求积分
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法有：
求积分的四种方法是：换元法、对称法、待定系数法、分部积分法。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
求定积分的方法有换元法、对称法、待定系数法；求不定积分的方法有换元法和分部积分法。
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
定积分对称性公式：f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式，只要x有一个正一个负，就有对称性。
至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。
如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几种常用求积分方法以及特别说明
几种常用求积分方法以及特别说明在微积分中，求积分是一个非常重要的问题，求解各种函数的不定积分可以帮助我们研究函数的性质和解决各种实际问题。
下面将介绍几种常用的求积分方法。
1. 分部积分法（Integration by Parts）利用分部积分法可以将一个复杂的积分转化为一个相对简单的积分。
分部积分法公式如下所示：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中u(x)和v(x)是两个可微函数，u'(x)和v'(x)是它们的导数。
例如，对于积分∫x sin(x) dx，我们可以让u(x) = x，v'(x) = sin(x)，然后根据分部积分法公式计算。
这样，原积分就变为了相对简单的积分∫sin(x)dx = -cos(x)。
通过分部积分法，我们成功地将原积分转化为了一个更容易求解的积分。
需要注意的是，在应用分部积分法时，我们通常选择u(x)和v'(x)使得转化后的积分更容易求解。
2. 代换法（Substitution）代换法是一种常用的求积分方法，通过引入一个新的变量来进行积分的转化。
设有函数F(u)和g(x)满足F'(u)=g(x)，那么根据链式法则有：∫g(x)dx = ∫F'(u)dx = ∫F'(u)u'(x)dx = ∫F'(u)du这样，原积分就转化为了相对简单的∫F'(u)du。
例如，对于积分∫x^2(1+x^3)^4dx，我们可以令u = 1+x^3，那么原积分就变为了∫(u-1)^4du。
通过这种代换，我们成功地将原积分转化为了一个更容易求解的积分。
需要注意的是，在进行代换时，我们通常选择使得转化后的积分更容易求解的变量替换。
3. 偏导法（Differentiation under the Integral Sign）偏导法是一种特殊的求积分方法，适用于形如∫F(x, t)f(t)dt的积分。
高数求解积分技巧例题
高数求解积分技巧例题积分是高等数学中的重要内容，有时我们需要运用一些技巧来解决复杂的积分问题。
本文将介绍几个常见的积分技巧，并通过例题来说明。
1. 分部积分法分部积分法是求解含有两个函数相乘的积分的方法。
其公式为：∫uvdx = ∫udv + ∫vdu其中，u和v是原函数。
例题：求解∫x*sin(x)dx解：选择 u = x， dv = sin(x)dx，则 du = dx，v = -cos(x)根据分部积分法的公式，可以得到：∫x*sin(x)dx = ∫udv + ∫vdu= x*(-cos(x)) - ∫(-cos(x))dx= -x*cos(x) + ∫cos(x)dx= -x*cos(x) + sin(x) + C其中，C为常数。
因此，∫x*sin(x)dx = -x*cos(x) + sin(x) + C2. 换元积分法换元积分法是将积分中的变量进行替换，从而简化积分问题的方法。
其公式为：∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(u)du其中，u = g(x)，du = g'(x)dx。
例题：求解∫x*e^(x^2)dx解：选择 u = x^2，du = 2xdx。
则原积分可以化简为：∫x*e^(x^2)dx = (1/2)∫e^udu= (1/2) ∫e^udu= (1/2) e^u + C= (1/2) e^(x^2) + C其中，C为常数。
因此，∫x*e^(x^2)dx = (1/2) e^(x^2) + C3. 三角函数积分三角函数积分是指对于包含三角函数的积分问题的解决方法。
a. ∫sin^n(x)dx 或∫cos^n(x)dx（n为正整数）当 n 为奇数时，可以利用递推关系进行求解。
即，∫sin^n(x)dx = -1/n*sin^(n-1)(x)*cos(x) + (n-1)/n*∫sin^(n-2)(x)dx当 n 为偶数时，可以利用换元积分法进行求解。
积分 求法
积分求法积分是微积分中的重要概念之一，是对一定范围内函数曲线的面积或累加结果的计算过程。
在数学、物理学、工程学、经济学、统计学等领域中，积分的应用非常广泛。
