2019—2020年北京清华附中C17级人教版初三下延时开学自主学习检测数学试卷

初三第二学期延时开学自主学习检测试题

数学

(清华附中初17级) 2020．3

一、选择题(本题共16分,每小题2分)

1．当前,新冠肺炎疫情防控仍处在关键阶段,全国人民团结一致,坚决打赢这场疫情防控阻击战,其中广大共产党员积极响应党中央号召,踊跃捐款,用"特殊党费"支持疫情防控工作,截至2月29日,共捐款11.8亿元,将11.8亿元用科学计数法表示应为( )

A ．81.1810?

B ．91.1810?

C ．101.1810?

D ．111.1810? 2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3．内角和为540?的多边形是( ) A ．三角形

B ．四边形

C ．五边形

D ．六边形

4．在数轴上，点,A B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向左平移1个单位长度，得到点C ．若

CO BO =，则a 的值为( )

A ．-3

B ．-2

C ．-1

D ．1

5．已知线段AB

如图,(1)以线段AB 为直径作半圆弧?

AB ,点O 为圆心; (2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,交?

AB 于点E F 、； (3)连接,OE OF ．

根据以上作图过程及所作图形， 下列结论中错误的是( )

A ．CE DF =

B ．?

?AE BF = C ．60EOF ∠=? D ． =2CE CO

6．如果5x y +=,那么代数式22

(1)y x x y x y

+÷--的值为( ) A ．1

B ．-1

C ．5

D ．-5

7．用三个不等式,0,a b ab a b >>>中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式 作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计 图，则下列判断错误的是( )

A ．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定

B ．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

C ．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高

D ．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

二、填空题(本题共16分,每小题2分)

9．若分式

1

2

x x +-无意义,则x =________． 10．如图，已知平行四边形ABCD ，通过测量、计算得平行四边形ABCD 的面积约为________2cm ．（结果保留一位小数）

11．如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是________．

12．如图所示的网格是正方形网格,点A B C D 、、、均落在格点上, 则BAC ACD ∠+∠=_________．

13．在平面直角坐标系中,点(),A a b 在双曲线2

y x

=-上,点A 关于y 轴的对称点B 在双 曲线k

y x

=

上,则2k -的值为_________ 14．菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或 矩形的“接近度”．

设菱形相邻两个内角的度数分别为m n 、﹒

(1)若我们将菱形的"接近度"定义为m n -,于是m n -越小,菱形就接近正方形． 若菱形的一个内角为70?，则“接近度”=________; (2)若我们将菱形的“接近度”定义为()m

m n n

<,则菱形的“接近度”=________时,菱 形就是正方形．

15．如果一组数据123,n x x x x ??的方差是2

0s ，把这组数据中每个数都减去同一个非零常数k ，得到一组

新数:123,,,,n x k x k x k x k ---??-，,记这组新数据的方差为21s ，则21s ______2

0s ,(填"","">=或""<)

16．如图,在ABC △中,90ACB ∠=?,5,3,AB BC P ==是AB 边上的动点(不与点B 重合),将BCP △沿

CP 所在的直线翻折,得到B CP '△,连接B A ',则下列判断:

①当AP BP =时，AB CP 'P ②当AP BP =时，2B PC B AC ''∠=∠ ③当CP AB ⊥时,175

AP =

； ④B A '长度的最小值是1．

其中正确的判断是______(填入正确结论的序号)

三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题6分,第27,题,每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．(5分)计算

:011

|(310)2cos30()3

π?---++

18．(5分)解不等式组:()31563x x x x ?+>-?

?->??

19．(5分)关于x 的方程4320x x m -+-=有两个不等实根,且m 为正整数,求m 的值及此时方程的根． 20．(5分)如图,在ABC △中,,110,AB BC ABC AB =∠=? 的垂直平分线DE 交AC 于点D ,连接BD ,求DBC ∠的度数．

21．(5分)如图,E F 、分别是菱形ABCD 的边AB AD 、的中点,且角ABD 的正切值为

1

2

， 6.AC =

(1)求对角线BD 的长;

(2)求证:四边形AEOF 为菱形．

22．（5分）为了调查居民对新型冠状病毒预防知识的知晓情况，从甲、乙两社区各随机抽取40名居民进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析。下面给出了部分信息．

a ．甲、乙两社区40名居民成绩的频数分布统计表如下：

（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格） b ．甲社区成绩在7080x ≤<这一组的是：

70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78

c ．甲、乙两社区成绩的平均分、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n 的值；

（2）在此次测试中，某居民的成绩是74分，在他所属社区排在前20名，由表中 数据可知该居民是________社区的居民（填“甲”或“乙”），理由是________； （3）假设乙社区800名居民都参加此次测试，估计成绩优秀的居民人数．

23．（6分）如图，AB 是O e 的直径，点,D E 在O e 上，2A BDE ∠=∠，点C 在AB 的延 长线上,C ABD ∠=∠．

(1)求证:CE 是O e 的切线;

