字母系数方程及分式方程
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
考点1 根据分式方程的解确定字母系数(解析版)
根据分式方程的解确定字母系数的值或范围，经常作为客观题型出现，难度不大，但学生却非常容易失分。
★★★○○○○因为解分式方程是通过去分母将分式方程转化为整式方程来求解的，由此就有可能得到的根使原分式方程的分母为零，而使原分式方程分母为零的根也即是原方程的增根，围绕着增根和分式的分母不为零就产生了以下的几种常见题型：1.已知含字母系数的分式方程有增根，求字母系数的值；2.已知含字母系数的分式方程无解，求字母系数的值；3.已知含字母系数的分式方程的解的范围，求字母系数的范围.1.有增根的问题，先将分式方程化为整式方程，再把使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数的值；2.无解的问题，先将分式方程化为整式方程，①若最高次项系数中不含字母系数，则把使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数的值；②若最高次项中含字母系数，则还需要考虑最高次项系数为零的情况.3.已知解的范围，根据解的范围，结合使分母不为零，确定字母系数的范围.例1.若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则a 的值是（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】D【精细解读】去分母，把分式方程转化为整式方程，将使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数a 的值.去分母得： x −2＝a － x ，由分式方程有增根，得到x −3＝0，即x ＝3，把x ＝3代入整式方程得：a −3＝1，解得a ＝4. 学科@网例2.已知关于x 的分式方程2121x m x x-=++的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A . m ≥－3 B . m ≤－3 C . m ＞－3 且m ≠－2 D . m ≥3且m ≠－2 【答案】C例3.若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为( ) A . －32 B . 1 C . 32或2 Ｄ－12或－32 【答案】D【精细解读】分式方程无解，意味着或者将分式方程转化为整式方程后求提的解都是增根，若转化为的整式方程是一次项系数中含有字母系数的一元一次方程，则要注意系数为零的情况.若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则30x =或 而分式方程2213m x x x +-=-，去分母得()()()2323x m x x x x +--=- 即： ()216m x +=-当3x =时，()3216m +=-，解得 32m =-当0x =时，无解；又因为当210m +=时，整式方程()216m x +=-无解，即12m =- 综上所述，当3122m =--或时，此分式方程无解. 学科@网1.若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则a 的值是( ) A . 4 B . 0或4 C . 0 D . 0或﹣4【答案】A【解析】方程两边同时乘以x －3得，1＋x －3＝a －x ，∵方程有增根，∴x －3＝0，解得x ＝3．∴1＋3－3＝a －3，解得a ＝4．2.已知关于x 的分式方程52a x x =-有解，则字母a 的取值范围是( ) A . a ＝5或a ＝0 B . a ≠0 C . a ≠5 D . a ≠5且a ≠0【答案】D3.已知关于x 的分式方程22024mx x x +=--的根为正数，则m 的取值范围为（ ） A . m ＞－2且m ≠0 B . m ＜－2 C . m ＜－2且m ≠－4 D . m ＜－6【答案】C【解析】方程两边同时乘以x 2－4得，2(x ＋2)＋mx ＝0，解得42x m=-+． ∵x 为正数，∴2＋m ＜0，解得m ＜－2．∵x ≠2，∴2＋m ≠－2，即m ≠－4．∴m 的取值范围是m ＜－2且m ≠－4．（每道试题10分，总计100分）1.若分式方程311x m x x -=--有增根，则m 等于（ ） A . 3 B . －3 C . 2 D . －2【答案】D【解析】原分式方程两边同乘以x －1得整式方程x －3＝m ，因原分式方程有增根，所以x ＝1，把x ＝1代入方程x －3＝m 可得m ＝－2，故选D . 学科@网2.若分式方程1322x m x x-+=--无解，则m 的值为（ ） A . ﹣1 B . 1 C . ﹣2 D . 2【答案】B【解析】两边都乘以x −2，得x −1−m ＝3(x −2)，即m ＝−2x ＋5.分式方程的增根是x ＝2，将x ＝2代入，得m ＝−2×2＝5＝1.3.若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A . a ≥1 B . a ＞1 C . a ≥1且a ≠4 D . a ＞1且a ≠4【答案】C4.若关于x 的分式方程244x m x x-=--无解，则m 的值为________. 【答案】－4 【解析】去分母得，x ＝8＋m ，因为原分式方程无解，所以8＋m ＝4，解得m ＝－4.5.已知分式方程131k x x=+的有增根，则实数k ＝ ． 【答案】0【解析】去分母后求出x ，根据方程有增根得出x ＝0或x ＝﹣1，代入去分母后的方程，求出方程的解即可． 解：去分母得：x ＝3k （x ＋1），∵分式原分式方程有增根，∴x ＝0或x ＝﹣1，当x ＝0时，0＝3k (0＋1)，解得：k ＝0，当x ＝﹣1时，﹣1＝3k (－1＋1)，此方程无解，故答案为：0．6.已知关于的方程122x a x x x-+=--有正数解，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】a ＜2且a ≠0【解析】去分母得：x ＋x －2＝x －a ，x ＝2－a ，∵原分式方程有正数解，∴2－a ＞0，且2－a ≠2，∴a ＜2，且a ≠0，故答案为a ＜2，且a ≠0.7.已知关于x 的分式方程1a x +－221a x x x --+＝0无解，则a 的值为____________. 