等量代换代求面积和差不变原理练习题
等量代换代求面积和差不变原理练习题
1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。
如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？
2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。
求直角梯形ABCD的面积。
（π=3.14）
4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
影部分的面积和。
用割补法求面积练习题
1.求下列各图中阴影部分的面积：
（1）（2）
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。
5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
等量代换代求面积和差不变原理练习题
等量代换代求面积和差不变原理练习题
1.左以下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。
假如图中甲、乙两局部的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？
3.左以下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。
求直角梯形ABCD的面积。
（π=3.14）
4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
影局部的面积和。
用割补法求面积练习题
1.求以下各图中阴影局部的面积：
（1）（2）
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见以下图），直角边长4厘米，求图中阴影局部的面积。
3.在左以下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的局部是一个直角梯形（阴影局部）。
已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。
5.以下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
6.求以下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
小学数学 等积变换求面积 PPT+课后作业 带答案
例题对角1线
对角线
对角线
如图所示，两个相等的等腰直角三角形与一个正方形摆放成梯形ABCD。已知等腰直角三 角形的斜边AB长度是8厘米，求梯形ABCD的面积。
斜边
斜边
斜边
大等腰三角形面积=斜边×斜边÷2 小等腰三角形面积=斜边×斜边÷2÷2 等腰直角三角形面积=斜边长度的平方÷4
练习1
如图所示，等腰直角三角形ABD和BCD拼成了一个直角梯形ABCD。已知BD长6厘米，求 梯形ABCD的面积。
G
B
A
连接DF，AC//DF
F
S ACF = S ACD = S 正方形ABCD ÷2
=10×10÷2
=50（平方厘米）
C
D
E
例题5
如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，以上底AD为边向外作长方形ADEF，面积为10 平方厘米，连接BE交AD于O，连接OC。求图中阴影部分的面积。
FE // AC // BC 和 FB // ED
6
等高三角形模型可得， S ABD = S ACD
所以三角形ABC的面积是三角形BDO面积的4倍
三角形ABC的面积=6×4=24（平方厘米）
例题3
如图所示，图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是 多少平方厘米？
A
D 4
G
F
4
B
C
E
三角形面积=底×高÷2 阴影部分三角形的底是小正方形的一条边 而高也是小正方形的一条边 阴影部分的面积=4×4÷2=8（平方厘米）
在梯形中寻找面积 相等的三角形
AD // BC △ ABC和△DBC △ BAD和△CAD △ ABO和△CDO 连接BE
小学数学五年级奥数每天一题--等量代换求面积
小学数学五年级奥数每天一题：等量代换求面积
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米)，面积为
(7+10)×2÷2=17(平方厘米)。
所以，阴影部分的面积是17平方厘米。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50(平方厘米)。
三年级下等量代换练习题
三年级下等量代换练习题1. 已知三角形ABC中，AB = 5 cm，AC = 7 cm，BC = 9 cm。
找出三角形DEF，使得DE = 2 cm，EF = 3 cm，DF = 4 cm。
2. 小明有一条长12 cm的木杆，他想将其分成两段，使得第一段比第二段长3 cm，应该如何切割？3. 假设一个矩形的长和宽分别为3 cm和8 cm，现在将其等量代换，使得长和宽都增加了5 cm，求新矩形的周长和面积。
4. 有一个长方体，长、宽和高的比例为2∶3∶4，其中长为6 cm，求其体积。
5. 如果一个长方形的周长是40 cm，长是宽的3倍，求长方形的面积。
1. 解答：根据三角形ABC的已知边长，我们可以通过等量代换的方法得到三角形DEF的边长。
设三角形DEF的边为DE = 2 cm，EF =3 cm，DF =4 cm。
根据等量代换的原理，我们可以得出：DE/AB = EF/AC = DF/BC2/5 = 3/7 = 4/9解方程得到：DE = 2/5 * AB = 2/5 * 5 = 2 cmEF = 3/7 * AC = 3/7 * 7 = 3 cmDF = 4/9 * BC = 4/9 * 9 = 4 cm所以，三角形DEF的边长为DE = 2 cm，EF = 3 cm，DF = 4 cm。
2. 解答：设第一段木杆的长度为x cm，则第二段的长度为x - 3 cm。
根据题目条件，得到方程：x + x - 3 = 12解方程得到：2x = 15x = 7.5所以，第一段木杆的长度为7.5 cm，第二段为7.5 - 3 = 4.5 cm。
3. 解答：原矩形的长为3 cm，宽为8 cm，所以原矩形的周长为(3 + 8) * 2 = 22 cm，面积为3 * 8 = 24 cm²。
等量代换后，矩形的长和宽增加了5 cm，新矩形的长为8 + 5 = 13 cm，宽为3 + 5 = 8 cm。
新矩形的周长为(13 + 8) * 2 = 42 cm，面积为13 * 8 = 104 cm²。
等量代换练习题
等量代换练习题等量代换是数学中的一个重要概念，它在解题过程中起到了至关重要的作用。
通过等量代换，我们可以将复杂的问题转化为简单的形式，从而更好地解决它们。
在本文中，我将为大家提供一些关于等量代换的练习题，并逐一解答，希望能够帮助大家更好地理解和运用等量代换。
练习题一：已知方程2x + 3 = 7，求解x的值。
解答：我们可以通过等量代换将这个方程转化为更简单的形式。
首先，我们将方程中的常数项3移到等号的右边，得到2x = 7 - 3。
接下来，我们将方程中的系数2移到等号的右边，得到x = (7 - 3) / 2。