本文将为读者介绍积分的求法及其应用。
一、基本积分法1. 常数函数积分法当被积函数为常数函数时，积分结果是该常数与积分上限和下限的差值。
即：∫a^b Cdx = C(b-a)对于幂函数f(x) = xn，当n不等于-1时，求积分可以用幂函数的求导公式，即：∫xn dx = 1/(n+1) * xn+1 + C其中，C为任意常数。
当n等于-1时，求积分则需要注意，即：一般地，对于任何形如ae^x的函数，也可采用同样的方法求积分。
∫sinx dx = -cosx + C有时候我们还需要用到以下的积分恒等式：二、分部积分法当被积函数难以被分解或者分式分解时，可以采用分部积分法。
分部积分法中，我们会将原函数分解成两个部分：一个部分为一个简单的函数，另一个部分为能够处理积分的部分，其代表式为：∫u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫v(x) u'(x) dx其中，u(x)和v(x)代表积分中的两个函数。
三、换元积分法最后，我们介绍一种常用的积分求解方法：换元积分法。
换元积分法有时也称为u-代换法，即将被积函数中的一个未知数用另一个未知数来表示，从而更方便进行积分的计算。
换元积分法的一般步骤为：1. 找到被积函数中的一个未知数x，以及导数为此式的另一未知数t2. 令t = g(x)，然后用x的函数表示g(x)3. 对新积分的被积函数中的t进行处理得到的积分求解公式例如，若有被积函数：∫f(x) dx现在设t = g(x)，则有x = g^(-1)(t)，则：其中，g'(x)为g(x)的导数。
换元积分法常常应用于函数积分中多个未知数、复杂函数、三角函数等情况。
四、应用积分是微积分的重要组成部分，应用非常广泛。
在数学中，积分被用于求解函数曲线的面积、体积、长度、质心等问题；在物理学中，积分被用于计算质量、力、功等物理量；在工程学中，积分被用于计算电路、信号处理、噪音抑制等问题，广泛应用于控制理论、电路分析、机器学习等领域。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
求积分的方法
求积分的方法一、换元法。
换元法是求解不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有较为复杂的函数时，可以通过引入新的变量来简化被积函数，从而更容易进行积分运算。
换元法的关键是选择合适的替换变量，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。
例如，当被积函数中含有平方根、三角函数等形式时，可以尝试使用三角代换或者根式代换来简化被积函数，然后进行积分运算。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数是两个函数的乘积形式时，可以通过对被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分运算。
分部积分法的关键是选择合适的分解方式，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。
例如，当被积函数中含有指数函数、三角函数等形式时，可以尝试使用指数函数、三角函数的导数和原函数之间的关系来进行分解，然后进行积分运算。
三、换限积分法。
换限积分法是求解定积分中常用的一种方法。
当被积函数的自变量的取值范围较为复杂时，可以通过引入新的变量来简化定积分的计算。
换限积分法的关键是选择合适的变量替换方式，通常要根据定积分的积分区间和被积函数的形式来选择。
例如，当定积分的积分区间为无穷大区间时，可以尝试使用新的变量替换无穷大，然后进行积分运算。
四、利用积分表。
在实际应用中，有些函数的积分可以通过积分表来直接查找得到。
积分表中包含了许多常见函数的不定积分和定积分的结果，可以直接利用积分表来求解一些特定函数的积分。
在使用积分表时，需要注意查找的函数形式和积分的范围，以确保得到正确的积分结果。
五、数值积分法。
当无法通过解析方法求解积分时，可以通过数值积分法来进行近似计算。
数值积分法通过将积分区间进行等分，然后利用数值计算方法对每个小区间进行积分运算，最后将各个小区间的积分结果相加得到整个积分的近似值。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
总结。
求解积分是数学中的一个重要问题，通过合理选择求积分的方法，可以更加高效地进行积分运算。
求积分 方法
求积分方法求积分方法一、积分的定义积分是微积分的重要内容之一，其定义为：对于函数f(x)在区间[a,b]上，将其划分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，则在每个小区间上取一个样本点xi，令Δx趋近于0时，n趋近于无穷大，则当n趋近于无穷大时，Riemann和S=limΣf(xi)Δx即为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
