数学高三一轮复习用书全套(1000页)
课堂过关
第一章 集合与常用逻辑用语
第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)
、(
理)1~2页)
了解集合的含义;体会元素与集合的“属
于”关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题;了解集合之间包含与相等的含义;能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义.
① 学会区分集合与元素,集合与集合之间的关系. ② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. ③ 集合含义中掌握集合的三要素.
④ 不要求证明集合相等关系和包含关系.
1. (必修1P 7第1题改编)集合{x ∈N |x<5}可以用列举法表示为________. 答案:{0,1,2,3,4}
解析:∵ x<5且x ∈N ,∴ x =0,1,2,3,4,特别注意0∈N .
2. (必修1P 7第4题改编)已知集合A ={(x ,y)|-1≤x ≤1,0≤y<2,x 、y ∈Z },用列举法可以表示集合A 为________.
答案:{(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
解析:用集合A 表示不等式组?
????-1≤x ≤1,x ∈Z ,
0≤y<2,y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合,所以
用列举法表示集合A 为{(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A =[1,4),B =(-∞,a),A ? B ,则a ∈________. 答案:[4,+∞)
解析:在数轴上画出A 、B 集合,根据图象可知.
4. (必修1P 7第4题改编)由x 2,x 组成一个集合A ,A 中含有2个元素,则实数x 的取值不可以是________.
答案:0和1
解析:由x 2=x 可解得.
5. (必修1P 17第8题改编)已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y)|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为
________个.
答案:10
解析:x =5,y =1,2,3,4,x =4,y =1,2,3,x =3,y =1,2,x =2,y =1,共10个.
1. 集合的含义及其表示
(1) 集合的定义:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.其中集合中的每一个对象称为该集合的元素.
(2) 集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性.
(3) 集合的常用表示方法:列举法、描述法、V enn 图法.
(4) 集合的分类:若按元素的个数分类,可分为有限集、无限集、空集;若按元素的属
性分类可分为点集、数集等.应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合,解题时切勿忽视空集的情形.
(5) 常用数集及其记法:自然数集记作N ;正整数集记作N 或N +;整数集记作Z ;有理数集记作Q ;实数集记作R ;复数集记作C .
2. 两类关系
(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系,反映了个体与整体之间的从属关系. (2) 集合与集合之间的关系
① 包含关系:如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集,记为A ? B 或B ? A ,读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”.
② 真包含关系:如果A ?B ,并且A ≠B ,那么集合A 称为集合B 的真子集,读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”.
③ 相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素,则称这两个集合相等.
(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个,真子集共有2n -1个,非空子集共有2n -1
个,非空真子集有2n -2个.
题型1 集合的基本概念
例1 已知集合A ={x|ax 2-3x +2=0,a ∈R }. (1) 若A 是空集,求a 的取值范围;
(2) 若A 中只有一个元素,求a 的值,并将这个元素写出来; (3) 若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.
解: (1) 若A 是空集,则Δ=9-8a <0,解得a >9
8
.
(2) 若A 中只有一个元素,则Δ=9-8a =0或a =0,解得a =98或a =0;当a =9
8
时,这
个元素是43;当a =0时,这个元素是2
3
.
(3) 由(1)(2)知,当A 中至多有一个元素时,a 的取值范围是a ≥9
8
或a =0.
变式训练
下列三个集合:① {x|y =x 2+1};② {y|y =x 2+1};③ {(x ,y)|y =x 2+1}. (1) 它们是不是相同的集合? (2) 它们的各自含义是什么? 解:(1) 它们是不相同的集合.
(2) 集合①是函数y =x 2+1的自变量x 所允许的值组成的集合.因为x 可以取任意实数,
所以{x|y =x 2+1}=R .集合②是函数y =x 2
+1的所有函数值y 组成的集合.由二次函数图象知y ≥1,所以{y|y =x 2+1}={y|y ≥1}.集合③是函数y =x 2+1图象上所有点的坐标组成的集合.
