运筹学 整数规划建模
运筹学-4-整数规划
若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步；
2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算， 若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
x1 , x2 , xn 0
实际问题要求xi为整数！ 如机器的台数，人数等
第四章 整数规划
例: 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌 子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌子 和椅子需要木工和油漆工两种工种。生产一个 桌子需要木工4个小时，油漆工2小时。生产一 个椅子需要木工3个小时，油漆工1小时。该厂 每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为 50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销 售收入最大？
第四章 整数规划
min z cij xij [1200 y3 1500 y4 ]
i 1 j 1 4 4
x11 x21 x31 x41 350 x12 x22 x32 x42 400 x13 x23 x33 x43 300 x14 x24 x34 x44 150 x x x x 400 11 12 13 14 s .t x21 x22 x23 x24 600 x31 x32 x33 x34 200 y3 x41 x42 x43 x44 200 y4 x 0 ( i , j 1, 2, 3, 4) ij yi 0,1 ( i 1, 2)
运筹学-整数规划建模
• 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这 些项目的每年投资额，使到第 5 年末拥有的资 金本利总额为最大? 8
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表 示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额；
变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x1B x2B x3B x4B x5B C x2C D x3D
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题， 是0—1规划。
yj
x yj
yj
xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 B ：每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 C：第2年初可以投资，到第5年未能回收本利 140% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目D：第3年初可以投资，到第5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于2万元；
B2 顾客 B3 仓库固定 运营费 仓库 A1 仓库 A2
顾客需求量 6 6 150 4 5 150 6 5 200 10 11
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
费用:
fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物的运费 约束条件： i)每个顾客的需要量dj必须得到满足； ii)只能从动用的仓库运出货物。
第j项工作)．于是得到一个0--1整数规划问题：
整数规划建模
例．某企业在 A1 地已有工厂，其产品的生产能 力为30 万箱。为扩大生产，拟在 A2，A3，A4， A5地中再选择若干地建厂。已知在 A2 ， A3， A4，A5地建厂的固定成本分别为17.5、30、 37.5、50万元，另外， A1产量及A2，A3，A4， A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到 销地的单位运价(每万箱运费)如右下表所示。 问应该在哪些地方建厂，在满足销量的前提下， 使得其总的固定成 销地 本和总的运输费用 B B B 产量(千吨) 产地 之和最小? A 8 4 3 30
运筹学课件第五章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数
max c x Ax b s .t . x 0
1、整数规划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)
《运筹学》第6章 整数规划
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
第八章 运筹学课件整数规划
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
运筹学 第六章 整数规划 第一讲 整数规划数学模型与纯整数规划的求解
A B C D E
6 4 2 4 5
10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。 问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？
6.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
① 求解LP : 如果LP无最优解, 则IP无最优解;
设LP的最优解为x , 最优值为z , 则IP的最优值z * 满足 :
z z* z
其中 z 为IP在任何一个可行解处的目标值.
② 检验与分支：
如果x 满足IP的整数要求, 则x为IP的最优解：z* z . 否则 考虑一个不满足整数要求的xr , 将约束
示不安排第i人去做 j工 作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。
整数线性规划数学模型的一般形式：
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1 n
要求一部分或全部决策变量取整数值
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
xr xr 和
xr xr 1
分别加入LP形成两个子问题 a] ([
不超过a的最大整数)
6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming
Ch6 整数规划 Integer Programming
n
max
z cj xj
j 1
ij j
不考虑整数条件，由余下的目标函数和 约束条件构成的规划问题称为该整数规 划问题的松弛问题。
运筹学4整数规划
例4.4 对如下整数规划
max z x1 x2 x1 x2 1 s.t 3 x1 x2 4 x , x 0, x , x 为整数 1 2 1 2
17
步骤1：不考虑整数条件，引入松弛变量 x3 , x4，
化为标准形式，用单纯形法求解得到： 表4－2
xB
x1
b
3/4
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4
1/4
x2
7/4
0
0
1
0
3/4
-1/2
1/4
-1/2
最优解为： x1
3/ 4, x2 7 / 4
。
18
步骤2：
最优表中 x1 1/ 4x3 1/ 4x4 3/ 4 -1/4 -整数和非负真分数之和
x1 x3 3/ 4x3 1/ 4x4 3/ 4
5