【答案】－1或0或128.当k 为何值时，分式方程()62511x k x x x x+=--- 有增根？ 【答案】当k ＝2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．【解析】去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x （x ﹣1）＝0，求出x ＝0或1，将x ＝0或1代入整式方程即可求出k 的值．解：方程两边同乘以x （x ﹣1）得：6x ＝x ＋2k ﹣5（x ﹣1），又∵分式方程有增根，∴x （x ﹣1）＝0，解得：x ＝0或1，当x ＝1时，代入整式方程得：6×1＝1＋2k ﹣5（1﹣1），解得：k ＝2.5，当x ＝0时，代入整式方程得：6×0＝0＋2k ﹣5（0﹣1），解得：k ＝﹣2.5，则当k ＝2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．学科@网9.若方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围．关于这道题，有位同学做出如下解答： 解：去分母得：2x ＋a ＝﹣x ＋2．化简，得3x ＝2﹣a ．故23a x -=． 欲使方程的根为正数，必须203a ->，得a ＜2． 所以，当a ＜2时，方程212x a x +=--的解是正数． 上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．【答案】有错，结果为a ＜2且a ≠﹣4.10.已知关于x 的方程()14+=11x x x a x x x x ++++只有一个实数根，求实数a 的值． 【答案】当a ＝12，1，5时原方程只有一个实数根. 【解析】解：去分母得整式方程，2x 2－2x ＋1－a ＝0，△＝4（2a －1），（1）当△＝0，即a ＝12时，原方程只有一个实数根是x ＝12． （2）当△＞0，即a ＞12时，x 1＝12（121a -），x 2＝12（121a -， 这两个根中一定有一个是原分式方程的增根，增根可能是x ＝0或x ＝－1.显然x 1＞0，∴x 1≠－1，x 1≠0，它是原方程的解，所以x 2为增根.当x 2＝0时，即12（121a -）＝0，得a ＝1； 当x 2＝－1时，即12（121a -1，得a ＝5. 综上，当a ＝12，1，5时原方程只有一个实数根.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
分式方程
分式方程概念总汇1、分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
说明：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。
2、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
（2）解分式方程的一般方法和步骤第一步：去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
第二步：解这个整式方程。
第三步：验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
说明：（1）分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
3、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。
一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：第一步：审清题意；第二步：设未知数；第三步：根据题意找等量关系，列出分式方程；第四步：解分式方程，并验根；第五步：检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．方法引导一、解分式方程的方法例1、与异分母相关的分式方程解方程=难度等级：A解：7x=5（x－2），解得x=－5经检验，x=－5是原分式方程的根。
分式方程
分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注： 解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
步骤：（1）去分母（两边同时乘以最简公分母）（2）去括号（3）移项（一般般含未知数的项移到左边，常数项移到右边） （4）合并同类项（5）系数化一（两边同时除以未知数的系数） （6）检验（将所求的未知数的值代入最简公分母） （7）做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．例题讲解：1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零，则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．5. 若方程322x mx x-=--无解，则m =______. 解下列分式方程：14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知：关于x 的方程xx x a --=-+3431无解，求a 的值。
【数学中考一轮复习】 分式方程字母系数的确定(含答案)
专项训练分式方程字母系数的确定类型一 利用分式方程的解求待定字母的值（或取值范围） 【方法点拨】已知分式方程的解（或解的范围），可求出待定字母的值（或取值范围），方法是: ①先将分式方程化为整式方程，并用待定字母的值表示出方程的解；②根据已知条件中方程的解（或解的范围）重新构造含待定字母的方程或不等式； ③解方程（或不等式），求出待定字母的值（或取值范围）； ④检验:排除解集内使分母等于零的值. 1.若关于x 的分式方程113=--x m 的解为x ＝2，则m 的值为（ ） A.5 B.4 C.3 D.22.关于x 的分式方程31112=----x x a x 的解为非负数，则a 的取值范围为____________. 3.若分式方程113122-=-++x mx x 的解是正数，求m 的取值范围.类型二 利用分式方程的增根求字母系数的值【方法点拨】分式方程的增根就是使最简公分母等于零的未知数的值，因此已知分式方程的增根求字母的值的一般步骤:①化分式方程为整式方程；②令最简公分母为0，确定出增根的值；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 4.