备选变式(教师专享)
已知集合A 含有两个元素a -3和2a -1,若-3∈A ,试求实数a 的值.
解:∵ -3∈A ,∴ -3=a -3或-3=2a -1.若-3=a -3,则a =0.此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合题意;若-3=2a -1,则a =-1,此时集合A 含有两个元素-4,-3,符合题意.综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1.
题型2 集合间的基本关系
例2 若集合A ={x|-2≤x ≤5},B ={x|m +1≤x ≤2m -1},且B ? A ,求由m 的可取值组成的集合.
解:当m +1>2m -1,即m<2时,B =?,满足B ?A ;
若B ≠? ,且满足B ?A ,如图所示,
则????
?m +1≤2m -1,m +1≥-2,
2m -1≤5,
即????
?m ≥2,m ≥-3,m ≤3,
∴ 2≤m ≤3.
故m<2或2≤m ≤3,即所求集合为{m|m ≤3}. 变式训练
已知集合A =???
?
??a ,b a ,1,集合B ={a 2,a +b ,0},若A =B ,求a 2 014+b 2 015的值.
解:由于a ≠0,由b
a
=0,得b =0,则A ={a ,0,1},B ={a 2,a ,0}.由A =B ,可得
a 2=1.又a 2
≠a ,则a ≠1,则a =-1.所以a 2 014+b 2 015=1.
备选变式(教师专享)
若集合P ={x|x 2+x -6=0},S ={x|ax +1=0},且S ?P ,求由a 的可取值组成的集合. 解:P ={-3,2}.当a =0时,S =?,满足S ?P ;当a ≠0时,方程ax +1=0的解为x =-1a ,为满足S ?P 可使-1a =-3或-1a =2,即a =13或a =-1
2.故所求a 的取值的集合为
?
??
???0,13,-12.
题型3 根据集合的关系求参数的取值范围
例3 (2015·南通期末)已知集合A ={x|0 ?? x ??-12 解:当a =0时,显然B ?A ; 当a<0时,若B ?A ,如图, 则???4a ≤-1 2,-1a >2,∴ ?????a ≥-8,a>-12, ∴ -12 当a>0时,如图,若B ?A , 则? ??-1a ≤-1 2,4a ≥2,∴ ?????a ≤2,a ≤2,∴ 0 综上知,当B ?A 时,-1 2 备选变式(教师专享) 已知A ={-1,1},B ={x|x 2-ax +b =0}.若B ?A ,求实数a ,b 的值. 解:∵ B ?A ={-1,1}, ∴ B =?或B ={-1}或B ={1}或B ={-1,1}. 若B =?,则方程x 2-ax +b =0无实数根, 即Δ=(-a)2-4×1×b<0,此时a 2<4b. 若B ={-1},则方程x 2-ax +b =0有且只有一个实数根-1,即Δ=(-a)2-4b =0,且(-1)2-a ×(-1)+b =0, 此时a =-2,b =1. 若B ={1}时,则方程x 2-ax +b =0有且只有一个实数根1, 即Δ=(-a)2-4b =0,且12-a ×1+b =0, 此时a =2,b =1. 若B ={-1,1},则方程x 2-ax +b =0有两个不相等的实数根-1,1,即(-1)2-a ×(-1)+b =0,12-a ×1+b =0,此时a =0,b =-1. 综上所述,当a 2<4b 时,不论a ,b 取何值,A ?B ; 当?????a =-2,b =1或?????a =2,b =1或?????a =0, b =-1时,B ?A. 1. (2015·南京、盐城一模)设集合M ={2,0,x},集合N ={0,1},若N ?M ,则实数x 的值为________. 答案:1 解析:由N ?M 知1∈M ,则x =1. 2. (2015·南师附中模拟)若A ={a},B ={0,a 2},A ?B ,则A =________. 答案:{1} 解析:若a =0,则a 2=0,B 中元素不满足互异性;若a =a 2,则a =0(舍)或a =1(满足互异性). 3. 若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是“伙伴关系集合”,集合M =???? ?? -1,0,12,2,3的所 有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________. 答案:3 解析:具有伙伴关系的元素组是-1;1 2 ,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1}, ??????12,2,? ?? ???-1,12,2. 4. 已知集合M ?{2,3,5},且M 中至少有一个奇数,则这样的集合共有________个. 