二、基本积分公式1. 常数函数的积分：∫kdx=kx+C2. 幂函数的积分：∫xn dx=1/(n+1)x^(n+1)+C3. 指数函数的积分：∫e^xdx=e^x+C4. 三角函数的积分：（1）∫sinxdx=-cosx+C（2）∫cosxdx=sinx+C5. 反三角函数的积分：（1）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a arctan(x/a)+C（2）∫1/(a^2-x^2)dx=1/2a ln|(a+x)/(a-x)|+C三、换元法换元法是求解复杂定积分时常用的方法之一。
其基本思想是将被积函数中出现的某些部分用一个新的变量表示，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的形式。
1. 第一类换元法对于∫f(g(x))g'(x)dx，令u=g(x)，则有dx=du/g'(x)，原积分化为∫f(u)du。
2. 第二类换元法对于∫f(ax+b)dx，令ax+b=t，则有x=(t-b)/a，dx=dt/a，原积分化为∫f(t)dt/a。
四、分部积分法分部积分法是求解复杂定积分时常用的方法之一。
其基本思想是将被积函数中出现的某些部分进行乘法拆解，并利用乘法公式进行变形，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的形式。
对于∫u(x)v'(x)dx，可以利用乘法公式得到∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
五、特殊函数的积分1. 对数函数ln x的积分：（1）∫ln x dx=xln x-x+C（2）∫ln(ax+b) dx=(ax+b)(ln(ax+b)-1)/a+C2. 反双曲函数arcsinh x和arccosh x的积分：（1）∫arcsinh x dx=xarcsinh x+sqrt(x^2+1)+C（2）∫arccosh x dx=xarccosh x-sqrt(x^2-1)+C六、常用积分技巧1. 分式分解法对于有理函数f(x)/g(x)，可以将其分解为若干个部分，每个部分都是一个简单的有理函数或三角函数的积分。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
求积分的方法
1 2
sin5x sin
xdx
偶次方化倍角 凑微分d(5x)
1 2
1 5
sin5xd
5x
sin
xdx
1 cos5x 1 cosx C
10
2
乘积化和差
◆几个常用的三角公式
sin2 x 1 cos 2x , cos2 x 1 cos 2x
2
2
sin
sin
1 2
cos
cos
cos
cos
1 tan2 x ln cos x C 2
dx
（3） arc cot x2 1 x2
解 原式
d arc cot x
arc cot x2
1 C arc cot x
（4） 1 1 1 dx ln x x
解 原式 1 1 d ln x ln x
ln x ln ln x C
1 2
cos
cos
sin
cos
1 2
sin
sin
（9） sin3 x cos2 x dx
解 原式 sin2 x cos2 xd cos x
1 cos2 xcos2 xd cos x
cos2 x cos4 x d cos x
1 cos3 x 1 cos5 x C
3
5
一奇一偶，则将奇次方的函数拆出一个，凑成另一个的微分
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(2
ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
u 1 2ln x
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第四次试验课 求不定积分、定积分、二重积分实验要求： 1. 掌握不定积分计算；2. 掌握定积分与数值积分的计算；3. 了解二次积分的计算。
4.1 实验指导知识 4.1.1 不定积分的计算 求不定积分的函数命令是：Integrate[f ，x] 【用于求f （x ）的一个原函数】 也可以使用输入模板输入⎰f(x)dx例1 计算不定积分：（1）⎰xdx 2，（2）⎰arctgxdx ，（3）⎰-dx x 113，（4）dx x x⎰sin 解：In[1]：=Integrate[2x ，x] Out[1]=x 2In[2]：= ⎰ArcTan[x] dx Out[2]=xArcTan[x]-21Log[1+x 2] In[3]：=⎰-dx x 113 Out[3]=]1[61]1[3133212x x Log x Log x ArcTan ++-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-In[3]：=dx xx⎰sin Out[3]=SinIntegra说明：（1）使用基本输入模板输入积分符号更为方便。