最后，计算出x的值，即x = 4 / 2 = 2。
所以方程的解为x = 2。
练习题二：已知方程3(x + 2) = 2(x + 5)，求解x的值。
解答：这个方程看起来比较复杂，但通过等量代换，我们可以将它转化为更简单的形式。
首先，我们将方程中的括号展开，得到3x + 6 = 2x + 10。
接下来，我们将方程中的常数项6移到等号的右边，得到3x = 2x + 4。
然后，我们将方程中的系数3移到等号的右边，得到x = 2x + 4。
最后，我们将方程中的系数2移到等号的左边，得到x - 2x = 4。
计算出x的值，即-2x = 4，所以x = -2。
所以方程的解为x = -2。
练习题三：已知方程2(x - 3) + 5 = 3(x + 1)，求解x的值。
解答：这个方程看起来稍微复杂一些，但我们仍然可以通过等量代换将它转化为简单的形式。
首先，我们将方程中的括号展开，得到2x - 6 + 5 = 3x + 3。
接下来，我们将方程中的常数项-6 + 5移到等号的右边，得到2x - 1 = 3x + 3。
然后，我们将方程中的系数2移到等号的右边，得到-1 = 3x - 2x + 3。
最后，我们将方程中的系数3移到等号的左边，得到-1 - 3 = x。
计算出x的值，即x = -4。
所以方程的解为x = -4。
(完整)求面积(超多题)
=48-（S1+S2+S3）=18（平方厘米）
【题目】正方形ABCD边长4厘米，E、F分别是BC、AD的中点，P是中方形任意一点，求阴影部分的面积。
【解析】
如下图，
△APF面积×4=矩形MNDA面积，
△PEC面积×4=矩形MBCN面积，
（△APE面积+△PEC面积）×4=正方形ABCD面积=16（平方厘米）
【题目】一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？
【解析】
因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d.
按公式便有：
a×c＝15，c×d＝18，b×d＝30，
因为三角形ABE、ADF是直角三角形，面积都是18平方厘米。而根据面积公式有
18=1/2×AB×BE,18=1/2×AD×DE,
AB＝6厘米，AD＝9厘米，即得两个简易方程：1/2×6×BE=18，1/2×9×DF=18，
BE＝6厘米，DF＝4厘米。
EC＝BC－BE＝9－6＝3（厘米）
CF＝CD－DF＝6－4＝2（厘米）
因为三角形BDC与CDE共顶点D，且CE=2BC，所以三角形CDE面积=2×三角形BDC面积=2×1=2
所以，三角形DEF面积=1+2+2+6+6+1=18。
【题目】平行四边形的面积是48平方厘米，E、F分别是BC、CD的中点，求阴影部分面积。
【解析】
如下图，
S1=48÷2÷2=12(平方厘米)
S2=48÷2÷2=12（平方厘米）
小学奥数 几何 割补法求面积、等差法 知识点+例题+练习 (分类全面)
巩固.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ΔADE与ΔBDF的面积之和是多少？AD EB CF巩固、如图所示，用一张斜边长为29厘米的红色直角三角形纸片、一张斜边长为50厘米的蓝色直角三角形纸片、一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形.红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？例2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？巩固.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
例3、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
巩固.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为24平方厘米，上底为4厘米，求下底和高。
例4、在一个等边三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？巩固、如图，三个正方形的边长分别为8厘米、10厘米、6厘米拼在一起，求阴影部分的面积？巩固、下图是两块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）分别有多大？等差法解题关键：找出组合图形的公共部分解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：例1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。
那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？巩固、如图ABCG是的长方形，AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。
那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？例2、如图所示，平行四边形ABCD的边长BC长为8，直角三角形BCE的直角边CE长为6。
已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大8，求CF的长度？巩固、如图，四边形BCEF是平行四边形，三角形ACB是直角三角形，BC的长是8厘米，AC长是7厘米。
30道小升初数学几何问题(附答案)
图１
图2
【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的
处理，移到两条边上(如图 2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没
有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放 (1011) 2 51(块)，白
色 瓷 砖 组 成 的 正 方 形 的 边 长 上 能 放 ： 511 50 ( 块 ) ， 所 以 白 色 瓷 砖 共 用 了 ：
60 的扇形面积 60 π 32 3 π 4.5(cm2 ) ．
360
2
2．【割补法求面积】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计 算)：
3
⑴
4
⑵
1
2
1
⑶
1
⑷
【解析】⑴ 4.5 ⑵ 4 ⑶1 ⑷ 2
3．【差不变】三角形 ABC 是直角三角形，阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ， AB 8cm ，求 BC 的长度．
5
【解析】根据题意可知，挖去的 6 个边长 1 厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖 去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积，所以现在它的表面 积为： 4 4 6 11 4 6 120 平方厘米． 16．【共高模型】如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米?