答案:6 解析:当M 中奇数只有3时:{3},{2,3};当M 中奇数只有5时:{5},{2,5};当M 中奇数有3,5时:{3,5},{2,3,5},∴ 共有6个这样的集合. 5. (2015·昌平期中)若a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a}=??? ? ??0,b a ,b ,求b -a 的值. 解: 由{1,a +b ,a}=??? ? ??0,b a ,b 可知a ≠0,则只能a +b =0,则有以下对应法则: ?????a +b =0,b a =a , b =1① 或??? ??a +b =0, b =a , b a =1. ② 由①得?????a =-1, b =1, 符合题意;②无解.∴ b -a =2. 1. (2015·浙江)已知集合A{x|x 2 -x -2<0},B ={x|-1 解析:A ={x|-1 答案: 3 解析:容易看出x +y 只能取-1、1、3这三个数值.故共有3个元素. 3. 已知集合A =???? ?? x ?? ?ax -1x -a <0,且2∈A ,3? A ,则实数a 的取值范围是________. 答案:???? 13,12∪(2,3] 解析:因为2∈A ,所以2a -12-a <0,即(2a -1)(a -2)>0,解得a >2或a <12.① 若3∈A ,则3a -13-a <0,即(3a -1)(a -3)>0,解得a >3或a <13,所以3?A 时,1 3≤a ≤ 3.② 由①②可知,实数a 的取值范围为???? 13,12∪(2,3]. 4. 若集合A 中有且仅有三个数1、0、a ,若a 2∈A ,求a 的值. 解:若a 2=0,则a =0,不符合集合中元素的互异性,∴ a 2≠0. 若a 2=1,则a =±1,∵ 由元素的互异性知a ≠1,∴ a =-1时适合. 若a 2=a ,则a =0或1,由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求. 综上可知a =-1. 1. 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分{x|y =f(x)}、{y|y =f(x)}、{(x ,y)|y =f(x)}三者的不同.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. 2. 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A ?B ,则需考虑A =? 和A ≠?两种可能的情况. 3. 判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. 4. 已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、V enn 图帮助分析. 请使用课时训练(A )第1课时(见活页). 第2课时 集合的基本运算(对应学生用书(文)、 ( 理)3~4页) 理解两个集合的交集与并集的含义;会求两个简单集合的交集与并集,理解给定集合的 一个子集的补集的含义;会求给定子集的补集,会用韦恩图表示集合的关系及运算. ① 在给定集合中会求一个子集的补集,补集 的含义在数学中就是对立面. ② 会求两个简单集合的交集与并集;交集的关键词是“且”,并集的关键词是“或”. ③ 会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算;对于数集有时也可以用数轴表示. 1. (必修1P 13第3题改编)已知集合A ={x|-2<x <2},B ={x|x ≤1},则A ∩B =________. 答案:(-2,1] 解析:本题考查集合概念及基本运算. 2. (必修1P 13习题2题改编)已知集合A ={x|x 2-16=0},B ={x|x 2-x -12=0},则A ∪B =________. 答案:{-4,-3,4} 解析:∵ A ={-4,4},B ={-3,4} ,∴ A ∪B ={-4,-3,4}. 3. (必修1P 14习题10改编)已知全集U =R ,集合A ={1,2,3,4,5},B =[3,+∞),则图中阴影部分所表示的集合为________. 答案:{1,2} 解析:由题意,阴影部分表示A ∩(?U B).因为?U B ={x|x<3},所以A ∩(?U B)={1,2}. 4. (必修1P 13习题2题改编)设集合I ={x||x|<3,x ∈Z },A ={1,2},B ={-2,-1,2},则A ∪(?I B)=________. 答案:{0,1,2} 解析:I ={-2,-1,0,1,2},?I B ={0,1},∴ A ∪(?I B)={0,1,2}. 