（2）上述运算结果中不加常数C,代表某个原函数，对于结果无法用初等函数表示出来的不定积分，Mathematica 将其表示成特殊函数或原样输出.（3） 求不定积分由于使用的方法不同，可能得到不同的答案，因此Mathematica 求出的答案会出现与教科书上答案不同的情况。
大多没有化简或使用了双曲函数，只要用命令Simplify 、 FullSimplify 或TrigToExp 化简或转换一下就能解决。
但是Mathematica 不会自动化简对数式或某些三角函数式，只能由人工再化简，或者自定义化简法则.（4） 对于与积分变量无关的变量，Integrate 命令总是假定它和积分变量相互独立，计算时把它当做常数对待.另外，Mathematica 假定包含在积分式中的符号具有普通值，不考虑其特殊值. 例2 求不定积分：（1）⎰dx x cos 1，（2）⎰+dx x211，（3）⎰+dx x x sin 1sin 。
解：In[1]：= ⎰dx x Cos ][1Out[1]=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222x Sin x Cos Log x Sin x Cos LogIn[2]：=⎰+dx x211Out[2]=ArcSinh[x]In[3]：=TrigToExp[%] 【转换反双曲正弦为指数函数或对数函数】 Out[3]= log[21x x ++]In[4]：= ⎰+dx x Sin x Sin ][1][Out[4]=][122][122222x Sin x Sin x Cos x x Sin x Sin x Cos x Sin +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-In[5]：=FullSimplify[%] 【充分化简函数式子，观察用Simplify[%]化简的结果如何？】Out[5]=][][11x Tan x Sec x +++-上例中第1个积分的结果Mathematica 不会再化简了，第2个积分的结果经过转换后得到常规形式的答案，第3个积分的结果经过化简后的答案也与教科书上的答案不同。
这些都说明了与人求解的差别，有时需要人再对答案进行化简。
总之，计算机善于代替人做复杂但方法固定的工作，在灵活性方面当然无法与人相比，在化简表达式方面这一缺陷尤其明显。
下面再求几个较复杂的积分： 例3计算不定积分：（1）⎰dx xx32cos sin ，（2）⎰+dx x x 232)1(ln ，（3） ⎰-+dx x x 342)1()1(1，（4）⎰-dx xCos xx x eSinx23sin cos解：In[1]：=⎰dx x Cos x Sin 32][][Out[1]=][][2122212221x Tan x Sec x Sin x Cos Log x Sin x Cos Log +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡In[2]：=⎰+dx x x Log )2/3()^2^1(][Out[2]= -ArcSinh[x]+21][xx xLog +In[3]：=⎰-+dx x x 342)1()1(1Out[3]=3/124))1()1((2)1)(1(3x x x x ++-++--In[4]：=⎰-dx x Cos x Sin x Cos x e x Sin 2]^[][3]^[][Out[4]=e Sin[x]（x - Sec[x]）上例中的积分都是标准教科书中的习题，4.0版的积分能力已经能够满足一般需要，留给读者的主要是化简答案的问题，这里就不多举例了。
4.1.2 求定积分、重积分（1） 不带可选参数的情况求定积分、多重积分的函数与求不定积分的函数相同，只是多一些参数：Integrate[f ，{x ，a ，b}] 【用于求⎰ba dx x f )(，但通常使用基本输入模板输入积分符号更方便】Integrate[f ，{x ，a ，b}，{y ，y 1，y 2}] 用于求⎰⎰ba x y x y dy y x f dx )()(21),(，三重积分或多重积分类似，最好使用基本输入模板连续多次输入积分符号。
提示：也可以自制二、三重积分符号模板。
例4 4计算下列定积分：（1）⎰+10211dx x，（2）⎰⎰-2/0]cos[202244πθθrdrd r R R ， （3）⎰⎰⎰παφθφφ20]cos[202]sin[R d drd r ，解：In[1]：=Integrate[1/（1+x^2），{x ，0，1}] Out[1]=4πIn[2]：=⎰⎰-2/0][202244πθθrdrd r R Cos ROut[2]=()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2/322/32349164R R πIn[3]：=Simplify[%，R>0] Out[3]=3)34(916R π+- In[4]：=⎰⎰⎰παφθφφ20][202][Cos R d drd Sin rOut[4]=⎪⎭⎫⎝⎛--]4[321]2[813253163ααπCos Cos RIn[5]：=Simplify[%]Out[5]=23][])2[3(32ααπSin Cos R +说明：上例中最后两个积分的答案都需要化简，其中最后一个积分化简后的答案仍与通常答案的形式不同。