若分式方程xx x x a x 221232=-+--有增根，则实数a 的取值是（ ）A.0或2B.4C.8D.4或8 5.已知关于x 的分式方程01122=+--+xx x x a 有增根，则a ＝____________. 类型三 利用分式方程无解问题求字母的值【方法点拨】原分式方程无解，要分两种情况讨论:①是去分母后的新的整式方程本身无解，也就是Ax ＝B 的形式，当x 的系数A ＝0时，整式方程不成立，无解；②是讨论原分式方程有增根，就是使最简公分母等于0的x 值，代入整式方程，即可求出a 的值.这两种情况均为无解的情况，不能漏解.6.若关于x 的分式方程3221+-=--x mx x 无解，则m 的值为____________. 7.若关于x 的分式方程x x x m 2132=--+无解，求m 的值.8.当m 为何值时，分式方程121312-+-=+x x x m 无解？类型四 利用分式方程有解问题求字母的值【方法点拨】使原分式方程有解，就是原分式方程的最简公分母不等于零，因此题的一般步骤是:①化分式方程为整式方程，用待定字母的值表示出方程的解；②方程有解即最简公分母不等于零，求出未知数的值；③根据①和②，重新构造含待定字母的不等式；④解出不等式即可.9.a 为何值时，关于x 的分式方程)1(163-+=-+x x ax x x 有根？10.若关于x 的方程323-=--x m x x 有解，求m 的取值范围.类型五 利用待定系数法求分式方程中字母系数的值【方法点拨】①将分式方程化为整式方程；②将方程右边去括号、合并同类项，整理成一般形式，构造恒等式；③根据恒等式中的对应项系数相等，重新构造二元一次方程组；④解方程组求出待定字母的值. 11.若等式13)1)(3(53++-=+--x bx a x x x 恒成立，则1788)2(22++--+b a ab b a 的值是（ ）A.50B.37C.29D.26 12.已知31)3)(1(5--+=-++x Bx A x x x （其中A ，B 为常数），求A 2020B 的值.巩固训练1.若关于x 的方程222-=-+x mx x 有增根，则m 的值与增根x 的值分别是（ ） A.m ＝-4，x ＝2 B.m ＝4，x ＝2 C.m ＝-4，x ＝-2 D.m ＝4，x ＝-2 2.已知关于x 的分式方程132=--x mx 的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A.m ≤3 B.m ＜3 C.m ＞-3 D.m ≥-3 3.若关于x 的方程1311+=-+x x ax 的解为整数，则满足条件的所有整数a 的和是（ ） A.6 B.0 C.1 D.94.关于x 的分式方程12221=--+-x a x 的解为正数，则a 的取值范围是____________. 5.阅读理解题:若111312-++=--x Nx M x x ，试求M ，N 的值解:等式右边通分，得 1)()1)(1()1()1(2--++=-+++-x MN x N M x x x N x M ，根据题意，得⎩⎨⎧=--=+13M N N M ，解之，得⎩⎨⎧-=-=12N M . 仿照上题解法解答下题:已知121)12)(1(45-+-=---x Bx A x x x ，试求A ，B 的值.6.已知关于x 的分式方程152=--+xx a x . （1）若分式方程的根是x ＝5，求a 的值； （2）若分式方程有增根，求a 的值； （3）若分式方程无解，求a 的值；（4）若分式方程一定有解，求a 的取值范围.参考答案1.В2.a ≤4 且a ＋33.解:去分母得2（x-1）＋3（x ＋1）＝m ，解得51-=m x ， ∵原方程的解为正数，∴x ＞0且x ＋1，即051>-m 且151≠-m .∴m ＞1且m ≠6.4. D5.16.17.解:去分母得:2mx ＋x 2-x 2＋3x ＝2x-6，即（2m-1）x ＋6＝0， 当2m ＋1＝0，即m ＝-0.5时，方程无解；当2m ＋1≠0，即m ≠-0.5时，由分式方程无解，得到x ＝0或x ＝3，把x ＝0代入整式方程得:m 无解；把x ＝3代入整式方程得:6m ＋9＝0，解得:m ＝-1.5. 综上，m 值为-1.5或-0.5.8.解:原题化成整式方程为:m （x-1）＝3＋2（x ＋1） ，即:（m-2）x ＝m ＋5 ①， 分式方程121312-+-=+x x x m 无解，所以方程①无解或方程D 有解，都是分式方程的增根， (1).当分式方程有增根，增根为x ＝1或x ＝-1,当x ＝1时，方程①没意义；当x ＝-1时，m ＝-23. (2).当m-2＝0时，即:m ＝2时，方程①无解.即:满足条件的m 的值为2或-23. 9.解:方程两边同时乘以x （x-1），得3（x-1）＋6x ＝x ＋a ， 整理得:8x ＝a ＋3，∵方程有根，∴x ≠1或x ≠0. 当x ＝1时，a ＝5，当x ＝0时，a ＝-3. ∴a ≠5或a ≠-3时，方程有根.10.解:方程两边同时乘x-3，x —2（x —3）＝m ，解得x ＝6-m. ∵关于x 的方程323-=--x mx x 有解，∴x-3≠0，即x ≠3. ∴6-m ≠3，即m ≠3. 答:m 的取值范围是m ≠3. 11. D 12.解：)3)(1()3()()3)(1()1()3(31-++--=-++--=--+x x B A x B A x x x B x A x B x A . ∴)3()(5B A x B A x +--=+.∴⎩⎨⎧-=+=-531B A B A ，解得⎩⎨⎧-=-=21B A ，∴A 2020 B ＝（-1）2020 ×（-2）＝-2. 巩固训练1. B2. A3. D4.a ＜5且a ≠35.解:已知等式变形得:)12)(1()1()12()12)(1(45---+-=---x x x B x A x x x ，即)()2(45B A x B A x +-+=-，可得⎩⎨⎧=+=+452B A B A ，解得:A ＝1，B ＝3.6.解:方程两边同时乘x （x-2）得:x （x ＋a ）-5（x-2）＝x （x-2）， x 2＋ax-5x ＋10＝x 2-2x ，整理得:（a-3）x ＝-10，（1）原分式方程的根是x ＝5，代人得:（a-3）·5＝-10，解得:a ＝1. （2）原分式方程有增根，则增根是x ＝2或者x ＝0，①当x ＝2时，代人整式方程得:（a-3）·2＝-10，解得:a ＝-2； ②当x ＝0时，代入整式方程得:（a-3）·0＝-10，此时不存在a 的值. ∴原分式方程有增根，a 的值是-2. （3）原分式方程无解，分两种情况讨论:①当a-3＝0时，方程无解，∴a ＝3.②当有增根x ＝0或x ＝2时，原分式方程无解， 当x ＝0时，不存在a 的值.当x ＝2时，（a-3）·2＝-10，解得:a ＝-2， ∴原分式方程无解，a 的值是3或-2.（4）方程两边同时乘以x （x-2）得，x （x ＋a ）-5（x-2）＝x （x-2）， 整理得:（a-3）x ＝-10，∴310--=a x . ∵原分式方程一定有解，∴a ≠3，且不会产生增根. ∴x ≠2或者x ≠0.∴①当310--a ≠0时，a ≠3； ②当310--a ≠2时，a ≠3且a ≠2，∴原分式方程一定有解，a 的取值范围是a ≠3且a ≠2.。