【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成．
该图形的表面积等于 (9 7 7) 2 46 个小正方形的面积，所以该图形表面积 为 46 平方厘米．
21．【取特殊点】长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任 意一点，问阴影部分面积是多少？
割补法、差不变原理
割补法、差不变原理分割法在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。
例题1.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=5，DB=6,则ADE 与BDF的面积之和是多少？例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
例题5、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？练习1.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ADE 与BDF的面积之和是多少？练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？等差法解题关键：找出组合图形的公共部分解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：例题1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 (14)
第一讲 直线型面积（一）这一讲我们主要介绍三个知识点（本讲的例题将会围绕这三个知识点展开）： ① 三角形等积变换的性质应用.（掌握并熟练运用） ② 一种重要的数学思想——等量代换 ③ 解题技巧之差不变原理.如图，ABCD 是一长方形纸片，把它的左下角沿虚线EC 折叠过去，AE 恰好是AD 的1/4，三角形CDE 面积是27，三角形AHE 面积是3，三角形BCG 面积是16，问三角形DGH 的面积是多少？分析：三角形ACE 面积 = 27÷3=9，四边形ABCD 面积=（27+9）+9=45, 三角形 DGH 面积=3+27+16-45=1 ．我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形等图形，一般称为基本图形或规则图形．我们的面积及周长都有相应的公式直接计算．如下表：专题精讲教学目标HG EDCB A E DC B A想挑战 吗？对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的两条性质：【例1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.分析：本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用. 连接BH 、CH.AEHBEHAE=EB SS∴=同理，BFHCFH CGH DGHSS S =S.=，ABCD 11S S 562822∴==⨯=阴影长（平方厘米）.[前铺]你有多少种方法将任意一个三角形分成 （1）2个面积相等的三角形； （2）3个面积相等的三角形； （3）4个面积相等的三角形．分析：（1）如右图，D 、E 、F 分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；（2）如右图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点；答案不唯一；（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考；G H FE D C B A G HF E D C B A【例2】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？分析：连接CE∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆= 又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===.【例3】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？分析：∵3CE AE =，∴4AC AE =,4ADC ADE S S ∆∆=; 又∵2D C B D =,∴32BC DC =,361202ABC ADC ADE S S S ∆∆∆===（平方厘米）.[前铺]如图，三角形ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？分析：连接AD .∵3,6BE AE ==,∴13BE AB =,13BDE ABD S S ∆∆= 又∵4BD DC ==,∴12ABD ABC S S ∆∆=,∴1136BDE ABD ABC S S S ∆∆∆==EDCB A E DC B A EDCBA ED C B A乙甲 E DC B A[拓展]如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？分析：∵F 是AC 的中点,∴12ABF ABC S S ∆∆=， 同理12BEF ABF S S ∆∆=，∴111866442BEF ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=（平方厘米）.【例4】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．分析：本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）. 连接AE 、CD.ABC ABCDBC DBCS 1S 1S 1S1==∴=，同理可得其它，最后三角形DEF 的面积=18.[拓展] 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．F E D C B A FE C B AF E D C B A FE D C B AH G FE DC BA H G F E D CB A分析：连接BD .设12,DCBDABS S SS ==∵CB BF =，∴2CDF CDB CDB CB BFS S S CB∆∆∆+==,又∵DC CG =,∴12CFG CDF S S S ∆∆==， 同理22AEH S S ∆=， ∴2CFG AEH ABCD S S S ∆∆+=连接AC ，同理2HDG BEF ABCD S S S ∆∆+=∴5EFGH CFG AEH HDG BEF ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=++++=， 111355ABCD EFGH S S ==（平方米）.【例5】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？分析：连接对角线AE . ∵ADEF 是长方形 ∴12ADE AEF ADEFS S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== ∴58BE DE DB DE DE -==，12CE FE CF EF EF -== ∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ∆∆∆∆=---=.F E D C B AF E D CB A【例6】 （第八届小数报数学竞赛决赛）如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF=FC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．分析：因为乙、丙面积相等，底DF=FC ．所以A 到CD 的距离与E 到CD 的距离相等，即AE 与CD 平行，四边形ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积=平行四边形ADCE 的面积的12，所以阴影部分的面积=乙的面积×2.从而阴影部分的面积=32×25=12.8(平方厘米).【例7】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．分析：本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接BE.（我们通过△ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.） ∵在平行四边形ABCD 中，12ABES AB AB =⨯⨯边上的高， ∴ABGABCD1SS 2=（也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）同理，ABEAEGF 1SS 2=，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等.