5. (必修1P 10习题4题改编)设集合A 、B 都是全集U ={1,2,3 , 4}的子集,已知(?U A)∩(?U B)={2},(?U A)∩B ={1},A ∩B = ,则A =________. 答案:{3,4} 解析:画出韦恩图,知A ={3,4}. 1. 集合的运算 (1) 交集:由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合,叫做集合A 与B 的交集,记作A ∩B ,即A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B}. (2) 并集:由属于A 或属于B 的所有元素组成的集合,叫做集合A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B}. (3) 全集:如果集合S 含有我们所研究的各个集合的全部元素,那么这个集合就可以看 作一个全集,通常用U 来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集. (4) 补集:集合A 是集合S 的一个子集,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集(或余集),记作?S A ,即?S A ={x|x ∈S ,但x ? A}. 2. 常用运算性质及一些重要结论 (1) A ∩A =A ,A ∩? =?,A ∩B =B ∩A ; (2) A ∪A =A ,A ∪?=A ,A ∪B =B ∪A ; (3) A ∩(?U A)=?,A ∪(?U A)=U ; (4) A ∩B =A ? A ?B ,A ∪B =A ?B ?A ; (5) ?U (A ∩B)=(?U A)∪(?U B),?U (A ∪B)=(?U A)∩(?U B). [备课札记] 题型1 集合的运算 例1 全集U ={1,2,3,4,5},A ={x|x 2-5x +m =0},B ={x|x 2+nx +12=0},且(?U A)∪B ={1,3,4,5},则m +n 的值为________. 答案:-1 解析:∵ U ={1,2,3,4,5},(?U A)∪B ={1,3,4,5},∴ 2∈A.又A ={x|x 2-5x +m =0},∴ 2是关于x 的方程x 2-5x +m =0的一个根,得m =6且A ={2,3},∴ ?U A ={1,4,5}.而(?U A)∪B ={1,3,4,5},∴ 3∈B.又B ={x|x 2+nx +12=0},∴ 3一定是方程x 2+nx +12=0的一个根,∴ n =-7且B ={3,4},∴ m +n =-1. 变式训练 设集合A ={x 2,2x -1,-4},B ={x -5,1-x ,9},若A ∩B ={9},求A ∪B. 解:由9∈A ,可得x 2=9或2x -1=9,解得x =±3或x =5.当x =3时,A ={9,5,-4},B ={-2,-2,9},B 中元素重复,故舍去;当x =-3时,A ={9,-7,-4},B ={-8,4,9},A ∩B ={9}满足题意,故A ∪B ={-8,-7,-4,4,9};当x =5时,A ={25,9,-4},B ={0,-4,9},此时A ∩B ={-4,9}与A ∩B ={9}矛盾,故舍去.综上所述,A ∪B ={-8,-7,-4,4,9}. 题型2 根据集合的运算求参数的取值范围 例2 设A ={x|a ≤x ≤a +3},B ={x|x<-1或x>5},当a 为何值时, (1) A ∩B ≠? ; (2) A ∩B =A ; (3) A ∪(?R B)=?R B. 解:(1) A ∩B ≠?,∵ 集合A 的区间长度为3, ∴ 由图可得a<-1或a +3>5,解得a<-1或a>2, ∴ 当a<-1或a>2时,A ∩B ≠?. (2) ∵ A ∩B =A ,∴ A ? B. 由图得a +3<-1或a>5,即a<-4或a>5时,A ∩B =A. (3) 由补集的定义知?R B ={x|-1≤x ≤5}, ∵ A ∪(?R B)=?R B ,∴ A ??R B. 由图得? ????a ≥-1,a +3≤5,解得-1≤a ≤2. 变式训练 已知A ={x|ax -1>0},B ={x|x 2-3x +2>0}. (1) 若A ∩B =A ,求实数a 的取值范围; (2) 若A ∩?R B ≠?,求实数a 的取值范围. 解:(1) 由于A ∩B =A 得A ?B ,由题意知B ={x|x>2或x<1}.若a>0,则x>1 a ≥2, 得0<a ≤12;若a =0,则A =?,成立;若a <0,则x <1 a <1,根据数轴可知均成立.综上 所述,a ≤1 2 . (2) ?R B ={x|1≤x ≤2},若a =0,则A =?,不成立;若a <0,则x <1 a <1,不成立; 若a >0,则x >1a ,由1a <2得a >12.综上所述,a >1 2 . 备选变式(教师专享) 已知集合A ={x|x 2-3x +2=0},B ={x|0≤ax +1≤3}.