例析分式方程中字母系数的确定方法
例析分式方程中字母系数的确定方法在解分式方程时，经常会遇到一类与根有关的字母系数问题.这类问题在近年的中考试题中时常出现，现分类解析如下.一、已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使原分式方程的公分母为零的未知数的值；（2）增根是原分式方程去分母后所得整式方程的解.利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时字母系数的值.例1．（湖北天水）若关于x 的分式方程11ax x +--1=0① 有增根，求a 的值. 解：去分母得 (a-1)x+2=0 ②,∵原方程有增根, 一定是 x=1, 代入②得a=-1.例2．若关于x 的分式方程211x m x x +=-+ ① 有增根，求m 的值. 解：去分母化为 x 2﹣(m+1)x+m-2=0, ②此时方程②的判别式△= (m -1)2+8>0,不论m 取何值，整式方程②都有解. 所以，这些解一定是原分式方程的增根.(1)若这个增根为 x=1,代入方程②，得 0m=2, 此时m 的值不存在;(2)若这个增根为x=-1,代入方程②，得 m =0，此时，方程② 即x 2﹣x-2=0, 得x 1=-1, x 2=2,即原分式方程的增根为-1，此时m=0，但 x=2仍然是原分式方程的一个解.综上可得，分式方程有增根x=-1时，m=0，另一个根为x=2.【评注】解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根；（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值.二、已知分式方程无解，求字母系数的值分式方程无解分两种情况：1.去分母后的整式方程有解，该解是原方程的增根；2.去分母后的整式方程无解：（1）所得整式方程是一元一次方程，其一次项系数为零；（2）所得整式方程是一元二次方程，无实根.例3.若关于x 的方程4122ax x x =+-- ①无解，求a 的值. 解：去分母，得 (a-1)x ＝2 ②．（1）若(a-1)=0，则a=1,此整式方程无解，所以原分式方程无解；（2）若(a-1)≠0，即a≠1, 因原分式方程无解，所以此时一定有增根x=2,代入方程②，得，a=2.综上可得，原分式方程无解时， a=1，或a=2.例4.当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-①无实根？ 解：原方程可化为：x 2﹣x+2-m=0, ②若原方程无实根，有下面两种情况：（1）方程②无实数根，由()()∆=---<14202m ，得m <74； （2）方程②的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x =0或x =1，分别代入②得m =2. 综上所述：当m <74或当m=2时，所给方程无实数解. 例5．若关于x 的分式方程11(1)(2)x m x x x -=-+-① 无解，求m 的值. 解：去分母，得 x 2﹣(m+1)x+m-2=0, ②因方程②的判别式△= (m -1)2+8>0,不论m 取何值，整式方程②都有实数解. 所以，这些解一定是原分式方程的增根.(1)若这个增根为 x=1,代入方程②，得 0m=2, 此时m 的值不存在;(2)若这个增根为x=-1，代入方程②，得 m=0，此时，方程②即x2﹣x-2=0, 得x1=-1, x2=2,即原分式方程的增根为-1，2，m=0.(3)若这个增根为x=2，代入方程（1），也得m=0.综上可得分式方程无解时，m=0.【评注】分式方程无解可能是转化后的整式方程无解，也可能是原分式方程有增根.3.已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围例6. 当k的值为______（填出一个值即可）时，方程xxk xx x-=--122①只有一个实数根.解：原方程可化为：x2+2x-k=0②,若原方程只有一个实数根，有下面两种情况：（1）当方程②有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由∆=+=440k得k=－1. 此时，方程②的根为x x121==-，符合题意。
分式方程的解法及应用(基础)
分式方程的解法及应用（基础）【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程例1 下列方程中，是分式方程的是（ ）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数）类型二、解分式方程例2 解分式方程：（1）10522112x x +=--； （2）225103x x x x -=+-．变式 解方程：21233x x x-=---；类型三、分式方程的增根例3 m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？变式 如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是________．类型四、分式方程的应用例4 甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60 棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?变式两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快?。
