2019北京海淀清华附中初二(上)期中数学含答案
2019北京海淀清华附中初二（上）期中数学一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）在下列图形中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（ ）A．a4+a2＝a6B．（ab5）2＝ab10C．a4•a3＝a7D．a10÷a2＝a53．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD4．（3分）若2x+m与x+2的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．25．（3分）如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE ＝（ ）A．13 B．8 C．6 D．56．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（ ）A．15 B．30 C．45 D．607．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）分）计算＝ 19．（5分）已知△ABC，A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）请在同一平面直角坐标系中画出△A1B1C1关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，C2的坐标；（3）直接写出△ABC边上一点M（x，y），经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作△ADE，AE＝AD，∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，若点D在段BC上．求证：∠B＝∠ACE；（2）若BC＝5，CE＝2，直按写出CD的长度．21．（8分）（1）先化简再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）+2y2，其中x＝﹣1，y＝2；（2）已知a2+b2＝3，a﹣b＝1，求①ab；②a+b的值．，λ（）＝λ（根据以上运算性质：＝ ，λ（）≈ ，λ（）＝二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28+＝+的值是 ＝，我们把明．2019北京海淀清华附中初二（上）期中数学参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】分别根据合并同类项的法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：a4与a2不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；（ab5）2＝a2b10，故选项B不合题意；a4•a3＝a7，正确，故选项C符合题意；a10÷a2＝a8，故选项D不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键．3．【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（2x+m）（x+2）＝2x2+4x+mx+2m＝2x2+（4+m）x+2m，∵若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，∴4+m＝0，解得：m＝﹣4，故选：A．【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．5．【分析】证明△ABE≌△ECD得到CE值，则BE可求．【解答】解：在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE＝AB＝5．∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质．6．【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC＝5，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝5，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝45，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选：C．【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理及等腰三角形的性质的运用．8．【分析】以A点为圆心，AB为半径作圆，在⊙A上的格点为C点（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上没有格点．【解答】解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有9个．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：有两边相等的三角形为等腰三角形．也考查了分类讨论的思想．二、填空题（共8题，每小题3分，共24分9．【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：分两种情况：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：17．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．10．【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据三角形内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝65°，∴∠BAD＝25°．故答案为：25°【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．11．【分析】原式逆用积的乘方运算法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝（﹣4×）2018×4×1＝4，故答案为4【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．【分析】根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE＝∠E＝30°，根据等角对等边得出DE＝BD＝3．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴DE＝BD＝3．故答案为3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠E＝30°是正确解答本题的关键．13．【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知求出a即可．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6，∵（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，∴a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．14．【分析】过点A作AG⊥BC于点G，根据等腰三角形的两个底角相等进行证明即可．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝90°，∴∠B+∠BAG＝90°，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝∠BAG，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴∠BAG＝∠BAC，∴∠F＝∠BAC＝20°，故答案为：20【点评】此题主要考查等腰三角形的基本性质，关键是根据综合运用等腰三角形的性质来证明．15．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠A＝15°，由三角形的外角的性质得到∠CBD＝∠A+∠ACB＝30°，过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，根据直角三角形的性质得到CD＝BC＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝BC＝6，∠A＝15°，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝30°，过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，∴∠D＝90°，∴CD＝BC＝3，∴△ABC的面积为AB•CD＝×6×3＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16．【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出NF＝AN，证△PFM≌△QCM，推出FM＝CM，推出MN＝AC即可．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PN⊥AC，∴AN＝NF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AN＝NF，∴NF+FM＝AN+CM，∴AN+CM＝MN＝AC，∵AC＝4，∴MN＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．三、解答题（共7小题，共52分）17．【分析】利用AAS证明△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵BF＝CE（已知），∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，做题的关键是找出证三角形全等的条件．18．【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；（3）直接利用多项式乘以多项式计算得出答案；（4）直接利用乘法公式计算得出答案．【解答】解：（1）（x﹣3y）（﹣6x）＝﹣6x2+18xy；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2＝3x2﹣4y；（3）（x﹣1）（x+2）＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）＝[x+（y﹣3）][x﹣（y﹣3）]＝x2﹣（y﹣3）2＝x2﹣y2﹣9+6y．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．19．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）依据轴对称的性质，即可画出△A2B2C2，并写出点A2，C2的坐标；（3）依据变换前后的点的坐标变化规律，即可得到对应点M2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2，C2的坐标分别为（6，﹣1）和（5，﹣2）；（3）点M（x，y）关于x轴对称的点M1的坐标为（x，﹣y），点M1关于直线m对称的点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．∴经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．【点评】此题主要考查了轴对称变换的运用，关键是掌握图形是由点组成的，作轴对称变换后的图形关键是找出图形的关键点的对称点和对应点的位置．20．【分析】（1）根据条件AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，根据SAS证明△ABD≌△ACE，则结论得证；（2）可得CE＝BD＝2，可求出CD＝3．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE＝2，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．21．【分析】（1）原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；（2）利用完全平方公式求出所求即可．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+2y2＝2x2+4xy+2y2，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2﹣8+8＝2；（2）①∵a2+b2＝3，a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，即3﹣2ab＝1，解得：ab＝1；②∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，∴a+b＝±．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．【分析】（1）根据题目中的定义即可求解；（2）由已知条件可得所以＝＝2；λ（4）＝λ（2）+λ（2），λ（10）＝λ（2）+λ（5），λ（）＝λ（8）﹣λ（25）＝3λ（2）﹣2λ（5），代入已知数据即可求解；（3）将所给式子b与c化简为λ（0.14）＝λ（14）﹣λ（100）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（10）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（2）﹣2＝λ（7）﹣λ（2）﹣2＝b，λ（）＝λ（63）﹣λ（2）＝λ（7）+λ（9）﹣λ（2）＝λ（7）+2λ（3）﹣λ（2）＝c，结合a、b、c表示的关系式即可确定a、b、c的关系．【解答】解：（1）因为5a＝b，所以λ（5）＝a．故答案为a．（2）因为λ（mn）＝λ（m）+λ（n），所以＝＝2．∵λ（2）≈0.4，∴λ（4）＝λ（2）+λ（2）≈0.4，λ（10）＝λ（2）+λ（5）≈0.4+1＝1.4，λ（）＝λ（8）﹣λ（25）＝3λ（2）﹣2λ（5）≈3×0.4﹣2＝﹣0.8，故答案为2，0.4，1.4，﹣0.8；（3）λ（0.14）＝λ（14）﹣λ（100）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（10）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（2）﹣2＝λ（7）﹣λ（2）﹣2＝b，λ（）＝λ（63）﹣λ（2）＝λ（7）+λ（9）﹣λ（2）＝λ（7）+2λ（3）﹣λ（2）＝c，∴c＝b+2+2a．【点评】本题考查有理数的乘方，新定义；能够理解定义，灵活运用有理数的运算解题是关键．23．【分析】（1）根据对称性和等边三角形的性质即可求解；（2）①根据已知条件进行所图即可；②根据对称性和等边三角形的性质即可求解；③根据等边三角形的性质和直角三角形的性质证明两个三角形全等即可证明．【解答】解：（1）∵点C关于AP对称点为D，∴AD＝AC，∠CAP＝∠DAP＝70°，∴∠ACD＝∠ADC＝20°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°，∴∠ADB＝10°，∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝30°．答：∠BDC的度数为30°．（2）①如图即为补全的图形．②如图，同（1）∠CAP＝∠DAP＝α，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+2α，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝60°﹣α．答：∠ADB的度数为60°﹣α．③∵AD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣（60°﹣α）＝α，∴∠CBD＝∠DAE＝α，∵DE⊥BD，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∵点C关于AP对称点为D，∴CD⊥AP，∴∠CDE+∠AED＝90°，∴∠BDC＝∠AED，∴△BDC≌△AED（AAS）∴BD＝AE．【点评】本题考查了复杂作图、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、对称性，解决本题的关键是综合以上知识．二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24．【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：x2+＝＝16﹣2＝14．故答案为：14．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．25．【分析】如图，连接PA．利用三角形的面积公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PA，推出PB+PD＝PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥4，推出PA+PD的最小值为4，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接PA．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝3，∵S△ABC＝•BC•AD＝12，∴AD＝4，∵EF垂直平分AB，∴PB＝PA，∴PB+PD＝PA+PD，∵PA+PD≥AD，∴PA+PD≥4，∴PA+PD的最小值为4，∴△PBD的最小值为4+3＝7，故答案为7．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．【分析】分类讨论：当CD＝DE时；当DE＝CE时；当EC＝CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．【解答】解：△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD＝DE时，∵∠CDE＝30°，∴∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝105°，②当DE＝CE时，∵∠CDE＝30°，∴∠DCE＝∠CDE＝30°，∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝60°．③当EC＝CD时，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意．综上，△ADC可以是等腰三角形，此时∠ADC的度数为60°或105°．故答案为60°或105°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．27．【分析】根据A（x1，y1）和B（x2，y2）两点之间的非常距离的定义解决问题即可．在图3中，画出满足条件的点即可．【解答】解：由题意：d（M，N）＝4+2＝6，满足条件的点组成的图形如图所示：故答案为6．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，A（x1，y1）和B（x2，y2）两点之间的非常距离的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．28．【分析】（1）连接PA，利用角平分线的性质定理证明PD＝PE即可解决问题．（2）如图2中，设AB＝BC＝AC＝4a，则PB＝3a，PC＝a．解直角三角形求出AD，AE即可解决问题．（3）如图3中，作AQ⊥BC于Q，连接PA，DQ，QE，取PA的中点Q，连接OD，OQ，OE．证明K Q＝1即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接PA．∵AB＝AC，BP＝PC，∴∠PAB＝∠PAC，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE，∴K P＝＝1，故答案为1．（2）如图2中，设AB＝BC＝AC＝4a，则PB＝3a，PC＝a．∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴∠PEC＝∠PDB＝90°，∵∠B＝∠C＝60°，∴∠DPB＝∠CPE＝30°，∴BD＝PB＝1.5a，EC＝Pc＝0.5a，∴AD＝2.5a，A＝3.5a∴K A＝＝＝．故答案为．（3）如图3中，作AQ⊥BC于Q，连接PA，DQ，QE，取PA的中点Q，连接OD，OQ，OE．∵∠ADP＝∠AQP＝∠AEP＝90°，AO＝OP，∴OD＝OA＝OP＝OQ＝OE，∴A，D，P，Q，E五点共圆，∵AB＝AC，AQ⊥BC，∴∠QAB＝∠QAC，∴＝，＝＝。