解：设 x i (i 1, 2,,7) 表示是否在位置i 建立门市 部，有 ，当Ai点被选用 i 1, 2,, 7 1 xi 0，当Ai点没被选用
则可以建立如下的数学模型：
max z c i x i
i 1
7
目标函数表示寻求获利最大
x1 x 2 x 3 2 s.t x 4 x5 1 x6 x7 1 x i 0或1
问题（B1）和（B2）的可行域中包含了原整数 规划问题的所有整数可行解，而在 4 x1 5中不 可能存在整数可行解。
10
分别求解这两个线性规划问题，得到的解是：
x1 4, x2 2.1, z 349 和 x1 5, x2 1.57, z 341 变量 x2 仍不满足整数的条件，对问题（B1）， 必有 x2 3或x2 2，将（B1）增加约束条件，得到
运筹学-1整数规划的数学模型
xi 0,且取整数, yi 0或1 i 1,2
（2） 由于不同载体所装物品不一样，数学模型为
max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10＋My2
(a)
1.8x1 0.6x2 12 My1
(b)
2x1 1.5x1
2.5x2 2x2
25 20
My2 My1
(c) (d )
y1 y2 1 x1, x2 0,且均取整数,
y
0或1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 8 of 15
式中M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1，y2=0)， 式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时(y1=0，y2=1)，式(a)和(c)是多
运筹学
Operations Research
Chapter 5 整数规划
Integer Programming
1.整数规划数学模型Mathematical Model of IP 2 .分枝定界法 Branch and Bound Method 3. 割平面法 cutting-plane Method 4. 0－1规划 Binary Integer Programming 5. 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 7 of 15
（1） 由于所装物品不变，式(8.1)约束左边不变，整数规划数学 模型为 max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10y1＋12y2
2x1 2.5x2 25y1 20y2 y1 y2 1
运筹学实验四_整数规划问题建模及其求解
实 验 报 告 四一、实验目的1、进一步掌握建立整数规划问题数学模型的方法和步骤；2、进一步掌握整数规划问题求解方法和步骤。
二、实验的内容某大学运筹学专业硕士生要求课程计划中必须选修两门数学类，两门运筹学类和两门计算机类课程，课程中有些只归属某一类，如微积分归属数学类，计算机程序归属计算机类；但有些课程是跨类，如运筹学可归为运筹学类和数学类，数据结构归属计算机类和数学类，管理统计归属数学和运筹学类，计算机模拟归属计算机类和运筹学类，预测归属运筹学类和数学类，凡归属两类的课程选学后可认为两类中各学了一门课。
此外有些课程要求先学习先修课，如学计算机模拟或数据结构必须先修计算机程序，学管理统计须先修微积分，学预测须先修管理统计。
问一个硕士生最少应学几门课及哪几门课？才能满足上述要求。
三、实验步骤1、分别建立整数规划问题的数学模型；解：设微积分、计算机程序、运筹学、数据结构、管理统计、计算机模拟、预测分别属于第1、2、3、4、5、6、7门课程，每门课程均有选择和不选择两种可能，为此令j x =1 （表示选该课程）或者0（表示不选这门课程），则数学模型为：Min z=∑=71j jx1x +3x +4x +5x +7x =2 3x +5x +6x +7x =22x +4x +6x =2 2x >=6x 2x >=4x 1x >=5x5x >=7xj x =0或1 j=0,1,2,3,4,5,6,72、运用运筹学商用软件包求解整数规划问题的数学模型； Zero One Programming╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║Problem Title : first ║║Type of Problem (Max=1/Min=2) 2 ║║Number of Constraints 7 Number of Variables 7 ║╚═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║ X1 X2 X3 X4 X5 X6 ║║Obj. 1 1 1 1 1 1 ║║C1 1 0 1 1 1 0 ║║C2 0 0 1 0 1 1 ║║C3 0 1 0 1 0 1 ║║C4 0 1 0 0 0 -1 ║║C5 0 1 0 -1 0 0 ║║C6 1 0 0 0 -1 0 ║║C7 0 0 0 0 1 0 ║║ ║Zero One Programming╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║***** Input Data ***** ║║║║Min. Z = 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 1x5 + 1x6 + 1x7 ║║║║Subject to ║║║║C1 1x1 + 1x3 + 1x4 + 1x5 + 1x7 = 2 ║║C2 1x3 + 1x5 + 1x6 + 1x7 = 2 ║║C3 1x2 + 1x4 + 1x6 = 2 ║║C4 1x2 - 1x6 >= 0 ║║C5 1x2 - 1x4 >= 0 ║║C6 1x1 - 1x5 >= 0 ║║C7 1x5 - 1x7 >= 0 ║║║║***** Program Output ***** ║║║║Iteration 1 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 ║║║Iteration 2 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 1 ║║║║Iteration 3 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 1 2 ║║║║Iteration 4 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 1 2 6 ║║║║Iteration 5 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 1 2 -6 ║║║║Iteration 6 ║║----------- ══╗║Partial solution set : 3 1 -2 ║║║║Iteration 7 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 1 -2 6 ║║║║Iteration 8 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 1 -2 -6 ║║║║Iteration 9 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 -1 ║║║║Iteration 10 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 -1 2 ║║║║Iteration 11 ║╚════════════════════════════════════║----------- ║║Partial solution set : 3 -1 2 4 ║║║║Iteration 12 