若A ∪B =B ,求实数a 的取值组成的集合. 解:∵ A ∪B =B ,∴ A ?B ,∴ ? ????0≤a +1≤3, 0≤2a +1≤3, ∴ ?????-1≤a ≤2,-12≤a ≤1. ∴ -12 ≤a ≤1. ∴ 实数a 的取值组成的集合为??? ?-1 2,1. 题型3 集合的综合应用 例3 设U =R ,集合A ={x|x 2+3x +2=0},B ={x|x 2+(m +1)x +m =0},若(?U A)∩B =求m 的值. 解:A ={-2,-1},由(?U A)∩B =?,得B ?A , 当m =1时,B ={-1},符合B ?A ; 当m ≠1时,B ={-1,-m},而B ?A , ∴ -m =-2,即m =2. ∴ m =1或2. 备选变式(教师专享) 50名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人,2项测验成绩均不及格的有4人,2项测验成绩都及格的人数有___________人. 答案:25 解析:全班分4类人:设两项测验成绩都及格的人数为x 人;仅跳远及格的人数为40-x 人;仅铅球及格的人数为31-x 人;两项测验成绩都不及格的人数为4人 .∴ 40-x +31-x +x +4=50,∴ x =25. 题型4 集合运算有关的新定义问题 例4 定义集合A 、B 的运算A*B ={x|x ∈A ,或x ∈B ,但x A ∩B},设A ={1,2,3,4},B ={1,2,5,6,7},则(A*B)*A =________. 答案:{1,2,5,6,7} 解析:A *B ={3,4,5,6,7},∴ (A *B)A ={1,2,5,6,7}. 备选变式(教师专享) (必修1P 14习题13改编)对任意两个集合M 、N ,定义:M -N ={x|x ∈M 且x ? N},M*N =(M -N)∪(N -M),设M ={y|y =x 2,x ∈R },N ={y|y =3sinx ,x ∈R },则M*N =________. 答案:{y|y>3或-3≤y<0} 解析:∵ M ={y|y =x 2,x ∈R }={y|y ≥0},N ={y|y =3sinx ,x ∈R }={y|-3≤y ≤3},∴ M -N ={y|y>3},N -M ={y|-3≤y<0},∴ M*N =(M -N)∪(N -M)={y|y>3}∪{y|-3≤y<0}={y|y>3或-3≤y<0}. 1. (2015·安徽)已知集合A ={0,2,4,6},?U A ={-1,1,-3,3},?U B ={-1,0,2},则集合B =________. 答案:{1,4,6,-3,3} 解析:∵ ?U A ={-1,1,-3,3},∴ U ={-1,1,0,2,4,6,-3,3}.又?U B ={-1,0,2},∴ B ={1,4,6,-3,3}. 2. (2015·泰州调研)设全集U =R ,集合A ={x|x<-1或2≤x<3},B ={x|-2≤x<4},则(?U A)∪B =________. 答案:{x|x ≥-2} 解析:由图1数轴得?U A ={x|-1≤x<2或x ≥3},再由图2数轴得(?U A)∪B ={x|x ≥-2}. 图1 图2 3. (2015·射阳中学期末)已知函数f(x)=x +1,g(x)=x 2,集合D =[-1,a](a>-1),集合A ={y|y =f(x),x ∈D}与集合B ={y|y =g(x),x ∈D}相等,则实数a 的值等于________. 答案:0或1+5 2 解析:一次函数f(x)=x +1,x ∈[-1,a](a>-1)是单调递增函数,∴ A =[0,a +1].而B 集合是指定了定义域的二次函数的值域,分如下三类情况讨论:① 若a ∈(-1,0),则g(x)单调递减,B =[a 2,1],不可能与集合A 相等;② 若a ∈[0,1],则B =[0,1],要与A 相等,须a +1=1,∴ a =0;③ 若a ∈(1,+∞),则B =[0,a 2],要与A 相等,须a +1=a 2,∴ a =1±5 2,但1-52<1,舍去.综上得a =0或1+52. 4. (2015·淮阴中学期末)已知集合A ={1,3,m},B ={1,m},A ∪B =A ,则m =________. 答案:0或3 解析:因为A ∪B =A ,所以B A ,所以m =3或m =m.若m =3,则A ={1,3,3},B ={1,3},满足A ∪B =A.若m =m ,解得m =0或m =1.若m =0,则A ={1,3,0},B ={1,0},满足A ∪B =A.若m =1,A ={1,3,1},B ={1,1},显然不成立.综上m =0或m =3. 5. (2015·宿迁中学期中)设集合A ={x|x 2-3x +2=0},B ={x|x 2+2(a +1)x +(a 2-5)=0}. (1) 若A ∩B ={2},则实数a 的值为________; (2) 若A ∪B =A ,则实数a 的取值范围为________. 