海淀区初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析)
海淀区2019初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析)海淀区2019初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析) 一、选择题：（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的. 请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案1．下列图形中，不是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）2．下列运算中正确的是（A）（B）（C）（D）3．在平面直角坐标系中，点（－3，5）关于x轴的对称点的坐标是（A）（3，5）（B）（3，－5）（C）（5，－3）（D）（－3，－5）4．如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（A）x ≠－（B）x－（C）x≥－（D）≥5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（A）（B）（C）（D）6．下列三个长度的线段能组成直角三角形的是（A）1，，（B）1，，（C）2，4，6 （D）5，5，6 7．计算，结果为（A）（B）（C）（D）8．下列各式中，正确的是（A）（B）（C）（D）9．若与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（A）（B）（C）（D）10.如图，在△ABC和△CDE中，若,AB=CD，BC=DE，则下列结论中不正确的是（A）△ABC ≌△CDE （B）CE=AC（C）AB⊥CD （D）E为BC中点11．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形. 如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边的长分别是和，那么的值为（A）49 （B）25 （C）13 （D）112.当x分别取、、、….、、、、1、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（A）（B）（C）（D）二、填空题:（本题共24分，每小题3分）13．若实数满足，则的值为.14．计算：= ．15．比较大小：.16．分解因式：= ．17．如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P.若，PB=PF，则°.18．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE, 连接CE．若CD＝1，CE＝3，则BC＝_____．19．在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（－6，0）、（0，8）．若△ABC是以∠BAC为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为．20.如图，分别以正方形ABCD的四条边为边，向其内部作等边三角形，得到△ABE、△BCF、△CDG、△DAH，连接EF、FG、GH、HE.若AB=2，则四边形EFGH的面积为.三、解答题：（本题共14分，第21题5分，第22题9分）21．计算：+ ．22．（1）解方程：.（2））先化简，再求值：，其中.四、解答题：（本题共9分，第23题4分,第24题5分）23.点、在上，，，∠ =∠ .求证: ∠ =∠ .24. 列方程(组)解应用题:上图为地铁调价后的计价图. 调价后，小明、小伟从家到学校乘地铁分别需4元和3元.由于刷卡坐地铁有优惠，因此，他们平均每次实付3.6元和2.9元.已知小明从家到学校乘地铁的里程比小伟从家到学校乘地铁的里程多5千米，且小明每千米享受的优惠金额是小伟的2倍，求小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是多少千米？五、解答题：（本题共17分，第25题5分，第26题6分，第27题6分）25．已知：△ABC，射线AM平分.（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG.（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为，证明你的结论.26．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或.又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，.应用上面的结论解答下列问题：（1）方程的两个解中较大的一个为；（2）关于x的方程的两个解分别为、（），若与互为倒数，则，；（3）关于x的方程的两个解分别为、（），求的值.27.阅读：在△ABC中，，，，求的长.小明的思路：如图2，作于点E，在AC的延长线上取点D，使得，连接BD,易得,△ABD为等腰三角形.由和，易得，△BCD为等腰三角形.依据已知条件可得AE和的长.解决下列问题：（1）图2中，= ，= ；（2）在△ABC中，、、的对边分别为a、b、c.①当时，用含a、c的式子表示b；（要求写解答过程）要练说，得练听。
北京2019学年八年级上学期期中考试数学试题 (解析版)
上学期初中八年级期中考试数学试卷（考试时间为100分钟，试卷满分为100分，另20分附加题）一、选择题（每题3分共30分，四个选项中只有一个正确答案） 1. 计算25-的结果是（ ）。
A. －10B. －25C.251D. 251-2. 图中全等的三角形是（ ）。
A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅣC. Ⅱ和ⅢD. Ⅰ和Ⅲ 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）。
A. 1)(12222--=-+-b a b ab a B. )11(22222xx x x +=+ C. 4)2)(2(2-=-+x x xD. )1)(1)(1(124-++=-x x x x4. 如图，已知AB ＝AD ，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）。
A. CB ＝CDB. ∠BCA ＝∠DCAC. ∠BAC ＝∠DACD. ∠B ＝∠D ＝90° 5. 下列分式中，最简分式是（ ）。
A. 1122+-x xB. 112-+x xC. xy x y xy x -+-2222 D. 122362+-x x6. 如图，已知钝角△AB C ，老师按如下步骤尺规作图：步骡1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H 。
小明说：图中的BH ⊥AD 且平分AD 。
小丽说：图中AC 平分∠BAD 。
小强说：图中点C 为BH 的中点。
你认为（ ）。
A. 小明说得对B. 小丽说得对C. 小强说得对D. 他们都不对 7. 学完分式运算后，老师出了一道题：化简：42232--+++x xx x 。
小明的做法是：原式＝48426424)2)(3(222222--=----+=-----+x x x x x x x x x x x ； 小亮的做法是：原式＝426)2()2)(3(22-=-+-+=-+-+x x x x x x x ； 小芳的做法是：原式＝12132123)2)(2(223=+-+=+-++=-+--++x x x x x x x x x x 。
2019-2020学年北京海淀区8年级上-数学期中试题及答案
2019-2020学年北京海淀区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）符合题意的选项只有一个1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．153．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF4．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性5．（3分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P为边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85°C．50°D．40°8．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL 9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为．12．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是°．13．（3分）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB＝．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF＝cm．16．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有个．三、解答题（本题共52分，17、18、21题5分，25题7分，其余题目各6分）17．（5分）已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB＝DE．19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'（2）写出A′、B′、C′的坐标（直接写出答案）A'；B'；C'；（3）写出△A'B'C'的面积为．（直接写出答案）20．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．21．（5分）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．22．（6分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE．23．（6分）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．24．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线、．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠＝∠．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠＝∠．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠＝∠＝∠．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．25．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H 为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．2019-2020学年北京海淀区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）符合题意的选项只有一个1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．15【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于10，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．【解答】解：当5为腰，10为底时，∵5+5＝10，∴不能构成三角形；当腰为10时，∵5+10＞10，∴能构成三角形，∴等腰三角形的周长为：10+10+5＝25．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF【分析】根据三角形的高线的定义解答．【解答】解：根据高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．4．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．故选：B．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．5．（3分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定定理成立，B．OC＝OD，根据SAS判定定理成立，C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定定理成立，D．PC＝PD，根据SSA无判定定理不成立，故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，＝70°﹣35°，＝35°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P为边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85°C．50°D．40°【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠ACB＝50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A，进而可得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝50°，∴∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∵∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠BPC＞∠A，∴∠BPC＞80°，故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形两底角相等．8．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，∴确定依据是SAS定理；∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，∴确定依据是HL定理．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．【解答】解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，当B、P、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF ＝CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，∴BE＝EG，GF＝CF，∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G是△ABC的内心，∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；④连接AG，∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n，∴S△AEF＝AE•GD+AF•GD＝（AE+AF）•GD＝nm，故本小题正确．故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（2，5）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），故答案为：（2，5）．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是1260°．【分析】由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，则40°×n＝360°，解得n＝9．这个多边形的内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．答：这个多边形的内角和为1260°．故答案为：1260．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n ﹣2）•180°；注意熟记n边形的外角和为360°．13．（3分）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB＝165°．【分析】根据邻补角求出∠ADO的度数，再利用外角的性质，即可解答．【解答】解：∵∠BDC＝60°，∴∠ADO＝180°﹣∠BDC＝120°，∴∠OAD＝45°，∴∠AOB＝∠OAD+∠ADO＝165°．故答案为：165°．【点评】本题考查了三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．充分利用三角板中的特殊角进行计算．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．【分析】由折叠的性质可知∠B＝∠AEB，因为E点在AC的垂直平分线上，故EA＝EC，可得∠EAC＝∠C，根据外角的性质得∠B＝∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C＝90°，由此可求∠C．【解答】解：由折叠的性质，得∠B＝∠AEB，∵E点在AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，由外角的性质，可知∠B＝∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C＝90°，即2∠C+∠C＝90°，解得∠C＝30°．故本题答案为：30°．【点评】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质．关键是把条件集中到直角三角形中求解．15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF＝3cm．【分析】由角平分线的性质易得CE＝点E到AB的距离等于3cm，需求CF，根据等角的余角相等可得∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝3cm．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，∴CE＝点E到AB的距离＝3cm，∠BAE＝∠CAE，∵∠AEC+∠CAE＝90°，∠AFD+∠BAE＝90°，∴∠AEC＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝3cm．故答案为：3．【点评】此题主要考查角平分线的性质和等角对等边，注意利用直角三角形的有关性质．16．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有6个．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为：6【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．三、解答题（本题共52分，17、18、21题5分，25题7分，其余题目各6分）17．（5分）已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．