带启动时间的N_策略M_G_1排队

带启动时间的N -策略M/G/1排队
申玉红
(德宏师范高等专科学校数学系,云南　潞西,678400)
【摘　要】本文研究了带启动时间的N -策略M/G/1排队,利用嵌入马氏链和母函数的方法,给出了此排队系统的稳态队长,并分析了系统的忙期、忙循环等性能指标。

【关键词】N -策略排队;启动时间;稳态队长;嵌入马氏链
1　引言
在许多实际系统中,为了降低成本,当服务系统中无顾客时应关闭服务设备.当有顾客到达再次工作时通常需要一个随机的启动时间[1]在经典排队系统中考虑启动时间已被研究过[2],在休假排队系统中,带启动时间的单重休假排队与多重休假排队已被研究[3,4],但在N -策略休假排队中还没有考虑过启动时间,本文研究了带启动时间的N -策略排队,给出了此排队系统的一些排队指标。

2　模型分析及相关记号
模型描述如下:带启动时间的N 策略M /G/1排队是指,顾客到达遵循参数为λ的Poisson 过程,服务时间服从一般分布,单服务台工作,一旦系统内无顾客,服务员立刻开始休假,直到到达的顾客数达到N ,服务员立刻开始一个随机长度的启动时间后,才能开始为顾客服务,直到服务台再次变成空闲。

假定到达间隔和服务时间相互独立,使用先到先服务规则。

相关记号及意义:记服务时间分布函数为B (t ),V (t )为启动时间分布函数,平均启动时间E (V )=∫∞0t dV (t ),以V 3(S ),B 3(s )分别表示V (t ),B (t )的拉普拉斯—斯蒂尔阶斯变换(简记为L S T ),μ-1和b (2)分别表示服务时间的一,二阶矩,服务强度ρ=
λμ。

3　稳态队长采用文献[1～5]中的嵌入马氏链和边际分析法求平均队长,以Q b 表示忙期开始时系统中的顾客数,则
P (Q b =j =V j -N =∫∞0
(λt )j -N (j -N )!e -λt dV (t )　j ≥N ,并有母函数
Q b (z )=∑∞j =N P (Q b -j )z j =∑∞j =N V j -N z j =z N V 3(λ(1-z ))
以L v 表示时刻t 排队系统中的顾客数,L n 是第n 个顾客完成服务离去后系统内顾客数。

{L n ,n ≥1}是队长过程的嵌入M arkov 链.在相继离去时刻系统中顾客数之间存在着关系式
收稿日期:2008-01-02
作者简介:申玉红(1982—　
),女,山东菏泽人,德宏师范高等专科学校数学系硕士生,助教。

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8　德宏师范高等专科学校学报 2008年第1期第17卷　No112008　vol 117
L n +1
=L n -1+A L n ≥1
Q b -1+A L n =0
其中A 是一个服务时间内到达的顾客数,有概率分布及母函数
a j = ∞0(λt )j j !
e -λt d (B )t j ≥0,A (z )=B 3(λ(1-z )){L n ,n ≥1}的转移矩阵P 为
P =h 0　h 1　h 2
　h 3
a 0　a 1　a 2　a 3
a 0　a 1　a 2
a 0　a 1
…
…
…
这里
h j =P (Q b -1+A =j )=0 j <N -1∑j -N +2
j =1V i -1a j -N +2-i j ≥N -1
其中,h j 是忙期开始的第一个顾客离去时系统中恰有j 个顾客的概率。

当ρ<1时稳态分布存
在,记为π=(π0,π1……
),且满足πP =π,代入转移矩阵得出 πk =∑k +1
j =1πj a k +1-j k =0,1,…,N -2 πk =π0h k +∑k +1
j =1πj a k +1-j k ≥N -1于是{πk ,k ≥
0}的母函数是 L v (z )=∑N -2k =0z k
∑k +1j =1πj a k +1-j +∑∞k =N -1z k
(π0h k +∑k +1
j =1πj a k +1-j )=1
z (L v (z )-π0)B 3(λ(1-z ))+π0Q (z )B
3(λ(1-z ))由此解得
L v (z )=
π0(Q b (z -1)B 3(λ(1-z ))z -B 3(λ
(1-z ))使用正规化条件L v (1)=1,可确定π0=1-ρN +λE (V )
,代入前式得 L v (z )=1-ρN +λE (V )(Q b (z -1)B 3(λ(1-z ))z -B 3(λ
(1-z ))由E[L v ]=L v (z )′|z =1,两次使用罗比塔法则,得到
E[L v ]=ρ+λ2b (2)2(1-ρ)+N (N -1)+2N λE (V )+λ2[E (V )]22(N +λE (V ))4　忙期和忙循环
设D v 表示N -策略M/G/1排队的忙期.由于到达间隔的无后效性,由j 个顾客开始的忙期长度是经典M /G/1排队中忙期D 的j 重独立和D j ,现在忙期开始时系统中有Q b 个顾客,于是D v 有L S T ,D v 3(s )=Q b (D 3(s ))=D 3(s )N V 3(λ(1-D 3(s ))),其中D 3(s )是D 的L S T 。

平均忙期E[D v ]=
-D 3v (s )|′s =0=N +λE (V )μ(1-ρ)。

一个忙循环由空闲期,启动期和忙期合并而成.空闲长度由N 个到达间隔组成,服从Erl ang 分布,有均值N λ,平均启动时间为E (V ).所以忙循环的均值为
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T =N +λE (V )μ(1-ρ)+N λ+E (V )=N +λE (V )μ(1-ρ)
5　模型应用举例
1.我们考虑一个残品修理问题,假设某车间生产一种部件,出现的残品以容量N 积存,等待修理工进行修理,修理工除了修理工作之外,当没有积存的残品时,还要做另外一项辅助工作,当残品数量达到N 时,他才转入修理工作,而在修理之前有一段随机的修理准备时间,因此,对残品的修理工作是一个带启动时间的N -策略休假排队。

2.在A T M 通信网虚通道连接中,建立连接有两种不同的机制,其中转换式虚通道连接随需求的到达和离去而动态的建立和关闭.然而,过于频繁的建立连接,需要花费网络管理成本,为了适当减少重建连接的次数,要求到达缓冲器中的信元数必须达到某个值N ,服务器才予以连接,而建立连接需要一个时间,因此这是一个带启动时间的N -策略休假排队模型。

3.由于具有广阔的应用前景,近年来无线传感器网得到了广泛的关注。

在无线传感器网中,能量效率是无线传感器网设计需要考虑的一个重要性能指标。

数据块的传输是由源节点传向目的节点的,节点有两种状态,休眠状态和激活状态,当无数据块传输时其处于休眠状态,此时无能耗,当有数据块传输时处于激活状态,此时有能耗。

当有数据块到达需要传输时,节点由休眠状态转向激活状态,此时需要一个激活时间,并有一个相对大的能耗。

为了降低能耗,即减少节点转换次数,当节点处于休眠状态时,当数据块数量达到某个值N 时,节点才从休眠状态转向激活状态,直到无数据块传输时再次转向休眠。

因此这也是一个带启动时间的N -策略休假排队模型。

参考文献:
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