答案:(1)-1或-3 (2)a ≤-3 解析:(1) ∵ A ={1,2},A ∩B ={2},∴ 2∈B ,代入B 中的方程,得a 2+4a +3=0a =-1或a =-3.当a =-1时,B ={x|x 2-4=0}={-2,2},满足条件;当a =-3时,B ={x|x 2-4x +4=0}={2},满足条件.综上,a 的值为-1或-3. (2) 对于集合B ,Δ=4(a +1)2-4(a 2-5)=4(2a +6), ∵ A ∪B =A ,∴ B ?A. ① 当Δ<0,即a<-3时,B =? ,满足条件; ② 当Δ=0,即a =-3时,B ={2},满足条件; ② 当Δ>0,即a>-3时,B =A ={1,2}. 由韦达定理得? ????1+2=-2(a +1), 1×2=a 2 -5? ? ????a =-52, a 2=7, 矛盾.综上,a 的取值范围是a ≤-3. 1. 已知A 、B 均为集合U ={1,2,3,4,5,6}的子集,且A ∩B ={3},(?U B)∩A ={1},(?U A)∩(?U B)={2,4},则B ∩(?U A)=________. 答案:{5,6} 解析:依题意及韦恩图可得,B ∩(? U A)={5,6}. 2. (2015·山东)已知集合A ={x||x -1|<2},B =???? ?? x ?? ?x -b x +2<0.若A ∩B ≠? ,则实数b 的取值范围是________. 答案:(-1,+∞) 解析:A ={x|-1 (2) 若A ∪B =R ,求实数a 的取值范围. 解:(1) 当a =1时,A ={x|-3 (2) ∵ A ={x|a -4 ????a -4<-1,a +4>51 4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛,高一(2)班共有32名同学参加三科竞赛,有16人参加语文竞赛,有10人参加数学竞费,有16人参加英语竞赛,同时参加语文和数学竞赛的有3人,同时参加语文和英语竞赛的有3人,没有人同时参加全部三科竞赛,问:同时参加数学和英语竞赛的有多少人?只参加语文一科竞赛的有多少人? 解:设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示,所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示,所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示,设只参加语文竞赛的有x 人,只参加数学竞赛的有y 人,只参加英语竞赛的有z 人, 同时参加数学和英语竞赛的有m 人.根据题意,可作出如图所示Venn 图, 则有?????x +3+3+y +m +z =32,x +3+3=16,y +m +3=10,z +m +3=16, 解得x =10,y =3,z =9,m =4. 答:同时参加数学和英语竞赛的有4人,只参加语文一科竞赛的有10人. 1. 集合的运算结果仍然是集合.进行集合运算时应当注意: (1) 勿忘对空集情形的讨论; (2) 勿忘集合中元素的互异性; (3) 对于集合A的补集运算,勿忘A必须是全集的子集; (4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围问题时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观.还要注意“回代检验”,从而对所求数值进行合理取舍. 2. 在集合运算过程中应力求做到“三化” (1) 意义化:首先明确集合的元素的意义,它是怎样的类型的对象(数集、点集,图形等)?是表示函数的定义域、值域,还是表示方程或不等式的解集? (2) 具体化:具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等;不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式. (3) 直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来,从而借助数形结合思想解决问题. 请使用课时训练(B)第2课时(见活页). [备课札记] 第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (对应学生用书(文)、(理)5~6页) 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义; 理解必要条件、充分条件、充要条件的意义;了 解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;了解 全称量词与存在量词的意义;了解含有一个量词 的命题的否定的意义. ①会分析四种命题的相互关系. ②会判断必要条件、充分条件与充要条件. ③能用“或”“且”“非”表述相关的数学 内容(真值表不做要求). ④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学 内容. ⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1. (课本习题改编)命题“若x=3,y=5,则x+y=8”的逆命题是________. 