【分析】直接利用三角形的外角的性质得出∠ADC＝80°，进而利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADC＝80°，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及三角形内角和定理，正确应用三角形外角和定理是解题关键．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB＝DE．【分析】由平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，证出AC＝DF，证明△ABC≌△DEF（SAS），即可得出AB＝DE．【解答】证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AB＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定由性质、平行线的性质；证明三角形全等是解题的关键．19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'（2）写出A′、B′、C′的坐标（直接写出答案）A'（3，2）；B'（4，﹣3）；C'（1，﹣1）；（3）写出△A'B'C'的面积为 6.5．（直接写出答案）【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；（2）依据△A'B'C'各顶点的位置，即可得出A′、B′、C′的坐标；（3）依据割补法进行计算，即可得到△A'B'C'的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）由图可得，A′（3，2）、B′（4，﹣3）、C′（1，﹣1）；故答案为：（3，2）、（4，﹣3）、（1，﹣1）；（3）△A'B'C'的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝15﹣3﹣2.5﹣3＝6.5．故答案为：6.5．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．20．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC＝∠4，∠2＝∠3，然后再证明∠1＝∠3，根据等角对等边可得BD＝DE．【解答】解：（1）如图所示：（2）BD＝DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．21．（5分）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．【分析】根据题意得出△CDE为等边三角形，进而得出∠AEC的度数．【解答】解：连接DE∵A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，∴CD＝CE＝DE，∴△CDE为等边三角形．∴∠C＝60°．∴∠AEC＝90°﹣∠C＝30°．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，正确得出△CDE为等边三角形是解题关键．22．（6分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE．【分析】根据等腰直角三角形的性质利用SAS判定△ABE≌△ACD；因为全等三角形的对应角相等，所以∠ACD＝∠ABE＝45°，已知∠ACB＝45°，所以可得到∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，即DC⊥BE．【解答】解：（1）△ABE≌△ACD，证明：∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）由△ABE≌△ACD得∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及性质是并准确确定出全等三角形是解题的关键．23．（6分）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝15°（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝20°（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC＝∠BAD（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°．（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°．（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）．（4）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．24．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线BP、BQ．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．【分析】（1）根据图形可知BP、BQ是角的三等分线；（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结合图形填空即可；（3）根据阅读材料进行判断并作出图形．【解答】解：（1）∠ABC的三等分线是射线是BP、BQ；（2）∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．故答案为：（1）BP，BQ；（2）PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，ABQ，PBQ，PBC；（3）在（1）的条件下探究：∠ABS＝∠ABS不成立，在∠ABC外部所画∠ABV＝∠ABC如图．【点评】本题考查了角平分线的性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，读懂题目信息是解题的关键．25．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H 为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN＝DC，再证明BN＝DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，过点C作CN'⊥AO 交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠ANH＝∠AEH，∴AN＝AC，∴NH＝CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN＝DC，∴∠DNH＝∠DCH，∴∠AND＝∠ACB，∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN，∴BN＝DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，∴∠CGE＝∠AEN，∴CG＝CE，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN＝CG，∴BN＝CE，∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．。
北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
初二第一学期期中试卷数学一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.在下列图形中是轴对称图形是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，B.是轴对称图形，故本选项符合题意，C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，D.是不轴对称图形，故本选项不符合题意.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.2.下列计算正确的是（）A a+ a= a B. (ab) = ab C. a• a= a D. a÷a= a【答案】C【解析】【分析】根据整式的四则运算和积的乘方对选项进行分析即可得到答案.【详解】A. a与a不是同类项，无法合并，故A错误；B. (ab) = a2b，故B错误；C. a• a= a，故C正确；D. a÷a= a8，故D错误；故选择C.【点睛】本题考查同底数幂的混合运算和积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的混合运算和积的乘方运算.3.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD【答案】D【解析】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．4.若2x + m 与x + 2 的乘积中不含的x 的一次项，则m 的值为（）A. －4B. 4C. －2D. 2【答案】A【解析】【分析】先将(2x + m) (x + 2)根据多项式乘多项式展开，找出所有含x的一次项，合并系数，使含x的一次项的系数为0，即可求出m的值．【详解】解：，∵乘积中不含x的一次项，∴，∴．故答案选：A．【点睛】本题考查多项式乘多项式的运算，属于基础题．理解不含某一项就是指含有这项的系数为0，注意合并同类项求解．5.如图，已知 AB⊥BC 于 B，CD⊥BC 于 C，BC=12，AB=5，且 E 为 BC 上一点，∠AED=90°，AE=DE，则 BE=（）A. 13B. 8C. 7D. 5【答案】C【解析】【分析】先根据题意证明△ABE≌△ECD，再根据全等三角形的性质得到CE值，即可求出BE．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠B=90°=∠C∴∠A+∠AEB=90°∵∠AED=90°∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠A=∠DEC在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE=AB=5．∴BE=BC-CE=12-5=7．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和性质，解题关键在于掌握判定定理.6.如图，在△ABC中，∠C = 90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP,交CB于点D，若CD = 4，AB = 15．则△ABD的面积是【】A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】B【解析】【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30，故选B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°【答案】B【解析】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．考点：等腰三角形的性质．8.如图的方格纸中每一个小方格都是边长为 1 的正方形，A、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点 C，使△ABC 为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A. 8 个B. 9 个C. 10 个D. 11 个【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理计算出AB=，然后分类讨论确定C点位置．【详解】AB==，以B为顶点，BC=BA，这样的C点有3个；以A为顶点，AC=AB，这样的C点有6个；以C为顶点，CA=CB，这样的点不存在，所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有9个.故选B.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和勾股定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和勾股定理的应用.二、填空题（共8题，每小题3分，共24分）9.等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．【答案】17【解析】试题分析：因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去．∴等腰三角形的周长为17．10.如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，∠C=65°，则∠BAD 度数为___________.【答案】25°【解析】【分析】先由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=65°,再结合题意和三角形的内角和定理得到∠BAD=25°. 【详解】∵AB ＝AC ，∠C=65°，∴∠C=∠B=65°,∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°,根据三角形内角和定理可知∠BAD=180°-90°-65°=25°，故答案为25°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键.11.计算：20192018014()1)4⨯-⨯=_________. 【答案】4【解析】【分析】 先根据零指数幂化简并变形得到2018201814()144⨯-⨯⨯，再进行乘法计算即可得到答案.【详解】20192018014()1)4⨯-⨯ =2018201814()144⨯-⨯⨯ =4【点睛】本题考查有理数的乘法、零指数幂和整数指数幂，解题的关键是有理数的乘法、零指数幂和整数指数幂.12.如图，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，若BD=3，则DE= ．【答案】3【解析】试题分析：△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，可得∠DCB=60°，BD ⊥AC ，所以∠DBC=30°，因为CE=CD ，所以∠CDE=∠E=30°，故∠DBC=∠E ，DE=BD=3．考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形的外角13.若(x －2)(x +3)= x + ax －6 ，则a =________【答案】1【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式的方法计算(x－2)(x +3)，得到x+x－6，再结合题意即可得到答案.【详解】因为(x－2)(x +3)= x+ 3x -2x－6= x+x－6，且(x－2)(x +3)= x+ ax－6 ，所以a =1.【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的方法.14.已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB 边上的一点，过 D 作 DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.【答案】20【解析】【分析】由AB=AC，∠BAC=40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角形内角计算即可得到答案.【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C B==70°；因为DF⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.15.在△ABC中，已知AB=5，BC=6，∠B=30°，那么S△ABC为_________．【答案】7.5【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AD，根据三角形的面积公式计算．【详解】过点A作AD⊥BC于D，如图，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD=AB=，∴S△ABC=×BC×AD=××6=7.5.【点睛】本题考查直角三角形的性质、三角形的面积公式，掌握在直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半是解题的关键．16.如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE⊥AC点E，过点P 作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____．【答案】5【解析】【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度．【详解】∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案为5．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．三、解答题（共7小题，共52分）17.如图，B、C、E、F 在同一直线上，AB∥CD，BF=CE，∠A=∠D. 求证：△ABE≌△DCF【答案】证明见解析【解析】【分析】由AB∥CD得到∠B=∠C，由BF=CE得到BE=CF，根据全等三角形的判定（AAS）即可得到答案.【详解】因为AB∥CD，所以∠B=∠C；又因为BF=CE，则BE=CF，在△ABE和△DCF中，∵，∴△ABE≌△DCF（AAS）.【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质.18.计算下列各题：（1）(x－3y)(－6x)；（2） (x－1)(x + 2)；【答案】（1）－6x2+18 xy；（2）x2+ x－2【解析】【分析】（1）先进行多项式乘以多项式运算，再合并同类项，即可得到答案；（2）先进行多项式乘以多项式运算得到x2+2 x－x－2，再合并同类项，即可得到答案.【详解】（1）(x－3y)(－6x)=－6x2+18 xy；（2）(x－1)(x + 2)=x2+2 x－x－2= x2+ x－2【点睛】本题考查多项式乘以多项式和合并同类项，解题的关键是掌握多项式乘以多项式和合并同类项法则.19.如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）．（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）分别写出点A1、B1、C1的坐标．（3）求△A1B1C1的面积．【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）A1的坐标为（1，2）、B1的坐标（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为.【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）由（1）中所作图形可得答案；（3）利用割补法求解可得．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）由图知，A1的坐标为（1，2）、B1的坐标为（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为3×4﹣×1×4﹣×1×3﹣×2×3＝.【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．20.如图1，在△ABC中，AB=AC， D为直线BC上一动点（不与B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，求证:△BAD ≌△CAE；（2）当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE，理由见解析【解析】分析】（1）根据SAS即可证明；（2）当点D运动到BC中点时，AC⊥DE，由AB=AC知∠1=∠2，结合∠1=∠3，得出∠2=∠3．根据AE=AD，即可得.