高二数学教案：双曲线的几何性质
双曲线的几何性质教案
吕 叔 湘 中 学 教 师 备 课 纸高 二 年级 数学 学科 时间 编号（ ）教学过程设计【授课】 一、复习双曲线的定义及标准方程.〖基础知识〗二、双曲线的几何性质 由双曲线的标准方程12222=-by ax （a ＞b ＞0）来研究双曲线的几何性质：1.范围：2.对称性：3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点. 在双曲线12222=-by ax 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-bya x的顶点.令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
⑴注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
⑵实轴：________________________________________________________虚轴：________________________________________________________ 在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点.4．离心率定义：ac e =∈（1，+∞）称为双曲线的离心率。
由于c e a==故e 越大，双曲线__________；e 越小，双曲线的_________。
5．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线12222=-by ax 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？——距离。
只要证明什么？——距离趋向于0.求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程.6．等轴双曲线：⑴定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式：a b =⑵等轴双曲线的性质：①渐近线方程为：x y ±= ；②渐近线互相垂直。
高中数学232 双曲线的几何性质 教案
§双曲线的几何性质要点精讲1.本节用双的标准方程研究其几何性质，目的有二：①掌握双曲线的基本性质，掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义，以及a,b,c,e之间的相互关系；②通过对方程的讨论，领悟解析几何是怎样用代数方法来研究曲线的性质的．2.研究曲线的X围运用的是函数思想，可以将y解出来，通过研究定义域、值域确定双曲线的X围(当然应分别讨论x轴上方、下方的情形)．3.‘‘离心率’’这个名词是很形象的：在固定a后，焦点距离中心越远，双曲线的开口越大.4.在运用双曲线的定义解题时，离心率确定双曲线的形状，离心率越大，双曲线的开口越大.典型题解析【例1】双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，且与圆x2＋y2＝5交于点P(2,－1)，如果圆在点P的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线，求双曲线的方程．【解析】【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为16，准线方程为29±=y ； (2)虚轴长为12，离心率为45； (3)顶点间的距离为6，渐近线方程为x y 23±=． 【分析】要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a 和b ． 【解】（１）由准线方程为29±=y ，可知双曲线的焦点y 在轴上, 设所求双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.29,1622c a c 解得6=a ， 8=c ．所以 283664222=-=-=a c b ．因此，所求双曲线的方程为1283622=-x y ． （２）当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为2222by a x -=1．由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.45,122a c b 解得8=a ，10=c ．∴3664100222=-=-=a c b ．所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为1366422=-y x ． 同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为1366422=-x y ． 【点评】因此，所要求的双曲线的方程为1366422=-y x 和1366422=-x y ． （3）方法一：当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为2222by a x -=1由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.23,122a b a 解得3=a ，29=b ．所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为1481922=-y x ． 同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为14922=-x y ． 因此，所要求的双曲线的方程为1481922=-y x 和14922=-x y ． 方法二：设以x y 23±=为渐近线的双曲线的方程为)0(9422≠=-λλy x 当λ＞０时，642=λ，解得，λ＝49． 此时，所要求的双曲线的方程为1481922=-y x ．当λ＜０时，692=-λ，解得，λ＝－１． 此时，所要求的双曲线的方程为14922=-x y ．因此， 所要求的双曲线的方程为1481922=-y x 和14922=-x y ． 【点评】已知渐近线方程为x a by ±=,可设双曲线λby a x =－2222,然后用待定系数法试求λ.【例3】(1)求证：双曲线)0,(2222≠λ∈λλ=-R b y a x 与双曲线12222=-by a x 有共同的渐近线．(2)求与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线·且经过点M(3，－2)的双曲线方程． 【解析】【例4】一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在 B 处迟2 s ．若声速为340 rn ／s ． (1)爆炸点在什么曲线上?(2)已知A ，B 两地相距800 m ，试求这条曲线的方程． 【解析】 (1)设M 为爆炸点，由题意得MA －MB=340×2=680．因为爆炸点离A 点比离B 点距离更远，所以爆炸点在以A ，B 为焦点且距B 较近的双曲线的一支上(如图)． (2)如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系xoy ．设M(x ，y)为曲线上一点．由于MA －MB =680，得2a=680，即a=340． 由于AB=800，得2c=800，即c=400．所以b 2=c 2－a 2=44400 因为MA －MB=680>0，所以x ＞0．因此，所求曲线的方程为x 2115600―y 244400=1(x ＞0)【点评】确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重要作用．从本例看出，利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置．