含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题
含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题【要点梳理】要点一 分式方程的增根分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；要点二 分式方程的无解而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.【典型例题】类型一、概念理解1.分式方程的增根概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做________．检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．【答案】增根解：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做增根，故答案为：增根．2.分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根．【答案】 整式 分式分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．故答案为：整式，分式类型二、含参分式方程的增根3、关于x 的方程225111m x x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值． 【答案】－10或－4【分析】方程两边同时乘以21x -将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可.解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=，当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111m x x x +=+--的增根为±1， 当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-；当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-，故m 的值为10-或4-．【点拨】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数.举一反三：【变式1】如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，求m 的值． 【答案】-3【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值． 解：由分式方程1134x m x x +-=-+去分母， 整理得（m+2）x=-4m-15，由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3， 当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．故m 的值为-3．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知关于x 的方程214339m m x x x +-=+--． （1）若m ＝﹣3，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．【答案】（1）x ＝5.5；（2）m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47． 【分析】（1）把m ＝−3代入原方程得23134339x x x -+-=+--，方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），分式方程转化为整式方程，m （x −3）＋（x ＋3）＝m ＋4，整理得（m ＋1）x ＝1＋4m ，原分式方程无解，m ＋1＝0，m ＝−1，然后把x ＝3．x ＝−3分别代入整式方程求m 值．解：（1）依题意把m ＝﹣3代入原方程得23134339x x x --+-=+--． 方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3）得，﹣3（x ﹣3）+（x +3）＝1，解得x ＝5.5，检验：把x ＝5.5代入（x +3）（x ﹣3）≠0．∴x ＝5.5是原方程的解；（2）当（x +3）（x ﹣3）＝0时．x ＝±3． 方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3），得，m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4，整理得（m +1）x ＝1+4m ，∵原分式方程无解．∴m +1＝0，m ＝﹣1．把x ＝±3代入m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4． m ＝2，m ＝﹣47． ∴m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47． 【点拨】分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏m 的值．类型三、含参分式方程的有解、无解问题4、若关于x 的分式方程212111m x x x -=--+无解．求m 的值． 【答案】2或－4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝1或−1，代入整式方程即可求出m 的值．解：分式方程两边同乘（x ＋1）（x −1），去分母得：m －（x ＋1）＝2（x −1），整理得：3x ＝m ＋1，由分式方程无解得到x −1＝0，或x ＋1＝0，即x ＝1或−1，代入整式方程得：m ＝2或－4．【点拨】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0．举一反三：【变式1】关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？ 【答案】3k ≠-且5k ≠.