刚体的平面运动

第十章刚体平面运动教学目标1 明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法，能够正确判断机构中作平面运动的刚体。

2 能熟练地应用各种方法——基点法、瞬心法和速度投影法求平面图形上任一点的速度。

3 会应用基点法求平面图形上任一点的加速度。

本章重点以运动的分解与合成为出发点，研究求平面图形上各点的速度和加速度的基点法，以求速度为主，速度投影发与瞬心法从基点法推导出来。

本章难点正确理解平面运动分解为随基点的平动和饶及点的转动时，选基点的意义和相对基点转动的运动特征；速度瞬新的概念。

教学过程一、平面运动的概念1．平面运动的概念引例1：汽车沿直线行驶时，车轮的运动（图10.1）车轮的运动随着车身的平动+相对车身的转动。

引例2．曲柄连杆机构的连杆AB的运动引例3．板擦在黑板上的任意运动上述运动有何共性？平面运动定义：刚体运动时其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，也就是说刚体内的各点都在平行于固定平面的某一平面内运动。

2．力学模型简化设刚体作平行于固定平面的运动 A 点代表21A A 线段的运动 B 点代表21B B 线段的运动 平面图形S 代表刚体运动结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。

3．运动方程确定平面图形S 在Oxy 坐标系内的位置只需确定任一线段AB 在Oxy 中的位置确定AB 线段的位置，需确定坐标),,(ϕA A y x ,A 点称为基点。

所以平面运动的运动方程：)()()(t t y y t x x A A A A A ϕϕ=== （10.1）其上任一点M 的运动方程为)s i n ()c o s (θϕθϕ++=++=AM y y AM x x A M A M （10.2）式中AM 的长度和θ是常量，所以只要方程（10.1）确定，M 点的运动就可确定。

4．运动的分解及分解运动的特性分析特例分析：在方程（10.1）中，若C =ϕ则“S ”作平动 ，若⎩⎨⎧==21C y C x AA 则“S ”作定轴转动一般情况下，平面运动可以看成为由平动和定轴转动的合成。

运动分解：研究对象：平面图形S 静系：固定平面Oxy 。

动系：y x A ''（其中A 是“S ”上一点，y x A ''伴随A 作平动,是虚构的一坐标系）。

牵连运动：动系y x A ''随A 点平动。

相对运动：绕A 点转动所以，平面运动 随基点A 平动+相对基点A 转动。

分解运动特性：平动：随基点的不同而不同转动：相对不同基点转过的角位移、角速度和角加速度都是相同的，即转动与基点选择无关。

证明1：AB证明2：Xθϕϕ+=A B θ常量A B ϕϕ= ωωω==A B A B ϕϕ= ααα==A B 二．平面图形的角速度及图形上各点速度分析 1．基点法（合成法）平面运动随基点平动+相对基点的转动设已知A 点速度A v 和角度ω求图形上任一点B 的速度。

ωABAAvAvB点的速度为：BAABvvv+=（10.3）式中eAvv=，，其中ωABvBA=ABvBA⊥,式（10.3）只能求2个求知量，通常的已知量为Av 和BAv 的方向。

式（10.3）也可用矢量求导得到，rrAB+=是常量。

rrAB⨯+=ω其中BBvr=，AAvr=，BAv=⨯ω，也即BAABvvv+=2．速度投影法将式（10.3）向AB连线和AB连线的正垂向投影，有[][]ABAABBvv=（10.4）[][]BAABvvv+=⊥⊥[][]ABvvAB⊥⊥-=ω（10.5）式（10.4）称为速度投影定理，是刚体不变形的属性，式（10.5）中的正垂向投影过B 点作逆时针转90的射线为正方向，如图10.9中的BAv所指的方向。

例10.1如图11所示，在曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长为R，绕O轴以ω逆时针转动，求 45=θ， 15=ψ时，滑块B 的速度B v及连杆AB 的角速度AB ω。

解：1. 分析运动：OA 杆定轴转动，AB 杆作平面运动 2．分析速度OA 杆：0ωR v A =，AB 杆：BA A B v v v+= 只有2个未知量，可求解,由速度合成图11，有45sin 75sin 60sin BAA B v v v ==求得 0897.075sin 60sin ωR v v A B == ，75sin 45sin A BA v v = 而0268.045sin 15sin 75sin ωω=⨯==R v AB v A BA AB另解：用速度投影法：AB设B v方向如图10.12所示[]AB ： 15cos 30cos B A v v -=0897.015cos 30cos ωR v v AB -=-=（负号说明与假设相反） []:⊥ （y '轴指向为正）[][]ABv AB v v ABv v A A B A B AB )30sin 15cos 15sin 30cos (30sin 15sin+-=-=-=⊥⊥ω0268.015cos 15sin ω-=-=AB v A (负号说明AB ω是顺时针转向的) 问题，若求?=C v（C 点是AB 杆的中点）例10.2在图10.13所示的平面机构中，已知r AC OA ==，r B O 21=， 30=θ，OA 杆以0ω绕O 轴匀速转动，在图示位置时，OA 、CB 沿水平方向，B O 1、AC 沿铅垂方向，试求此瞬时（1）B O 1杆的角速度B O 1ω 。