【详解】（1）∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE．又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD ≌△CAE（SAS）．（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE ．∵D 是BC 中点，AB=AC ，∴∠1=∠2．∵△BAD ≌△CAE ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∵AD=AE ，∴AC ⊥DE ．∴当D 运动到BC 中点时，AC ⊥DE ．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．21.先化简再求值：(x + 2 y )+(x + 2 y )(x －2 y )+ 2 y ，其中 x =－1，y = 2 ；【答案】；2【解析】【分析】先由完全平方公式、平方差公式得到x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y，再合并同类项得到2x 2+ 4x y + 2 y ，将x =－1，y = 2代入即可得到答案.【详解】(x + 2 y)+(x + 2 y)(x －2 y)+ 2 y=x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y= 2x 2+ 4x y + 2 y=2（x 2+ 2x y + y ）=2（x+y ）2则x =－1，y = 2代入得到=2.【点睛】本题考查代数式、完全平方公式、平方差公式和合并同类项，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和合并同类项的计算.22.规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b)：如果，那么(a ，b)=c ．例如：因为23=8，所以(2，8)=3．(1)根据上述规定，填空：（3，9）=_____，（5，125）=_____，（，）=_____，（-2，-32）=_____．(2)令，()46b =，，()430c =，，试说明下列等式成立的理由：. 【答案】（1）2，3，4，5（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据规定的运算法则计算即可；（2）令，()46b =，，()430c =，，根据规定的运算法则及同底数幂乘法的运算法则即可证明a+b=c ，即可得结论. 【详解】（1）∵32=9，53=125，(-)4=，(-2)5=-32， ∴（3，9）=2，（5，125）=3，（，）=4，（-2，-32）=5. 故答案为2；3；4；5(2)令，()46b =，，()430c =，，则，，， ∵5630⨯=， ∴444a b c ⨯=， ∴， ∴， ∴.【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是理解（a ，b ）=c ，a c =b ，即b 是a 的c 次方，按此规律进行计算即可．23.如图，△ABC 中，AB=AC ，射线AP 在△ABC 的外侧，点B 关于AP 的对称点为D ，连接CD 交射线AP 于点E ，连接BE. (1)根据题意补全图形； (2)求证：CD=EB+EC ； (3)求证：∠ABE=∠ACE.【答案】(1)补图见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据点B 、D 关于AP 对称得AP 垂直平分BD ，故ED=EB ，从而得证；（3）连接AD ，由线段垂直平分线的性质得AD=AB ，ED=EB ，可证∠1=∠ABE ；由AB=AC 得AD=AC,所以∠1=∠ACE,从而得证. 【详解】(1)如图；(2)∵点B、D关于AP对称∴ AP垂直平分BD∴ ED=EB∴ CD=CE+ED=CE+EB；(3)连接AD∵ AP垂直平分BD∴ AD=AB=AC∴∠1=∠ACE ∠1+∠EDB=∠ABE +∠EBD∵ ED=EB∴∠EDB =∠EBD∴∠1=∠ABE∴∠ABE=∠ACE .【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键.附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24.已知x += 4 ，则x +=___________.【答案】14【解析】【分析】由x += 4得到（x +）2= 16，计算可得x+2+=16，则可得答案为14.【详解】因为x += 4，所以（x +）2= 16，即x+2+=16，则x +=14.【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的运用.25.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于__________.【答案】12【解析】【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵D、F是BC、AB的中点，∴AC=2FD=2×12=24，∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，∴EH=AC=12．【点睛】本题考查三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是掌握三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.26.如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________.【答案】60°或105°【解析】【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算.【详解】△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD=DE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠DEC=75°，∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，②当DE=CE时,∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠CDE=30°，∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°.③当EC=CD时，∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120°∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意. 综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°. 故答案为60°或105°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.27.对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，我们把|x1－x2|+|y1－y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d(P1,P2)．(1) 令P0(2,－3)，O为坐标原点，则d(O,P0)＝；(2)已知O为坐标原点，动点P(x,y)满足d(O,P)＝1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形.【答案】(1)5;(2)如图所示.【解析】【分析】（1）、根据直角距离的计算公式进行计算得出答案；（2）、根据题意得出|x|+|y|=1，从而得出图形.【详解】（1）、根据题意得：d（O，P0）=|2﹣0|+|﹣3﹣0|=2+3=5；（2）、由题意，得|x|+|y|=1，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；【点睛】本题考查绝对值、作图，解题的关键是读懂题意，掌握新的定义运算规则.28.在△ABC 中，AB =BC =AC，∠A =∠B =∠C = 60°．点D、E 分别是边AC、AB 上的点（不与A、B、C 重合），点P 是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P 在边BC 上运动（不与点B 和点C 重合），如图⑴所示，则∠1+∠2 =．（用α 的代数式表示）（2）若点P 在△ABC 的外部，如图⑵所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）如图（1）60︒+α ；（2）∠2=60︒+∠1-α；理由见解析.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α=∠1-∠2+60°.【详解】（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，∴∠1+∠2=∠A+α，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠1+∠2=60°+α．故答案是：60°+α；（2）∠2=60︒+∠1-α，证明：如图（2），∵∠1 是△POD 的外角，∴∠1=α+∠POD，∵∠POD=∠AOE，∴∠1=α+∠AOE，∴∠AOE=∠1-α，∵∠2 是△AOE 的外角，∴∠2=∠A +∠AOE，∴∠2=60︒+∠1-α；【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．：。
海淀区2019-2020年初二上数学期中考试试题及答案解析
海淀区2019-2020年初二上数学期中考试试题及答案解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题3分，共30分）1．下列说法正确的是……（）A ．0的平方根是0B ．1的平方根是1C ．－1的平方根是－1D ．()21-的平方根是－12．在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )(1)21a +=0; (2)1a -+a=0; (3)23a -+32a -=0; (4)12a -=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比A ．形状没有改变，大小没有改变B ．形状没有改变，大小有改变C ．形状有改变，大小没有改变D ．形状有改变，大小有改变4．下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为A ．13B ．11C ．10D ．85．如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）A. ∠1＝∠2B. AC ＝CAC. ∠B ＝∠DD. AC ＝BC6．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=6，则△PMN 的周长为（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、77．下列说法中正确的是（）A．绝对值最小的实数是零;B．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数;C．实数a的倒数是1 a ;D．一个数平方根和它本身相等，这个数是0或18．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（）（A）1个（B）3个（C）4个（D）5个9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC 于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论一定正确的是( )A．①②③ B．②③④C．①③⑤ D．①③④10．如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）A. △ADCB. △BDC’C. △ADC´D. 不存在二、填空题（每题3分，共24分）11．实数4的平方根是 ． 12． 点A （－5，－6）与点B （5，－6）关于__________对称。
2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a8÷a2＝a4D．2x+3y＝5xy 3．（2分）将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（）A．（a+3）2﹣14B．（a﹣3）2﹣14C．（a+3）2+4D．（a﹣3）2+4 4．（2分）如图的方格纸中有若干个点，若AB两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）A．P1B．P2C．P3D．P45．（2分）下列说法正确的是（）A．不论x取何值时，（x﹣1）0＝1B．的值比大C．多项式x2+x+1是完全平方式D．4×3100﹣399是11的倍数6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P 的坐标为（）A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）7．（2分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）8．（2分）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP 的值最小时，AP的长为（）A．4B．8C．10D．12二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为．10．（3分）如图，已知AE平分∠BAC，点D是AE上一点，连接BD，CD．请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD．添加的条件是：．（写出一个即可）11．（3分）已知：4x•9x＝612，则x＝．12．（3分）已知x m＝2，x n＝3，则x m+n＝．13．（3分）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，∠CAD＝°．14．（3分）有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a＞2b），按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD．下面有四种说法：①阴影部分周长为4a；②阴影部分面积为（a+2b）（a﹣2b）；③四边形ABCD四位周长为8a﹣4b；④四边形ABCD的面积为a2﹣4ab+4b2．所有合理说法的序号是．15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，如果AB＝8，BC＝10，则△ABC的面积是．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若BF＝6，则AC的长为．三、解答题（本大题共60分，其中17题4分；18题8分；19-24题，每题5分；第25-27题，每题6分）17．（4分）计算：（π﹣3）018．（8分）因式分解（1）x2﹣y2（2）ax2+4ax+4a19．（5分）已知4a2﹣b2＝6，2a+b＝1．（1）求2a﹣b的值．（2）化简代数式[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB＝3，CF＝7，求AE．21．（5分）先化简，再求值．（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b（b+3a），其中a＝2，b＝﹣1．22．（5分）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．23．（5分）双十一购物节即将到来，某商场设计了两种的促销方案，并有以下两种销售量预期．预期一：第1步，销售量扩大为原来的a倍．第2步，再扩大为第1步销售量的b倍．预期二：第1步，销售量扩大为原来的倍．第2步，再扩大为第1步销售量的倍．其中a，b为不相等的正数，请问两种预期中，哪种销售量更多？试说明理由．24．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC 上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．25．（6分）对于多项式A＝x2+bx+c（b，c为常数），作如下探究：（1）不论x取何值，A都是非负数，求b与c满足的条件；（2）若A是完全平方式，①当c＝9时，b＝；当b＝3时，c＝；②若多项式B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，求d的值．26．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．（1）请你在图中补全图形；（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；（3）连接CF，求证：DF＝CF．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为Q′，且线段PQ′的中点为M（m，0），则称点P是图形W关于点M（m，0）的“关联点”．（1）如图1，若点P是点Q（0，）关于原点的关联点，则点P的坐标为；（2）如图2，在△ABC中，A（2，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），①将线段AO向右平移d（d＞0）个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，则d的取值范围是．②已知点S（n+2，0）和点T（n+4，0），若线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，求n的取值范围．2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a8÷a2＝a4D．2x+3y＝5xy 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故原题计算正确；B、（a3）2＝a6，故原题计算错误；C、a8÷a2＝a6，故原题计算错误；D、2x与3y不是同类项，不能合并，故原题计算错误；故选：A．3．（2分）将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（）A．（a+3）2﹣14B．（a﹣3）2﹣14C．（a+3）2+4D．（a﹣3）2+4【解答】解：根据题意得：a2﹣6a﹣5＝（a2﹣6a+9）﹣14＝（a﹣3）2﹣14，故选：B．4．（2分）如图的方格纸中有若干个点，若AB两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）A．P1B．P2C．P3D．P4【解答】解：如图所示：AB两点关于过点P3的直线对称．故选：C．5．（2分）下列说法正确的是（）A．不论x取何值时，（x﹣1）0＝1B．的值比大C．多项式x2+x+1是完全平方式D．4×3100﹣399是11的倍数【解答】解：当x＝1时，（x﹣1）0无意义，故选项A错误；∵，，∴的值与的值一样，故选项B错误；多项式x2+x+1＝（x+）2+，故选项C错误；4×3100﹣399＝399×（4×3﹣1）＝399×11，则4×3100﹣399是11的倍数，故选项D正确；故选：D．6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P 的坐标为（）A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）【解答】解：∵点A（0，8），点B（6，8），点P到A，B两点的距离相等，∴点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，∵点P到∠xOy的两边距离相等，∴点P的坐标为（3，3）故选：C．7．（2分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：C．8．