[拓展] 如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长为BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？分析：本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明：连接AG.（我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）. ∵在正方形ABCD 中，G12AB S AB AB =⨯⨯边上的高， ∴ABGABCD1SS 2=（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，ABGEFGB 1SS 2=长. ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽=8×8÷10=6.4（厘米）. G F D C B A G F D C BA G F E D CB AF ED C BA【例8】 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，求图中三角形BFD 的面积为多少平方厘米？分析：连接CF .∵,BD CF 都是正方形的对角线 ∴45DBC FCE ∠=∠=︒，//BD CF . ∴BFD ∆与BCD ∆同底等高， 11010502BFD BCD S S ∆∆==⨯⨯=(平方厘米).【例9】 （03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．分析：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大 正方形的边长没关系．连结AD （见右上图），可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AFD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF 与三角形FCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4×4÷2=8．[拓展]（小学数学夏令营五年级组试题）如图20-4，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积．分析：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形”这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC 与三角形AFH 面积相等，也是6平方厘米．H G F E D C B A HG F E D CBA【例10】 如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE =1，求△BEF 的面积．分析：本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接AC. ∵AB//CD ，∴S △ADE =S △ACE 同理AD//BC ，∴S △ACF =S △ABF又S △ACF =S △ACE +S △AEF ，S △ABF =S △BEF +S △AEF ，∴ S △ACE =S △BEF ， 即S △BEF =S △ADE =1．【例11】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD 是7×4的长方形，DEFG 是10×2的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差．分析：直接求出三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差，不太容易做到．如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了．法1：连结B ，E （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形BEO ，则原来的问题转化为求三角形BEC 与三角形BEF 的面积之差． 所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3．法2：连结C ，F （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形CFO ，则原来的问题转化为求三角形BCF 与三角形ECF 的面积之差．所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3．法3：延长BC 交GF 于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形COFH ，则原来的问题转化为求三角形BHF 与矩形CEFH 的面积之差． 所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3．法4：延长AB ，FE 交于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形BHEO ，则原来的问题转化为求矩形BHEC 与直角三角形BHF 的面积之差．所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3．【例12】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？解答：（三角形ABC 的面积）+（三角形CDE 的面积）+ （13+49+35）= （长方形面积）+（阴影部分面积）又因为 三角形ABC 的面积 = 三角形CDE 的面积 = 1/2长方形面积 F E D C B A F E D C BA直线型面积的内容还有很多，还有平移法、割补法以及燕尾定理等五大基本模型，这些我们会在五年级寒假班和春季班继续深入学习.1. （例3）如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY 的面积．分析：∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，111,224ZCY DCB ZY DB S S ∴=⨯⨯= 又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCYDCBABCDSS S ==⨯= (平方厘米).2. （例3）如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？分析：连接BE .∵13AE EC =∴13ABE ABC S S ∆∆= 又∵15AD AB =∴11515ADE ABE ABC S S S ∆∆∆==，∴1515ABC ADE S S ∆∆==.3. （例8、例9）两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积． 分析：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了．用组合图形的周长减去DG ，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）．又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）．4. （例11）如图所示，甲的面积与乙的面积相比较， ． A.甲的面积大 B.乙的面积大 C.一样大 D.无法判断 练习一专题展望YZ D C BA EDC B AED C B AODCBA 乙甲分析：本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换思想.∵S 甲=S △ABD - S △ABO ，S 乙=S △ABC - S △ABO ，△ABD 和△ABC 同底等高，∴S 甲= S 乙.5. （例11）在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积．分析：因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于10×8÷2+10=50厘米2 ．6. （例11）右图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE 比三角形CDE 的面积大2厘米2，求CD 的长．分析：连结CB ．三角形DCB 的面积为4×4÷2-2=6厘米2， CD=6÷4×2=3厘米．拼图欣赏七巧板是我国传统的启智游戏之一，又名智慧板．它是由正方形、平行四边形和三角形等七块简单几何图板组成，可以拼出各种各样的几何图形和许许多多美丽而有趣的图案． 拼简单几何图形：拼各种造型：你能拼成其他动物的造型吗？拼拼看．数学知识。