n 的值.。