（2分）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP 的值最小时，AP的长为（）A．4B．8C．10D．12【解答】解：如图，作BE⊥AC于点E，交AD于点P，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠DAC＝30°∴PE＝AP当BP⊥AC时，AP+BP＝PE+BP的值最小，此时，AP＝AD＝8．故选：B．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为50°或80°．【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°＝80°，则其底角为：＝50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°＝80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．10．（3分）如图，已知AE平分∠BAC，点D是AE上一点，连接BD，CD．请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD．添加的条件是：AB＝AC（答案不唯一）．（写出一个即可）【解答】解：∵AE平分∠BAC，∵AD＝AD，添加AB＝AC，利用SAS可得△ABD≌△ACD，添加∠B＝∠C，利用AAS可得△ABD≌△ACD，添加∠ADB＝∠ADC，利用ASA可得△ABD≌△ACD，故答案为：AB＝AC（答案不唯一）11．（3分）已知：4x•9x＝612，则x＝6．【解答】解：∵4x•9x＝612，∴22x•32x＝62x＝612，∴2x＝12，解得：x＝6．故答案为：6．12．（3分）已知x m＝2，x n＝3，则x m+n＝6．【解答】解：∵x m＝2，x n＝3，∴x m+n＝x m•x n＝2×3＝6．故答案为：6．13．（3分）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，∠CAD＝82°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵AC＝AD，设∠ACD＝∠ADC＝α，则∠BCD＝60°+α，∵∠DBC＝41°，∴∠ABD＝60°﹣41°＝19°，∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝19°，∴∠BDC＝180°﹣41°﹣（60°+α）＝α﹣19°，∴α＝49°，∴∠ACD＝∠ADC＝49°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝82°，故答案为：82．14．（3分）有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a＞2b），按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD．下面有四种说法：①阴影部分周长为4a；②阴影部分面积为（a+2b）（a﹣2b）；③四边形ABCD四位周长为8a﹣4b；④四边形ABCD的面积为a2﹣4ab+4b2．所有合理说法的序号是①②④．【解答】解：阴影部分周长＝大正方形的周长＝4a，所以①正确；阴影部分面积＝大正方形的面积﹣4个小正方形的面积＝a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），所以②正确；四边形ABCD的周长＝2（a﹣2b）+2（a﹣2b）＝4a﹣8b，所以③错误；四边形ABCD的面积＝（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2．所以④正确．故答案为①②④．15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，如果AB＝8，BC＝10，则△ABC的面积是20．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝，∴△ABC的面积＝，故答案为：2016．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若BF＝6，则AC的长为6．【解答】解：连接CF，如图所示：∵在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝DC，BD⊥AC，∵BC的垂直平分线EF交BC于点E，∴BF＝CF＝6，∴∠DFC＝2∠DBC＝∠ABC＝30°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴DC＝，∴AC＝2DC＝6，故答案为：6．三、解答题（本大题共60分，其中17题4分；18题8分；19-24题，每题5分；第25-27题，每题6分）17．（4分）计算：（π﹣3）0【解答】解：（π﹣3）0＝1+＝1+＝1+（﹣1）＝0．18．（8分）因式分解（1）x2﹣y2（2）ax2+4ax+4a【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝a（x2+4x+4）＝a（x+2）2．19．（5分）已知4a2﹣b2＝6，2a+b＝1．（1）求2a﹣b的值．（2）化简代数式[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b【解答】解：（1）∵4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝6，2a+b＝1，∴2a﹣b＝6；（2）原式＝（a2+b2+2ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2）÷4b＝（4ab﹣2b2）÷4b＝a﹣b＝（2a﹣b），当2a﹣b＝6时，原式＝3．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB＝3，CF＝7，求AE．【解答】解：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴CF＝AD＝7，∴AB＝AD+BD＝10，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC＝10，∵E是边AC的中点，∴AE＝AC＝5．21．（5分）先化简，再求值．（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b（b+3a），其中a＝2，b＝﹣1．【解答】解：原式＝a2+2ab+b2﹣a2+b2﹣2b2﹣6ab＝﹣4ab，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝8．22．（5分）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．【解答】解：结论：∠ABC＝3∠C．理由：设∠C＝x．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB＝DC，∴∠C＝∠CBD＝x，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝2x，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠ABD+∠C＝3x，∴∠ABC＝3∠C．23．（5分）双十一购物节即将到来，某商场设计了两种的促销方案，并有以下两种销售量预期．预期一：第1步，销售量扩大为原来的a倍．第2步，再扩大为第1步销售量的b倍．预期二：第1步，销售量扩大为原来的倍．第2步，再扩大为第1步销售量的倍．其中a，b为不相等的正数，请问两种预期中，哪种销售量更多？试说明理由．【解答】解：预期二的销售量更多，理由为：根据题意得：设原来的销售量为“1”，预期一的销售量为：ab；预期二的销售量为：（）2，∵a≠b，且（）2﹣ab＝﹣ab＝＝＞0，∴（）2＞ab，则预期二的销售量更多．24．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC 上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．【解答】解：（1）∵在四边形ABPQ中，∠BPQ+∠BAQ＝180°，∴∠ABP+∠AQP＝180°，∵∠AQP+∠CQP＝180°，∴∠CQP＝∠ABP，∵∠ABP＝α，∴∠CQP＝α；（2）连接PC，∵AB＝AC，AD为中线，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∵点P是AD上一点，∴PB＝PC，∵AP＝AP，AB＝AC，PB＝PC，∴△ABP≌△ACP（SSS），∴∠ABP＝∠ACP，由（1）知∠CQP＝∠ABP，∴∠ACP＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB＝PQ．25．（6分）对于多项式A＝x2+bx+c（b，c为常数），作如下探究：（1）不论x取何值，A都是非负数，求b与c满足的条件；（2）若A是完全平方式，①当c＝9时，b＝±6；当b＝3时，c＝；②若多项式B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，求d的值．【解答】解：（1）A＝x2+bx+c＝﹣+c＝+，∵≥0，不论x取何值，A都是非负数，∴≥0，∴4c﹣b2≥0；（2）①当c＝9时，∵A是完全平方式，即x2+bx+9＝x2+bx+32是完全平方式，∴b＝±2×3＝±6；当b＝3时，∵A是完全平方式，即x2+3x+c是完全平方式，∴c＝．故答案为：±6；．②∵A是完全平方式，∴设A＝x2+bx+c＝（x+y）2＝x2+2xy+y2①，∵B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，∴设B＝x2﹣dx﹣c＝（x+y）（x+z）＝x2+（y+z）x+yz②，由①式可得：c＝y2，由②式可得：﹣d＝y+z，﹣c＝yz，∴z＝﹣y，∴﹣d＝y+z＝0，∴d＝0．∴d的值为0．26．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．（1）请你在图中补全图形；（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；（3）连接CF，求证：DF＝CF．【解答】（1）解：图形如图1中所示：（2）解：如图2中，连接DE．∵B，D关于AC对称，∴EB＝ED，∠BEC＝∠DEC＝50°，∵EB＝EF，∠BEF＝40°，∴∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF＝50°﹣40°＝10°，DE＝EF，∴∠DEF＝∠DEC+∠FEC＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴∠EFD＝60°．（3）证明：如图2中，连接BD．∵B，D关于AC对称，∴CB＝CD，∠BCA＝∠ACD，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠BCA＝30°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DB＝DC，∠BDC＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠BDC，∴∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴∠EBD＝∠FCD，∵B，D关于AC对称，∴∠EDC＝∠EBC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵∠EDF＝60°，∴∠FDC＝40°，∵EB＝ED，∠BED＝100°，∴∠EBD＝∠EDB＝40°，∴∠FCD＝∠EBD＝40°，∴∠FDC＝∠FCD＝40°，∴FD＝FC．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为Q′，且线段PQ′的中点为M（m，0），则称点P是图形W关于点M（m，0）的“关联点”．（1）如图1，若点P是点Q（0，）关于原点的关联点，则点P的坐标为（﹣，0）；（2）如图2，在△ABC中，A（2，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），①将线段AO向右平移d（d＞0）个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，则d的取值范围是2＜d≤3．②已知点S（n+2，0）和点T（n+4，0），若线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，求n的取值范围．【解答】解：（1）∵点P是点Q（0，）关于原点的关联点，∴Q′（，0），∵P，Q′关于原点对称，∴P（﹣，0），故答案为（﹣，0）．（2）①如图2中，作△ABC关于点（2，0）对称的△A′B′C′，当平移后的线段OA与△A′B′C′的边有两个交点时，满足条件，观察图象可知当平移后的线段OA经过C′（4，2）时，平移的距离d＝2，当平移后的线段OA经过点（3，0）时，平移的距离d＝3，∴当2＜d≤3时，平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，故答案为：2＜d≤3．②由题意AC与x轴的交点（1，0），（1，0）关于N（n，0）的对称点坐标为（2n﹣1），B（﹣2，0）关于N（n，0）的对称点坐标（2n+2，0），∵线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，∴n+2≤2n﹣1≤n+4或n+2≤2n+2≤n+4，解得3≤n≤5或0≤n≤2，。
2019年北京重点校初二(上)期中数学试卷汇编：整式的乘除
2019北京重点校初二（上）期中数学汇编整式的乘除一、单选题1．（2019·北京市陈经纶中学八年级期中）下列计算正确的是 （ ）A ．；B ．；C ．；D ．．347x x x +=44x x x ÷=x 3⋅x 2=x 5325()x x =2．（2019·北京·北大附中八年级期中）下面计算正确的是（ ）.A ．B ．C ．D ． 23a a a -÷=-326·a a a =()224a a =()3223a b a b =3．（2019·北京·清华附中八年级期中）下列计算正确的是（ ）A ．a + a = aB ．(ab ) = abC ．a • a = aD ．a ÷ a = a426521043710254．（2019·北京·清华附中八年级期中）若2x + m 与 x + 2 的乘积中不含的 x 的一次项，则m 的值为（ ） A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．25．（2019·北京·101中学八年级期中）已知：2m ＝1，2n ＝3，则2m +n ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．235a a a = ()325a a =224a a a +=235x y xy +=二、填空题7．（2019·北京·北大附中八年级期中）若 ,则 =_____.3,4,5a b c x x x ===2a b c x +-8．（2019·北京市陈经纶中学八年级期中）计算：a 2•a 3=_____．9．（2019·北京·清华附中八年级期中）若(x －2)(x +3)= x + ax －6 ，则a =________.210．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知，则__________． 2,3m n x x ==m n x +=11．（2019·北京·北大附中八年级期中）关于的多项式展开后不含的一次项，则______． x (4)(23)mx x +-x m =12．（2019·北京·101中学八年级期中）若am •a 3＝a 9，则m ＝_____．13．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知：，则__________．12496x x = x =三、解答题14．（2019·北京师大附中八年级期中）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到(a+2b)(a+b)=a 2+3ab+2b 2请解答下列问题:（1）写出图2中所表示的数学等式________________；（2）利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a 2+b 2+c 2的值；（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a,b 的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形，则x+y+z=_______；【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：_______________.15．（2019·北京市陈经纶中学八年级期中）计算：(3y + 2)(y – 4) – (y–2)(y–3)16．（2019·北京·北大附中八年级期中）计算:(1)23322()x y xy -(2)2342()(315 3)m m n m m +÷－－17．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）先化简，再求值．，其中()()()()223a b a b a b b b a +-+--+ 2,1a b ==-18．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知2246,21a b a b -=+=（1）求的值2a b -（2）化简代数式 ()()22224a b b a b a b b ++---+19．（2019·北京师大附中八年级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到这个等式，请解答下列问题：222()2a b a ab b +=++（1）写出图2中所表示的数学等式 ．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ．10a b c ++=35ab ac bc ++=222a b c ++=（4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出x a y b z a b 一个面积为的长方形，则x+y+z = ．2)(4)a b a b ++(20．（2019·北京·清华附中八年级期中）计算下列各题：（1）(x －3y )(－6x )；（2） (x －1)(x + 2)；21．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）计算：550527(3)(14) ⨯-+-参考答案1．C【详解】(A)考查的是整式加减，只有同类项才能相加，（同类项的定义为所含字母相同，并且相同字母的指数也347x x x +=相同），而此处x 的指数不同，所以不能合并；(B) 考查的是同底数幂的除法，根据法则：底数不变，指44x x x ÷=数相减，应=x ,注意x 的指数为1；(C) 考查的是同底数幂相乘，根据法则：底数不变，指数相325x x x ⋅=加，所以C 正确；(D) 考查的是幂的乘方，根据法则：底数不变，指数相乘=． 325()x x =2．C【分析】分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【详解】A. ，故选项A 错误；221a a a a --÷=-=-B. ，故选项B 错误；32325·a a a a +==C. ，故选项C 正确； ()22224a a a ⨯==D. ，故选项D 错误. ()3263a b a b =故选C.【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 3．C【分析】根据整式的四则运算和积的乘方对选项进行分析即可得到答案.【详解】A. a 与 a 不是同类项，无法合并，故A 错误；42B. (ab ) = a 2b ，故B 错误；5210C. a • a = a ，故C 正确；437D. a ÷ a = a 8，故D 错误；故选择C.102【点睛】本题考查同底数幂的混合运算和积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的混合运算和积的乘方运算. 