(2)若O e 的半径长为5,2BF = ,求EF 的长． 24．(6分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线122y x =+与直线y x m =-+交于点2(,)3

A n (1)求,m n 的值;

(2)若点B 是直线1

22

y x =

+上一动点,过点B 分别作x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为 点C 和点D ,反比例函数k

y x

=的图象经过点B ．

①当点B 与点A 重合时,求BC BD +的长； ②当3BC BD +<时,直接写出k 的取值范围．

25．（6分）如图，在ABC △中，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 逆时针旋转

90?得到线段DE ，连接BE ．若已知8B cm =，设,B D 两点间的距离为,,xcm A D 两点间的

距离为1,,y cm B E 两点间的距离为2y cm ．（若同学们打印的BC 的长度如不是8cm ，请同学 们重新画图、测量）

小明根据学习函数的经验，分别对12y y ，自变量x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了12y y ，与x 的几组对 应值，如下表：

写出,a b 的值．（保留．．1．位小数．．．

） （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12y y ，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

①当E 在线段BC 上时，BD 的长度约为________cm ； ②当BDE △为等腰三角形时，

BD 的长度x 约为_______cm ．

26．(6分)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线G ﹔21(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交 于点C ,抛物线G 的顶点为D ,直线(:0)1l y mx m m =+-≠．

(1)当1m =时,画出直线l 和抛物线G ,并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长． (2)随着m 取值的变化,判断点,C D 是否都在直线l 上并说明理由．

(3)若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于3,结合函数的图象,直接写出m 的取值范 围．

27．(7分)如图,已知45MON ∠=?,A 为射线OM 上一定点,点A 关于射线ON 的对称点 为点,B C 为射线ON 上一动点,连接CB ,满足BCO ∠为钝角,以点C 为中心,将线段CB

逆时针旋转α?至线段CD ,满足点D 在射线OM 的反向延长线上． (I)依题意补全图形;

(2)当点C 在运动过程中,旋转角α是否发生变化?若不变化,请求出α的值, 若变化,请说明理由:

(3)从点D 向射线ON 作垂线,与射线ON 的反向延长线交于点E ,探究线段

CE 和OA 的数量关系并证明．

28．(7分)对于平面内C e 和C e 外一点P ,若过点P 的直线l 与C e 有两个不同的公共点

,M N ,点Q 为直线l 上的另一点,且满足

PM QM

PN QN

=(如图1所示),则称点Q 是点P 关于 C e 的密切点．．．

．

已知在平面直角坐标系xOy 中, O e 的半径为2,点()4,0P ． (1)在点()()2,11,0,D E -13,

2F ??

???

中,是点P 关于O e 的密切点．．．的为__________. (2)设直线l 方程为y kx b =+,如图2所示, ①1

3

k =-

时,求出点P 关于O e 的密切点．．．Q 的坐标; ②T e 的圆心为(),0T t ,半径为2,若T e 上存在点P 关于O e 的密切点．．．,直接写出t 的取值范围．

C17级初三下延时开学自主学习检测数学试卷答案

8．解：A ．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确； B ．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确； C ．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确 D ．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D 错误 故选：D ． 9、2x =

10、看答题纸上的数据（待定） 11、（1）、（3）、（4） 12．90? 13．0

14．（1）40?，（2）1 15．= 16．①②④

解：①∵在ABC △中，90ACB AP BP ∠=?=，， ∴AP BP CP ==,()

1

1802

BPC APB ?'∠=

-∠, 由折叠的性质可得:1

,(180),2

CP B P CPB BPC APB ?'''=∠=∠=-∠ ∴AP B P '=,

1

(180)2

AB P B AP APB ?'''∠=∠=

-∠∴ ∴AB P CPB '∠=∠, ∴AB CP 'P ；故①正确; ②∵A РBP =, ∴PA PB PC PB '===,

∴点,,,A B C B '在以P 为圆心,PA 长为半径的圆上, ∵由折叠的性质可得:BC B C '=,

∴??BC

B C '=，

∴2B PC B AC ''∠=∠故②正确 ③当CP AB ⊥时,APC ACB ∠=∠ , ∵PAC CAB ∠=∠, ∴ACP ABC △∽△, ∴

AP AC

AC AB

=

∵在Rt ABC △中,由勾股定理可知:4,AC ==

∴216

;5

AC AP AB ==故③错误; ④由轴对称的性质可知:3BC CB '==, ∵CB '长度固定不变, ∵AB AC CB ''≥- ∴AB '的长度有最小值．

AB '有最小值431AC B C '=-=-=．故④正确．

17．2+18．43x -<<-

19．1m =,此方程的根为12x =22x =20．75? 21．(1)12BD =,

(2)证明:∵,E O 分别是,BA BD 中点, ∴1

,2

OE AD P

同理可得:1

2

AF AD P ,

∴四边形AEOF 是平行四边形, 又∵AB AD =,∴AE AF =, ∴平行四边形AEOF 是菱形．

22．(1)725．(2)甲,这位居民成绩74分大于甲社区的中位数72.5分 (3)16

80032040

?