【分析】根据分式方程有解的条件进行求解即可；解：方程去分母得：()()3160x x x k -+-+=，去括号得：3360x x x k -+--=，移项、合并得：83x k =+，∵该分式方程有解，∴0x ≠且1x ≠，即30k +≠，且38k +≠，解得：3k ≠-目5k ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程有解的相关计算，准确分析计算是解题的关键．【变式2】若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值． 【答案】a ＝1或8或﹣6．【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点拨】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．类型四、分式方程的增根和无解综合5、有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程3122++=--x m x x 无解，则m ＝1；③关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是____．（填序号） 【答案】②③【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断． 解：①当k 为负值时，多项式x 2﹣ky 2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程3122++=--x mx x两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝52m，∵原分式方程无解，∴x＝2，∴52m＝2，解得m＝1，故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴225x yy x+=⎧⎨-=-⎩，解得：31 xy=⎧⎨=-⎩则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy=⎧⎨=-⎩，故③正确．综上，正确答案为：②③．【点拨】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．举一反三：【变式1】已知关于x的分式方程512x ax x+-=-．(1)若分式方程的根是5x=，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1;(2)-2;(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．解：(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：(3)100a x -+=把x =5代入(3)100a x -+=得，5(3)100a -+=，∴a =1；(2) 由分式方程有增根，得到x （x -2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程(3)100a x -+=得：a=-2；把x=0代入整式方程(3)100a x -+=得：a 的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3) 化简整式方程得：（a -3）x =-10，当a -3=0时，该方程无解，此时a =3；当a -3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a =-2，综上，a 的值为3或-2．【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知W ＝（1122a a +-+）÷2244a a a -+． （1）化简W ；（2）若a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，求W 的值．（3）若12k W a +=+的解为正数，求k 的取值范围． 【答案】(1)22a a -+；(2)W 的值为13；(3)3k >-. 【分析】（1）先算括号里的，再运用完全平方公式进行化简即可得；（2）根据a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长可得a ＝4，将a ＝4代入即可得；（3）根据题意得2122a k a a -+=++，解得3a k =+，根据12k W a +=+的解为正数得30k +>，进行计算即可得．(1)解：2112()2244a W a a a a =+÷-+-+ =2222(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥+-+--⎣⎦ =22(2)(2)(2)2a a a a a-+- =22a a -+ 解：∵a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，∴a ＝4，2422124263a W a --====++． (3) 解：由题意得，2122a k a a -+=++， 21a k -=+3a k =+ ∵12k W a +=+的解为正数， ∴30k +>，2320a k +=++≠3k >-．【点拨】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形，分式方程，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3】阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证4a ≠-才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于x 的方程233m x x x -=--的解为非负数，求m 的取值范围； (3)若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)6m ≥-且3m ≠-；(3)1n =或53． 【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m 的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出n 的范围．(1)解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0．(2) 解：原方程可化为233m x x x +=-- 去分母得：2(3)m x x +=-解得：6x m =+∵解为非负数∴60m +≥，即6m ≥-又∵30x -≠∴63m +≠，即3m ≠-∴6m ≥-且3m ≠-(3) 解：去分母得：322(3)x nx x -+-=--解得：(1)2n x -=∵原方程无解∴10n -=或者3x =①当10n -=时，得：1n =②当3x =时，23(1)n =-，得：53n = 综上：当1n =或53n =时原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．。