4．A【分析】先将(2x + m ) (x + 2)根据多项式乘多项式展开，找出所有含x 的一次项，合并系数，使含x 的一次项的系数为0，即可求出m 的值．【详解】解：，22()()2422(42)2 2x x mx x m m m x x x m =+++=+++++∵乘积中不含x 的一次项，∴，4=0m +∴．=4m －故答案选：A ．【点睛】本题考查多项式乘多项式的运算，属于基础题．理解不含某一项就是指含有这项的系数为0，注意合并同类项求解．5．B【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．【详解】解：∵2m ＝1，2n ＝3，∴2m +n ＝2m ·2n ＝1×3＝3．故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是同底数幂的乘法的逆运算，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．6．A【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则即可逐一判断．【详解】解：A 、，正确；235a a a = B 、，故B 错误； ()326a a =C 、，故C 错误；2222a a a +=D 、2x 与3y 不是同类项，不能合并，故D 错误．故答案为：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则，掌握上述运算的法则是解题的关键．7．. 365【分析】逆用同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算即可得解.【详解】∵，3,4,5a b c x x x ===∴=2a b c x +-2()a b c x x x ÷ =2345⨯÷=. 365故答案为. 365【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.8．a 5．【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【详解】a 2•a 3=a 2+3=a 5，故答案为a 5．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．9．1【分析】先根据多项式乘以多项式的方法计算(x －2)(x +3)，得到x +x －6，再结合题意即可得到答案.2【详解】因为(x －2)(x +3)= x + 3x -2x －6= x +x －6，且(x －2)(x +3)= x + ax －6 ，所以a =1.222【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的方法.10．6【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算即可．【详解】解：236m n m n x x x +=⋅=⨯=故答案为：6．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法的逆运算．11．6【分析】先将多项式展开，再合并同类项，然后根据题意即可解答．【详解】解：∵（mx+4）（2-3x ）=2mx-3mx 2+8-12x=-3mx 2+（2m-12）x+8∵展开后不含x 项，∴2m-12=0，即m=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，主要考查学生的化简能力．12．6【分析】先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得出m+3=9，从而求出m 的值．【详解】∵am •a 3＝a 9，∴m+3=9，∴m=6，故答案为6．【点睛】主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．13．6【分析】根据积的乘方、幂的乘方的逆运算化成同底数幂，再列出方程求解即可．【详解】解：，2249(49)36(6)6x x x x x x =⨯=== ∴，21266x =∴，212x =解得：，6x =故答案为：6．【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆运算，解题的关键是对等式进行变形，列出方程．14．（1）(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）45；（3）x+y+z=9；（4）.3(1)(1)x x x x x -=-+【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．【详解】（1）(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）由（1）得：(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38∴121=a 2+b 2+c 2+2×38，所以a 2+b 2+c 2=121-76=45.（3）（a+2b ）（2a+b ）=2a 2+2b 2+5ab ，所以x=2，y=2，z=5，所以x+y+z=9.（4）x 3-x=x （x-1）（x+1）.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．15．2y2-5y-14【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【详解】原式=3y 2-12y+2y-8-（y 2-5y+6）=3y 2-12y+2y-8-y 2+5y-6=2y 2-5y-14，故答案为2y 2-5y-14【点睛】此题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（1）；（2）. 494x y 21153mn m --+【分析】（1）先计算积的乘方，再进行单项式乘以单项式即可得到结果；（2）运用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可.【详解】(1)23322()x y xy -=23264x y x y =494x y (2)2342()(315 3)m m n m m +÷－－=2232423 315 3 3()()()m m m n m m m ÷+÷÷－－－－=. 21153mn m --+【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方、单项式乘以单项式以及多项式除以多项式的运算法则是解题关键. 17．，84ab -【分析】根据整式的乘法法则先化简代数式，再将a ，b 的值代入求解即可．【详解】解：原式=22222226a ab b a b b ab ++-+--=4ab -∵，2,1a b ==-∴原式=．42(1)8-⨯⨯-=【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值问题，解题的关键是掌握乘法公式的运算，熟悉运算法则．18．（1）；（2）2026a b -=【分析】（1）根据平方差公式得到，代入即可；224(2)(2)6a b a b a b -=+-=21a b +=（2）由（1）可解出a ，b 的值，再化简代数式计算即可．【详解】解：（1）224(2)(2)6a b a b a b -=+-=又∵ ，21a b +=∴26a b -=（2）由，解得 2126a b a b +=⎧⎨-=⎩7452a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵ ()()22224a b b a b a b b ++---+222222224a b ab b a b ab b =++---++2424ab b b =-+2(2)4b a b b =-+∵， 26a b -=52b =-∴原式． 512412488()202b b b b b =+=-+=-=-⨯-=【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，以及整式的化简求值问题，解题的关键是掌握运算法则．19．(1) (2)证明见解析；(3) 30; (4) 15.()2222222.a b c a b c ab ac bc ++=+++++【分析】(1)依据正方形的面积= ;正方形的面积=,可得等式;()2a b c ++222a +b +c +2ab+2ac+2bc.(2)运用多项式乘多项式进行计算即可;(3)依据 进行计算即可;()2222a b +c a b c -2ab-2ac-2bc,+=++(4)依据所拼图形的面积为: , 而 ,即可得到x, y, z 22xa yb zab ++()()222224284249a b a b a ab ab b a b ab ++=+++=++的值,即可求解.【详解】解: (1) 正方形的面积= ;大正方形的面积=()2a b c ++222a +b +c +2ab+2ac+2bc.故答案为:()2222222.a b c a b c ab ac bc ++=+++++(2)证明: (a+b+c) (a+b+c) ,= ,222aab ac ab b bc ac bc c ++++++++= .222222a b c ab ac bc +++++(3)()2222222,a b c a b c ab ac bc ++=++---= , ()2102ab ac bc -++= ,100235-⨯=30.故答案为: 30;(4)由题可知，所拼图形的面积为: ,22xa yb zab ++(2a+b) (a+4b)=222a 8ab ab 4b ,+++=222a 4b 9ab,++∴x=2，y=4, z=9.∴x+y+z=2+4+9=15.故答案为: 15.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．20．（1）－6x 2+18 xy ；（2）x 2+ x －2【分析】（1）先进行多项式乘以多项式运算，再合并同类项，即可得到答案；（2）先进行多项式乘以多项式运算得到x 2+2 x －x －2，再合并同类项，即可得到答案.【详解】（1）(x －3y)(－6x)=－6x 2+18 xy ；（2）(x －1)(x + 2)=x 2+2 x －x －2= x 2+ x －2【点睛】本题考查多项式乘以多项式和合并同类项，解题的关键是掌握多项式乘以多项式和合并同类项法则.21．0【分析】根据任何非0数的0次幂都等于1和逆用积的乘方计算即可.【详解】解： 55527(3)(14) ⨯-+-= ()55271(14)⨯+-= 5514114+-=()11+-=0【点睛】此题考查的是幂的性质，掌握任何非0数的0次幂都等于1和逆用积的乘方是解决此题的关键.。
【20套试卷合集】北京市海淀区名校2019-2020学年数学八上期中模拟试卷含答案
_-4_-1_4_3_2_1_02019-2020学年八上数学期中模拟试卷含答案一 精心选一选（每题3分，共30分）1.下列图形中，是轴对称图形的为 （ ）2.下列各组数中互为相反数的是（ ）A.2)2(2--与 B.382--与 C.2)2(2-与 D.22与-3．不用计算器，估算95的值应在（ ）A ． 8~9之间B ． 9~10之间C ． 11~12之间D ． 11~12之间4.如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角 形。
A ：2B ：3C ：4D ：55. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）A 1,2,3B 2,3,4C 3,4,5D 4,5,66．在3π-，－2，4，22，3.14，()02中无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 7. 和数轴上的点一一对应的是 （ ） A ．实数 B ．有理数 C ．整数 D ．无理数 8. 到三角形各个顶点距离都相等的点是这个三角形的 （ ） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条角平分线的交点9.已知等腰三角形的周长为15 cm ，其中一边长为7 cm ，则该等腰三角形的底边长为（ ） A.3 cm 或5 cmB.1 cm 或7 cmC.3 cmD.5 cm10．如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分．下列实数中，被墨迹覆盖的是（ ）A ．3-B ．11C ．7D ．27（第4题）EDCBA二 用心填一填（每空2分，共20分）11. 16的平方根是 ，－64的立方根是 ，25的算术平方根是_______ 12.按要求对下列各数取近似值 3.14159（精确到0.001）≈___________. 13.23 的绝对值是 14．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2．16. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 . 17. 如图所示，点为∠内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于点，交于点，已知，则△的周长为_______.18.如图，ΔABC 中，AB=AC=14cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，ΔDBC 的周长是24cm ，则BC= cm .第16题图 第18题第15题图三．耐心画一画（共10分）19（4分）．画出下列△ABC 关于直线l 的轴对称图形．A BCMDNOBEDCAB20. （6分）如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 四．细心解一解（本大题共60分）21.（每小题4分，共8分）求下列各式中的x（1）622=x ； （2）()813-=+x ．22．（6分）如图，∠DAC 是△ABC 的一个外角，AE 平分∠DAC ，且AE ∥BC ，那么AB 与AC 相等吗？为什么？23.（8分）如图，有一块四边形花圃ABCD ，∠A=90°，AD=6m ，AB=8m ，BC=24m ，DC=26m ，若在这块花圃上种植花草，已知每种植1m 2需50元，则共需多少元？DCB A25.（8分）已知，如图，四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，则结论：（1）MD=MB ；（2）MN ⊥BD 成立吗？请说明理由。
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级上学期期中数学试卷 (学生版+解析版)
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题）．1．下面计算正确的是( )A ．23a a a -÷=-B ．326a a a =gC ．224()a a =D ．2323()a b a b =2．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，第三边BC 的取值范围是( )A ．1013BC <<B ．412BC << C ．38BC <<D ．28BC <<4．下列多边形中，内角和为720︒的图形是( )A ．B ．C ．D ．5．已知点(2,3)P -关于y 轴的对称点为(,)Q a b ，则a b +的值是( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-6．等腰三角形的一个外角是100︒，它的顶角的度数为( )A ．80︒B ．20︒C ．80︒或20︒D ．80︒或50︒7．如图，ABC DCB ∆≅∆，若80A ∠=︒，40ACB ∠=︒，则ACD ∠等于( )A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．20︒8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a b +B ．4a b +C ．2a b +D ．3a b +9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=︒，则(AEF ∠= )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒10．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，CPE ∠的度数是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．若3a x =，4b x =，5c x =，则2a b c x +-= ．12．多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项，则m = ．13．若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 ．14．如图所示，在ABC ∆中，9AC cm =，DE 垂直平分AB ，如果DBC ∆的周长是16cm ，那么BC 的长度为 ．15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，6AB =，60B ∠=︒，若3DC BD =，则DC = ．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，20BAD ∠=︒，且AE AD =，则CDE ∠= 度．17．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为 ．18．样例：将多项式241x +加上一个整式Q ，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当4Q x =时，22241414(21)x Q x x x ++=++=+仿照样例，解答下面的问题：将多项式2116x +加上一个整式P ，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P = ．三.解答题（本题共54分）19．计算：（1）2332(2)x y xy -（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-20．因式分解：（1）228x -（2）321025x y x y xy -+21．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x -++---，其中13x =-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(2,3)A ，(1,0)B ，(1,2)C ．（1）在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C（2）直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标：1(A )，1(B )，1(C )；（3）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，直接写出所有符合条件的点D 坐标．23．已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B ．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM 上作一点C ，使AC AB =；②作ABM ∠的角平分线交AC 于D 点；③在射线CM 上作一点E ，使CE CD =，连接DE ．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并证明．24．如图，点B 、F 、C 、E 在直线l 上(F 、C 之间不能直接测量），点A 、D 在l 异侧，测得AB DE =，//AB DE ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DEF ∆≅∆；（2）若10BE m =，3BF m =，求FC 的长度．25．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC + AB AC +（填“>”、“ <”或“=” )（2）证明（1）中的结论．