要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢? 如果再增设一个观测点C ，利用B 、C （或A 、C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的方程、性质在实际问题中的应用．【例5】已知：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线的夹角为2θ ,离心率为e ．求证：cos e1=θ．【分析】【点评】【解】【例6】如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值X 围. 【解析】如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭⎫⎝⎛h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=++-=λλλλλλ11221200h y c c c x ， 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =．由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ace =代入双曲线方程得 14222=-b h e ，①11124222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ② , 由①式得14222-=e bh ③ . 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故1312+-=e λ．【点评】由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e .所以双曲线的离心率的取值X 围为[]10 , 7．【点评】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力.规律总结1. 双曲线中有关的参数主要有四个：实轴的长2a ，虚的长2b ，半焦距c ，离心率e ．在求双曲线的标准方程时，已知条件常常和这些系数有关，而这些系数又不是相互独立的，它们之间有以下两个关系：222=+c b a 和ac e =2. 双曲线的几何性质集中体现在双曲线的中心、顶点、焦点、对称轴、准线和离心率上；它们又通过参数a ， b ， c ，ac ，c a 2来描述的．3. 双曲线)0>,0>(1=2222b a by －a x 上的若点P （00,y x ）在右支上的两个焦半径分别为011+==ex a PF r 与==22PF r a －ex 0,若点P （00,y x ）在左支上的两个焦半径分别为)+(==011ex a －PF r 与==22PF r －(a －ex 0).4. 对直线和双曲线的位置关系与方程组的转换、两交点存在与判别式△＞0及韦达定理的转换.。
高中数学双曲线几何性质教案
高中数学双曲线几何性质教案
一、教学目标：
1. 了解双曲线的定义和基本性质；
2. 能够根据给定条件解决双曲线相关问题；
3. 掌握双曲线的方程和图像特点。
二、教学内容：
1. 双曲线的定义和基本性质；
2. 双曲线的方程和图像特点；
3. 双曲线的焦点、准轴、渐近线等相关概念。
三、教学重点：
1. 理解双曲线的几何性质；
2. 掌握双曲线的方程和图像特点。
四、教学难点：
1. 理解双曲线方程中参数对图像的影响；
2. 能够灵活运用双曲线的性质解决问题。
五、教学方法：
1. 讲解结合示例；
2. 提问互动，引导学生思考；
3. 小组讨论，合作解题。
六、教学过程：
一、导入
1. 欢迎学生，引入双曲线的定义和概念；
2. 让学生回顾椭圆和抛物线的性质，引申到双曲线。
二、讲解
1. 介绍双曲线的定义和一般方程；
2. 讲解双曲线的图像特点和性质；
3. 详细解释双曲线的焦点、准轴、渐近线等重要概念。
三、练习
1. 带学生做几道双曲线方程求解问题；
2. 引导学生分组合作，解决双曲线相关实际问题。
四、巩固
1. 总结双曲线的性质和特点；
2. 提醒学生复习重点内容，做好准备。
七、作业布置
1. 布置相关习题，巩固所学知识；
2. 提供实际问题，让学生应用双曲线知识解答。
八、评价与反思
1. 对学生的学习情况进行评价；
2. 总结教学过程，反思教学方法，提出改进意见。
以上是本节课的教学内容，希望同学们能认真学习，掌握双曲线的性质和应用，成为数学的高手！。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。
二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。
三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。
双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。
双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。
两条分支无限延伸，且永不相交。
2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。
3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。
四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。
2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。
3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。
4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。
苏教版选修2《双曲线的几何性质》教案及教学反思2024
苏教版选修2《双曲线的几何性质》教案及教学反思教案简介本教案主要针对高中数学选修2的“双曲线的几何性质”主题进行设计，旨在通过对双曲线的定义、性质和相关定理的学习，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学时长：2课时教学目标1.学习双曲线的定义并理解其基本性质；2.掌握双曲线的基本方程及其相关变形；3.理解双曲线的渐近线及其性质；4.学习双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理；5.能够应用所学知识解决相关问题。
教学重点与难点教学重点1.双曲线的定义及基本性质；2.双曲线的基本方程及其相关变形；3.双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理。
教学难点1.双曲线的定义及其与其他曲线的区别；2.双曲线的渐近线及其性质；3.焦点、准线、离心率等概念的应用。
教学内容与方法教学内容第一节双曲线的定义与基本性质1.双曲线定义；2.双曲线的基本性质。
第二节双曲线的基本方程与相关变形1.双曲线的标准方程；2.双曲线的一般方程；3.双曲线的其他相关变形。
第三节双曲线的渐近线与性质1.双曲线渐近线的定义；2.双曲线渐近线的方程；3.双曲线渐近线的性质。
第四节双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理1.双曲线的焦点；2.双曲线的准线；3.双曲线的离心率；4.相关定理。
教学方法1.板书示范法；2.讲解演示法；3.课堂练习与讨论。
教学反思本节课是高中选修2数学课程中讲解双曲线的性质和相关定理，旨在提高学生的证明能力和解决实际问题的能力。
整节课程涵盖了双曲线的定义、性质、基本方程及其变形、渐近线、焦点、准线、离心率等知识点，并通过讲解和课堂练习，引导学生逐步掌握这些概念和定理。