答案:若x+y=8,则x=3,y=5 解析:将原命题的条件和结论互换,可得逆命题. 2. (课本习题改编)命题“当AB=AC时,△ABC为等腰三角形”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是________. 答案:2 解析:当AB=AC时,△ABC为等腰三角形为真,故逆否命题为真,逆命题:△ABC 为等腰三角形,则AB=AC为假,故否命题为假. 3. (课本习题改编)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的________ 条件. 答案:必要而不充分 解析:由a-c>b-d变形为a-b>c-d,因为c>d,所以c-d>0,所以a-b>0,即a>b,所以a-c>b-d a>b.而a>b并不能推出a-c>b-d,所以a>b是a-c>b-d的必要而不充 分条件. 4. (课本习题改编)若命题p:2是偶数;命题q:2是3的约数,则下列结论中正确的是 ________.(填序号) ①“p∨q”为假;②“p∨q”为真;③“p∧q”为真. 答案:② 解析:命题p为真命题,命题q为假命题,故“p∨q”为真命题. 5. (课本习题改编)命题p:?x>1,log2x>0,则?p是________. 答案:x>1,log2x≤0 解析:全称命题的否定是存在性命题. 1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题 命题表述形式 原命题若p,则q 逆命题若q,则p 否命题若非p,则非q 逆否命题若非q,则非p (2) 四种命题间的逆否关系 (3) 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 2. 充分条件与必要条件 (1) 如果p?q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2) 如果p?q,且q?p,那么称p是q的充要条件,记作p?q. (3) 如果p?q,q?/p,那么称p是q的充分不必要条件. (4) 如果q?p,p?/q,那么称p是q的必要不充分条件. (5) 如果p?/ q,且q?/ p,那么称p是q的既不充分也不必要条件. 3. 简单的逻辑联结词 (1) 用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”. (2) 用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”. (3) 一个命题p的否定记作?p,读作“非p”或“p的否定”. (4) 命题p∧q,p∨q,?p的真假判断 p∧q中p、q有一假为假,p∨q有一真为真,p与非p必定是一真一假. 4. 全称量词与存在量词 (1) 全称量词与全称命题 短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,并用符号“x”表示. 含有全称量词的命题,叫做全称命题. 全称命题“对M中任意一个x,都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. (2) 存在量词与存在性命题 短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,并用符号“x”表示. 含有存在量词的命题,叫做存在性命题. 存在性命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为x∈M,p(x),读作“存在一个x属于M,使p(x)成立”. 5. 含有一个量词的命题的否定 命题命题的否定 x∈M,p(x) ?x∈M,?p(x) ?x∈M,p(x) ?x∈M,?p(x) 题型1四种命题及其相互关系 例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假. (1) 如果两圆外切,那么两圆的圆心距等于两圆半径之和; (2) 奇数不能被2整除. 