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含字母系数的方程和分式方程
编制人：何刚强 审核：刘 云 吕 敏 组名： 姓名： 学习目标:(1)会解简单的字母系数的分式方程。
(2) 能应用分式方程的解法进行简单的公式变形。
学习重点:建立数学模型，会解含官母系数的分式方程。
学习难点: 明确解含哪一个字母（未知数）的分式方程。
一．自主学习： (一)、文本解读
阅读课本P30面例4，并尝试完成课本P33面第6题。
（二）、独立尝试：
从龟兔赛跑中，我们再一次感受了一类重要的关系式：路程= ，这类关系式在 生活中应用非常广泛。
问题1：
自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服 气，于是它给乌龟下了一封战书。
乌龟先生：
我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下，比赛枪声响 后，先到者是冠军。
-----蚂蚁
但比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍，提前一分钟跑到终点，请你 算算它们各自的速度。
解：设蚂蚁的速度为x 米/分，则乌龟的速度为 ,根据题意列方程为：
问题2：从2004年5月起某列车平均提速v 千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行驶80千米，提速后列车的平均速度为多少？ 分析：本题的基本关系是： ，根据关系式：
来列方程。
思考：解含有字母已知数的一元一次方程要注意哪些问题？
（1）
（2） （3）
二、学以致用：
1. 若)0(≠n ，在弧长公式里,用l ，n 表示R 的式子是（ ）
A ．180l n R π=
B ．l n R π180=
C ．πn l R 180=
D ．l
l
n R 180π=
2、已知R
N
V I -=
，则N = ． 3、一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足:
111
u v f
+=,若f=6厘米，v=8厘米，则物距u= 4、已知关于x 的方程mx+n=m(2x+n)(m ≠0)则x=
5、在梯形面积公式S=(a+b)h 中， (S ，a ，h 都是正数)，则b 等于
6、已知公式：
12
111
R R R =+（其中R 1、R 2为正数）用R 1、R 2表示R. 7、(1)公式x h 2=x
a a
-中，（a>0,h>0），求x. （2）已知公式12(0).1S S U u t t -=≠-，求
三、拓展提升： 解方程（1）2a x x b b a +--= （2）
2(3)33x m
m x x =-≠-- 四、小结反思：
这课你学到了什么？还有什么疑惑？ 五、学案整理：
学校王老师家
小刚家分式应用题训练案
1、小明星期天随父母去登山，他们上山的速度为1v ,下山时原路返回的速度为2v ，则他们上下山的平均速度为：
2、甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条
2
a b
元的价格把鱼全部地卖给了乙，结果发现赔钱，则a 与b 之间的关系为：
3、某村要筑一条水坝，需要在规定的日期内完成，如果由甲队做恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后， 余下的工程由乙队独做，恰能在规定的日期完成，求规定的天数。
4、甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的8
1；如果甲走3
2时乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求
甲、乙两人各需多少时间走完全程？
5、小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家3千
米，王老师家到学校0.5千米，由于小明脚受伤，为按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。
已知王老师骑自行车车速是步行速度3倍，王老师每天比步行上班多用20分钟，问王老师步行速度是多少？
6、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵5.0元，求甲、乙两种糖果每千克各多少元？
7、甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两
地距离的81；如果甲走3
2
小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间
全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？
8、 金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完
成这项工程所需天数的3
2
；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合
作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.
9、某项工程,甲单独完成任务要40天,若乙队先做30天后,甲、乙两队合作20天就恰好完成任务，请问：
（1） 乙队单独做需要多少天才能完成任务？
（2） 现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x 天，乙队做另一部
分工程用了y 天，若x 、y 都是整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实际各做了多少天？。