但是代替人做这类高等数学习题，已经问题不大了。
Integrate[ ]命令不仅可以求正常的定积分，还可以求广义积分，另外，求定积分的数值解用NIntegrate[ ]，参数同上，在本节后面还要详细介绍。
例5 计算广义积分：⎰+∞∞--dx e x 2。
解：In[1]：=⎰+∞∞--dx x Exp ][2 Out[1]=πIn[2]：=NIntegrate[Exp[-x 2]，{x ，-∞，+∞}] Out[2]=1.77245 In[3]：=N[⎰+∞∞--dx x Exp ][2]Out[3]=1.77245说明：上例中In[1]说明，Mathematica 能求某些广义积分的准确值。
In[3]表明，使用函数N 与积分模板嵌套比用函数NIntegrate 更方便。
（2） 带有可选参数的情况在求积分时还允许添加下列可选参数：PrincipalValue 【是否按Cauchy 主值求积分，默认值为False ，可以设为True 】GenerateConditions 【是否生成包含参数条件的答案，默认值为True ，可以设为False 】Assumptions 【值是一些关于参数的条件组成的表，默认值为空表】 例6 求积分：（1）⎰-+-3121dx x，（2）⎰+∞0dx xe ax 。
解：In[1]：=Integrate[1/（x-2），{x ，-1，3}] Integrate ：：idiv ： Integral of x+-21 does not converge on {-1，3}.Out[1]：=⎰-+-3121dx xIn[2]：=Integrate[1/（x-2），{x ，-1，3}，PrincipalValue →True] Out[2]= -Log[3]In[3]：=Integrate[x Exp[a x]，{x ，0，∞}]Out[3]=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<⎰∞022,1,0]Re[xdx e a a If x In[4]：=Integrate[x Exp[a x]，{x ，0，∞}，GenerateConditions →False]Out[4]=21aIn[5]：=Integrate[x Exp[a x]，{x ，0，∞}，Assumptions →{a < 0}] Out[5]=21a说明：上例中In[1]的被积函数在积分区间内有一个奇异点x =2，按一般广义积分的定义，这个积分发散，这时出现提示，返回的只是原输入式的输出形式。
在In[2]中添加求主值的可选参数，改求主值后成功。
In[3]中被积函数含有字母参数a ，这时返回的结果是一个条件表达式，当a 的实部为负时值为21a ，否则发散。
In[4]添加可选参数后，输出结果不显示条件。
In[5]给出了参数a 的假设条件，保证求值顺利完成。
4.1.3 数值积分1．两种积分方法的比较求定积分的数值解有两种方法：使用N[Integrate[f ，{x ，a ，b}]，n]或使用NIntegrate[f ，{x ，a ，b}]，前者首先试图求符号解然后再求近似解，后者使用数值积分的方法直接求近似解。
究竟选用哪一个，这首先需要了解两者各自的特点。
前者首先试图求符号解，当然花费较多的时间，但安全可靠。
后者直接求数值解，节约运行时间，但可靠性就差了。
例7 计算下列积分dx e x ⎰--5005002。
解：In[1]：=Integrate[Exp[-x^2]，{x ，-500，500}]Out[1]=]500[Erf π In[2]：=N[%] Out[2]=1.77245In[3]：=NIntegrate[Exp[-x^2]，{x，-500，500}]NIntegrate：：slwcon：Numerical integration converging too slowly；Suspect one of the following：singularity，Value of the integration being 0，oscillatoryintegrand，or insufficient WorkingPrecision.If your integrand is oscillatory try usingthe option Method ->oscillatory in NIntegrate.NIntegrate : : ncvbNIntegrate failed to converge to prescribed accuracyAfter 7 recursive bisection in x near x= -3.90625.Out[3]=0.88631虽然以上In[1]中积分不能求出准确值，但是Mathematica引入特殊函数Erf[x]能表示它的准确值，再用函数N能顺利求出近似值。