26．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x --++进行因式分解（4）当x = 时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最 值（填“大”或“小” )．请你求出这个最值27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：EAC EDC ∠=∠；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题：在下面四个选项中只有一个是正确的.（本题共30分，每小题3分）1．下面计算正确的是( )A ．23a a a -÷=-B ．326a a a =gC ．224()a a =D ．2323()a b a b = 解：A ．2a a a -÷=-，故本选项不合题意；B ．325a a a =g ，故本选项不合题意；C ．224()a a =，正确，故本选项符合题意；D ．2363()a b a b =，故本选项不合题意．故选：C ．2．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、是轴对称图形；B 、不是轴对称图形；C 、不是轴对称图形；D 、不是轴对称图形；故选：A ．3．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，第三边BC 的取值范围是( )A ．1013BC <<B ．412BC << C ．38BC <<D ．28BC << 解：第三边BC 的取值范围是5353BC -<<+，即28BC <<．故选：D ．4．下列多边形中，内角和为720︒的图形是( )A ．B ．C ．D ． 解：这个正多边形的边数是n ，则(2)180720n -︒=︒g ，解得：6n =．则这个正多边形的边数是六，故选：D ．5．已知点(2,3)P -关于y 轴的对称点为(,)Q a b ，则a b +的值是( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-解：根据两点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得(2)2a =--=，3b =．5a b ∴+=故选：C ．6．等腰三角形的一个外角是100︒，它的顶角的度数为( )A ．80︒B ．20︒C ．80︒或20︒D ．80︒或50︒ 解：①若100︒的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：18010080︒-︒=︒；②若100︒的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：18010080︒-︒=︒；∴它的顶角为：180808020︒-︒-︒=︒；∴它的顶角的度数为：80︒或20︒．故选：C ．7．如图，ABC DCB ∆≅∆，若80A ∠=︒，40ACB ∠=︒，则ACD ∠等于( )A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．20︒解：80A ∠=︒Q ，40ACB ∠=︒，60ABC ∴∠=︒，ABC DCB ∆≅∆Q ，60DCB ABC ∴∠=∠=︒，20ACD DCB ACB ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a b +B ．4a b +C ．2a b +D ．3a b + 解：由题可知，9张卡片总面积为2244a ab b ++，22244(2)a ab b a b ++=+Q ，∴大正方形边长为2a b +．故选：A ．9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=︒，则(AEF ∠= )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒ 解：Q 矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=︒，1805032652︒-︒∴∠=∠==︒， Q 矩形对边//AD BC ，180318065115AEF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：B ．10．如图，ABC∆是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，CPE∠的度数是()A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE PC+最小，⊥，Q是等边三角形，AD BC∆ABC∴=，PC PB∴+=+=，PE PC PB PE BE即BE就是PE PC+的最小值，Q是等边三角形，ABC∆∴∠=︒，BCE60=，Q，AE EC=BA BC∴⊥，BE AC∴∠=︒，BEC90∴∠=︒，EBC30Q，=PB PC∴∠=∠=︒，PCB PBC30∴∠=∠+∠=︒，CPE PBC PCB60故选：C．二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．若3a x =，4b x =，5c x =，则2a b c x +-=5． 解：3a x =Q ，4b x =，5c x =，2a b c x +-∴ 2()a b c x x x =÷g2345=⨯÷ 945=⨯÷365=． 故答案为：365 12．多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项，则m = 12 ．解：(8)(23)mx x +-2231624mx mx x =-+-23(224)16mx m x =-+-+，Q 多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 项，2240m ∴-=，解得：12m =，故答案为：12．13．若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 8± ．解：216x mx ++Q 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．14．如图所示，在ABC ∆中，9AC cm =，DE 垂直平分AB ，如果DBC ∆的周长是16cm ，那么BC 的长度为 7cm ．解：DE Q 垂直平分AB ，DB DA ∴=，DBC ∆Q 的周长是16cm ，16BC CD BD cm ∴++=，即16BC AC cm +=，又9AC cm =，7BC cm ∴=，故答案为：7cm ．15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，6AB =，60B ∠=︒，若3DC BD =，则DC = 9 ．解：AD BC ⊥Q ，90ADB ∴∠=︒，60B ∠=︒Q ，18030BAD ADB B ∴∠=︒-∠-∠=︒，6AB =Q ，132BD AB ∴==， 3DC BD =Q ，9DC ∴=，故答案为：9．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，20BAD ∠=︒，且AE AD =，则CDE ∠= 10 度．解：AB AC =Q ，∴设B C x ∠=∠=度，EDC a ∠=，DEA ∠Q 是DCE ∆的外角，故DEA x a ∠=+，在等腰三角形ADE 中，AE AD =，ADE x a ∴∠=+．在ABD ∆中，20x x a a +=++，解得10a =，则10CDE ∠=度．故填10．17．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为 2- ．解：22m n =+Q ，22()n m m n =+≠，22m n n m ∴-=-，m n ≠Q ，1m n ∴+=-，∴原式(2)2(2)m n mn n m =+-++222mn m mn mn n =+-++2()m n =+2=-．故答案为2-．18．样例：将多项式241x +加上一个整式Q ，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当4Q x =时，22241414(21)x Q x x x ++=++=+仿照样例，解答下面的问题：将多项式2116x +加上一个整式P ，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P = 464x 或8x 或8x - ．解：根据完全平方公式定义得，当464P x =时，组成的完全平方式可变为22(18)x +；当8P x =时，组成的完全平方式可变为2(14)x +；当8P x =-时，组成的完全平方式可变为2(14)x -；故答案为：464x 或8x 或8x -．三.解答题（本题共54分）19．计算：（1）2332(2)x y xy -（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-解：（1）2332(2)x y xy -2326(4)x y x y =g494x y =；（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-21153mn m =--+． 20．因式分解：（1）228x -（2）321025x y x y xy -+解：（1）22282(4)2(2)(2)x x x x -=-=+-；（2）32221025(1025)(5)x y x y xy xy x x xy x -+=-+=-．21．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x -++---，其中13x =-． 解：原式2(21)(2)(2)4(1)x x x x x =-++---222441444x x x x x =-++--+23x =-， 当13x =-时，原式269=-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(2,3)A ，(1,0)B ，(1,2)C ．（1）在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C（2）直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标：1(A 2-，3 )，1(B )，1(C )；（3）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，直接写出所有符合条件的点D 坐标．解：（1）如图1，△111A B C 即为所求；（2）由（1）可知，答案为：2-，3；1-，0；1-，2；（3）如图2所示，点D的坐标为(0,1)-或(2,1)-或(0,3)．23．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC AB=；②作ABM∠的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE CD=，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．解：（1）如图所示：（2）BD DE=，证明：BDQ平分ABC∠，1 12ABC∴∠=∠．AB AC=Q，4ABC∴∠=∠．114∴∠=∠．2Q，CE CD=∴∠=∠．23Q，∠=∠+∠4231∴∠=∠．342∴∠=∠．13∴=．BD DE24．如图，点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB DE∠=∠．=，//AB DE，A D（1）求证：ABC DEF∆≅∆；（2）若10BF m=，求FC的长度．=，3BE m【解答】（1）证明：//Q，AB DE∴∠=∠，ABC DEF在ABC∆中∆与DEFABC DEFAB DE A D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABC DEF ∴∆≅∆；（2）ABC DEF ∆≅∆Q ，BC EF ∴=，BF FC EC FC ∴+=+，BF EC ∴=，10BE m =Q ，3BF m =，10334FC m ∴=--=．25．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC+ > AB AC +（填“>”、“ <”或“=”)（2）证明（1）中的结论．解：（1）结论：BE EC AB AC +>+．故答案为>．（2）理由：在AF 上截取AH ，使得AH AC =．AC AE =Q ，CAF HAE ∠=∠，AE AE =，()EAC EAH SAS ∴∆≅∆，EC EH ∴=，EB EH BH +>Q ，EB EC AB AC ∴+>+．26．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x --++进行因式分解（4）当x = 时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最 值（填“大”或“小” )．请你求出这个最值解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2）22(41)(47)9x x x x +++++，设24x x y +=，原式(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =++4(2)x =+；（3）设22x x y -=，原式(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =-+4(1)x =-；（4）22(2)(22)1x x x x --+-222(2)2(2)1x x x x =-+--222(2)2(2)12x x x x =-+-+-22(21)2x x =-+-4(1)2x =--，故当1x =时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最小值，最小值为2-． 故答案为：C ；4(2)x +；1，小．27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：EAC EDC ∠=∠；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．解：（1）①根据题意补全图1，如图所示．②证明：Q 直线m 是线段AB 的垂直平分线， AC BC ∴=，EA EB =，EAC EBC ∴∠=∠．ACD ∆Q 为等边三角形，CD AC BC ∴==，EDC EBC ∴∠=∠，EAC EDC ∴∠=∠．（2）如图2中，结论：EB EC ED =+．理由：设CD 交AE 于J ，在EA 上取一点H ，使得EH ED =． ADC ∆Q 是等边三角形，DA DC AC ∴==，60ADC DCA ∠==︒， Q 直线m 垂直平分线段AB ， CA CB CD ∴==，CDB CBE ∴∠=∠，EA EB =Q ，CA CB =，EAB EBA ∴∠=∠，CAB CBA ∠=∠， EAC EBC ∴∠=∠，JDE JAC ∴∠=∠，DJE AJC ∠=∠Q ，DJE AJC∽，∴∆∆∴∠=∠=︒，60DEJ JCAQ，=ED EH∴∆是等边三角形，DEH=，ADJ HDE∴∠=∠，DH DE Q，DA DC=ADH CDE SAS∴∆≅∆，()∴=，AH EC∴=+=+，EA EH AH DE ECQ直线m垂直平分线段AB，∴=，EA EB∴=+．EB EC ED。
2019-2020学年北京市海淀区八一学校八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列四个图案中，不是轴对称图案的是()A. B. C. D.2.下列运算正确的是()A. x2⋅x3=x6B. x2+x2=2x4C. x6÷x2=x3D. (−2x)2=4x23.已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A=60°，∠B=25°，则∠BDC的度数是()A. 95°B. 90°C. 85°D. 80°4.下列计算正确的是()A. (a−b)2=a2−b2B. (3a−b)(3a+b)=3a2−b2C. (a+1)(a−2)=a2−2D. (a+4b)2=a2+8ab+16b25.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式(a+b)2=a2+2ab+b2的是()A. B.C. D.7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，MN的长为半径画弧，再分别以M、N为圆心，大于12两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是()①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的垂直平分线上；④若AD=2dm，则点D到AB的距离是1dm；⑤S△DAC：S△DAB=1：3．A. 2B. 3C. 4D. 58.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图)就是一例．这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数等等．有如下四个结论：①当a=−2，b=1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+ 4ab3+b4的值是1；②当a=−3，b=2时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是1；③当代数式a3+9a2+27a+27的值是1时，a的值是−2或−4；④当代数式a4+ 8a3+24a2+32a+16的值是1时，a的值是−1或−3.上述结论中，正确结论的序号为()A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.直接写出计算结果：(1)(a4)2=______；(2)(2ab2)3=______．10.点M(−1,−3)关于x轴对称的点的坐标是______．11.如果等腰三角形的一个角是80°，那么其底角是______ ．12.分解因式：x2−6x+9=______．13.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD=______．14.已知(a+b)2=32，a−b=2，则ab=______．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=3，则AC的长为______．16.如图，∠CAB为锐角，AB=a，点M在射线AC上，点B到射线AC的距离为d，BM=x，若△ABM的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是______．三、解答题（本大题共10小题，共68.0分）17.计算：(1)6x2⋅3xy．(2)(3x+1)(x−2)．(3)(6x4−9x3)÷3x2．(4)(x+2y)2．18.分解因式：(1)12xyz−9x2y2．(2)a2(x+y)−25(x+y)．19.如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AC//DF．20.先化简，再求值：(2a+b)(2a−b)−4a(a−3b)，其中a=−1，b=2．21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．22.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)；(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′______，B′______，C′______．(3)在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短．(保留作图痕迹)(4)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个．23.在等边△ABC中点P，Q是直线BC上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，AP=AQ．(1)如图1，若P，Q是BC边上两点，求证：BP=CQ.