=（人） 答:估计乙社区成绩优秀的居民有320人． 23．(1)连OE ,

∵直径AB ∴90ADB ∠=? ∴90A ABD ∠+∠=? ∵弧BE

∴2BOE BDE ∠=∠ ∵2A BDE ∠=∠ ∴BOE A ∠=∠ ∵C ABD ∠=∠ ∴90BOE C ∠+∠=? ∴90OEC ∠=? ∴半径OE EC ⊥ (2)连BE ∵弧BD

∴BED A BOE ∠=∠=∠ ∴BEF BOE △∽△

∴

BE BF EF

BO BE OE

==

∵5OB OE == ∴BE EF = ∴2·10EF OE BF == ∴10EF =

24．(1)3m =1,23n =

(2)①∵12,3BC =1

3

BD =

∴3BC BD += ②3BC BD +=时,

B 在A 或()1,2,E k -分别为

14

,29

- 3BC BD +<

B 应在AE 之间

∴14

29

k -<<

且0k ≠

25．【解答】解：（1）当0x =时，7.037.0, 3.0a AD b ==≈= （2）描绘后表格如下图：

（3）①当E 在线段BC 上时，即：12x y y =+ 从图象可以看出，当6x =时，126y y +=， 故答案为6；

②当BE DE =时，即：12y y =，此时7.5x =或0， 故7.5x =

当BE BD =时，即：2y x =，在图上画出直线y x =，

此时3x ≈

当DE BE =时，即：1y x =， 从上图可以看出 4.1x ≈

故答案为：3或4.1或7.5．

【点评】本题考查的是动点函数图象，此类题目通常在补全表格后，画出函数图象，依 据图象求解相关问题，通常从图上上查阅的数值为近视值。

26．解：（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线l 的函数表达式为y x = 画出的两个函数的图象如图6所示,2 (2)∵抛物线G 2:21(0)y mx mx m m =++-≠

与y 轴交于点C , ∴点C 的坐标为()0,1C m -． ∵()2

22111y mx mx m m x =++-=+-, ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为()1,1--． 对于直线l :()10y mx m m =+-≠ 当0x =时,1y m =-;

当1x =-时,()111y m m =?-+-=-． ∴无论m 取何值,点,C D 都在直线l 上．

(3)m 的取值范围是22m -…或22m …

． 27.

(1)补全图形如右图所示

(2)旋转角α不发生变化,90α=?

解:如图,连接,AC AB ,线段AB 交ON 于点H ∵点A 、点B 关于射线ON 对称 ∴,AB ON AC BC ⊥=

又∵45MON ∠=?,∴45OAB ∠=? 又∵线段CB 绕点C 逆时针旋转至线段CD ∴CD CB = ∴CD CB AC ==

∴点A B D 、、在以点C 为圆心,线段AC 为半径的圆上 ∴290BCD DAB ∠=∠=? 即旋转角α不发生变化,90α=? (3)2OA CE =

证明:如图,连接,AC AB ,线段AB 交ON 于点H ∵45DE CE DOE MON ⊥∠=∠=? ∴90,E DE OE ∠=?=

由(2)可得:90BHC BCD ∠=∠=? ∴90DCE BCH B ∠=?-∠=∠ 又∵CB CD =

∴()DCE CBH AAS △≌△ ∴CH DE OE == ∴CE OH =

在Rt OHA △中,2OA OH = ∴2OA CE =

证法2:如图,连接CA ,作CF OA ⊥于点F ∵,45DE CE DOE MON ⊥∠=∠=?

∴90E CFO ∠=∠=?,2OD OE =﹐2OC OF = 又∵CD CA =，∴FA FD =

∴2222OA OF FA OF DF OF OD OC OE CE =+=+=+=+= 证法3:如图,连接CA ,作CG OC ⊥交OA 于点G ∵45DE CE DOE MON ⊥∠=∠=?﹐ ∴45,,COG CGO CO CG ∠=∠==o

2OD OE =﹐2OG OC = ∴COD CGA ∠=∠

又∵CD CA =,∴CDA CAD ∠=∠

∴()DCO ACG AAS △≌△ ∴DO GA =

∴

222OA OG GA OG OD OC OE CE =+=+=

+=

28．解:(1)E (2)

①依题意直线l 方程为14

33

y x =-+

如右图,MA x ⊥轴于点A ,NB x ⊥轴于点B ．

设14

(,)33

M x x -+

由2OM =得2

21

44,33x x ??+-+= ???∴54100x x --=

,M N 点得横坐标,M N x x s 是方程254100x x --=的两根

236236,M N x x +-=

=,∴6

65

AB =，1836PA -=，1836PB += ,QM PM HA PA HA PA QN PN HB PB AB PA PB =?==+∴1836

5618361836

65HA -=-++

∴363

HA -=

∴3623631OH OA HA +-=-=

-= ∴()1,1Q

②点P 关于C e 的密切点的轨迹为线段为切点弦ST (不含端点)．

10t -≤<或23t <≤