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 -1 2 -4 ║║║║Iteration 13 ║║-----------║Partial solution set : 3 -1 2 -4 6 ║║║║Iteration 14 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 -1 2 -4 -6 ║║║║Iteration 15 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 -1 -2 ║║║║Iteration 16 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 -1 -2 4 ║║║║Iteration 17 ║║----------- ║║Partial solution set : 3 -1 -2 -4 ║║║║Iteration 18 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 ║║║Iteration 19 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 ║║║║Iteration 20 ║║║Partial solution set : -3 1 5 ║║║║Iteration 21 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 5 2 ║║║║Iteration 22 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 5 -2 ║║║║Iteration 23 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 5 -2 6 ║║║║Iteration 24 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 5 -2 -6 ║║║Iteration 25 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 -5 ║║║║Iteration 26 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 -5 2 ║║║║Iteration 27 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 -5 2 4 ║║║║Iteration 28 ║║----------- ║║Partial solution set : -3 1 -5 2 -4 ║║║║Iteration 29 ║║Partial solution set : -3 1 -5 2 -4 6 ║║║║Iteration 30 ║║-----------║║Partial solution set : -3 1 -5 2 -4 -6 ║║║║║║Final Optimal Solution at iteration 48 ║║║║Z = 4.000 ║║║║-------------------- ║║Variable Value ║║║x 1 1 ║║x 2 1 ║║x 3 1 ║║x 4 0 ║║x 5 0 ║║x 6 1 ║║x 7 0 ║║-------------------- ║║║║***** End of Output ***** ║╚═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝╔════════════════════════════════════3、分析求解结果。
运筹学第五章 整数规划
2、0-1型变量常用来表示是否处于某个特定状态
例5.6
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产品 生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划，使 总收益最大。
0-1型变量常用来表示两个选项中非此即彼的选择
例5.7 用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺序，以及产品在机 床上的加工工时见下表，且要求工件二的总工时不超过d。现要求确定 各件产品在机床上的加工方案,使在最短的时间内加工完全部产品.
A 甲 15 B 17 C 21 D 24
乙
丙 丁
19
26 19
23
17 21
22
16 23
18
19 17
解：令 xij=
1 若指派第i 人做第j 事 （i, j=1, …, n） 0 若不指派第i 人做第j 事
每个人只能完 成一项任务
满足约束条件的可行解 也可写成矩阵形式，称 为解矩阵。如例5.9的一 个可行解矩阵是:
每行减该行最小数
0 1 10 2
2 5 1 4
6 4 0 6
9 0 3 0
每列减该列最小数
0 1 10 2
1 4 0 3
6 4 0 6
产品1
产品2
产品3
a11 机床1 a21 机床1
a22 机床2 a32 机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14 机床4 a24 机床4
xij表示第i种产品在第j台机床上加工的开始时间。 同一件产品在下一台机床上加工的开始时间不得早 1 同一 于在上一台机床上加工的结束时间 件产品 产品1：x11+a11x13 及 x13+a13x14 在不同 机床上 产品2：x21+a21x22 及 x22+a22x24 的加工 产品3：x32+a32x33 顺序
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
整数规划
北京理工大学珠海学院 廖爱红
aihongliao@
本章内容要点
? 整数规划相关概念 ? 整数规划问题的一般特点 ? 整数规划建模举例
引例
经济管理当中经常存在人员分派问题，企业中有 4个 人可以胜任 4 项不同工作的任意一项，但是完成工作 的效率有所不同。如表所示：
人 任
m
? yi ? k i? 1
（6-5 ）
式（6-5 ）说明，非零分量至多有k个。
6.2 整数规划问题建模
? 整数规划问题的特征： 变量取值范围是离散的，在经
典连续数学中的理论和方法一般 无法直接用来求解整数规划问题， 求解时需要技巧。
整数规划建模P305 例P305 S2.1
京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四 区建立销售门市部，拟议中有 10个位置 Aj ( j＝1， 2，3，…， 10) 可供选择，考虑到各地区居民的消 费水平及居民居住密集度，规定：
在东区 A1 ， A2 ，A3 , 3 个点至多选择 2 个； 在西区 A4 ， A5 ，2 个点中至少选 1 个； 在南区 A6 ， A7 ，2 个点中至少选 1 个； 在北区 A8 ， A9 ， A10 ，3 个点中至少选 2 个。
24
整数规划建模P305 例P305 S2.1
x ij : 从仓库 i到 j 顾客运送的货物量
顾客 B1 顾客 B2
仓库 A1
6
4
仓库 A2
6
5
顾客需求量 150 150
顾客 B3
6 5 200
仓库固定 运营费
10 11
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
费用: fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物的运费
约束条件：
i) 每个顾客的需要量dj必须得到满足；
ii) 只能从动用的仓库运出货物。
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
?