（2）板上C 点速度?=C v。

图13.b解：1.分析运动OA 杆，B O 1杆定轴转动 ABC 作平面运动 2．分析速度 OA ： 0ωr v A =ABC ： BA A B v v v+= 由速度合成图：033t a n ωθr v v A B == 0332c o s ωθr v v A BA ==033ωω==AB v BA AB B O 1：01631ωω==B O v B B O3．求C vCA A C v v v += 其中AB CA AC v ω= 由图10.13： 033ωr v v cA cx -=-= 0ωr v v A cy == 033ωr j i v C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=问题：若不分析B 点速度，求出AB ω，能否求出C v？例10.3图10.14中给出一种平面铰接机构，已知杆A O 1的角速度是1ω，杆B O 2的角速度是2ω，转向如图10.14所示。

在图示瞬时，杆A O 1铅直，杆AC 和B O 2水平，而杆BC 对铅直线成偏角 30，又l B O =2，l A O 31=。

试求该瞬时点C 的速度。

解：1 分析运动A O 1、B O 2杆作定轴转动， AC 、BC 杆作平面运动。

2 分析速度 A O 1：13ωl v A =B O 2：2ωl v B =AC ： CA A C v v v+= （a ） BC ： CB B C v v v+= （b ） 由式（a ）、（b ）得：∴ []j i l v C)(3211ωωω+-=3． 速度瞬心法引言：BA A B v v v +=，若0=A v ，则ωAB v v v B BAB ==此时图形上各点速度分布如图10。

15所示速度瞬心：某瞬时平面图形上速度为零的那一点称为该瞬时平面图形的瞬时速度中心，简称为速度瞬心，通常用“P ”表示。

定理：一般情况下，每瞬时平面图形上速度瞬心是唯一存在的。

Mv Mv PMv MN P证明：设已知平面图形上任一点M 的速度M v和平面图形的角速度ω， 过M 点作M v MN⊥如图10.16所示，MN 上一点P 的速度为： PM M P v v v += M v 与PM v方向相反. ∴ ωPM v v M P -= 当ωMv PM =时，0=P v当0≠ω时，ωMv PM =只有一个确定的值，且只能在MN 直线上有满足此条件的点，所以定理得证。

找瞬心的几种方法： 1）已知两点速度方向a) A v ∥B vPb) A v ∥B v且B A v v ⊥ 瞬时平动c)A v ∥B v 且A v AB ⊥时，需知A v 、B v的大小（图10.19）图10.19B2）已知平面图形沿某一线或面纯滚，接触点瞬心（图10.20）图例10.4在平面机构中，直角三角板ABD 的两直角边长为cm AD 5=，cm AB 10=，A 、B 为光滑铰接，1O 、2O 为两固定铰支座，A O 1杆以s rad O 21=ω绕1O 轴匀速转动，设cm A O 101=，cm O O 521=，图示瞬时1O 、A 、D 在同一铅垂线上，求该瞬时D 点的速度和杆的角速度。

D解：1．分析运动A O 1、B O 2杆作定轴转动， ABD 作平面运动 2． 分析速度A O 1：s cm A O v A 2011==ω ABD ：s rad AP v A ABD 12020===ω s cm PD v ABD D 25==ω A B D A B D B B O PB v ωω22== B O 2： BO v BB O 22=ω 例10.5绕线轮半径为R ，其凸沿半径为r ，绕线之线点B 沿水平方向抽出之速度为u ，使轮沿水平线纯滚动。

试求滚轮上1、2、3点的速度。

解： 1 分析运动 2 速度分析rR ur R v r R v B A -=-=-=ω rR uR v D -==ω 3122v u rR RR v =-==ω rR uv -=22 问：线头与水平线夹角为多少度时，轮O 向左滚动？（演示不断改变线头B 与水平线夹角拉轮子滚动） （图10.22）例10.6平面机构如图10.23所示，已知r A O =1，以0ω匀速转动，l BC B O ==2，图示时A O 1水平，B O 1在铅直方向，ϕ、θ均为已知，求该瞬时，B O 2杆的角速度和滑块C 的速度。

图10.23b解：1 分析运动A O 1、B O 2定轴转动 AB 、BC 杆平面运动 2．分析运动 A O 1: 0ωr v A =AB ： BA A B v v v+=[])cos(cos :ϕθθ+=B A AB v v0)c o s (c o sωϕθθr v B +=B O 2：)cos(cos 022ϕθθωω+==l r B O v B B O BC ：B O B BC B BC lvBP v 2ωω===)c o s (s i n c o s 2s i n 20ϕθϕθωϕωω+===r l CP v BC BC BC C三、平面图形的角加速度及图形上各点的加速度分析 1 基点法设已知A 点加速度A a和图形的角速度ω，角加速度α，求任一点B 的加速度平面 运动随A 点平动+相对A 点转动ωατBAa n BAa Aa A a Aa A a ABABωατBAa n BAa AB+B 点加速度：nBABA A B a a a a ++=τ （10.6） 其中ατAB a BA =，方向垂直于AB ，2ωAB a n BA =，方向由B 指向A 。