本节课重点在于帮助学生理解双曲线的性质与定义。
因此，我在课前准备了充分的教学材料，包括简明明了的课堂笔记和一些示例问题。
由于双曲线这个概念对学生来说可能比较抽象，因此我通过板书、图解、例题等多种方式演示双曲线的性质和特点，帮助学生理解双曲线的概念，并通过多次示范及讨论进行自主思考和总结。
数学高二-选修2-1 双曲线的几何性质3 教案
3.3.2双曲线的几何性质（一）一、教学目标：１、掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率；２、掌握双曲线标准方程中a、b、c、e之间的关系。
二、教学重点：双曲线的几何性质；难点：双曲线的渐近线。
三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．四、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格1.范围：双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3.顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点. 线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a 叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 ①我们把两条直线y=±x a b 叫做双曲线的渐近线；②从图8—16可以看出，双曲线12222=-b y a x 的各支向外延伸时，与直线y=±x a b 逐渐接近.③“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=xa x ab (22->a).设M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线y=x a b 上与M 有相同横坐标的点，则Y=xa b .∵y=Y x a b x a x a b a x a b =-=- 222)(1∴)(22a x x a b y Y MN --=-=222222))((a x x a x x a x x a b -+-+--⋅=22a x x ab -+= 设MQ 是点M 到直线y=x a b 的距离，则MQ <MN ，当x 逐渐增大时，MN 逐渐减小，x 无限增大，MN 接近于O ，MQ 也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON.在其他象限内，也可证明类似的情况.（上述内容用幻灯片给出）.④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=a c，叫双曲线的离心率.说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.（三）、例题探析：例题：求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程化为标准方程.1342222=-x y .由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3.5342222=+=+=b a c .焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.离心率45==a c e .渐近线方程为y x 43±=，即x y 34±=.说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点.可让学生比较得出（作为练习）（四）、小结：本课我们学习了双曲线的几何性质，要求：１、掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率；２、掌握双曲线标准方程中a 、b 、c 、e 之间的关系。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
高二数学上 8.4 双曲线的简单几何性质优秀教案
8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点：渐近线几何意义的证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222by a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念 教学过程：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-by a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
数学教案-双曲线的几何性质
数学教案－双曲线的几何性质1. 引言在高中数学课程中，双曲线是重要的内容之一。
本教案将帮助学生了解双曲线的几何性质，包括双曲线的图像特征、焦点与准线的关系以及双曲线的切线方程等内容。
通过本教案的学习，学生将更好地理解和应用双曲线的几何性质。
2. 双曲线的定义双曲线是一类二次曲线，其定义通过焦点与准线之间的距离差等于常数来描述。
双曲线可分为两支，其图像形状类似于打开的弓形，两支曲线相互对称。
3. 双曲线的图像特征双曲线的图像特征包括离心率、焦点位置以及渐近线。
3.1 离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。
对于双曲线，离心率大于1，它的两个焦点在x轴上，曲线从（e，0）和（-e，0）分别延伸；离心率小于1，焦点在y轴上，曲线从（0，e）和（0，-e）分别延伸。
3.2 焦点位置双曲线的焦点是离心率与准线之间距离差为常数的固定点。
根据离心率的大小，焦点有不同的位置。
3.3 渐近线双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支无限接近，但永远不会相交。
渐近线的方程可以通过求极限来得到。
对于双曲线的两支，右支的渐近线为y=x/e，左支的渐近线为y=-x/e。
4. 焦点与准线的关系焦点与准线是双曲线的两个重要元素，它们之间有一定的关系。
4.1 焦点到准线的距离关系对于双曲线上任意一点P(x, y)，其到焦点F1的距离减去到准线L的距离的差为常数。
即PF1-PL=2a，其中a为常数。
4.2 焦点与准线的联立方程焦点与准线的位置可以通过联立方程来求解。
设焦点的坐标为(F1, 0)和(F2, 0)，准线的方程为y=±a/e，其中e为离心率，a为焦点到准线的距离。
5. 双曲线的切线方程双曲线的切线方程可以通过求导得到。
设双曲线的方程为y2/a2 - x2/b2 = 1，对其求导可以得到斜率的表达式。
然后将斜率代入点斜式方程，即可得到切线方程。
6. 总结通过本教案的学习，我们了解了双曲线的几何性质，包括双曲线的图像特征、焦点与准线的关系以及双曲线的切线方程。
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高二数学教案：双曲线的几何性质
【摘要】鉴于大家对十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文“高二数学教案：双曲线的几何性质”，供大家参考!
本文题目：高二数学教案：双曲线的几何性质
1.1.2 双曲线的几何性质
一、课前预习目标
理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征.
二、预习内容
1、双曲线的几何性质及初步运用.
类比椭圆的几何性质.
2.双曲线的渐近线方程的导出和论证.
观察以原点为中心，2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.。