? min
?
?
? ?
s .t
.
m
n
? ? c ij x ij
i?1 j?1
m
? x ij ? d j
m
? ? i ? 1 f 迫取i y使足i 当够y大i=的0数时，， xij 必须为 0
? 项目 B ：每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6% ，投资金额必须为 1万元的整数倍；
? 项目 C：第2年初可以投资，到第 5年未能回收本利 140% ，投资金额必须为 1万元的整数倍；
? 项目D：第3年初可以投资，到第 5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于 2万元；
? 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这
些项目的每年投资额，使到第 5 年末拥有的资
金本利总额为最大?
9
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分
别表示第 i 年年初给项目 A，B，C，D的投资额；
变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
A
x1A
x2A
x3A
x4A
B
x1B
x2B
x3Bx4BLeabharlann x5BCx2C
D
x3D
10
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
（2 ）指示变量： 指示不同情况的出现
P139
例.有m个仓库，要决定动用哪些仓库，满足n
个顾客对货物的需要，并决定从各仓库分别
令向不同y顾i ?客???运送1 多动少用货物i 仓？库 i ? 1, 2,
,m
?? 0 否则
( y i 为指示变量 )
? 在实际问题中，如果至少有 k个约
束成立时，只需附加下列约束：
m
? yi ? k
i?1
②最优解中非零分量个数的限制。在许 多实际问题中，对最优解中的非零分量 个数有所限制。类似上述分析可对每个
决策变量xi找到其上界Mi，并引入指示 变量yi。附加下式
xi ? Mi yi ? 0 i ? 1,2,?, n （6-4）
（3）线性规划模型的附加条件
? 在许多实际问题中，线性规划模型中 的约束条件允许一定范围的放宽或对 个别因素有进一步限制时，常可通过 引入0—1变量来处理。下面介绍几种 情况，作为一种建模思路的启示。
①不同时成立的约束条件。设某个模型 问题中的约束条件不必同时成立，有
m个线性不等式约束
n
? aij x j ? bi i ? 1,2,? , m
的资金。目标是在各阶段资金限制 下使整个投资的总收益最大。
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题，
是0—1规划。
yj
x yj yj xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
? 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为 1万元的整数倍；
j ? 1,2 ,? , n
?
i?1
? ? ?? n
?
n
x ij ? y i
dj ? 0
i ? 1,2 ,? , m
? j?1
j?1
? ?
x
ij
?
0
i ? 1,2 ,? , m
j ? 1,2 ,? , n
? ?
y
i
?
0或 1
i ? 1,2 ,? , m
?
?
?
6.1.2 建模中常用的处理方法 （续）
甲
乙
丙
丁
务
A
10
12
13
15
B
15
10
15
22
C
15
15
14
17
D
20
15
13
16
为了使得企业获得最好的经济效益，应该如何分派这 四个人完成四项不同工作？
6.1 整数规划问题的提出
6.1.1 问题特征
变量取值范围是离散的，经典连 续数学中的理论和方法一般无法 直接用来求解整数规划问题。
? 不考虑整数条件，由余下的目标函数和约 束条件构成的规划问题称为整数规划问题 的松弛问题。若松弛问题是一个线性规划 问题，则称该整数规划问题为整数线性规 划问题。
? 整数线性规划问题的分类：
纯整数线性规划问题： 要求全部变量均取整数
混合整数线性规划问题： 要求部分变量取值为整数
0-1整数线性规划问题： 决策变量取值为 0或1
6.1.2 整数规划建模中常用的处理方法
（1）资本预算问题
设有n个投资方案， cj为第j个投资 方案的收益。投资过程共分为 m个 阶段，bi为第i个阶段的投资总量， aij为第i阶段第j项投资方案所需要
j?1
对每个约束引入一个指示变量yi，并得
到每个约束左端的一个上界
Mi(i=1,2,…, n)，建立下列不等式：
n
? aij x j ? M i yi ? bi ? M i i ? 1,2,? , m
j ?1
? 显然，当yi=1时，两式等价；当 yi=0 时，第二个式子是恒成立，相
当于除去了这个限制。