解:(1) 逆命题:如果两圆的圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,真; 否命题:如果两圆不外切,那么两圆心距不等于两圆半径之和,真; 逆否命题:如果两圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,真. (2) 逆命题:不能被2整除的数是奇数,假; 否命题:不是奇数的数能被2整除,假; 逆否命题:能被2整除的数不是奇数,真. 变式训练 判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则判断a≥1”的逆否命题的真假. 解:原命题:已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1. 逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集. 判断如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上, 判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. ∵a<1, ∴4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点, ∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真. 备选变式(教师专享) 设原命题为“已知a、b是实数,若a+b是无理数,则a、b都是无理数”.写出它的逆命题、否命题和逆否命题,并分别说明它们的真假. 解:逆命题:已知a、b为实数,若a、b都是无理数,则a+b是无理数. 如a=2,b=-2,a+b=0为有理数,故为假命题. 否命题:已知a、b是实数,若a+b不是无理数,则a、b不都是无理数. 由逆命题为假知,否命题为假. 逆否命题:已知a、b是实数,若a、b不都是无理数,则a+b不是无理数. 如a=2,b=2,则a+b=2+2是无理数,故逆否命题为假. 题型2充分条件和必要条件 例2 证明:“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”. 证明:充分性: ∵a+b+c=0, ∴c=-a-b, ∴ax2+bx+c=ax2+bx-a-b=0, ∴a(x-1)(x+1)+b(x-1)=0, ∴(x-1)[a(x+1)+b]=0, ∴x=1或a(x+1)+b=0, ∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根. 必要性: ∵x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根, ∴a+b+c=0. 综上,命题得证. 备选变式1(教师专享) 不等式x 2-2mx -1>0对一切1≤x ≤3都成立,求m 的取值范围. 解:令f(x)=x 2-2mx -1. 要使x 2-2mx -1>0对一切1≤x ≤3都成立, 只需f(x)=x 2-2mx -1在[1,3]上的最小值大于0即可. 当m ≤1时,f(x)在[1,3]上是增函数, f(x)min =f(1)=-2m>0,解得m<0, 又m ≤1,∴ m<0; 当m ≥3时,f(x)在[1,3]上是减函数, f(x)min =f(3)=8-6m>0,解得m<4 3 , 又m ≥3,∴ 此时不成立; 当1 f(x)min =f(m)=-m 2-1=-(m 2+1)>0不成立. 综上所述,m 的取值范围为m<0. 备选变式2(教师专享) 下列各题中,p 是q 的什么条件? (1) p :x =1;q :x -1=x -1. (2) p :-1≤x ≤5;q :x ≥-1且x ≤5. (3) p :三角形是等边三角形;q :三角形是等腰三角形. 解:(1) 充分不必要条件. 当x =1时,x -1=x -1成立; 当x -1=x -1时,x =1或x =2. (2) 充要条件.-1≤x ≤5x ≥-1且x ≤5. (3) 充分不必要条件.等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定都是等边三角形. 题型3 逻辑联结词 例3 命题p :关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,q :函数f(x)=(3-2a)x 是增函数,若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围. 解:设g(x)=x 2+2ax +4, 由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,∴ 函数g(x)的图象开口向上且 与x 轴没有交点,故Δ=4a 2 -16<0, ∴ -2 ∵ 函数f(x)=(3-2a)x 是增函数, ∴ 3-2a>1, ∴ a<1. 又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假. 若p 真q 假,则?