(2)点Q关于直线AC的对称点为M，若△PQM是等腰三角形，直接写出∠PMQ的度数．24.在学习平方根的过程中，同学们总结出：在a x=N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N=a x(a> 0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logaritℎm)，记作：x=log a N，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：(1)∵21=2，∴log22=1；∵22=4，∴log24=2；∵23=8，∴log28=3；∵24=16，∴log216=______；计算：log232=______；(2)计算后小明观察(1)中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：log24+log28=______；(用对数表示结果)(3)于是他猜想：log a M+log a N=______(a>0且a≠1，M>0，N>0)，请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．(4)根据之前的探究，直接写出log a M−log a N=______．25.已知：如图1，△ABC中，D为AC边上一点，连接BD，∠ABD+∠BDC=180°，点E为AB边上一点，连接CE与BD交于点F，且点F为CE中点．(1)求证：BE=CD．(2)若AB=BD，点E为AB中点，点P是DB延长线上一点，且BP=BE，连接PE并延长交AC于点Q，EQ=3，在图2中补全图形并求PE的长．26.平面直角坐标系中，点A、B分别在x，y轴上，∠ABC=90°．(1)如图1，点M是AC与y轴交点，且MA=MB，求证：∠C=∠MBC．(2)如图2，若∠ABO=30°，以AB为一边作等边△ABD，使点C与点D在AB两侧，点C恰好在OB的垂直平分线PQ上，求证AC=OD．(3)如图3，在(2)的条件下，连接CD交AB于点G，求证点G是CD中点．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D【解析】解：A.x2⋅x3=x5，故本选项不合题意；B.x2+x2=2x2，故本选项不合题意；C.x6÷x2=x4，故本选项不合题意；D.(−2x)2=4x2，故本选项符合题意；故选：D．选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】解：在△ABE和△ACD中，{AE=AD ∠A=∠A AB=AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠C=∠B，∵∠B=25°，∴∠C=25°，∵∠A=60°，∴∠BDC=∠A+∠C=85°，故选：C．根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C=∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC=∠A+∠C，代入求出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠BDC=∠A+∠C．4.【答案】D【解析】解：A.(a−b)2=a2+b2−2ab，故选项错误，不符合题意；B.(3a−b)(3a+b)=(3a)2−b2，故选项错误，不符合题意；C.(a+1)(a−2)=a2−a−2，故选项错误，不符合题意；D.(a+4b)2=a2+8ab+16b2，故选项正确，符合题意．故选：D．根据平方差公式、完全平方公式、乘法运算法则即可求出答案．本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式，本题属于基础题型．5.【答案】B【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=30°，故选：B．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DBA=∠A=40°，计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：对于等式(a+b)2=a2+2ab+b2，可看作边长为(a+b)的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．故选：B．根据矩形的性质，利用边长为(a+b)的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成可对各选项矩形判断．本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．7.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，根据作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，故①正确；∴∠DAC=∠DAB=30°，∵∠C=90°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠DAB=∠B=30°，∴DA=DB，∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；∵∠DAC=30°，∴DC=1AD=1dm，2根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∴点D到AB的距离是1dm，故④正确；∵∠B=30°，∴AB=2AC，∵点D到AB的距离=DC=1dm，∴S△DAC：S△DAB=1：2，故⑤错误．综上所述：正确的有①②③④，共4个．故选：C．根据△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，可得∠BAC=60°，根据作图过程可得AD是∠BAC 的平分线，可以判断①；再根据直角三角形两个锐角互余可以判断②；根据DA=DB，可以判断③；根据角平分线的性质可以判断④；根据高相等，面积的比等于底与底的比可以判断⑤，进而可得结论．本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是综合掌握以上知识．8.【答案】D【解析】解：∵a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(a+b)4，∴当a=−2，b=1时，a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(−2+1)4=1，所以①正确；∵a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3，∴当a=−3，b=2时，a3+3a2b+3ab2+b3=(−3+2)3=−1，所以②错误；∵a3+9a2+27a+27=a3+3a2⋅3+3a⋅32+33=(a+3)3，∴当代数式a3+9a2+27a+27的值是1，(a+3)3=1，解得a=−2，所以③错误；∵a4+8a3+24a2+32a+16=a4+4⋅a⋅2+6⋅a2⋅22+4⋅a⋅23+24=(a+2)4，∴a4+8a3+24a2+32a+16的值是1时，(a+2)4=1，解得a=−1或−3，所以④正确．故选：D．利用“杨辉三角”得到a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(a+b)4，再把a=−2，b=1代入=(a+b)4中计算可对①进行判断；由于a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3，则可把a=−2，b=1代入(a+b)3中计算可对②进行判断；把a3+9a2+27a+27变形为a3+3a2⋅3+3a⋅32+33，则a3+9a2+27a+27=(a+ 3)3，然后解方程(a+3)3=1可对③进行判断；把a4+8a3+24a2+32a+16变形为a4+4⋅a⋅2+6⋅a2⋅22+4⋅a⋅23+24，则a4+8a3+24a2+32a+16=(a+2)4= 1，然后解方程(a+2)4=1可对④进行判断．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了规律型的解决方法．9.【答案】a88a3b6【解析】解：(1)(a4)2=a4×2=a8；(2)(2ab2)3=23⋅a3⋅(b2)3=8a3b6．故答案为：a8；8a3b6．(1)幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，据此计算即可；(2)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．10.【答案】(−1,3)【解析】解：点M(−1,−3)关于x轴对称的点的坐标是(−1,3)．故答案为：(−1,3)．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．11.【答案】50°或80°【解析】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°，解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故答案为：50°或80°．根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．12.【答案】(x−3)2【解析】解：原式=(x−3)2．故答案为：(x−3)2原式利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13.【答案】30°【解析】解：由题意得：D在AB的垂直平分线上．∴DB=DA．∴∠B=∠BAD=50°．∴∠CAD=∠BAD−∠BAC=50°−20°=30°．故答案为：30°．已知∠BAC=20°，欲求∠CAD，需求∠BAD.由D在AB的垂直平分线上，得DB=DA，那么∠B=∠BAD=50°，从而解决此题．本题主要考查线段垂直平分线的性质以及角的和差关系，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．14.【答案】7【解析】解：∵a−b=2，∴(a−b)2=a2+b2−2ab=4．∵(a+b)2=32，∴a2+b2+2ab=32．∴(a+b)2−(a−b)2=4ab=28．∴ab=7．故答案为：7．由a−b=2，得(a−b)2=a2+b2−2ab=4.由(a+b)2=32，得a2+b2+2ab=32，那么(a+b)2−(a−b)2=4ab=28，从而解决此题．本题主要考查完全平方公式以及整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式以及整式的加减运算法则是解决本题的关键．15.【答案】4.5【解析】解：∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠DBP=30°，∴PB=PA=3，PB=1.5，在Rt△PBD中，PD=12∴AD=AP+PD=3+1.5=4.5．故答案为4.5．先利用三角形内角和和角平分线定义计算出∠BAD=30°，∠ABP=∠DBP=30°，则PB=1.5，然后计算PB=PA=3，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到PD=12AP+PD即可．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．16.【答案】x=d或x≥a【解析】解：当BM=d时，即x=d，根据“HL”可判断△ABM的形状、大小是唯一确定的；当BM≥a时，即x≥a，以B为圆心，BM为半径画弧，此弧与射线有唯一公共点，则△ABM的形状、大小是唯一确定的，综上所述，x的取值范围为x=d或x≥a．故答案为x=d或x≥a．以B为圆心，BM为半径画弧，当BM=d时，Rt△ABM唯一确定；当BM≥a时，此弧与射线有唯一公共点，则△ABM的形状、大小是唯一确定的．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．17.【答案】解：(1)6x2⋅3xy=18x3y.(2)(3x+1)(x−2)=3x2−6x+x−2=3x2−5x−2．(3)(6x4−9x3)÷3x2=6x4÷3x2−9x3÷3x2=2x2−3x．(4)(x+2y)2=x2+4y2+4xy．【解析】(1)利用单项式乘以单项式计算法则进行计算；(2)利用多项式乘以多项式计算法则，再算加减即可；(3)多项式除以单项式计算法则进行计算，然后再计算减法即可；(4)利用完全平方公式计算即可．此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．18.【答案】解：(1)原式=3xy(4z−3xy)；(2)原式=(x+y)(a2−25)=(x+y)(a+5)(a−5)．【解析】(1)直接提公因式3xy即可；(2)先提公因式(x+y)，再利用平方差公式即可进行因式分解．本题考查提公因式与公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．19.【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵{AB=DE AC=DF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠F=∠ACB，∴AC//DF．【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于常考题型；熟练掌握全等三角形的判定方法是关键，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，还要注意已知的边或角是否为所要证明的三角形的边或角，如果不是要加以证明，必要时添加适当辅助线构造三角形．根据BE=CF得：BC=EF，由SSS证明△ABC和△DEF(SSS)，得∠F=∠ACB，可以得出结论AC//DF．20.【答案】解：(2a+b)(2a−b)−4a(a−3b)，=4a2−b2−4a2+12ab=−b2+12ab，当a=−1，b=2时，原式=−22+12×(−1)×2=−4−24=−28．【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．21.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．【解析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．22.【答案】(4,1)(2,3)(−1,−2)10【解析】解：(1)如图1：(2)由图可知A(−4,1)，B(−2,3)，C(1,−2)，∴A点关于y轴对称的点为(4,1)，B点关于y轴对称的点为(2,4)，C点关于y轴对称的点为(−1,−2)，故答案为：(4,1)，(2,4)，(−1,−2)；(3)如图2：作A点关于x轴的对称点A′′，连接A′′B交x轴于点P，∴AP+BP=A′′P+BP=A′′B，此时PA+PB值最小；(4)如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，故答案为10．(1)由点的对称性，作出图形即可；(2)关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；(3)作A点关于x轴的对称点A′′，连接A′′B交x轴于点P，P点即为所求；(4)利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵AP=AQ，∴∠APC=∠AQB，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，在△APB和△AQC中，{∠APB=∠AQC ∠B=∠CAB=AC∴△APB≌△AQC(AAS)，∴BP=CQ；(2)如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴∠MQC+∠C=90°，∴∠MQC=30°，∵△PQM是等腰三角形，∴PQ=MQ，∴∠PMQ=∠MPQ=15°．【解析】(1)根据等边对等角得到∠APC=∠AQB，∠APB=∠AQC，由等边三角形∠B=∠C，AB=AC，可得△APB≌△AQC，即可得到结论；(2)根据题意画出图形，根据等边三角形的性质可得∠CQM=30°，由等腰三角形的性质即可解答即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质是解题的关键．24.【答案】45log232log a MN MN【解析】解：(1)∵24=16，∴log216=4；∵25=32，∴log232=5；故答案为：4，5；(2)log24+log28=2+3=5=log232，故答案为：log232；(3)log a M+log a N=log a MN，验证：设log a M=x，log a N=y，则a x=M，a y=N，∴a x▪a y=a x+y=MN，∴log a a x+y=log a MN=x+y，∴log a MN=log a M+log a N，故答案为：log a MN；(4)根据之前的探究，可得log a M−log a N=M．N．故答案为：MN(1)根据对数与乘方之间的关系求解可得结论；(2)利用对数的定义求解可得结论；(3)根据所得结论进行推导可得结论；(4)根据之前的探究，可得log a M−log a N=M．N本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．25.【答案】解：(1)如图，过点C作CM//AB，交BD的延长线于点M，∵∠ABD+∠BDC=180°，∠ADB+∠BDC=180°，∠ADC=∠MDC，∴∠ABD=∠ADB=∠MDC，又∵AB//CM，∴∠ABD=∠M，∴∠M=∠MDC，∴CD=CM，∵点F是CE中点，∴EF=CF，又∵∠EFB=∠CFM，∴△BEF≌△MCF(AAS)，∴BE=CM，∴BE=CD；(2)补图如图，过点B作BN//AC，交PQ于点N，由(1)已证，∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，又∵AB=BD，∴AB=AD=BD，∴∠A=∠ABD=60°，∵BN//AC，∴∠ABN=∠A=60°，∵点E是AB中点，∴AE=BE，又∵∠BEN=∠AEQ，∴△AEQ≌△BEN(ASA)，∴EN=EQ=3，∵PE=BE，∠ABD=60°，∴∠P=∠PEB=30°，∴∠BNP=90°，∴PN=NE=3，∴PE=PN+NE=6．【解析】(1)过点C作CM//AB，交BD的延长线于点M，利用邻补角及平行线的性质分析求得∠M=∠MDC，利用AAS定理判定△BEF≌△MCF，从而结合全等三角形和等腰三角形的性质使问题得证；(2)过点B作BN//AC，交PQ于点N，结合全等三角形和等边三角形的判定和性质分析求解．本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．26.【答案】证明：(1)如图1中，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA，∵∠ABC=90°，∴∠MAB+∠C=90°，∠ABM+∠CBM=90°，∴∠C=∠MBC；(2)如图2中，设PQ交OB于点F．∵△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=60°，∵∠ABO=30°，∴∠DBO=90°=∠ABC，∴∠CBO=60°，∵PQ垂直平分线段OB，∴BF=OF，∠CFB=90°，∴∠BCF=30°，∴BC=2BF，∴OB=BC，∴△DBO≌△ABC(SAS)，∴OD=AC；(3)如图3中，设PQ交AB于点T．∵CT//OA，∴∠CTB=∠BAO，∵∠AOB=∠CBT=90°，BC=OB，∴△AOB≌△TBC(AAS)，∴AB=CT，∵BD=AB，∴BD=CT，∵∠DBJ=∠CTJ，∠DJB=∠CJT，∴△DBJ≌△CTJ(AAS)，∴DG=CG．【解析】(1)利用等角的余角相等证明即可；(2)如图2中，设PQ交OB于点F.首先证明DB=BA，BO=BC，再证明△DBO≌△ABC(SAS)，可得结论；(3)如图3中，设PQ交AB于点T.证明△AOB≌△TBC(AAS)，推出AB=CT=BD，再证明△DBJ≌△CTJ(AAS)，可得结论．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。